九年级上学期期中数学试题（人教版） (17)

这是一份九年级上学期期中数学试题（人教版） (17)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
2. 将一元二次方程化为一般形式后，其中一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 1，B. 1，C. ，0D. ，0
【答案】C
【解析】
【分析】将方程化为一般形式后即可得到．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式为：
故一次项系数为、常数项为0；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程化为一般形式，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3. 用配方法解方程，配方正确的是( )
A. B. (C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程中的配方法，熟练掌握解一元二次方程中的配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：∵，
移项得：，
配方法，方程左右同加得：，
∴，
故选：B．
4. 已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A. y1＜y3＜y2B. y3＜y1＜y2C. y1＜y2＜y3D. y2＜y1＜y3
【答案】B
【解析】
【分析】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
【详解】∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是，而，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，要比较二次函数值的大小，关键是掌握二次函数的性质．
5. 关于二次函数，下列说法中不正确的是（ ）
A. 图象开口向下B. 图象的对称轴是
C. 当时，y随x的增大而增大D. 函数的最大值为4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：二次函数，
该函数的图象开口向下，故选项A的说法正确，不符合题意；
对称轴是直线，故选项B中的说法正确，不符合题意；
当时，随的增大而增小，故选项C中的说法错误，符合题意；
函数图象的顶点坐标为，则函数的最大值为，故选项D中的说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6. 如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A. 为等腰三角形B. 与相互垂直平分
C. 点A、B都在以为直径的圆上D. 为的边上的中线
【答案】B
【解析】
【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．
7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线是，即．
故选：D
8. 如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连结．若点D与圆心O不重合，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠的性质，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．
9. 如图，在一块长，宽的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：C．
10. 在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A. 1＜x＜1.1B. 1.1＜x＜1.2C. 1.2＜x＜1.3D. 1.3＜x＜1.4
【答案】B
【解析】
【分析】根据表格中自变量与函数的值的变化情况得出当y=0时相应的自变量的取值范围即可．
【详解】由表格中数据可知，当x＝1.1时，y＝－0.49.
当x＝1.2时，y＝0.04
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2
故选B
【点睛】本题考查了用图像法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是_____．
【答案】（4，﹣3）
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【详解】点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3）．
故答案为（4，﹣3）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
12. 关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义得到2a-1=2，由此求得a的值．
【详解】解：依题意得：2a-1=2．
解得a=．
故答案是：．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
13. 若是方程的一个根，则代数式的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】将n代入方程得，代入代数式解题．
【详解】将n代入方程得，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查求代数式的值，整体代入是解题的关键．
14. 如图，为的直径，点E是延长线上的一点，交于点D、C，，，则的度数为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接,则,设,利用三角形的外角和圆内接四边形的性质解题即可．
【详解】如图所示：

连接,
∵是的直径,
∴,
设,
∵
∴
∵四边形内接于,
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的性质和三角形的外角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15. 如图，是等边三角形，，在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，则的周长最小值是_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据旋转可得，，进而得出为等边三角形，则，根据可证，可得，而的周长为，当时，最小，的周长最小，然后求出的最小值即可解答．
【详解】解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴当最小时，的周长最小，
当，时，最小，
过作于，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的周长最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，将求的周长最小值转化求的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. 用适当的方法解下列方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出的值，再代入公式求出即可．
【小问1详解】
，
，
或，
，；
【小问2详解】
，
△
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）请画出将绕原点O旋转180后得到的，并写出点B1的坐标；
（2）请画出将绕原点O顺时针旋转90后得到，并写出点B2的坐标．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】作出中心对称图形，写出对应点的坐标；
作出旋转后的图形，写出对应点的坐标．
【小问1详解】
如图所示，即为所求，
点的坐标为；
【小问2详解】
如图所示，即为所求，
点的坐标为
【点睛】本题考查旋转，解题时注意旋转方向和旋转角度．
18. 近年来，新型冠状病毒肆虐，给人们的生活带来许多不便，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品其中一种当地特产在网上试销售，其进价为每千克2元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）网店每天有2240元的人员及营销成本，该网店销售的特产单价控制在什么范围才能不亏本？
【答案】（1）y＝
（2）单价为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元
（3）
【解析】
【分析】(1)当时，；当时，设，用待定系数法求解即可；
(2)设每天的销售利润为w元，分别列出当时和当时的函数关系式并求得相应的最大值，然后取其中较大者即可
(3)根据题意，令，可以得到相应的方程，再利用二次函数的增减性确定解集即可．
【小问1详解】
当时，；
当时，设，把代入得：
，
解得，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为：
y＝；
【小问2详解】
设每天的销售利润为w元，
当时，
，
当时，（元）；
当时，
，
因为，所以当时，w随x增大而增大，
故当时，w有最大值，
（元）．
综上所述，销售单价x为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元．
【小问3详解】
解：当时，，网点亏本；
当时，令，则，
解得，
由二次函数增减性可得，当，时网点不亏本．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，会数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19. 如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出人，建造时，在上用其它材料做了宽为2米的两扇小门，在上用其它材料做了宽为1米的一扇小门．
（1）设花圃的一边长为米，请你用含的代数式表示另一边的长为___________米；
（2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽．
【答案】（1）
（2）长为9米，宽为6米
【解析】
【分析】（1）根据材料总长及小门即可合理表示长宽；
（2）根据长方形面积公式代入求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，
长为米的篱笆做3宽1长的墙，其中上用其它材料做了宽为2米两扇小门，上用其它材料做了宽为1米的一扇小门，
∴总共长宽为，
∴的长为米，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由（1）得，
长为米，宽为x米，
∴，
即，
解得，，
当时，不合题意，舍去，
当时，，
答：此时花圃的长为9米，宽为6米．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用、列代数式，用未知数表示相应的线段长度是解题关键．
20. 如图，已知平行四边形的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作，分别交、的延长线于点D、E，交半圆O于点F，连接．
（1）判断直线与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积．
【答案】（1）是半圆O的切线，理由见解析；
（2）①见解析；②阴影部分的面积为．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及证明即可；
（2）①只要证明是等边三角形即可解决问题；
②求出，阴影部分的面积即可求解．
【小问1详解】
解：结论：是半圆O的切线．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆O的半径，
∴是半圆O的切线；
【小问2详解】
①证明：连接，
∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形菱形，
∴，
∴，都是等边三角形，
∴，
∵，
∴都是等边三角形，
∴；
②解：在中，半圆O的半径为12，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形面积公式，解题的关键是证明三角形是等边三角形以及．
21. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植雪花梨获得大丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为5千元/吨时，每天可售出15吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本3千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于5千元，不高于7千元，请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少千元/吨时，每天所获利润最大？最大利润是多少千元？
【答案】（1），；
（2）批发价定为7千元/吨，最大利润44千元．
【解析】
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量批发价成本价，列出销售利润w（千元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【小问1详解】
解：根据题意可得，，
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式为，
自变量x的取值范围是；
【小问2详解】
解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得
，
∵，
∴当时，w取最大值；时，w随x的增大而增大；
∴，
∴当时，w有最大值，最大值为44，
∴将批发价定为7千元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是44千元．
【点睛】本题考查二次函数应用，以及利用二次函数的性质求最大值，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22. 如图，二次函数的图象经过点，，，直线与轴、轴交于点D，E．
（1）求该二次函数的解析式
（2）点M为该二次函数图象上一动点．
①若点M在图象上的B，C两点之间，求的面积的最大值．
②若，求点M的坐标．
【答案】（1）该二次函数的解析式是；
（2）①的面积的最大值为；②点M的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求这个二次函数的解析式；
（2）①如图1，作辅助线构建，根据面积差可得的面积：，表示MN的长即可，由二次函数图象的性质与这一范围可得结论；
②由图形可知：是钝角，当M在第三和第四象限时，才可能符合条件，所以分两种情况：
当点M在第四象限时，延长交x轴于点F，如图2，根据列方程可得M的坐标；
当点M在第三象限时，如图3，可得轴，即M的纵坐标为，代入抛物线的解析式可得M的坐标．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点，，
设抛物线的交点式为：，
将代入得，
∴，
∴该二次函数的解析式是；
【小问2详解】
解：①如图1，过M作轴，交直线于N，交x轴于H，
当时，，解得：，
∴，
则，
设点，则，
∴，
当时，的面积的最大值为；
②当点M在第四象限时，延长交x轴于点F，如图2，
∵，，
又∵，
∴，
∴，
设点F，则，，
∴，解得，即，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
则，
解得：，
∵点M在第四象限，所以，
∴点；
当点M在第三象限时，如图3，
∵，
∴轴，
设，
将代入二次函数解析式中，得，，
∵M在第三象限，
∴（舍去），
∴点，
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式；根据勾股定理及其逆定理列方程是解题的关键，本题还涉及到分类讨论的思想，有难度，注意利用数形结合，属于中考压轴题．
23. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： ．
②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．
【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，证明详见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论;
（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
详解】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（2）成立，
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，CF=BD
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AB=4，AH=BC=2，
∴CD=BC=1，CH=BC=2，
∴DH=3，
由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，
，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG=．
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
1
0.49
0.04
0.59
1.16
…