2022-2023学年安徽省马鞍山七中八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省马鞍山七中八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知是一元二次方程的一个解，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 或

3.  下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  正八边形的每一个内角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  小强同学投掷次实心球的成绩如表所示：

由上表可知小强同学投掷次实心球成绩的众数与中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如果，那么的值为(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

7.  已知：，，则与的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知菱形的边长等于，菱形的一条对角线长也是，则另一条对角线的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：
；
；
；
，
其中正确的说法是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，是边的中点，点在上，，则下列结论中正确的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  计算：          ．

12.  方程的解是______．

13.  如果，其中、为有理数，那么等于______ ．

14.  甲、乙两人在本学期的所有数学检测中，各自的平均分和方差分别为：，，，，那么成绩较为稳定的是______ ．

15.  一个平行四边形的一条边长为，两条对角线的长分别为和，则它的面积为______．

16.  如图，将两张长为，宽为的矩形纸条交叉放置，重叠部分可以形成一个菱形，那么当菱形的两个相对顶点矩形顶点重合时，菱形的周长为______ ．

17.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为______．

18.  如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  计算：

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根．

21.  本小题分
如图，在中，，，所对的边分别为，，若，试说明：是直角三角形．

22.  本小题分
第届冬奥会于年月日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理得分用表示：
：，：，：，
：，：，：，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩组的全部数据如下：
，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
______，______；
八年级测试成绩的中位数是______；
若测试成绩不低于分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．

23.  本小题分
淄博烧烤闻名全中国，有一家特色烧烤店希望在十一长假期获得好的收益，经测算，羊肉串的成本为每串元，借鉴以往的经验，若每串卖元，平均每天能卖串，若价格每降低元，则平均每天多卖串，
该小店每天至少卖出串，则每串羊肉串售价不超过多少元？
为了维护淄博烧烤的形象，规定每串不得超过元，则当每串羊肉串定为多少元时，店家才能实现每天获利元？

24.  本小题分
如图，正方形，正方形的边长分别是和，且、、在同一条直线上，是的中点，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，所以选项错误；
B、原式，所以选项正确；
C、原式，所以选项错误；
D、与不能合并，所以选项错误．
故选：．
利用平方根的定义对进行判断；根据二次根式的性质对、进行判断；根据二次根式的加减法对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

2.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的一个解，
，
故选A．
直接把代入已知方程就得到关于的方程，再解此方程即可．
此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数．

3.【答案】 

【解析】解：、，故是直角三角形，故错误；
B、，故是直角三角形，故错误；
C、，故是直角三角形，故错误；
D、，故不是直角三角形，故正确．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

4.【答案】 

【解析】解：内角正八边形的内角和：，
每一个内角的度数，
故选：．
根据多边形边形内角和定理：且为正整数求出内角正八边形的内角和，然后求出每一个内角的度数．
本题考查了多边形内角和，熟记多边形边形内角和定理是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
小强同学投掷次实心球成绩的众数是；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第、个数的平均数，则中位数是；
故选：．
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
考查众数和中位数概念，要注意，当所给数据有单位时，所求得的众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
解得：，，
当时，，故，
故选：．
首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及零指数幂的性质，注意是解题关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．先分母有理化求出、，再分别代入求出、、、、，求出每个式子的值，即可得出选项．
【解答】
解：，
，
A、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，，
，故本选项错误；
故选A．

8.【答案】 

【解析】解：如图，菱形中，，
，，
，
．
即另一条对角线的长是：．
故选B．
首先根据题意画出图形，然后由菱形的性质，求得，，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，
正方形的面积为，
，

是直角三角形，
根据勾股定理得：，故正确；
正方形的面积为，
，
，故正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故错误；
由可得，
又，
两式相加得：，
整理得：，
，故错误；
故正确的是．
故选：．
根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定；根据图形可知，即可判断；根据，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断；进而得到，即可判断．
本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，正方形的性质以及勾股定理．
把绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，，则，即，，共线，再根据，，可得到，则；然后设正方形的边长为，，则，在中，利用勾股定理得到，则，，，得到正确选项．
【解答】
解：把绕点逆时针旋转得，如图，
，，，，
，即，，共线，
又，，
，
，
；
设正方形的边长为，则，
设，则，在中，，
解得，
则，，
．
所以选项正确．
故选D．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
先化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解：．
故答案为：．

12.【答案】， 

【解析】解：    ，
移项得：，
分解因式得：，
可得：或，
解得：，．
故答案为：，．
将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两式相乘积为，两因式中至少有一个为，转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解，即可得到原方程的解．
本题考查解一元二次方程因式分解法．

13.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
故答案为：．
先计算，求出，，再代入计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键．

14.【答案】乙 

【解析】解：，
，
乙的成绩较为稳定．
故答案为乙．
直接利用方差的意义进行判断．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

15.【答案】 

【解析】解：平行四边形两条对角线互相平分，
它们的一半分别为和，
，
两条对角线互相垂直，
这个四边形是菱形，
．
故答案为：．
根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据勾股定理的逆定理，可得对角线互相垂直，根据菱形的判定，可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案．
本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
菱形的周长为，
故答案为：．

设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解方程求出的长即可求出答案．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，正确利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的两根为，，
，，
，
解得：，．
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
舍去．
故答案为：．
利用根与系数的关系结合可得出关于的方程，解之可得出的值，由方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，解之即可得出的取值范围，进而可确定的值，此题得解．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：设，
连接，，
由题意知，，
则有，
即，
解得，
即．
故答案为：．
连接，，由于，则，在和中由勾股定理求得的值．
本题考查了图形翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

19.【答案】解：


． 

【解析】根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

20.【答案】解：关于的方程有实数根，
，
解得：，
为正整数，
，
，
则，
解得：． 

【解析】直接利用根的判别式得出的取值范围，求出的值，进而解方程得出答案．
此题主要考查了根的判别式，正确得出的值是解题关键．

21.【答案】证明：，
，
，
，
，
是直角三角形，且． 

【解析】把已知等式整理得，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

22.【答案】解：；



人，
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人． 

【解析】【分析】
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识．
根据八年级组人数及其所占百分比即可得出的值，用的值分别减去其它各组的频数即可得出的值．
根据中位数的定义解答即可．
用样本估计总体即可．
【解答】
解：由题意得：人，
故，
解得，
故答案为：；；
把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故中位数为，
故答案为：；
见答案．

23.【答案】解：设每串羊肉串售价为元，
由题意得，，
解得：，
的最大值为，
每串羊肉串售价不超过元；
解：每串羊肉串定为元，
由题意得，，
整理得：，
解得或舍去，
当每串羊肉串定为元时，店家才能实现每天获利元． 

【解析】设每串羊肉串售价为元，根据该小店每天至少卖出串列出不等式求解即可；
每串羊肉串定为元，根据利润每一串的利润销售量列出方程求解即可．
本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．

24.【答案】解：延长至，延长与交于点，

在和中，
，
≌，
即，，
，
，
在等腰中，为斜边，
，
，
． 

【解析】延长至，延长与交于点，易证≌，得，，由，且，在可求得的长，根据即可解题．
此题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟知正方形的性质特点．