九年级上学期期中数学试题（人教版） (5)

这是一份九年级上学期期中数学试题（人教版） (5)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（总分120分，120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1. 将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项判定即可．
【详解】解：根据中心对称图形定义，可知符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形定义，能根据定义判定图形是否是中心对称图形是解决问题的关键．
2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，根据的顶点坐标为即可求解，掌握二次函数图象顶点式的特点是解题的关键．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为，
故选：B ．
3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，且，求出的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：由题意知：，，
解得：且，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，一元二次方程的二次项系数不为0，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：时，方程无实数根，时，方程有两个不相等的实数根，时，方程有两个相等的实数根．
4. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50D. 30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
5. 如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′O B′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角的度数是（ ）

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出AO=A′O，得出等边三角形AOA′，根据等边三角形的性质推出即可．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△A′OB′可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，点A′在AB上，
∴AO=A′O，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠AOA′=60°，
即旋转角α的度数是60°，
故选：C
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△AOA′是等边三角形，题目比较典型，难度不大．
6. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
7. 已知 是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案．
【详解】解：根据题意得，，
则＝＝．
故选：D．
8. 如图，AB 是半圆O的直径，C 是半圆O上异于A，B 的一点，D 为 的中点，延长 交 AB 的延长线于点 E，若 ，则 的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接CB，根据弧与角关系得出，再由圆周角定理得出，结合图形，利用各角之间的关系求解即可．
【详解】解：连接CB，

∵D 为 中点，
∴，
∵AB 是半圆O直径，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：D．
【点睛】题目主要考场圆与三角形综合问题，包括圆周角及弧、弦、角的关系，三角形外角的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
9. 圆O的半径为6cm，P是圆O内一点，OP=2cm，那么过点P的最短弦的长等于（ ）
A. 4cmB. 8cmC. 6cmD. 12cm
【答案】B
【解析】
【分析】如图，过点P最短弦是垂直于OP的弦CD，根据勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】如图，过点P的最短弦是垂直于OP的弦CD，
连接OC．根据勾股定理，得cm,
由垂径定理，得CD＝2CP=cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解此题的关键首先要能够正确作出过点P的最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理解答．
10. 如图二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C且则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是（ ）

A. ①②④B. ①③C. ②③D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴、与x轴、y轴的交点坐标，以及二次函数与一元二次方程的关系，逐个进行判断，得出答案．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
抛物线对称轴，
，
，故①正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，
，
，
，故②不正确；
，
，代入得：，即：，因此③正确；
设，，
、是方程的两个根，
，
又，，
，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11. 已知点和点关于原点对称，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得出a和b的值，即可求解．
【详解】解：∵点和点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数．
12. 一元二次方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
13. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，B、D、C在一条直线上．若，则的大小为__________．
【答案】##40
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，，从而得到，再由三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转到的位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
14. 如图，正六边形内接于，的半径为1，则边心距的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，根据正多边形的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
六边形是内接正六边形，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，掌握正多边形的性质是解题的关键．
15. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象平移，掌握图形平移规律是解题的关键，根据函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”，由此即可求解．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位得，，再向上平移1个单位得，，
故答案为： ．
16. 一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共______人.
【答案】9
【解析】
【分析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）=72，把相关数值代入计算即可．
【详解】设这小组有x人．由题意得：
x（x﹣1）=72
解得：x1=9，x2=﹣8（不合题意，舍去）．
即这个小组有9人．
故答案为9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解答本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．
17. 若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，共18分）
18. 解方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握求根公式解一元二次方程的解方法是解题的关键．
（1）运用求根公式解一元二次方程即可求解；
（2）运用求根公式解一元二次方程即可求解；
【小问1详解】
解：
∴，
，
∴，
∴方程的解为：；
【小问2详解】
解：，
∴，
，
∴，
∴方程的解为：．
19. 已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根．
（1）求 k 的值；
（2）求此方程的实数根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值；
（2）利用配方法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴，
∴；
【小问2详解】
当时，方程为即，
解得．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程 的解与的关系是解决问题的关键．
20. 已知二次函数．
（1）将二次函数化成顶点式；
（2）求图像与轴，轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）与轴交于点，与轴交于点，
【解析】
【分析】（1）用配方法化成顶点式即可；
（2）当时，求出，当时，求出，，即可得二次函数与坐标轴的交点坐标．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
当时，，
与轴交于点，
当时，，
，．
与轴交于点，．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式以及与坐标轴交点坐标，掌握配方法是解决此题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，共27分）
21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34本；当销售单价为25元时，销售量为30本．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）定为元时，最大利润是元
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据所获得总利润每本利润销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
【小问1详解】
解：设与的关系式为，
把与代入，
得：，
解得：，
∴y与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意可得：
，
此时当时，最大，
即当时，（元），
答：该纪念册销售单价定为元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
22. 如图，要利用一面墙（墙长为60米），用100米的围栏建菜园（围栏无剩余），基本结构为三个大小相同的矩形．

（1）如果围成的总面积为400平方米，求菜园的边、的长各为多少米？
（2）保持菜园的基本结构，菜园总面积是否可以达到840平方米？请说明理由．
【答案】（1）长为20米，长为20米
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设米，则米，由矩形面积公式列出关于x的方程，解之可得；
（2）设米时，根据菜园的总面积为840平方米，列方程，即，再根据，得出方程无解，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设米，则米，
∵，
∴
由题意知：，
即，
解得：，（舍）
∴米，米
答：菜园的边长为20米，长为20米．
【小问2详解】
解：不能．
理由：设米时，菜园的总面积为840平方米，
由题意得，即
∵，，，
∴，
∴方程无实数根
∴菜园的总面积不能达到840平方米
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
23. 某口罩生产厂生产的口罩7月份平均日产量为30000个，7月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从8月份起扩大产量，9月份平均日产量达到36300个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计10月份平均日产量为多少？
【答案】（1）口罩日产量的月平均增长率为
（2）39930个
【解析】
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为，根据9月份的平均日产量7月份的平均日产量（口罩日产量的月平均增长率）2建立方程，解方程即可得；
（2）根据10月份平均日产量9月份的平均日产量（口罩日产量的月平均增长率）即可得．
【小问1详解】
解：设口罩日产量的月平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
答：口罩日产量的月平均增长率为．
【小问2详解】
解：10月份平均日产量为（个），
答：按照这个增长率，预计10月份平均日产量为39930个．
【点睛】本题考查了一元二次方程实际应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，共24分）
24. 把两块含45°角的直角三角板按图1所示的方式放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F.
（1）如图1，求证：BE=AD，AF⊥BE
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转（如图2），连结BE、AD，AD分别交BE、BC于点F、G，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由SAS判定△ECB≌△DCA，根据全等三角形的性质可知：对应边相等AD=BE、对应角相等∠BEC=∠ADC；加上已知条件来求∠AFE=90°即可
（2）成立，利用已知条件可证明△BCE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质以及已知条件证明即可证明BE=AD，AF⊥BE．
试题解析：（1）证明：在Rt△BCE和Rt△ACD中，
，
∴ Rt△BCE≌Rt△ACD（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC=∠CAD ，
在Rt△ACD中，
∵∠CDA+∠CAD=90°，∠BDF=∠CDA，
∴∠BDF+∠DBF=90°，
即：AF⊥BE；
（2）成立，理由如下：
在△BCE和△ACD中，
∵∠BCE=∠ACD=90°
∴∠DCE+∠DCB=∠ACB+∠BCD
∴∠BCE=∠ACD
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC=∠CAD，
在Rt△ACG中，
∵∠CGA+∠CAG=90°，∠BGF=∠CGA.
∴∠BGF+∠GBF=90°，
即：AF⊥BE.
点睛：本题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定和性质,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.
25. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点，连接．
（1）求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；
（2）求证：为直角三角形；
（3）在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标．
【答案】（1），；
（2）见解析 （3）点P的坐标为
【解析】
【分析】（1）先由直线与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入列方程组求出a、c的值，即可求解；
（2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形；
（3）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，当点P与点E重合时，的值最小，求出点E的坐标即可．
【小问1详解】
解：直线，
当时，则，解得；
当时，，
∴，．
∵抛物线经过点和点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
证明：已知抛物线，
当时，则，
解得，，
∴．
∵，，
∴，，，
∴，即．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
【小问3详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为．
如图，设抛物线的对称轴：与直线交于点E，
点P是直线上的点，连接．
∵垂直平分，
∴，，
∴．
∵为定值，
∴当的值最小时，的周长最小．
∵，
∴当点P与点E重合时，，
∴此时最小．
∵直线，当时，，
∴，
∴当的周长最小时，点P的坐标为．