高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质第二课时导学案及答案

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第二课时　正弦函数、余弦函数的性质


过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)这几个循环路径．
[问题]　(1)函数y＝sin x与y＝cos x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的什么性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝sin x，y＝cos x的什么性质？函数y＝sin x，y＝cos x的图象在什么位置取得最大(小)值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　函数的周期性
1．周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有意义，并且f(x±T)＝f(x)，则称函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
2．最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．

对周期函数定义的再理解
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期；
(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的周期常用公式T＝来求．　　　　

是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．

1．若函数f(x)的周期为3，且f(1)＝－2，则f(7)＝________．
答案：－2
2．函数y＝cos 2x的周期为________．
答案：π
3．函数y＝sin(－x)的周期为________．
解析：∵y＝sin(－x)＝－sin x，∴周期为2π.
答案：2π
知识点二　正弦函数、余弦函数的性质

　　函数
图象与性质　　
y＝sin x
y＝cos x
图象


定义域


值域
[－1，1]
[－1，1]
周期性
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
函数
函数
单调性
在
(k∈Z)上递增；
在
(k∈Z)上递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
最值
x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1

1．正、余弦函数的单调性
正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．
2．三角函数的最值与单调性之间的联系
如图，由三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象可知：图象相邻两个最大值之间的距离为一个周期，两个最大值之间有一个最小值，从左至右第一个最大值点x0与最小值点x0＋之间构成的区间为减区间，最小值点x0＋与第二个最大值点x0＋T所构成的区间为增区间，　　　　
从而三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)．

3．三角函数的最值与周期性之间的联系
由三角函数图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区间长度为，相邻的最值点与对称中心之间的区间长度为.

正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？
提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应．

判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝3sin 2x是奇函数．(　　)
(2)函数y＝－cos x是偶函数．(　　)
(3)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．(　　)
(4)余弦函数y＝cos x的一个减区间是[0，π]．(　　)
(5)∃x∈[0，2π]满足sin x＝2.(　　)
(6)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×


正、余弦函数的周期性和奇偶性
角度一　正、余弦函数的最小正周期
[例1]　求下列函数的最小正周期：
(1)ƒ(x)＝cos；
(2)ƒ(x)＝|sin x|.
[解]　(1)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝cos
＝cos＝cos
＝ƒ(x＋π)，
即ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，
∴函数ƒ(x)＝cos的最小正周期T＝π.
法二(公式法)：∵y＝cos，∴ω＝2.
又T＝＝＝π.
∴函数ƒ(x)＝cos的最小正周期T＝π.
(2)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝|sin x|,
∴ƒ(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ƒ(x)，
∴ƒ(x)的最小正周期为π.
法二(图象法)：∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．

由图象可知最小正周期T＝π.

求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝来求；
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．　　　　
角度二　正、余弦函数的奇偶性和周期性的综合
[例2]　定义在R上的函数ƒ(x)既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x)的最小正周期是π，且当x∈时，ƒ(x)＝sin x，求ƒ的值．
[解]　∵ƒ(x)的最小正周期是π，
∴ƒ＝ƒ＝ƒ.
∵ƒ(x)是R上的偶函数，
∴ƒ＝ƒ＝sin＝.
∴ƒ＝.
[母题探究]
1．(变条件)若例2中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ的值．
解：ƒ＝ƒ＝－ƒ＝－sin＝－.
2．(变设问)若例2条件不变，求ƒ的值．
解：ƒ＝ƒ＝ƒ
＝ƒ＝sin ＝.

1．解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
2．推得函数周期的若干形式：
(1)若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t；
(2)若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t；
(3)若f(x＋t)＝，则函数周期为2t；
(4)若f(x＋t)＝－，则函数周期为2t.　　　　
[跟踪训练]
1．下列函数中是奇函数，且最小正周期为π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x|　　　　　　　 B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选D　y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
2．函数ƒ(x)为偶函数且ƒ＝－ƒ(x)，ƒ＝1，则ƒ＝________．
解析：∵ƒ＝－ƒ(x)，∴ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，即T＝π，ƒ＝ƒ＝ƒ＝ƒ＝1.
答案：1

正、余弦函数的单调性
角度一　正、余弦函数值的大小比较
[例3]　(链接教科书第177页例3)不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos与cos.
[解]　(1)∵函数y＝sin x在上单调递减，且90°