北师大版高中数学必修第二册1-7正切函数学案

1.7　正切函数

1.正切函数的定义

比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为{x∈R.

2.正切函数的诱导公式

3.正切曲线：正切函数的图象称作正切曲线．

4.正切函数的图象与性质

注意：正切函数在每一个开区间，k∈Z上单调递增．但是正切函数y＝tan x在定义域上不是增函数．

答案：2.tan α　－tan α　－

4.π　奇函数　

研习1  　利用定义求正切值　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 [典例1]　 如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．

(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tan θ.

(2)若已知Q，试求tan α.

解题探究

点P(a，b)是角α的终边与单位圆的交点，你能用a，b表示tan α吗？

[自主记]

[解]　(1)∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且P，

∴θ的终边与单位圆交于P′，

则tan θ＝＝－.

(2)已知Q，∴tan α＝ ＝＝.

解题探究：tan α＝.

[巧归纳]　设Q(x，y)是α终边上任一点，P(a，b)是α的终边与单位圆的交点，可得＝，从而tan α＝，即已知α终边上任意一点的坐标即可求出α的正切值.

[练习1]　已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在直线y＝－3x上，求tan α的值．

解：在角α终边上任取一点P(a，－3a)(a≠0)，

则|OP|＝＝|a|，

当a>0时，角α终边与单位圆交于点P′，

tan α＝＝－3；

当α<0时，角α终边与单位圆交于点P″，

tan α＝＝－3.综上知，tan α＝－3.

研习2  正切函数的定义域

[典例2]　求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝lg(tan x－1)＋.

解题探究

正切函数的定义域是什么？

[自主记]

[分析]　根据求函数定义域的一般方法求解.

[解]　(1)由题意，得tan2x－3＞0，

即tan x＞或tan x＜－，

∴＋kπ＜x＜＋kπ或－＋kπ＜x＜kπ－(k∈Z)，

∴函数的定义域是

∪(k∈Z)．

(2)由题意，得

解得

∴所求函数的定义域是(k∈Z)．

解题探究：y＝tan x(x∈R)的定义域为.

[巧归纳]　求正切函数定义域的方法

求与正切函数有关的函数定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x＞a的不等式的步骤：

[练习2]　求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝.

解：(1)要使函数y＝有意义，

必须且只需

∴

∴函数的定义域为

.

(2)要使函数有意义，

需

即

∴函数的定义域为.

研习3  正切函数的图象与性质

[典例3]　作出函数y＝tan|x|的图象，并根据图象判断其奇偶性、周期性及单调区间．

解题探究

1.如何由y＝tan x的图象变换得到y＝tan |x|的图象？

2.如何根据图象判断奇偶性？

3.如何根据图象求单调区间？

[自主记]

[分析]　由函数的奇偶性作图．当x≥0时，有y＝tan|x|＝tan x．因此，可由y＝tan x的图象得到.

[解]　y＝tan|x|＝

根据y＝tan x的图象，可作出y＝tan|x|的图象如下图．

由图象可知，函数y＝tan|x|是偶函数，不是周期函数，它的减区间为，(k＝0，－1，－2，…)，增区间是，(k＝0,1,2，…)．

解题探究：1.由y＝tan x的图象到y＝tan|x|的图象，只需保留y＝tan x在y轴右侧的部分(包括y轴上的)然后去掉y轴左侧部分，并右翻左即可．

2.图象关于原点对称为奇函数，关于y轴对称为偶函数．

3.图象呈上升趋势为增函数，呈下降趋势为减函数．

[巧归纳]　常见的函数图象的画法

[练习3]　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象写出其单调区间．

解：化简函数y＝|tan x|的表达式，得

y＝

其图象如图：

递增区间为(k∈Z)，递减区间为(k∈Z)．

研习4  求值问题

[典例4]　求下列各角的三角函数值：

(1)tan(－405°)；

(2)tan.

解题探究

1.tan(－α)与tan α的关系是怎样的？

2.有关tan α的诱导公式有哪些？

[自主记]

[分析]　由诱导公式，把各三角函数式化为锐角三角函数，再求值.

[解]　(1)tan(－405°)＝tan

＝－tan＝－tan＝－1.

(2)tan＝tan＝tan＝.

解题探究：1.tan(－α)＝－tan α.

2.tan(－α)＝－tan α，tan(π＋α)＝tan α，

tan(π－α)＝－tan α，tan(2π－α)＝－tan α.

[巧归纳]　同正弦、余弦的诱导公式一样，正切的诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角三角函数.

[练习4]　求下列三角函数值：

(1)tan；

(2)tan＋2tan.

解：(1)tan＝－tan＝－tan

＝tan＝.

(2)tan＋2tan

＝－tan＋2tan

＝－tan＋2tan

＝tan＋2tan

＝＋＝.

[易错误区]　将正切曲线的对称中心误认为是(kπ，0)(k∈Z)致误

[典例]　y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为，若－＜θ＜，求θ的值．

[错解]　函数y＝tan x的对称中心是(kπ，0)，令2x＋θ＝kπ，k∈Z，其中x＝，解得θ＝kπ－，k∈Z，结合θ范围，得θ＝.

[正解]　函数y＝tan x的对称中心是，其中k∈Z，故令2x＋θ＝，其中x＝，

即θ＝－，k∈Z.又－＜θ＜，

所以当k＝1时，θ＝－；

当k＝2时，θ＝.即θ＝－或.

[纠错心得]　错解主要是误认为正切函数图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，事实上，由正切函数的图象可知也是其对称中心，因此正切函数的对称中心是(k∈Z)．

[类题试解]　函数y＝3tan的一个对称中心是(　　)

A．　　　　　　　 B．

C．   D．(0,0)

答案：C　

解析：由于函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心是图象同x轴的交点或无意义点，所以B是错误的；把A，C，D代入函数解析式，只有C符合题意．

[规律指津]

1．本节的主要内容：(1)正切函数的图象；(2)正切函数的主要性质(定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性)．

2．正切函数y＝tan x的图象是由互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，在相邻两条平行线之间的图象是连续变化的．

3．将正切函数的性质和正弦函数、余弦函数的性质相比较，正切函数所具有的主要特征有：(1)y＝tan x的定义域为，因而在处理含有正切函数的有关问题时，不可遗漏这一点；(2)正切函数的值域为(－∞，＋∞)，这与正弦、余弦函数的值域为[－1,1]形成鲜明的对比；(3)正切函数在区间(k∈Z)上都是增函数，但在整个定义域内不是增函数．

1．若函数f(x)＝，则f(x)(　　)

A．在，上递增，在，上递减

B．在，上递增，在，上递减

C．在，上递增，在，上递减

D．在，上递增，在，上递减

答案：A　

解析：f(x)＝

＝

由y＝tan x的图象与性质可得，A正确．故应选A．

2．下列函数中，既是奇函数，又是上的减函数的是(　　)

A．y＝sin x   B．y＝cos x

C．y＝tan x   D．y＝

答案：D　

解析：排除法即可．故应选D．

3．已知P(x,5)是角θ终边上一点，且tan θ＝，则x＝________.

答案：　

解析：∵tan θ＝＝，

∴x＝.

4．求函数y＝tan的定义域及单调区间．

解：由x－≠kπ＋(k∈Z)得x≠2kπ＋，k∈Z.

所以函数y＝tan的定义域为

.

由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，

得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z.

所以函数y＝tan的单调区间为

，k∈Z.