九年级上学期期中数学试题（人教版） (7)

这是一份九年级上学期期中数学试题（人教版） (7)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．
一元二次方程必须满足以下条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．同时满足以上四个条件的方程就是一元二次方程．
【详解】解：、方程可以转化为，是一元二次方程的一般形式，故本选项正确；
B、不是整式方程，故本选项错误；
C、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、不是等式，故本选项错误．
故选：．
2. 用配方法解方程时，原方程变形正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，方程移项，配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：方程变形得：，
配方得：，即，
故选：A．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2）B. （﹣1，﹣2）C. （1，﹣2）D. （1，2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
4. 将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减即可解答．
【详解】解：将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，
得到的抛物线是，
故选：B．
【点睛】本题考查图象的平移，熟练掌握图象的平移规律是解答的关键．
5. 抛物线过，，三点，则大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小；
对二次函数，对称轴，开口向上，在对称轴两侧时，三点横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小．
【详解】在二次函数，对称轴，，开口向上，
在图象上的三点，，，点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近，
故选：D．
6. 对于的图象下列叙述正确的是（）
A. 顶点坐标为B. 对称轴为
C. 当时y随x增大而增大D. 当时y随x增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】由二次函数可知，开口向上．对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，故A、B、D错误，C正确；
故选：C．
7. 某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同45份．如果设有x家商家参加了交易会，可列出的方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．根据所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，列出方程即可．
【详解】解：设共有x家商家参加了交易会，
由题意，得：；
故选：D．
8. 若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的解的定义，把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程求得的值；注意二次项系数不为0．
【详解】∵一元二次方程的一个解为0，
∴且，
解得．
故选：C．
9. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系判断即可．
【详解】解：，
，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
故选：B．
10. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；
④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确结论有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
根据抛物线开口方向得到，根据抛物线对称轴为直线得到，则，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到，所以；由图像和二次函数性质可判断②④⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
，则，所以③错误；
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
，
，所以①正确；
当时，，
所以②正确；
当时，
，
∴y的值随x值的增大而增大；所以④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，
∴，所以⑤正确，
正确的说法有4个，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 函数中，自变量的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12. 一元二次方程的根是_______．
【答案】，##，
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
，
或，
所以，．
故答案：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13. 已知m为一元二次方程的一个根，则代数式的值为______
【答案】2025
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
，
∴，
∴．
故答案为：2025．
14. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】将原式去括号，再进行因式分解得到，由于，可得，从而得到结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程；将原式正确因式分解，得到是解题的关键．
15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
【答案】2
【解析】
【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【详解】根据题意，有，
当时，有最大值．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．
三、解答题（一）（本大题共3个小题，16题每小题4分，17，18题每小题6分，共24分）
16. 解方程
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键；
（1）因式分解法求解可得；
（2）公式法求解可得；
（3）因式分解法求解可得；
【小问1详解】
因式分解，得，
于是得或，
即；
【小问2详解】
解：，
，
故方程有两个不相等的实数根，
故，
即；
【小问3详解】
方程化，
因式分解，得，
于是得或，
即
17. 已知关于x的方程的一个根为，请求出k的值及另一根．
【答案】；另一根为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：满足一元二次方程的未知数的值叫一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义和根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：把代入关于的方程得，
解得．
设方程的另一根为，则，
所以．
故答案为：；另一根为．
18. 已知抛物线顶点，且经过点，求二次函数解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求抛物线的解析式．
先设抛物线的解析式为：，然后把点代入，得关于的方程，求出即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为：，
把点代入得：
即
解得
∴抛物线解析式为：．
四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
19. 海战博物馆在2021年共接待游客达10万人次，预计在2023年将接待游客达12.1万人次．
（1）求海战博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率．
（2）海战博物馆销售一款水果茶，每杯成本价为6元，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，设每杯降价a元，为了每天利润达到6300元，又能让顾客获得最大优惠，求每杯水果茶的定价．
【答案】19. 博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是
20. 当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程；
（1）设博物馆2021至2023年期间接待游客人次的平均增长率是，可得：，即可解得博物馆2021至2023年期间接待游客人次的平均增长率是；
（2）设每杯降价为a元，可得：，解得或，又让顾客获得最大优惠，即知当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额．
【小问1详解】
解：设博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是，
根据题意得：，解得，（舍去），
答：博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是；
【小问2详解】
设每杯降价为元，
根据题意得：
解得或，
∵让顾客获得最大优惠，
∴取5，
定价为：元，
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额．
20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求解即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
即，
解得；
【小问2详解】
解：根据题意，得，，
∵，
∴，
解得，(舍去)．
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的概念，根的判别式，根与系数关系等知识，掌握以上知识是解题的关键．
21. 如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．

（1）求抛物线的对称轴及k值；
（2）求点A和点B的坐标；
（3）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标．
【答案】（1）对称轴为直线；
（2）点坐标为点坐标为
（3）点坐标为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，将点代入解析式，待定系数法即可求解；
（2）令，求出x的值即可求解；
（3）连接，交对称轴于点，根据两点之间，线段最短可得点即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解；
【小问1详解】
抛物线的对称轴为直线，
把代入，
得，
∴；
【小问2详解】
对于，令，则，
解得，
∴点坐标为点坐标为；
【小问3详解】
作点B关于抛物线的对称轴的对称点点A，连接，交对称轴于点，如图1，

∵两点之间，线段最短，
∴的最小值为的长，则点即为所求；
设直线的关系式为：，把代入
得：
解得，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴点坐标为
五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
22. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当花圃的面积为时，长为多少米？
（3）当长为多少米时，所围成的花團面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）
（2）当长为时，面积为
（3）当长为时，花圃面积最大，最大面积为
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件；
（1）根据题意可以得到与的函数关系式；
（2）根据（1）中的关系可以求得的长．
（3）根据（1）中的函数关系式化为顶点式，注意的取值范围；
【小问1详解】
解：根据题意可得：，
即与的函数关系式是；
【小问2详解】
令，
则．
解得，，
由题意，得，
解得，．
即当长为时，面积为．
【小问3详解】
由题意，得
∴当时，有最大值，的最大值为200，即当长为时，花圃面积最大，最大面积为．
23. 如图所示，抛物线与x轴相交于与y轴相交于点，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接．求面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点P在y轴上，为等腰三角形，请直接写出P点的坐标。
【答案】（1），
（2）面积的最大值为，
（3）存在，点的坐标为或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论；
（1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可；
（2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得；
（3）设点坐标为，，，分为①当时，②当时，③当时，分别求解即可；
【小问1详解】
解：把点和点，点
代入抛物线，
则，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
故；
【小问2详解】
由（1）知抛物线的顶点为，
设直线的解析式为令，将代入，
得，解得，
∴直线的解析式为：，
设点，则
∴
∴面积，
∵，
∴当时，面积的最大值为．
此时；
【小问3详解】
设点坐标为，
∵，
∴，，
①当时，即，
∴，
解得(不合题意，舍去)，
∴点的坐标为；
②当时，即，
∴，
解得(不合题意，舍去)，
∴点的坐标为或；
③当时，即，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上，存在，点的坐标为或或或．