人教B版高中数学必修第三册第7章7-3-4正切函数的性质与图像学案

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7.3.4　正切函数的性质与图像孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？问题　类比y＝sin x，y＝cos x的图像与性质．1y＝tan x是周期函数吗？有最大小值吗？2正切函数的图像是连续的吗？[提示]　1y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大值，也无最小值．2正切函数的图像在定义域上不是连续的．知识点1　正切函数及性质1．正切函数的定义对于任意一个角x，只要x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数．2．正切函数的性质1．(1)正切函数在定义域上是单调递增函数吗？(2)函数y＝Atan (ωx＋φ)的周期是多少？[提示]　(1)不是．正切函数在每一个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都是单调递增函数，但是不能说在定义域上是增函数．(2)T＝eq \f(π,|ω|)．1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)正切函数既没有最大值也没有最小值． (　　)(2)正切函数的零点是(kπ，0)，k∈Z． (　　)(3)函数y＝tan 2x的周期是2π． (　　)[提示]　(1)√．正切函数的值域为R，既没有最大值也没有最小值．(2)×．正切函数的零点是x＝kπ，k∈Z．(3)×．函数y＝tan 2x的周期是eq \f(π,2)．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的定义域为________．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(3,8)π，k∈Z))))　[因为2x－eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(3,8)π，k∈Z．]3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的单调增区间为________．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3,4)π，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z　[令kπ－eq \f(π,2)