2023-2024学年安徽省马鞍山七中八年级（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省马鞍山七中八年级（下）期末数学试卷 （含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．，3，5D．28，45，53
4．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
5．如图，△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，那么下列判断中错误的是（ ）
A．四边形ADEF是平行四边形．
B．如果AB＝AC，那么四边形ADEF是菱形
C．如果∠A＝90°，那么四边形ADEF是矩形
D．如果△ABC是等腰直角三角形，那么四边形ADEF是正方形
6．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前价格的．这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降百分之几？（ ）
A．25%B．37.5%C．50%D．75%
7．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（ ）
A．34B．30C．30或34D．30或36
8．苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBF﹣∠COD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE．则线段CE的长等于（ ）
A．B．C．D．4
10．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处．延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG＝60°；④DE＝；⑤S△AEF＝S△DFG．其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．若A（x，y）在第二象限，则＝ ．
13．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
14．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 ．
15．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是4，方差为3，另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数与方差的和为 ．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，且α+2β＝5，则m的值为 ．
17．将6张宽为1的小长方形按如图摆放在▱ABCD中，则▱ABCD的面积为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AC＝10，∠DAC＝30°，P是边AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6题，满分0分）．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．计算：．
20．已知关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当m取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
21．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形；
（2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
22．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为 人．
23．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 元．
24．已知：四边形ABCD是正方形，AB＝20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
（1）如图1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度数；
（2）如图2，若∠EDF＝45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；
（3）如图3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于点O，且∠EOF＝45°，求EH的长度．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2．在下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案．
解：∵，
∴A选项不正确，
∵，
∴B选项正确，
∵，
∴C选项不正确，
∵，
∴D选项不正确，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式性质是关键．
3．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．，3，5D．28，45，53
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析判断即可．
解：∵12+22＝5≠32＝9，
∴A选项不能构成直角三角形，不符合题意；
∵22+32＝13≠42＝16，
∴B选项不能构成直角三角形，不符合题意；
∵，
∴C选项不能构成直角三角形，不符合题意；
∵282+452＝2809＝532，
∴D选项能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查利用勾股定理逆定理判定直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D、原来数据的方差S2＝＝，
添加数字2后的方差S2＝＝，故方差发生了变化．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
5．如图，△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，那么下列判断中错误的是（ ）
A．四边形ADEF是平行四边形．
B．如果AB＝AC，那么四边形ADEF是菱形
C．如果∠A＝90°，那么四边形ADEF是矩形
D．如果△ABC是等腰直角三角形，那么四边形ADEF是正方形
【分析】由D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，根据三角形的中位线定理得DE∥AC，EF∥AB，则四边形ADEF是平行四边形，可判断A不符合题意；由AD＝AB，AF＝AC，且AB＝AC，得AD＝AF，则四边形ADEF是菱形，可判断B不符合题意；由四边形ADEF是平行四边形，且∠A＝90°，证明四边形ADEF是矩形，可判断C不符合题意；当△ABC是等腰直角三角形，且∠A＝90°时，则四边形ADEF是矩形，由AB＝AC，AD＝AB，AF＝AC，得AD＝AF，则四边形ADEF是正方形，当△ABC是等腰直角三角形，且∠B＝90°时，则AB＝BC，∠A＝∠C＝45°，则四边形ADEF不是正方形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴DE∥AF，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
故A不符合题意；
∵AD＝AB，AF＝AC，且AB＝AC，
∴AD＝AF，
∴四边形ADEF是菱形，
故B不符合题意；
∵四边形ADEF是平行四边形，且∠A＝90°，
∴四边形ADEF是矩形，
故C不符合题意；
当△ABC是等腰直角三角形，且∠A＝90°时，则四边形ADEF是矩形，
∵AB＝AC，AD＝AB，AF＝AC，
∴AD＝AF，
∴四边形ADEF是正方形，
当△ABC是等腰直角三角形，且∠B＝90°时，则AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°，
∴四边形ADEF不是正方形，
∴当△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF不一定是正方形，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定、菱形的定义、矩形的定义、正方形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形及特殊的平行四边形的定义和判定定理是解题的关键．
6．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前价格的．这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降百分之几？（ ）
A．25%B．37.5%C．50%D．75%
【分析】直接利用下降率求法（1﹣x）2＝今年年底的价格，进而得出答案．
解：设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降x，
根据题意可得：（1﹣x）2＝，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合题意舍去），
即：这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降50%．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
7．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（ ）
A．34B．30C．30或34D．30或36
【分析】分三种情况讨论，①当a＝4时，②当b＝4时，③当a＝b时；结合韦达定理即可求解；
解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．
8．苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBF﹣∠COD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
解：如图2，六边形ABCDEF是正六边形，
∠A＝∠ABC＝＝120°，
∵AB＝AF＝EF，
∠ABF＝＝30°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝120°﹣30°＝90°，
∵∠COD＝×360°＝60°，
∴∠CBF﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查正多边形和圆，等腰三角形以及三角形内角和定理，解题关键是掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE．则线段CE的长等于（ ）
A．B．C．D．4
【分析】连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
解：如图，连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中，
∵AC＝4，AB＝3，
∴BC＝＝10，
∵CD＝DB，
∴AD＝DC＝DB＝5，
∵BC•AH＝AB•AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵AD•BO＝BD•AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积求高，属于中考常考题型．
10．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处．延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG＝60°；④DE＝；⑤S△AEF＝S△DFG．其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①由折叠后对称很容易得到结果．②由上一证结论，并证明△AHF≌△ADF从而证得．③由①证得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°故不正确．④根据对折可以证明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF＝1，所以DE＝DF，从而得证．⑤作FM⊥CD于M，FN⊥AD于N，证明FM＝FN即可解决问题．
解：由题意三角形ABE对折后为三角EFB，
∴∠EFB＝∠DAB＝90°，
由题意正方形ABCD，连接BD，
则角ABF＝45°，
∴在直角三角形BHF中HF＝BF，
故①正确．
由上一证知：HF＝BF＝AB，∠FHB＝∠ADB＝45°，
∵∠EAH＝90°，
∴∠AEH＝∠DEF＝45°，
∴∠DFE＝90°，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠AFD＝∠FAH，
又知AF为公共边，
∴△AHF≌△ADF（SAS），
故②正确．
由①证得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，
由已知∠BDC＝45°，
∴在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°，
在三角形DFG中角DFG＝67.5°，
故③不正确；
根据对折可以证明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF＝1，
所以DE＝DF，
即④正确，
或者过D作FG的垂线证明三角形全等，
⑤作FM⊥CD于M，FN⊥AD于N，
∵∠FDM＝∠FDN，
∴FM＝FN，
易证AE＝DG，
∵S△FEA＝•AE•FN，S△DFG＝•DG•FM，
∴S△AEF＝S△DGF，
故⑤正确．
所以①②④⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，①由折叠后对称很容易得到结果．②由上一证结论，并证明△AHF≌△ADF从而证得．③由①证得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°故不正确．④根据对折可以证明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF＝1，所以DE＝DF，从而得证．⑤过D作DI垂直于FG，垂足为I，EB与AF的交点为G证明三角形DFI与EFG全等．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
解：由题意知2x﹣6≥0，
解得x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
12．若A（x，y）在第二象限，则＝ ．
【分析】根据A（x，y）在第二象限，得出x＜0，y＞0，再根据二次根式的性质化简即可．
解：∵A（x，y）在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴．
故答案为：﹣x+y．
【点评】本题考查平面直角坐标系内各点的坐标特征，二次根式的性质．掌握第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正和二次根式的性质是解题关键．
13．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝3×360，
解得n＝8．
则这个多边形的边数是八．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
14．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 ．
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形解答即可．
解：如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝D，EF＝HG＝AC，
∵AC＝BD
∴EF＝FG＝HG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：菱形．
【点评】此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
15．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是4，方差为3，另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数与方差的和为 ．
【分析】根据题意可得出，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解．
解：∵这组数据的平均数是4，
∴，
∴x1+x2+x3+x4+x5＝20，
∴另一组数据的平均数＝
＝
＝
＝5；
∵这组数据的方差为3，
∴，
∴另一组数据的方差＝
＝
＝
＝4×3
＝12，
∴另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数与方差的和＝5+12＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查平均数和方差的计算，掌握求平均数和方差的公式是解题关键．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，且α+2β＝5，则m的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系即可得出α+β＝2，αβ＝﹣3m2，再由α+2β＝5，求出β＝3，α＝﹣1，进而根据αβ＝﹣3m2得出﹣33m2，解之即可得出m的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣3m2，
∵α+2β＝5，
∴β＝5﹣2＝3，
∴α＝2﹣3＝﹣1，
∴αβ＝﹣3，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3＝﹣3m2，
解得m＝1或﹣1．
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3m2）＝4+12m2＞0，
故m的值为1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式以及一元二次方程的根与系数的关系．
17．将6张宽为1的小长方形按如图摆放在▱ABCD中，则▱ABCD的面积为 ．
【分析】过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，由图形可知AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，则BC＝8，即可得出结论．
解：过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴AF⊥AD，CE⊥BC，
∴四边形AFCE是矩形，
∴AE＝CF，
∴DE＝BF，
由图形可知：AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，
∴BC＝BF+CF＝8，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AF＝8×4＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，AC＝10，∠DAC＝30°，P是边AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 ．
【分析】根据矩形的性质可求出，延长PG，使得PG＝GQ，连接BQ，AQ，结合等腰三角形三线合一的性质易证明∠BAQ＝30°，即说明点Q在定直线上．再根据三角形中位线定理可知，即说明当BQ最小时，GE有最小值．最后根据垂线段最短，结合含30度角的直角三角形的性质，求出BQ即可．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠ADC＝90°．
∵∠DAC＝30°，
∴．
延长PG，使得PG＝GQ，连接BQ，AQ，如图，
∵PG⊥AC，PG＝GQ，
∴AQ＝AP，
∴AC平分∠QAD．
∵∠DAC＝30°，
∴∠QAD＝60°，
∴∠BAQ＝30°，
∴点Q在定直线上．
∵BP中点为E，
∴，
∴当BQ最小时，GE有最小值．
∵当BQ⊥AQ时，BQ最小，此时，
∴GE的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识．正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题（本大题共6题，满分0分）．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．计算：．
【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、算术平方根及零次幂计算，再进行合并即可求解．
解：原式＝﹣1+2﹣3+1
＝﹣1．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当m取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣4）＞0，且m﹣4≠0，求出m的取值范围；
（2）得到m的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可．
解：（1）∵一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣4）＝12m+1＞0，且m﹣4≠0，
∴m＞﹣且m≠4；
（2）m满足条件的最小值为m＝1，
此时方程为﹣3x2﹣x+1＝0，
解得x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
21．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形；
（2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
【分析】（1）证明△AFG≌△CEH（SAS），得GF＝HE，同理GE＝HF，即可得出结论；
（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”得EF＝GH，再证四边形AGHD是平行四边形，得GH＝BC＝4，然后分两种情况分别求出t的值即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠GAF＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
由（2）可知四边形EGFH是平行四边形，
连接GH，
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴AG＝DH，AG∥DH，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∴GH＝BC＝4，
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①如图1，AE＝CF＝t，
则EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5；
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5；
综上所述，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为 人．
【分析】（1）计算出第2组60～70组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；
（3）样本估计总体，样本中80分以上的占，因此估计总体1500人的是80分以上的人数．
解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，
抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为＝78（分），因此中位数是78，
故答案为：76，78；
（3）1500×＝720（人），
故答案为：720．
【点评】考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
23．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 元．
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
故答案为：50．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．已知：四边形ABCD是正方形，AB＝20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
（1）如图1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度数；
（2）如图2，若∠EDF＝45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；
（3）如图3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于点O，且∠EOF＝45°，求EH的长度．
【分析】（1）证明△ADE≌△CDF，得∠ADE＝∠CDF＝×45°＝22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数；
（2）将△DAE绕点D逆时针旋转90°，通过证明三角形全等，证明EF＝AE+CF，即可证明△EBF的周长是定值；
（3）过点D作DL∥EH，交AB于点L，作DM∥FG，交BC于点M，连接LM，运用（2）中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠CDF＝90﹣45°＝45°，
∴∠CDF+∠CDF＝45°，
∴∠CDF＝22.5°，
∴∠DFC＝90°﹣22.5°＝67.5°．
（2）如图2，延长BC到点K，使CK＝AE，连接DK，
∵∠DCK＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DCK＝∠A，
∴△DCK≌△DAE（SAS），
∴DK＝DE，∠CDK＝∠ADE，
∴∠KDF＝∠CDK+∠CDF＝∠ADE+∠CDF＝45°，
∴∠KDF＝∠EDF，
∵DF＝DF，
∴△KDF≌△EDF（SAS），
∴KF＝EF，
∵KF＝CK+CF＝AE+CF，
∴EF＝AE+CF，
∴BE+EF+BF＝BE+AE+CF+BF＝AB+BC，
∵AB＝BC＝20，
∴BE+EF+BF＝40，
∴△EBF的周长是定值．
（3）如图3，作DL∥EH，交AB于点L，交FG于点P，作DM∥FG，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM，
∵DH∥LE，DG∥FM，
∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形，
∴GD＝BF＝FM＝5，EH＝DL，∠LDM＝∠POQ＝∠EOF＝45°，
∴BM＝5+5＝10；
由（2）得，BL+LM+BM＝40，
∴BL+LM＝30，
∴LM＝30﹣BL，
∵∠B＝90°，
∴BL2+BM2＝LM2，
∴BL2+102＝（30﹣BL）2，
解得BL＝，
∴AL＝20﹣＝，
∵AD＝AB＝20，
∴DL＝＝，
∴EH＝．
【点评】此时重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线构造全等三角形，此题难度较大，属于考试压轴题．