湘教版（2019）5.3 三角函数的图象与性质第二课时达标测试

课时跟踪检测(四十四)　正弦函数、余弦函数的性质

[A级　基础巩固]

1．函数f(x)＝sin(－x)是(　　)

A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数  D．非奇非偶函数

解析：选A　由于x∈R，

且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

2．(多选)下列函数中，周期为2π的是(　　)

A．y＝cos   B．y＝cos

C．y＝  D．y＝|cos 2x|

解析：选BC　y＝cos 的周期为T＝＝4π；

y＝cos的周期为T＝2π；

y＝的周期为T＝2π；

y＝|cos 2x|的周期为T＝.故选B、C.

3．使y＝sin x和y＝cos x均为减函数的一个区间是(　　)

A.　　　　　　　 B．

C.  D．

解析：选B　由y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象(图略)知均为减函数的一个区间是.

4．(多选)(2021·姜堰二中质检)满足不等式sin x≥cos x，x∈[0，2π]的x的值可以是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选BCD　由三角函数的图象知，

当sin x≥cos x，x∈[0，2π]时，≤x≤，故B，C，D都可以．故选B、C、D.

5．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象(　　)

A．关于点对称  B．关于直线x＝对称

C．关于点对称  D．关于直线x＝对称

解析：选A　由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin，该函数图象关于点对称．

6．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________．

解析：因为f(a)＝a3cos a＋1＝11，所以a3cos a＝10，

所以f(－a)＝－a3cos(－a)＋1＝－a3cos a＋1＝－9.

答案：－9

7．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是________．

解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x．∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sin x．∴f(x)＝sin|x|.

答案：f(x)＝sin|x|

8．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．

解析：由0≤x≤，得－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，即－≤3sin≤3，所以f(x)∈.

答案：

9．判断下列函数的奇偶性：

(1)ƒ(x)＝coscos(π＋x)；

(2)ƒ(x)＝ ＋.

解：(1)∵x∈R，

ƒ(x)＝coscos(π＋x)

＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x.

∴ƒ(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x＝－ƒ(x)．

∴函数ƒ(x)是奇函数．

(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，

∴1＋sin x≥0，1－sin x≥0.

∴ƒ(x)＝ ＋的定义域为R.

∵ƒ(－x)＝＋

＝ ＋＝ƒ(x)，

∴函数f(x)是偶函数．

10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.

(1)画出函数的简图；

(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．

解：(1)y＝sin x＋|sin x|＝

图象如图所示：

(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.

[B级　综合运用]

11．函数y＝2sin(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

解析：选C　∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，

∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

12．(多选)(2021·南通高一月考)已知函数f(x)＝cos x＋ ，则(　　)

A．f(x)的图象关于y轴对称

B．f(x)的最大值为3

C．2π是f(x)的一个周期

D．f(x)在上的最小值为2

解析：选AC　由f(x)＝cos x＋得函数的定义域为x≠＋kπ，k∈Z，f(－x)＝cos (－x)＋＝cos x＋＝f(x)，为偶函数，故A选项正确；f(x＋2π)＝cos(x＋2π)＋＝cos x＋＝f(x)，故2π是f(x)的一个周期，C选项正确；设t＝cos x，t∈[－1，0)∪(0，1]，函数y＝t＋，在[－1，0)和(0，1]上单调递减，故函数f(x)无最大值，故B选项错误；x∈时，t∈(0，1)，此时f(x)＝y>3，故D选项错误；故选A、C.

13．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于________．

解析：如图，当x∈[a1，b]时，值域为，且b－a最大．当x∈[a2，b]时，值域为，且b－a最小．

∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝2×＋＋＝2π.

答案：2π

14．已知函数f(x)＝2sin.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合；

(3)求函数f(x)的单调增区间．

解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin，所以函数f(x)的最大值是2.

令2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，得x＝＋kπ(k∈Z)．

所以f(x)取得最大值时，x的取值集合是.

(3)由(1)知，f(x)＝2sin.

令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．

[C级　拓展探究]

15．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.

(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；

(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；

(3)求当f(x)≥时x的取值范围．

解：(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

∵当x∈时，f(x)＝sin x，∴当x∈时，

f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.

又当x∈时，x＋π∈，

f(x)的周期为π，

∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x.

∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.

(2)如图．

(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，

∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.

又f(x)的周期为π，

∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.