初中数学人教版（2024）八年级下册17.1 勾股定理同步达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册17.1 勾股定理同步达标检测题，共20页。

A．B．C．D．
2．如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ）
A．8B．C．D．1
3．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若AB＝17，AH＝8，则正方形EFGH的边长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2+b2＝25，则黄实为（ ）
A．36B．25C．16D．9
5．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．25B．49C．81D．100
6．如图，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为（﹣5，0），P点的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为（ ）
A．（﹣7，﹣1）B．（7，﹣1）C．D．
7．在△ABC中，若∠A＝90°，AB＝2，BC＝4，则AC的长为（ ）
A．3B．C．D．
8．意大利著名画家达•芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若GC＝2，∠ADE＝30°，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ）
A．48B．64C．96D．112
二．填空题（共5小题）
11．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 cm2．
12．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为 ．
13．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高是 ．
14．如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点P表示的实数为 ．
15．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形ABCD、DEFG、CGHI均为正方形．若正方形ABCD、CGHI的面积分别为S1、S2，则AF＝ ．（结果用含有S1和S2的代数式表示）
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点．
（1）求证：∠DCE＝∠ADF；
（2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长．
17．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）请利用图①证明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长．
19．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．
实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
20．将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看．
（1）大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ，从而可得到 ．
（2）若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？
《17.1 勾股定理》同步练习-2024-2025学年第二学期人教版数学八年级下册
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由图形可知，阴影正方形的面积等于大正方形的减去周围四个小正方形的面积，
所以大正方形的面积为：4×416﹣6＝10，
故阴影正方形的边长为．
故选：D．
2．如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ）
A．8B．C．D．1
【解答】解：如图，连接AC，
∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，
∴AB＝2，AC＝1，AD＝2，DE＝1，
∴BC＝EF，
∴按此手势解锁一次的路径长为：AB+BC+CD+DE+EF＝21+14+2．
故选：B．
3．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若AB＝17，AH＝8，则正方形EFGH的边长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：由题意得，AD＝AB＝17，AH＝DE＝8，∠AHD＝90°，
∴DH15，
∴HE＝DH﹣DE＝15﹣8＝7，
∴正方形EFGH的边长是7，
故选：C．
4．赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2+b2＝25，则黄实为（ ）
A．36B．25C．16D．9
【解答】解：设大正方形的边长为c，则大正方形的面积为c2，
根据勾股定理的a2+b2＝c2，
∵a2+b2＝25，
∴c2＝25，
∴黄实的面积为c2﹣4ab＝25﹣48＝9．
故选：D．
5．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．25B．49C．81D．100
【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，
故选：D．
6．如图，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为（﹣5，0），P点的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为（ ）
A．（﹣7，﹣1）B．（7，﹣1）C．D．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣5，0），
∴OA＝5，
过P作PB⊥x轴于B，
设P（m，﹣1），
∴OB＝﹣m，PB＝1，
∵OP＝OA＝5，
∴OB7，
∴P（﹣7，﹣1），
故选：A．
7．在△ABC中，若∠A＝90°，AB＝2，BC＝4，则AC的长为（ ）
A．3B．C．D．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴AC2．
故选：D．
8．意大利著名画家达•芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由图可得：S2＝S1，，
故选：C．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若GC＝2，∠ADE＝30°，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得，AE＝CG＝2，∠AED＝90°，AE＝CG＝DH＝2，
∵∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝4，
∴DE2，
∴HE＝DE﹣DH＝22，
∴正方形EFGH的面积为HE2，
故选：A．
10．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ）
A．48B．64C．96D．112
【解答】解：由题意可得，
图2中阴影部分的直角三角形的两条直角边为6和4，中间小正方形的边长为4，
∴S6×4×4+4×4＝48+16＝64，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 2π cm2．
【解答】解：∵以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC2＝26﹣10＝16，
∴以另一边AC为直径向外作半圆的面积为2π（cm2），
故答案为：2π．
12．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为 48 ．
【解答】解：设BD＝x，
∵AC＝6，CD＝2，
∴AB＝x+（6﹣2）＝4+x，BC＝x+2，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴（4+x）2＝（x+2）2+62，
∴x＝6，
∴BC＝8，
∴长方形的面积＝6×8＝48，
故答案为：48．
13．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高是 ．
【解答】解：如图，取格点D，连接BD交AC于格点E，则BE即为AC边上的高，
∴BE，
故答案为：．
14．如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点P表示的实数为 ．
【解答】解：如图所示，由图形可知：∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，由勾股定理得：，
∴AB＝BP，
∵点B表示的数为2，
∴点P表示的数为：，
故答案为：．
15．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形ABCD、DEFG、CGHI均为正方形．若正方形ABCD、CGHI的面积分别为S1、S2，则AF＝ 2 ．（结果用含有S1和S2的代数式表示）
【解答】解：由题意得，EF＝DE＝DG，
∵AE＝CG，
∴AF＝EF﹣AE2，
故答案为：2．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点．
（1）求证：∠DCE＝∠ADF；
（2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长．
【解答】（1）证明：连结DE，如图，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴E是AB边上的中点，
∴AB＝2DE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝DE，
∵点F是CE中点，
∴DF⊥EC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDC+∠ADF＝90°，
∴∠DCE＝∠ADF；
（2）解：∵∠BAC＝90°，
在直角三角形ACE中，由勾股定理得：，
∵点F是CE中点，
∴CF＝5，
∵∠ADB＝90°，E是AB边上的中点，
∴DE＝AE＝6，
∴CD＝DE＝6，
∵∠DFC＝90°，
在直角三角形CDF中，由勾股定理得：．
17．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）请利用图①证明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积．
【解答】（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝80÷4＝20，
设AH＝BC＝x，则AB＝20﹣x，OH＝OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OH2+OG2＝GH2，
即52+（5+x）2＝（20﹣x）2，
解得：x＝7，
∴S5×12×4＝120．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长．
【解答】（1）证明：连结EC．
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∵点E在AD上，
∴BE＝EC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝EC，
∴AE＝BE．
（2）由（1）得，，
∵BC＝6，
∴BD＝3，
∴AD4，
设AE＝BE＝x，
在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
∴，
即，
∴△ABE的周长为：AB+BE+AE＝5．
19．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．
实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°，
∴AB10（dm），
∴AB+AC＝10+8＝18（dm），
答：绳子的总长度为18dm；
（2）如图，
根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm，
∴15（dm），
∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm），
答：滑块B向左滑动的距离为9dm．
20．将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看．
（1）大正方形的面积可以表示为 （a+b）2 ，又可以表示为 4ab+c2 ，从而可得到 a2+b2＝c2 ．
（2）若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？
【解答】解：（1）由图形可知，大正方形的边长为a+b，所以面积为（a+b）2，还可以表示为四个全等的直角三角形的面积与一个边长是c的正方形的面积和：4ab+c2，
所以（a+b）2＝4ab+c2，
故答案为：（a+b）2；4ab+c2）；a2+b2＝c2；
（2）能，理由如下：图2中大正方形的面积为（a+b）2，两个小正方形的面积之和为（a+b）2﹣4ab＝a2+b2，图1中小正方形的面积为（a+b）2﹣4ab＝a2+b2＝c2，
所以图1中两个小正方形的面积之和等于图2中小正方形的面积，用关系式可表示为a2+b2＝c2．
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
D
D
A
D
C
A
B