高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算一课一练

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考点一：曲线在点处的切线方程
①把切点的横坐标带入导函数，得
②又因切点为，利用点斜式直接写出切线为
考点二：过一点的切线方程
①设切点为，则斜率
②利用切点和斜率写出切线方程为：，
③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点）
【题型目录】
题型一：曲线在点处的切线方程
题型二：过一点的切线方程
题型三：切线平行、垂直、重合问题
【典型例题】
题型一：曲线在点处的切线方程
【例1】（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.
【详解】
∵
∴，所以，
又当时，，
所以在点处的切线方程为：，即.
故选：A.
【例2】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（ ）
A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，所以．
又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．
故选：B.
【例3】（2022·湖北·高三阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义即可求得函数在某点处的切线斜率.
【详解】因为，
所以，
所以在点处的切线斜率为.
故选：B.
【例4】（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））已知曲线与直线交于点，设曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义及点斜式，再利用累乘法及对数的运算性质即可求解.
【详解】由题意可知，，所以点，
因为，所以，
所以函数在点处的切线的斜率为，
切线的方程为.
令，得，
所以，
所以
.
所以的值为.
故选：C.
【例5】（2021·陕西·安康市教学研究室二模（文））已知曲线在点处的切线与曲线相切，则___________．
【答案】2或10
【分析】根据导数的几何意义可得切线方程，然后切线方程与抛物线方程联立利用判别式为零即得.
【详解】令，，
则，
可得曲线在点处的切线方程为，
联立，
得，
则，
解得或.
故答案为：2或10.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是__________．
【答案】
【分析】求出导函数，由二次函数性质求出导数的最小值，进而得切线斜率与切点坐标，从而即可求解．
【详解】解：由题意，
所以时，，又时，，
所以所求切线的方程为，即．
故答案为：．
【例7】（2022·全国·高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】利用诱导公式将曲线化简，再将代入可为切点，再对曲线，用特值法即可求得在处的切线斜率，利用直线点斜式即可解得.
【详解】因为 ，
所以，切点为.
而，
令 ， 得,
所以 ,
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为.即 .
故答案为: .
【例8】（2022·辽宁·高二期末）已知曲线的方程为，则曲线在点处的切线方程为______.
【答案】或
【分析】求导函数，求切线斜率，最后用点斜式即可写出切线方程
【详解】，，由点斜式得曲线在点处的切线方程为，即
故答案为：
【例9】（2022·北京市十一学校高二期末）曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】.
【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，而，，
因此曲线在点处的切线方程为：
，
故答案为：.
【例10】（2022·江西赣州·高二期末（文））函数的图象在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求解即可
【详解】由题意，，故，故函数的图象在点处的切线方程为，即
故答案为：
【例11】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得，根据指数函数的性质，得到，即切线的斜率，进而得到，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
因为，所以，即切线的斜率，
设切线的倾斜角为，则
又因为，所以或，
即切线的倾斜角的范围为.
故选：B.
【题型专练】
1．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，并确定切点坐标，点斜式写出切线方程.
【详解】由题设，，则，
而，故在处的切线方程为，则.
故选：A
2．（2020·湖南·新邵县教研室高三期末（文））已知直线为曲线在处的切线，若与二次曲线也相切，则（ ）
A．0B．C．4D．0或4
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，即可取出切线的斜率，从而求出切线方程，再联立方程，消元，根据且，解得即可.
【详解】解：因为，所以，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即．
由于切线与曲线相切，
由，得，
又，两线相切有一切点，
所以，
解得或（舍去）．
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】首先求出，再求出函数的导函数，即可得到，最后利用点斜式求出切线方程；
解：因为，所以，
所以，，
所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
故选：C
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）如图1，为了满足游客的需求，欲在龙沙动植物园东侧修一条环湖公路（其中弯曲部分满足某三次函数），并与两条直道公路平滑连接（相切），根据图2所示，该环湖弯曲路段满足的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由“环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）”可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此逐一验证四个选项即可得出答案．
【详解】对于A，，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故A错误；
对于B，，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故B错误；
对于C，，将0代入，此时导数为，不为，故C错误；
对于D，，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故D正确；
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线在处的切线为，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，则，
可得，，即切点坐标为，
所以在处的切线为，
当时，；当时，，
因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，
可得，解得或，
又因为，所以.
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）曲线在处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程
【详解】，则，
当时，，，
所以切线方程为，即．
故选：D．
7．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））函数的图象在点处的切线方程为__________________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求解即可
【详解】由题意，，故，又，故函数的图象在点处的切线方程为，即
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则曲线在点处的切线方程为_______.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，将代入函数可求切点坐标，利用直线方程点斜式求解即可.
【详解】解：因为，又，
切线方程为：，即；
故答案为：.
9．（2022·福建·漳州市第一外国语学校高二阶段练习）设为实数，函数的导函数为，若是偶函数，则___________，曲线在原点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】求函数的导数，根据是偶函数，求出的值，结合导数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：因为，所以，
是偶函数，则，即，即
，得，经检验符合题意，
所以，，
则，，
即函数切线的斜率，切点为，
所以切线方程为，即，
故答案为：；．
10.（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求导数得出，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算即可．
【详解】
是奇函数，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故选：A．
11．【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
12．【2018年新课标1卷理科】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
13.【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
题型二：过一点的切线方程
【例1】（2022·四川·广安二中二模（文））函数过点的切线方程为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求参数m，即可得切线方程.
【详解】
由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，
当时，切线为；当时，切线为，整理得.
故选：C
【例2】【2022年新高考2卷】曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
【例3】（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（ ）
A．eB．1C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可.
【详解】
解：设切点，
由，得，所以，
∴曲线在点处的切线方程为，
又过（0，0），∴，解得，
∴切点，纵坐标为1．
故选：B．
【例4】（2022·天津市武清区天和城实验中学高三阶段练习）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义有，且，即可求出参数a.
【详解】由题设，则，又，
所以，故.
故选：B
【例5】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）若直线与曲线相切，则实数的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点，根据已知求解切点坐标，代入切线方程求出的值即可.
【详解】解：设直线与曲线的切点，
由于直线斜率为，则，
又， 所以，得，所以
则切点为，切线方程为，所以.
故选：C.
【题型专练】
1.（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点代入方程，解出切点坐标即可完成求解.
【详解】
因为函数，所以，
设切点为，则切线方程为：，
将点代入得，
即，解得或，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
2.（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线过点的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.
【详解】
由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
所以所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
所以，即.
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故选：B.
3.过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为
A．x+y+1=0B．x-y-1=0
C．x+2y+2=0D．2x-y-1=0
【答案】B
【解析】
设切点为，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.
【详解】
=ln x+1，
设切点为，∴,
∴=ln x0+1，
∴x0ln x0+1=x0ln x0+x0，∴x0=1，∴y0=0，
所以==1，
∴切线方程为y=x-1，即x-y-1=0，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4.已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】
设切点为则切线方程为，将点代入解，即可求切线方程.
【详解】
设切点为，则，切线斜率为
所以切线方程为，因为过点 则
解得或，所以切线方程为或
故选：C
5.已知函数，过原点作曲线的切线，则直线的方程为____________
【答案】
【解析】由可得，设切点为，
则切线方程为，
把代入可得，故，可得切线方程为，
6.（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（理））已知曲线的一条切线是，则实数________．
【答案】1
【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，对比列方程求解即可.
【详解】设切点为，又，所以，所以切线方程为，即，所以，
解得，．
故答案为：1.
7.（2022·北京·人大附中高三阶段练习）已知直线与曲线相切， 则_____．
【答案】##
【分析】求出函数的导函数，设切点为，即可求出切线的斜率，从而得到方程组，解得即可.
【详解】解：由，所以，设切点为，
所以，则，解得；
故答案为：
8．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知直线是曲线的切线，则___________.
【答案】
【分析】利用导数求出切线斜率，再由切线方程得斜率，列出方程求出切点坐标，代入切线即可得解.
【详解】设切点为，由，可得，
，直线是切线，
，解得，
当时，，切点代入切线方程，可得，
当时，，切点代入切线方程，可得，
综上可知，.
故答案为：
题型三：切线平行、垂直、重合问题
【例1】（2022·陕西·西安中学高二阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出导数，由两直线垂直的条件，可得有实数解，运用判别式大于等于0，解不等式即可得到所求范围．
【详解】的导数为，
由于存在垂直于轴的切线，
可得有实数解，
即有，即有，
解得或．
故选：B
【例2】（2022·四川成都·高三开学考试（文））若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝______．
【答案】1
【分析】利用导数的几何意义与平行的性质得到方程，解之即可.
【详解】由已知得，故，即，则.
故答案为：1．
【例3】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得．
【详解】
设，
，
设，则，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故选：B.
【例4】（2022·安徽·高三开学考试）已知曲线在处的切线与直线垂直， 则实数_____.
【答案】##
【分析】利用导数求解出曲线在处的切线的斜率，利用垂直关系可知斜率乘积为−1，构造方程求得结果.
【详解】因为，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
直线的斜率为，
因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，所以.
故答案为：.
【例5】（2022·山西太原·二模（理））已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件用换元法令，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的范围，根据已知条件得出，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】
由，令，
由，
得
，所以
由题意可知，存在，使得，
只需要，即，所以，，
所以的最大值为.
故选: D.
【点睛】
解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出，再利用三角函数的性质即可求解.
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习（文））若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线垂直得出切线的斜率，解方程即可得切点坐标，求出切线方程.
【详解】
，
∴，
设切点坐标为，则切线的斜率，
解得，所以，
故切线的方程为，即．
故选：A
2.（2022·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．11B．12C．D．
【答案】A
【分析】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求．
【详解】解：由，得，由，解得，
则直线与曲线相切于点，
∴，得，
∴直线是曲线的切线，
由，得，设切点为，
则，且，联立可得，
解得，所以．
∴．
故选：A．