人教A版高中数学(选择性必修第三册)同步练习第8章成对数据的统计分析（单元测试）（2份，原卷版+解析版）

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第8章成对数据的统计分析（单元测试）考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．为调查中学生近视情况，测得某校150名男生中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力（    ）A．回归分析B．均值与方差C．独立性检验D．概率【答案】C【分析】“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．【详解】分析已知条件，易得如下表格：根据列联表可得：，再根据与临界值比较，检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关，故利用独立性检验的方法最有说服力．故选：C．2．下面的散点图与相关系数一定不符合的是（       ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】C【分析】根据散点图与相关系数直接的关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】①中，由散点图可得，两相关变量呈负相关，故①错；②中，由散点图可得，两相关变量呈正相关，且相关系数可能是；③中，若相关系数，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故③错；④中，若相关系数，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故④错；故选：C.3．2021年3月全国两会上，“碳达峰”碳中和”备受关注.为应对气候变化，我国提出“二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”等庄严的目标承诺.在今年的政府工作报告中，“做好碳达峰､碳中和工作”被列为2021年重点任务之一；“十四五”规划也将加快推动绿色低碳发展列入其中.我国自1981年开展全民义务植树以来，全国森林面积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为1984﹣1988年，每5年清查一次，历次清查数据如表：经计算得到线性回归直线为(参考数据：)，据此估算我国森林面积在第几次森林资源清查时首次超过3亿平方米（    ）A．12B．13C．14D．15【答案】C【分析】先根据回归方程过样本中心点求得，再解不等式，即得结果.【详解】解：由题意可知，，，又因为，则，故，令，得，又为整数，所以，为整数，即估算我国森林面积在第14次森林资源清查时首次超过3亿平方米.故选：C.4．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由等高条形图的定义和性质依次分析，即得解【详解】观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强．故选：D5．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为．则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断即可.【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以．因为剔除点后，剩下点的数据更具有线性相关性，更接近1，所以 ．故选：D．6．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是（    ）A．男人、女人中患色盲的频率分别为0.038和0.006B．男、女患色盲的概率分别为， C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，可以认为患色盲与性别是有关的D．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关【答案】C【分析】分别计算男、女调查者中色盲的比例，作差分析即得解【详解】男人中患色盲的比例即频率为＝，要比女人中患色盲的比例即频率＝大，故A，B错误；其差值为≈0.067 6，差值较大，故认为患色盲与性别是有关的，故C正确；调查人数为480，520较多，调查结果具有参考意义，故D错误故选：C7．根据一组样本数据为，，，的散点图判断，变量关于变量的回归方程为，经计算，，，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】记，回归方程化为，这是线性回归方程，由在回归直线上可求得值．【详解】记，则，所以，，回归方程这，则，解得．故选：B．8．已知变量与，且观测数据如下表(其中，)，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出，代入方程检验，然后根据的变化趋势判系数的正负可得．【详解】由题意，，把代入各方程，A中，，同理有B中，，C中，D中，，又表格中数据随着的增大，减小，因此它们负相关，的系数为负．故选：C．【点睛】在求线性回归方程时，可观察已知数据，呈线性相关的数据，如果随的增大，也增大，则与是正相关，在回归直线方程中的系数为正，反之为负．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价(元)和销售量(件)之间的一组数据如表所示：按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的有（    ）A．变量，线性负相关且相关性较强；B．；C．当时，的估计值为12.8；D．相应于点的残差约为0.4.【答案】ABC【解析】根据相关性、相关系数判断A选项的正确性.利用样本中心点判断B选项的正确性.将代入回归直线方程，由此判断C选项的正确性.求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D选项的正确性.【详解】对A，由表可知随增大而减少，可认为变量，线性负相关，且由相关系数可知相关性强，故A正确.对B，价格平均，销售量.故回归直线恒过定点，故，故B正确.对C，当时，，故C正确.对D，相应于点的残差，故D不正确.故选：ABC10．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额看成年份序号（2012年作为第1年）的函数.运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的为（    ）注：其中，越接近于1，表示回归的效果越好.A．销售额与年份序号呈正相关关系B．销售额与年份序号线性相关不显著C．三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果D．根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元【答案】AC【分析】根据散点图可得销售额与年份序号呈正相关关系，再根据相关指数的定义判断B、C，根据三次函数回归曲线，代入，即可预测2021年“年货节”期间的销售额，从而判断D；【详解】解：由题图可知，散点从左下到右上分布，所以销售额与年份序号呈正相关关系，A正确；∵接近于1，∴销售额与年份序号线性相关显著，故B错误；∵，∴三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，C正确；由三次函数知，当时，，故D错误.故选：AC.11．晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，河北衡水某高中的高三年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类高中的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息．有关人员分别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中衡水某高中有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，则（    ）附：，A．衡水某高中的前50名学生中有60%的学生学习效率高B．另一所同类高中的前50名学生中有40%的学生学习效率高C．有99.9%的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”D．认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”的犯错概率超过0.05【答案】AC【分析】先根据题意求出每一所学校中前50名学生中学习效率高的人数，再列出列联表，通过计算就可以对选项作出判断.【详解】设这100名学生中学习效率高的人数有人，由题意有，得.所以某高中的50名学生中有30人学习效率高，另一所同类高中的50名学生中有10人学习效率高，所以某高中的前50名学生中有的学生学习效率高，故选项A正确，另一所同类高中的前50名学生中有学习效率高，故选项B不正确.根据以上数据得到所下的列联表：，所以选项C正确，选项D不正确.故选：AC.12．某校对“学生性别和喜欢锻炼是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的，女生喜欢锻炼的人数占女生总人数的．若至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，则被调查学生中男生的人数可能为（    ）附：A．35B．40C．45D．50【答案】CD【分析】利用独立性检验表达列联表并及观测值可解的答案．【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，，由题意可列出列联表：．由于有的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，所以；解得：，则的可能取值为：9、10、11、12、13；则选项中被调查学生中男生的人数可能45或50．故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是（其中x，的单位分别是，），则此方程在样本处残差的绝对值是______.【答案】2.2【分析】利用回归直线方程，求出的估计值，然后求解残差的绝对值.【详解】由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是，当时，；此方程在样本处残差的绝对值：.故答案为：2.2.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，残差的绝对值的求法，是基本知识的考查.14．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过（2，3）点，则这条回归直线的方程为_____．【答案】y=﹣10+6.5x【详解】试题分析:根据直线经过样本中心点，由回归直线的斜率可求回归直线的方程． 解：回归直线的斜率为6.5，且恒过（2，3）点，y﹣3=6.5（x﹣2），即回归直线方程为：y=﹣10+6.5x故答案为y=﹣10+6.5x．考点：线性回归方程．15．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为______．【答案】15【分析】先根据等高条形图求出喜欢徒步的男女生人数,从而可得喜欢徒步的总人数,进一步可得男生的抽样比,利用抽样比可得抽取的男生人数.【详解】根据等高条形图可知: 喜欢徒步的男生人数为,喜欢徒步的女生人数为,所以喜欢徒步的总人数为,按分层抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人数为人.故答案为:15【点睛】本题考查了等高条形图,考查了利用分层抽样计算抽取的样本中,各层的人数,属于基础题.16．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.245x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.【答案】0.245【详解】当变为时，=0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245，而0.245x+0.321+0.245-（0.245x+0.321）=0.245.因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元，本题填写0.245.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（I）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（II）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 25周岁以上组 25周岁以下组【答案】（I）（II）没有把握【详解】 （Ⅰ）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，.故所求的概率：（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：所以得：因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”对于独立性检验的考查要求学生会用公式，并且懂得算法过程并懂得结论的给出，应该算容易题，可往往学生会被这么长的题目所吓倒，再加上统计与概率的结合就会变为难点.此题比较容易出现计算和结论上的失误，而造成不必要的失分.【考点定位】 本题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想等．属于中等难度.18．某教育科研机构研发了一款新的学习软件，为了测试该软件的受欢迎程度，该公司在某市的两所初中和两所小学按分层抽样法抽取部分学生进行了调研．已知这四所学校在校学生有9000人，其中小学生5400人，参加调研的初中生有180人．(1)参加调研的小学生有多少人？(2)该科研机构将调研的情况统计后得到下表：请将上表填写完整，并据此说明是否有99.9%的把握认为“喜爱使用该学习软件”与“学生年龄”有关．【答案】(1)270人(2)表格见解析，有99.9%的把握认为“喜爱使用该学习软件”与“学生年龄”有关．【分析】（1）按照分层抽样的定义即可计算出初中生的人数；（2）完成卡方表格，根据独立性检验公式，计算后与临界值表格对照，即可判断.(1)这四所学校在校学生有9000人，其中小学生5400人，所以初中生有3600人．因为参加调研的初中生有180人，所以抽取比例为．所以参加调研的小学生有（人）；(2)由（1）知参加调研的总人数为，所以表格中的数据如下表所示：因为， 所以有99.9%的把握认为“喜爱使用该学习软件”与“学生年龄”有关.19．随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近年来的纸质广告收入如下表所示：根据这年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为；根据后年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为.（1）如果要用线性回归方程预测该杂志社年的纸质广告收入，现在有两个方案，方案一：选取这年数据进行预测，方案二：选取后年数据进行预测．从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？（2）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，现用此统计结果作为概率．①若从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，求只购买纸质版本的概率；②若从上述读者中随机调查位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率．【答案】（1）方案二；（2）①；②.【分析】（1）根据表格中杂志社近年来的纸质广告收入的变化，以及样本相关系数的绝对值的大小与线性相关性的关系可得出结论；（2）①根据已知条件可求得事件“从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，只购买纸质版本”的概率；②利用独立重复试验的概率公式结合互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）选取方案二更合适，理由如下：   ①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据；②相关系数越接近，线性相关性越强，因为根据年的数据得到的相关系数的绝对值 ，我们没有理由认为与具有线性相关关系；而后年的数据得到的相关系数的绝对值，所以认为与具有很强的线性相关关系；（2）①因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为 ，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为 ，只购买纸质书的概率为；②购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：人购买电子书，人购买电子书人只购买纸质书.所求概率为：.【点睛】思路点睛：独立重复试验概率求法的三个步骤：（1）判断：根据次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验；（2）分拆：判断所求事件是否需要分拆；（3）计算：就每个事件依据次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件的概率加法公式计算.20．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据：(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．附： ， . 【答案】(1)＝0.042x－0.026. (2) 预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.【详解】试题分析：（1）根据表中数据，计算， 与写出线性回归方程；（2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果．试题解析：(1)由题意知＝3，＝0.1， iyi＝1.92，＝55，所以＝＝＝0.042，＝－＝0.1－0.042×3＝－0.026，所以线性回归方程为＝0.042x－0.026.(2)由(1)中的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率约增加0.042个百分点．由＝0.042x－0.026>0.5，解得x≥13，故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.21．某公司共有职工1500人，其中男职工1050人，女职工450人．为调查该公司职工每周平均上网的时间，采用分层随机抽样的方法，收集了300名职工每周平均上网时间的样本数据．（1）应收集多少名女职工的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到职工每周平均上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，试估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有70名女职工的每周平均上网时间超过4小时，请将每周平均上网时间与性别的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”附：【答案】（1）90名；（2）0.75；（3）填表见解析；没有．【分析】（1）根据分层抽样的比例可得解；（2）利用频率等于频率直方图中的纵坐标乘以组距得到；（3）根据比例完成列联表，计算，查表可得结论.【详解】（1）∵，∴应收集90名女职工的样本数据．（2）由频率分布直方图得，∴估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率为0.75．（3）由（2）知，300名职工中有人的每周平均上网时间超过4小时．∵有70名女职工每周平均上网时间超过4小时，∴有名男职工每周平均上网时间超过4小时．又∵样本数据中有90个是关于女职工的，∴有个是关于男职工的，∴有名女职工，名男职工的每周平均上网时间不超过4小时．因此每周平均上网时间与性别的列联表如下：结合列联表可得，所以没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”．22．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段，某从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁~35岁（2009年~2018年）之间各月的月平均收入(单位：千元)的散点图：（1）由散点图知，可用回归模型拟合与的关系，试根据有关数据建立关于的回归方程；（2）如果该从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴交的个人所得税.附注：参考数据，，，，，,，其中；取，参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为,新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：【答案】（1）；（2）2130元.【分析】（1）由题意，令，根据最小二乘法的计算公式，分别求得的值，即可得到回归直线的方程；(2)由(1)得该IT从业人员36岁时月平均收入，再利用表格中的数据和个税的计算方法，求得新旧个税政策下缴交的个人所得税，即可得到答案．【详解】（1）由题意，令，则由最小二乘法的公式，可得，又由，所以，所以关于的回归方程为，因为，从而关于的回归方程为．(2)由(1)得该IT从业人员36岁时月平均收入为： (千元)，旧个税政策下缴交的个人所得税为：(元)，新个税政策下缴交的个人所得税为：(元)，故根据新旧个税政策，则该IT从业人员36岁时每个月少缴交的个人所得税为 (元).【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，正确理解表格的意义，利用最小二乘法的公式准确计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．男生女生合计近视8070150不近视7070140合计150140290第次3456789森林面积(亿平方米)1.251.341.591.751.952.082.20123456.541价格99.51010.511销售量11108650.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828学校晚上休息时间学习效率高人数学习效率不高人数总计某高中302050另一所同类高中104050总计40601000.0500.0103.8416.635男生女生合计喜欢锻炼不喜欢锻炼合计0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828生产能手非生产能手合计周岁以上组周岁以下组合计名称喜爱使用该学习软件不太喜爱使用该学习软件总计初中生60120180小学生90总计名称喜爱使用该学习软件不太喜爱使用该学习软件总计初中生60120180小学生18090270总计240210450年份时间代号广告收入（千万元）x12345y0.020.050.10.150.18男职工女职工合计每周平均上网时间不超过4小时每周平均上网时间超过4小时70合计3000.050.0100.0013.8416.63510.828男职工女职工合计每周平均上网时间不超过4小时552075每周平均上网时间超过4小时15570225合计21090300旧个税税率表（个税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）税缴级数每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点税率（%）每月应纳税所得额（含税）=收入一个税起征点-专项附加扣除税率（%）1不超过1500元的部分3不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元155000元的部分30超过35000元至55000元的部分30