人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.3 分类变量与列联表复习练习题

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一、单选题
1．（2022春·山西太原·高二统考期中）在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）
A．散点图和残差图B．残差图和列联表
C．散点图和等高堆积条形图D．等高堆积条形图和列联表
【答案】D
【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断
【详解】散点图是研究两个变量间的关系，
列联表是研究两个分类变量的，
残差图是体现预报变量与实际值间的差距，
等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，
故选：D
2．（2023·全国·高二专题练习）把两个分类变量的频数列出，称为（ ）
A．三维柱形图B．二维条形图C．列联表D．频率分布直方图
【答案】C
【分析】根据三维柱形图、二维条形图、列联表和频率分布直方图的定义和特征依次判断即可.
【详解】三维柱形图和二维条形图，是粗略地判断两个分类变量是否相关，故不合题意；
列联表，是将两个分类变量的频数列表，故符合题意；
频率分布直方图，显示各组频数分布情况又易于显示各组之间频数的差别，故不合题意.
故选：C
3．（2022春·吉林·高二吉林省实验校考阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（ ）
A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关
B．是否倾向选择生育二胎与性别有关
C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
【答案】D
【分析】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可.
【详解】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误；
对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误；
对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误；
对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确.
故选：D.
4．（2023春·高二课时练习）根据分类变量x与y的观察数据，计算得到．依据下面给出的临界值表，
可知下列判断中正确的是（ ）A．有95%的把握认为变量x与y独立
B．有95%的把握认为变量x与y不独立
C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
【答案】D
【分析】依据表中给出的 独立性检验求解.
【详解】解：因为 ，且 ，
所以依据表中给出的 独立性检验知：变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%，
故选：D
二、多选题
5．（2021·高二课时练习）随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则
A．甲专业比乙专业的录取率高B．乙专业比甲专业的录取率高
C．男生比女生的录取率高D．女生比男生的录取率高
【答案】BC
【分析】根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.
【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；
甲专业的录取率为，乙专业的录取率为，所以乙专业比甲专业的录取率高.
男生的录取率为，女生的录取率为，所以男生比女生的录取率高.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.
三、填空题
6．（2022春·新疆伊犁·高二校考期末）某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生（其中男生60名，女生40名），并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为_______．
【答案】68
【分析】根据等高堆积条形图进行数据分析，即可得到答案.
【详解】由等高堆积条形图进行数据分析，这100名学生中经常锻炼的人数为：.
故答案为：68
7．（2022春·上海浦东新·高二上海中学东校校考期末）下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表
那么__________．
【答案】82
【分析】根据列联表，可得方程，解之即可得到结论．
【详解】解：由题意，，，，，
，，，，
故答案为： 82.
四、双空题
8．（2022·高二单元测试）下面是一个2×2列联表；
其中，a、b处的值分别为________、________．
【答案】 35 50
【分析】根据列联表即得.
【详解】由题意结合列联表可得：
，.
故答案为：35；50.
9．（2022春·北京丰台·高二统考期末）为了解性别因素是否对某班学生打篮球的经常性有影响，对该班40名学生进行了问卷调查，得到如下的22列联表：
则_________，_________.
【答案】 16 16
【分析】完善列联表，即可得解；
【详解】解：依题意可得列联表如下：
故；
故答案为：；；
五、解答题
10．（2023·全国·高二专题练习）户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，从本单位全体650人中采用分层抽样的方法抽取50人进行了问卷调查，得到如下列联表：
在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是0.6，求上面的列联表中各字母的值.
【答案】，，，，，.
【分析】由于喜欢户外运动的员工的概率是0.6，即可求出，从而求解其他参数取值．
【详解】由“50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是0.6”可知，
喜欢户外运动的人数为，即，故，
因为喜欢户外运动的女性有10人，所以喜欢户外运动的男性有（人），
即，故，
又因为不喜欢户外运动的男性有5人，所以不喜欢户外运动的女性有（人），
即，故.综上，，，，，，．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023春·高二课时练习）通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到了如下的列联表：
附表：
参照附表，能得到的正确结论是（ ）. A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】A
【分析】根据条件中求出的观测值，同观测值表中的进行检验，即可得出结轮.
【详解】由题意知本题所给的观测值，
，
所以有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，
即在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”.
故选：A.
2．（2023春·高二课时练习）某中学为调查高一年级学生的选科倾向，随机抽取了300人，其中选考物理的有220人，选考历史的有80人，统计各选科人数如表所示，则下列说法中正确的是（ ）．
参考数据：，其中.
附表：
A．选考物理类的学生中选择政治的比例比选考历史类的学生中选择政治的比例高
B．选考物理类的学生中选择地理的比例比选考历史类的学生中选择地理的比例高
C．参照附表，根据小概率值的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别无关
D．参照附表，根据小概率值的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别有关
【答案】C
【分析】分别求出各个比例，即可判断A、B项；列出列联表，求出的值，根据独立性检验的思想，即可判断C、D项.
【详解】对于A项，，，显然，故A项错误；
对于B项，因为，，所以，故B项错误；
对于C项，
根据已知，可列出列联表
，
所以根据小概率值的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别无关，故C项正确；
对于D项，根据C项可知，D项错误.
故选：C.
3．（2023春·高二课时练习）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
【答案】C
【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得.
【详解】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；
根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；
样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，
所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；
样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.
故选：C.
4．（2023春·高二课时练习）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报就“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”对某校高二年级部分学生做了专题调查，被调查的男、女生人数相同，其中男生支持的人数占调查男生人数的，女生支持的人数占调查女生人数的.若有99%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则参加调查的男生可能有（ ）
附表：
附：，其中.A．135人B．140人C．145人D．150人
【答案】D
【分析】设参加调查的男生可能有人，则女生也为人，然后列出列联表，计算，由题意可得，从而可求出的范围，进而可求得答案
【详解】设参加调查的男生可能有人，则女生也为人，
由题意得列联表如下：
则，
因为有99%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，
所以，
得，
因为是15的倍数，
所以选项D符合题意，
故选：D
二、多选题
5．（2023春·高二课时练习）某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表：
经计算，则可以推断出（ ）
附：
A．该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率估计值是0.64
B．若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化
C．有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关
D．在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关
【答案】AC
【分析】对于A选项，根据表格，进行数据分析，直接求概率；
对于B，C，D选项，进行独立性检验，计算后对照参数下结论.
【详解】解：补充完整列联表如下：
对于A选项，该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值为，故A正确；
对于B选项，，故B不正确；
因为，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过的条件下，
即有超过的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关，故C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题
6．（2023春·高二课时练习）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的，若有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有______人.
附表：
，其中.
【答案】45，50，55，60，65
【分析】设男生有人，可得列联表，计算，由可求得的范围，结合为的整数倍可得结果.
【详解】设男生有人，由题意可得列联表如下，
若有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则；
，
，
解得，又为的整数倍，
所以被调查的学生中男生可能人数为，50，55，，65.
故答案为：45，50，55，60，65.
7．（2023春·高二课时练习）某大学有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表：
以下说法中，正确的有______.（写出所有满足要求的说法序号）
①满意度的调查过程采用了分层随机抽样的抽样方法
②该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0.6
③有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系
④没有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系
附表：
【答案】①③
【分析】根据题意计算男女比例可判断①；计算满意的频率，用频率估计概率可判断②；由列联表中数据计算的值可判断③④.
【详解】因为该校在校学生和随机调查的学生中，男、女学生的比例均为，故①正确；
被调查的学对学校的管理和服务满意的频率为，所以该学校学生对学校的管理和服务满意的概率约为0.667，故②错误；
由列联表，得，故有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关，故③正确，④错误.
故答案为：①③.
8．（2023春·高二课时练习）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为___________（其中a≥40且a∈）（参考数据：≈2.58，≈3.29）
参考公式
临界值表
【答案】46
【分析】根据题意求得，即可求出a的最小值.
【详解】解：由题意可得，
整理得：，
所以或,
解得：或，
又因为a≥40且a∈，
所以，
所以a的最小值为46.
故答案为：46.
四、解答题
9．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召开展网课学习.为检验网课学习效果，某机构对名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有，网课结束后进行考试，根据考试结果将这名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：
(1)完成以上列联表，并通过计算（结果精确到）说明，是否有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联
(2)从有家长督促的名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出人，再从人中随机抽取3人做进一步调查，记抽到名成绩上升的学生得分，抽到名成绩没有上升的学生得分，抽到名生的总得分用表示，求的分布列和数学期望．
附：
【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联，理由见解析；
(2)的分布列见解析，.
【分析】（1）由题意完成列联表，根据题中所给的公式，结合表中数据进行运算判断即可；
（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、数学期望公式进行求解即可.
【详解】（1）由已知完成列联表如下：
，有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；
（2）有家长督促的学生成绩上升的人数为，有家长督促的学生成绩没有上升的人数为，
由题意可知：，
，，，，
所以的分布列：
.
10．（2023春·高二课时练习）2022年11月江西省第十六届运动会在江西省九江市举行，本届省运会为全省人民呈现了一场精彩纷呈、令人难忘的“视听盛宴”和“文体大餐”，也极大地激发了九江市民运动的热情．为了更好的宣传省运会，九江市某高校决定举办主题为“圆梦浔阳城拼搏向未来”的体育知识竞赛活动，现从参加体育知识竞赛活动的学生中随机抽取了200名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)在抽取的200名学生中，规定比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关？
附：（其中）
【答案】(1)
(2)表格见解析，有99.9%的把握
【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形面积之和为1列式即可求解的值.
（2）结合题意和频率分布直方图即可完成列联表，进而结合公式计算，即可判断是否有99.9%的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关.
【详解】（1）由频率分布直方图各小矩形面积之和为1可知：
，解得：
（2）低于80分的频率为：，
所以非优秀的人数为：人，据此可知列联表如下
所以
所以有99.9%的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关．
11．（2023春·高二课时练习）热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在2022年6月至10月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据：
(1)根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；
(2)为调查游客对该景点的评价情况，网友们随机抽查了200名游客，得到如图列联表，请填写2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”？
参考数据：，
注：r与的计算结果精确到0.001．参考公式：相关系数，
线性回归方程：，其中，，
．
临界值表：
【答案】(1)可以，
(2)表格见解析，有99.9%的把握
【分析】（1）利用相关系数的公式计算出，得到y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系，从而求出，得到线性回归方程；
（2）完善列联表，计算卡方，与10.828比较后得到结论.
【详解】（1）由已知得，，
，，，
所以，
因为，
说明y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系，
设线性回归方程为，
∴，．
则y关于x线性回归方程为；
（2）由题可得2×2列联表，
，
∴有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”．
12．（2023春·高二课时练习）由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．
(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？
(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．
(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．
附：，，
【答案】(1)从A地抽取6人，从B地抽取7人.
(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.
(3)分布列见解析，期望为2.
【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.
（2）补全列联表，再根据独立性检验求解即可.
（3）由题意知，进而根据二项分布求解即可.
【详解】（1）由题意得，解得，
所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）．
（2）完成表格如下：
零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.
，
所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．
（3）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，
从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
．
所以X的分布列为
方法1：．
方法2：.
13．（2023春·高二课时练习）2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFA Wrld Gup Qatar 2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行，第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛．为了解某校学生对足球运动的兴趣，随机从该校学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对足球运动没兴趣的占女生人数的，男生有5人表示对足球运动没有兴趣．
(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”？
(2)从样本中对足球没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽取出6名学生，若从这6人中随机抽取4人，求抽取到3女1男的概率．
，
【答案】(1)填表见解析；有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”
(2)
【分析】（1）根据题意完成列联表，结合公式求，分析理解；（2）根据题意可得抽取男生2人，女生4人，结合古典概型运算求解.
【详解】（1）根据所给数据完成列联表：
所以有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”
（2）按照分层抽样的方法可得：抽取男生2人，设为，女生4人，设为，
从这6人中随机抽取4人，未被抽取的2人有：
，
共有15种不同的基本结果．
其中抽取到3女1男的情况，即未被抽取的2人是1男1女，则有：，共有8种不同的基本结果，
所以抽取到3女1男的概率为．
14．（2023春·高二课时练习）2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．
(1)求n的值．
(2)现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取10人，再从这10人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名女生被第二次调查的概率．
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附表：
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由已知，完成列联表，并将数值代入公式可得的观测值，根据已知查表得出，即可列式解出正整数n的值；
（2）根据分层抽样得出抽取的男女人数，即可利用技术原理结合古典概型和对立事件的概率公式求出答案；
（3）分析可得，利用二项分布的分布列计算与期望公式得出答案.
【详解】（1）由已知，完成列联表，
将数值代入公式可得的观测值：，
所以，解得，因为，所以．
（2）由（1）知，了解中国航天事业的学生共人，采用分层抽样抽取10人，抽样比为，
故抽取男生人，抽取女生人，
从这10人中轴取3人，至少有2名女生被第二次调查的概率为．
（3）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，了解中国航天事业的概率为，则，
，，
，，
，
则X的分布列为
．
15．（2023春·高二课时练习）2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．
(1)完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．
附：，其中．
(2)根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)列联表见解析，有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；
(2)分布列见解析，数学期望.
【分析】(1)由频率分布直方图求样本中收入超过1.5万元的户数，由分层抽样性质确定平原地区家庭与山区家庭的户数，根据数据关系完成列联表，由公式计算，与临界值比较大小，确定是否接受假设；
(2)确定随机变量的可能取值，求取各值的概率，由此可得其分布列，判断为二项分布，利用二项分布概率公式求其期望.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，收入超过1.5万元的家庭的频率为，
所以收入超过1.5万元的家庭的户数有户，
又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为，抽取了100户，
故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，
又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，
所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，
故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：
则
，
所以有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．
（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，
X的可能取值为0，1，2，3，4，
所以，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
因为X服从二项分布，
所以X的数学期望．
16．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元,现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表:
二级滤芯更换频数分布表：
以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；
（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；
（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）=23，=5.
【分析】（1）根据图表，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为，则一级个滤芯，二级个滤芯，分别算出相应的概率，一次更换为2个一级滤芯和1个二级滤芯，从而得到概率.
（2）由柱状图，一级过滤器需要更换的滤芯个数，分别得到概率，然后得到可能取的值，算出每种情况的概率，写出分布列及数学期望.
（3）因为且，则可分为两类，即和，分别计算他们的数学期望，然后进行比较，选取较小的一组.
【详解】（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换个滤芯，二级过滤器需要更换个滤芯．设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为”为事件.
因为一个一级过滤器需要更换个滤芯的概率为，二级过滤器需要更换个滤芯的概率为，
所以.
（2）由柱状图可知，
一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为，，的概率分别为，，.
由题意，可能的取值为，，，，，并且
，
，
，
，
.
所以的分布列为
.
（3）【解法一】因为，，若，，
则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为；
若，，
则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
.
故，的值分别为，.
【解法二】因为，，若，，
设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：元），则
.
设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：元），则
，.
所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
.
若，，
设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：元），则
.
设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：元），则
.
所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
.
故，的值分别为，.
【点睛】本题题目较长，信息量比较大，需要对条件中的信息重新整理分类，考查了直方图和表格求概率，独立重复试验的概率和分布列，以及利用数学期望解决实际问题.属于中档题.
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
性别
甲专业报考人数
乙专业报考人数
性别
甲专业录取率
乙专业录取率
男
100
400
男
女
300
100
女
晚上
白天
总计
男婴
45
A
B
女婴
E
35
C
总计
98
D
180
总计
35
a
70
15
15
30
总计
50
b
100
经常打篮球
不经常打篮球
合计
男生
4
20
女生
8
20
合计
40
经常打篮球
不经常打篮球
合计
男生
4
20
女生
8
20
合计
40
喜欢户外运动
不喜欢户外运动
总计
男性
a
5
b
女性
10
c
d
总计
e
f
50
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
选考类别
选择科目
思想政治
地理
化学
生物
物理类
80
100
145
115
历史类
50
45
30
35
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
选择生物
不选择生物
合计
物理类
115
105
220
历史类
35
45
80
合计
150
150
300
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
支持
不支持
总计
男生
女生
总计
PM2.5
64
16
10
10
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
PM2.5
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
0.050
0.010
3.841
6.635
喜欢
不喜欢
合计
男生
女生
合计
满意
不满意
男
20
20
女
40
10
0.100
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
药物
疾病
合计
未患病
患病
服用
a
50-a
50
未服用
80-a
a-30
50
合计
80
20
100
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
成绩上升
成绩没有上升
合计
有家长督促的学生
50
80
没有家长督促的学生
60
没有家长督促的学生
200
成绩上升
成绩没有上升
合计
有家长督促的学生
50
30
80
没有家长督促的学生
60
60
120
没有家长督促的学生
110
90
200
成绩
性别
优秀
非优秀
总计
男生
80
女生
100
总计
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
成绩
性别
优秀
非优秀
总计
男生
20
80
100
女生
50
50
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总计
70
130
200
月份x
6
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旅游收入y
10
12
11
12
20
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总计
男
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女
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0.001
6.635
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总计
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非常喜欢
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A
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A
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65
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X
0
1
2
3
P
有兴趣
没兴趣
合计
男
60
女
合计
有兴趣
没兴趣
合计
男
55
5
60
女
30
10
40
合计
85
15
100
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
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男生
女生
合计
了解
不了解
合计
X
0
1
2
3
4
5
P
超过1.5万元
不超过1.5万元
总计
平原地区
山区
10
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
超过1.5万元
不超过1.5万元
总计
平原地区
40
20
60
山区
10
30
40
总计
50
50
100
X
0
1
2
3
4
P
二级滤芯更换的个数
5
6
频数
60
40