江苏省南京市雨花台中学2024-2025苏科版九下数学第5周阶段性训练【含答案】

这是一份江苏省南京市雨花台中学2024-2025苏科版九下数学第5周阶段性训练【含答案】，共15页。试卷主要包含了如图，点I是△ABC的内心等内容，欢迎下载使用。
1．如图，用长为21m的栅栏围成一个面积为30m2的矩形花圃ABCD．为方便进出，在边AB上留有一个宽1m的小门EF．设AD的长为x m，根据题意可得方程（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5B．C．D．
3．将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后的中点，则OC长为（ ）
A．2B．C．1D．
4．如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二．填空题（共6小题）
5．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，AE分别相切于点M，N，且经过点C，D．若⊙O的半径为2，则的长是 ．（结果保留π）
6．如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，对角线AC平分∠BAD．若∠ACB＝90°，∠ACD＝40°，则∠B的度数是 ．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接AC，若AB＝6，AC＝5，则a的值是 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（5，﹣2），AC交x轴于点D，则OD的长为 ．
9．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，AE＝2ED，射线BE交CD的延长线于点F，若S△DEF＝1，则S△BCF的值为 ．
10．如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，则∠ICA的度数是 °．
三．解答题（共6小题）
11．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
12．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发0.2h后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车出发0.4h时第1次追上慢车．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象；
（2）若快车出发2.2h时与慢车第2次相遇．
①求快车从出发到返回甲地所用的时间；
②当两车第2次相遇的地点距离甲地240km时，s的值为 ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l与△ABC的外接圆相切于点B，D是l上一点，DC＝DB．
（1）求证：DC与△ABC的外接圆相切；
（2）若DC＝AB＝4，则BC的长是 ．
14．如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝12，求菱形AFCE的面积．
15．已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为 ；
（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．
16．已知函数y＝ax3+bx2+cx（a，b，c为常数，且a≠0）的图象是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象（图①～④），观察并思考…
（1）函数y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤所示，指出常数a，b，c的正负．
（2）你同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．
（3）已知ac＜0，直接写出关于x的不等式ax3+x2+cx＞0的解集（用含a，c的式子表示）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：设AD的长为x m，那么另一边AB的长为m，
由题意得：x•＝30．
故选：B．
2．【解答】解：将第一层小正方形的顶面和正面，以及第二层小正方形的顶面和正面展开，
如图，连接MN，则MN＝＝5，
故选：A．
3．【解答】解：延长OC交⊙O于D点，交AB于E点，连接OA、OB、AC、BC，如图，
∵C为折叠后的中点，
∴＝，
∴CA＝CB，
∵OA＝OB，
∴OC垂直平分AB，
∴AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，
∵沿AB折叠得到，CD垂直AB，
∴C点和D点关于AB对称，
∴CE＝DE＝2，
∴OC＝OE﹣CE＝3﹣2＝1．
故选：C．
4．【解答】解：连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA＝OC＜OD，
∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，
①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；
②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；
③∵OE＝OA，OE⊥DE，
∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
5．【解答】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，∠A＝（5﹣2）×180÷5＝108°，
∴∠AMO＝∠ANO＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠A＝72°，
∵⊙O的半径为2，
∴劣弧的长度为：＝．
6．【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∵对角线AC平分∠BAD，
∴CE＝CF，∠CAE＝∠CAD，
∵∠F＝∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝∠ACF，
在Rt△CBE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），
∴∠DCF＝∠BCE，
设∠DCF＝α，则∠BCE＝α，
∵∠ACD＝40°，∠ACB＝90°，
∴40°+α+α＝90°，
∴α＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°．
故答案为：65°．
7．【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D．
由题意可知AD＝DB＝AB＝＝3，
∵AC＝5，
∴CD＝4，
设A（m，0），则B（m+6，0），C（m+3，﹣4），
方法一：
抛物线解析式为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6），
把C（m+3，﹣4）代入得：
﹣4＝a（m+3﹣m）（m+3﹣m﹣6），
解得a＝；
方法二：
将A（m，0），B（m+6，0），C（m+3，﹣4）代入y＝ax2+bx+c得：
，
②化简得：m2a+12ma+36a+mb+6b+c＝0④，
③化简得：m2a+6ma+9a+mb+3b+c＝﹣4⑤，
④﹣①得：12ma+36a+6b＝0⑥，
⑤﹣①得：6ma+9a+3b＝﹣4⑦，
⑦×2得：12ma+18a+6b＝﹣8⑧，
⑥﹣⑧得：18a＝8，
解得：a＝，
故答案为：．
8．【解答】解：∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），
∴OA＝OB，
∵B（﹣1，﹣2），C（5，﹣2），
∴BC∥x轴，
∴＝，
∴＝，
∴OD＝3．
故答案为：3．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FDE＝∠BAE，∠DFE＝∠ABE，∠FDE＝∠C，∠FED＝∠FBC，
∴△DEF∽△AEB，△DEF∽△CBF，
∴，，
∵AE＝2ED，
∴，
∴，
∵S△DEF＝1，
∴，
解得：S△CBF＝9．
故答案为：9．
10．【解答】解：∵点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，
∴∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，
∴∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，
∴∠ICA＝∠ACB＝＝20°．
故答案为：20．
三．解答题（共6小题）
11．【解答】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得：x1＝x2＝15，
答：衬衫的单价降了15元．
12．【解答】解：（1）y2与t之间的函数图象如图所示：
（2）①设慢车速度为v1 km/h，快车速度为v2 km/h，
根据题意，得0.6v1＝（0.6﹣0.2）v2，
∴v2＝1.5v1，
根据题意得y1＝v1t，
∵2.2+0.2＝2.4，
∴点E的坐标为（2.4，2.4v1），
设CD的函数表达式为y2＝﹣1.5v1t+n，
将（2.4，2.4v1）代入得：2.4v1＝﹣1.5v1×2.4+n，
∴n＝6v1，
∴CD的函数表达式为y2＝﹣1.5v1t+6v1，
令y2＝0，得t＝4，
∵4﹣0.2＝3.8（h），
∴快车从出发到返回甲地所用的时间为3.8h；
②由①知，两车第2次相遇后快车再行驶4﹣2.4＝1.6（h）可返回甲地，
∵两车第2次相遇的地点距离甲地240km，
∴快车速度v2＝240 ÷1.6＝150（km/h），
而快车从出发到返回甲地所用的时间为3.8h，
∴s＝150×＝285（km），
故答案为：285．
13．【解答】（1）证明：设AB中点为O，连接OC，如图，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是△ABC的外接圆的直径，
即点O为△ABC的外接圆的圆心．
∵直线l与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵DC＝DB，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠OCD＝∠OCB+∠DCB＝∠OBC+∠DBC＝∠OBD＝90°，
即OC⊥DC，
又∵点C在⊙O上，
∴DC与⊙O相切，
即DC与△ABC的外接圆相切；
（2）解：连接OD交BC于E点，如图，
∵DC＝AB＝4，
∴OB＝2，BD＝4，
∴OD＝＝2，
∵OB＝OC，DB＝DC，
∴OD垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∵BE•OD＝OB•BD，
∴BE＝＝，
∴BC＝2BE＝．
故答案为：．
14．【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠ECO．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
∴AE＝CF，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形．
（2）解：设AE＝CE＝x，则BF＝12﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2，
即62+（12﹣x）2＝x2，
解得，x＝7.5，
即AE＝7.5，
∴DE＝BF＝4.5，
∴菱形AFCE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ABF的面积﹣△CDE的面积＝6×12﹣2×＝45．
15．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3），
∴4+2（a﹣2）+3＝3，
解得a＝0，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；
（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y的最小值为2，
当x＝0时，y＝3，
当x＝3时，y＝（3﹣1）2+2＝6，
∴0＜x＜3时，y的取值范围为2≤y＜6，
故答案为：2≤y＜6；
（3）∵点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）且y1＞y2，对称轴为直线x＝1，
∴＜1，
解得m＜，
∴m的取值范围为m．
16．【解答】解：（1）通过观察图象可得，y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤，则a＜0，b＞0，c＞0；
（2）不同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”，理由如下：
对任意实数m（m＞0），
当x＝1+m时，y1＝﹣（1+m）3+2（1+m）2＝﹣m3﹣m2+m+1，
当x＝1﹣m时，y2＝﹣（1﹣m）3+2（1﹣m）2＝m3﹣m2﹣m+1，
∴y1+y2＝﹣2m2+2，
若函数y＝﹣x3+2x2图象的对称中心的横坐标为1，则y1+y2的值与m无关，
而﹣2m2+2的值与m有关，
∴函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标不是1；
（3）令ax3+x2+cx＝0，则x（ax2+x+c）＝0，
∴x＝0或ax2+x+c＝0，
∵ac＜0，
∴ax2+x+c＝0的解为x1＝，x2＝，
∴y＝ax3+x2+cx与x轴交点横坐标分别是，0和，
当a＞0时，ax3+x2+cx＞0（即y＞0）的解集为＜x＜0或x＞；
当a＜0时，ax3+x2+cx＞0（即y＞0）的解集为0＜x＜或x＜．不得