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初中数学湘教版八年级上册第3章 实数3.1 平方根精品达标测试
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这是一份初中数学湘教版八年级上册第3章 实数3.1 平方根精品达标测试，文件包含课时练湘教版2023-2024学年初中数学八年级上册31平方根同步分层训练培优卷教师版docx、课时练湘教版2023-2024学年初中数学八年级上册31平方根同步分层训练培优卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2023八上·东方期末）实数9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．±3D．81
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根为±3.
故答案为：B.
【分析】若(±a)2=b，则±a为b的平方根，据此解答.
2．（2023八上·桂平期末）已知m，n为两个连续的整数，且m<10A．2023B．−2023C．1D．−1
【答案】D
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵9<10<16，
∴3<10<4，
∵m，n为两个连续的整数，且m<10∴m=3，n=4，
∴(m−n)2023=(3−4)2023=(−1)2023=−1，
故答案为：D.
【分析】由于3<10<4，根据m、n为两个连续的整数，且m<103．（2023八上·蒲城期末）已知a=26−1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．4【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵5<26<6
∴4<26−1<5
∴26−1在4和5之间，即4故答案为：A.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得5<26<6，然后求出26-1的范围，据此解答.
4．（2022八上·延庆期末）如果n为整数，且n<13A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴n=3．
故答案为：B．
【分析】利用估算无理数大小的方法求出3<13<4，即可得到n的值。
5．（2022八上·右玉期末）点A(a−8，3)，点B(2，b+3)关于x轴对称，则a+b的平方根为（ ）
A．1B．2C．±2D．±1
【答案】C
【知识点】平方根；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，得a−8=2，b+3=−3，
解得a=10，b=−6，
则a+b=10−6=4，a+b的平方根为±2．
故答案为：C．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：纵坐标变为相反数，横坐标不变可得a−8=2，b+3=−3，求出a、b的值，再将a、b的值代入a+b计算即可。
6．（2023八上·达州期末）在﹣1.414，2，π，2+3，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个数为（ ）
A．5B．2C．3D．4
【答案】D
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：无理数有2，π，2+3，3.212212221…，一共4个.
故答案为：D
【分析】利用开方开不尽的数是无理数；含π的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数；可得到已知数中是无理数的个数.
7．（2022八上·平谷期末）若m=7，估计m的值所在的范围是（ ）
A．0【答案】C
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵4<7<9，
∴4<7<9，
∴2<7<3，
∴m的值所在的范围是：2故答案为：C．
【分析】根据4<7<9可得2<7<3，从而得解。
8．（2023八上·榆林期末）已知a=26−1，a介于两个连续自然数之间，则下列选项正确的是（ ）
A．4【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵25＜26＜36，
∴5＜26＜6，
∴5-1＜26-1＜6-1即4＜26-1＜5.
故答案为：A
【分析】利用估算无理数的大小可知5＜26＜6，再利用不等式的性质，可得到a的取值范围.
二、填空题
9．（2023八上·开江期末）已知a是10的整数部分，b是10的小数部分，那么ab的值是 ．
【答案】310−9
【知识点】估算无理数的大小；分式的乘除法
【解析】【解答】解：∵9＜10＜16，
∴9<10<16，即3<10<4，
∵ a是10的整数部分，b是10的小数部分 ，
∴a=3，b=10-3，
∴ab=3（10-3）=310−9.
故答案为：310−9.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<10<4，从而即可得出a、b的值，进而再qiua与b的积即可.
10．（2022八上·丹东期末）已知m，n为两个连续整数，且m<13【答案】7
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴m=3，n=4，
∴m+n=3+4=7
故答案为：7
【分析】先求出3<13<4，可得m=3，n=4，再将m、n代入m+n计算即可。
11．（2023八上·榆林期末）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是 .
【答案】2
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵1＜2＜2
∴这个无理数可以是2.
故答案为：2
【分析】利用估算无理数的大小可知1＜2＜2，即可得到这个无理数.
12．（2020八上·常州期末）观察被开方数a的小数点与算术平方根 a 的小数点的移动规律:
（1）填空:x= ， y= .
（2）根据你发现的规律填空:
①已知 2 ≈1.414，则 200 = ， 0.02 = ；
②m = 0.274，记 10000m 的整数部分为x,则 31x = .
【答案】（1）0.1；10
（2）14.14；0.1414；13
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】(1)解：根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴x=0.1 ， y=10 ；
故答案为：0.1，10
( 2 )解：①由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵2≈1.414 ，
∴200=14.14 ， 0.02=0.1414 ；
故答案为： 14.14 ， 0.1414
②由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵m=0.274 ，
∴10000m=27.4 ，
∴x=27 ，
∴31x=3127=13 ；
故答案为： 13
【分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；（3）利用（1）中的规律，求出 10000m 的值，然后得到整数x，即可得到答案.
13．（2019八上·惠安期中）已知 a⩾0 时， a2=a ．请你根据这个结论直接填空：
（1）9= ；
（2）若 x+1=20192+20202 ，则 2x+1= ．
【答案】（1）3
（2）4039
【知识点】算术平方根；平方差公式及应用
【解析】【解答】（1） 9=32=3 ；（2） ∵x+1=20192+20202 ，
∴x=20192+20202−1=20192+(2020+1)(2020−1)=2019×(2019+2021)=2019×4040 ，
∴2x+1=2×2019×4040+1=4038×4040+1=(4039−1)(4039+1)+1=40392−1+1=40392 ，
∴ 2x+1=40392=4039 ．
故答案为：3，4039．
【分析】（1）根据 a⩾0 时， a2=a ，直接计算 9 ，即可；（2）根据平方差公式可得x的值，进而得2x+1的值，即可求出 2x+1 的值．
三、解答题
14．（2022八上·莲湖月考）已知2a-1的平方根是±1，3a+b-1的平方根是±4，c是57的整数部分，求a+2b+c的平方根．
【答案】解：由题意得 2a−1=1，3a+b−1=16 ，则 a=1，b=14
∵49<57<64 ，即 7<57<8
∴c=7
∴±a+2b+c=±36=±6 ，
故答案为±6.
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】根据平方根的定义可得2a−1=1，3a+b−1=16，据此求出a、b值，再估算出7<57<8，即得c值，再代入求解即可.
15．（2022八上·仁寿月考）已知a是10的整数部分，b是10的小数部分，求代数式(b−10)a−1的平方根．
【答案】解：∵32<10<42，
∴3<10<4，
∴10的整数部分是3，则a=3，10的小数部分是10−3，则b=10−3，
∴(b−10)a−1=(10−3−10)3−1=(−3)2=9，
∴9的平方根为±3．
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】利用估算无理数的大小可知a，b的值，然后将a，b的值代入代数式，利用平方根的性质，进行计算，可求出结果.
四、计算题
16．设 S1=1+112+122 ， s2=1+122+132 ， s3=1+132+142 ，…， sn=1+1n2+1(n+1)2 ．若 s=s1+s2+⋯+sn ，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【答案】解：∵s1=1+112+122 ， s2=1+122+132 ， s3=1+132+142 ，…， sn=1+1n2+1(n+1)2 ． ∴S1=（ 32 ）2 ， S2=（ 76 ）2 ， S3=（ 1312 ）2 ， …，Sn=（ n(n+1)+1n(n+1) ）2 ，
∵s=s1+s2+⋯+sn ，
∴S= 31×2+72×3+⋯+n(n+1)+1n(n+1) ，
∴S=1+ 11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+1n(n+1) ，
∴S=1+1﹣ 12 +1+ 13 ﹣ 14 +…+1+ 1n−1n(n+1) ，
∴S=n+1﹣ 1n+1 = n2+2nn+1
【知识点】算术平方根；探索数与式的规律
【解析】【分析】根据材料中的规律得到s1=32=31×2，s2=76=72×3，···求出S的代数式.
五、综合题
17．（2021八上·贵阳月考）阅读材料： ∵2<6<3，∴6 的整数部分为2， 6 的小数部分为 6−2 .
解决问题：
（1）填空： 73 的小数部分是 ；
（2）已知a是 19−4 的整数部分，b是 19−4 的小数部分，求代数式 (a+1)3+(b+4)2 的值；
（3）已知：m是 2+3 的整数部分，n是其小数部分，求 m−n 的相反数.
【答案】（1）73−8
（2）解：∵4<19<5
∴0<19−4<1
∵a是 19−4 的整数部分，b是 19−4 的小数部分
∴a=0，b=19−4
∴(a+1)3+(b+4)2 =1+19=20 ；
（3）解：∵1<3<2
∴3<2+3<4
m是 2+3 的整数部分，n是其小数部分
∴m−n 的相反数为 −(m−n)=n−m=3−4 .
【知识点】相反数及有理数的相反数；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：（1） ∵8<73<9，∴73 的整数部分为8， 73 的小数部分为 73−8.
故答案为： 73−8；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得8<73<9，据此可得小数部分；
（2）根据估算无理数大小的方法可得4<19<5，进而根据不等式的性质求出19-4的范围，得到其整数部分以及小数部分，即a、b的值，然后代入进行计算；
（3）根据估算无理数大小的方法可得1<3<2，进而根据不等式的性质求出2+3的范围，求出m、n，进而可得m-n，最后根据相反数的概念进行求解.
18．（2019八上·罗湖期中）观察：∵4 ＜ 7 ＜ 9 ，即2＜ 7 ＜3，∴7 的整数部分为2，小数部分为 7 ﹣2，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[ 45 ]＝0，[π]＝3，填空：[ 10 +2]＝ ；[5﹣ 13 ]＝ ．
（2）如果5+ 13 的小数部分为a，5﹣ 13 的小数部分为b，求a2﹣b2的值．
【答案】（1）5；1
（2）根据题意，得
∵3<13<4 ，
∴8<5+13<9 ，
∴a=5+13−8=13−3 ．
∵1<5−13<2
∴b=5−13−1=4−13 ，
∴a+b=1 ， a−b=213−7 ．
∴a2−b2=(a+b)(a−b)
=213−7 ．
∴a2−b2 的值为 213−7 ．
【知识点】估算无理数的大小；代数式求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵9<10<16 ， 9<13<16 ，
∴10 的整数部分为3， 13 的整数部分为3，
∴[10+2]=5 ； [5−13]=1 ．
故答案为5、1．
【分析】（1）根据题目中所给规律即可得结果；（2）把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可．a
0.0001
0.01
1
100
10000
a
0.01
x
1
y
100
一、选择题
1．（2023八上·东方期末）实数9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．±3D．81
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根为±3.
故答案为：B.
【分析】若(±a)2=b，则±a为b的平方根，据此解答.
2．（2023八上·桂平期末）已知m，n为两个连续的整数，且m<10
【答案】D
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵9<10<16，
∴3<10<4，
∵m，n为两个连续的整数，且m<10
∴(m−n)2023=(3−4)2023=(−1)2023=−1，
故答案为：D.
【分析】由于3<10<4，根据m、n为两个连续的整数，且m<10
A．4
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵5<26<6
∴4<26−1<5
∴26−1在4和5之间，即4
【分析】根据估算无理数大小的方法可得5<26<6，然后求出26-1的范围，据此解答.
4．（2022八上·延庆期末）如果n为整数，且n<13
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴n=3．
故答案为：B．
【分析】利用估算无理数大小的方法求出3<13<4，即可得到n的值。
5．（2022八上·右玉期末）点A(a−8，3)，点B(2，b+3)关于x轴对称，则a+b的平方根为（ ）
A．1B．2C．±2D．±1
【答案】C
【知识点】平方根；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，得a−8=2，b+3=−3，
解得a=10，b=−6，
则a+b=10−6=4，a+b的平方根为±2．
故答案为：C．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：纵坐标变为相反数，横坐标不变可得a−8=2，b+3=−3，求出a、b的值，再将a、b的值代入a+b计算即可。
6．（2023八上·达州期末）在﹣1.414，2，π，2+3，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个数为（ ）
A．5B．2C．3D．4
【答案】D
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：无理数有2，π，2+3，3.212212221…，一共4个.
故答案为：D
【分析】利用开方开不尽的数是无理数；含π的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数；可得到已知数中是无理数的个数.
7．（2022八上·平谷期末）若m=7，估计m的值所在的范围是（ ）
A．0
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵4<7<9，
∴4<7<9，
∴2<7<3，
∴m的值所在的范围是：2
【分析】根据4<7<9可得2<7<3，从而得解。
8．（2023八上·榆林期末）已知a=26−1，a介于两个连续自然数之间，则下列选项正确的是（ ）
A．4
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵25＜26＜36，
∴5＜26＜6，
∴5-1＜26-1＜6-1即4＜26-1＜5.
故答案为：A
【分析】利用估算无理数的大小可知5＜26＜6，再利用不等式的性质，可得到a的取值范围.
二、填空题
9．（2023八上·开江期末）已知a是10的整数部分，b是10的小数部分，那么ab的值是 ．
【答案】310−9
【知识点】估算无理数的大小；分式的乘除法
【解析】【解答】解：∵9＜10＜16，
∴9<10<16，即3<10<4，
∵ a是10的整数部分，b是10的小数部分 ，
∴a=3，b=10-3，
∴ab=3（10-3）=310−9.
故答案为：310−9.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<10<4，从而即可得出a、b的值，进而再qiua与b的积即可.
10．（2022八上·丹东期末）已知m，n为两个连续整数，且m<13
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴m=3，n=4，
∴m+n=3+4=7
故答案为：7
【分析】先求出3<13<4，可得m=3，n=4，再将m、n代入m+n计算即可。
11．（2023八上·榆林期末）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是 .
【答案】2
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵1＜2＜2
∴这个无理数可以是2.
故答案为：2
【分析】利用估算无理数的大小可知1＜2＜2，即可得到这个无理数.
12．（2020八上·常州期末）观察被开方数a的小数点与算术平方根 a 的小数点的移动规律:
（1）填空:x= ， y= .
（2）根据你发现的规律填空:
①已知 2 ≈1.414，则 200 = ， 0.02 = ；
②m = 0.274，记 10000m 的整数部分为x,则 31x = .
【答案】（1）0.1；10
（2）14.14；0.1414；13
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】(1)解：根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴x=0.1 ， y=10 ；
故答案为：0.1，10
( 2 )解：①由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵2≈1.414 ，
∴200=14.14 ， 0.02=0.1414 ；
故答案为： 14.14 ， 0.1414
②由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵m=0.274 ，
∴10000m=27.4 ，
∴x=27 ，
∴31x=3127=13 ；
故答案为： 13
【分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；（3）利用（1）中的规律，求出 10000m 的值，然后得到整数x，即可得到答案.
13．（2019八上·惠安期中）已知 a⩾0 时， a2=a ．请你根据这个结论直接填空：
（1）9= ；
（2）若 x+1=20192+20202 ，则 2x+1= ．
【答案】（1）3
（2）4039
【知识点】算术平方根；平方差公式及应用
【解析】【解答】（1） 9=32=3 ；（2） ∵x+1=20192+20202 ，
∴x=20192+20202−1=20192+(2020+1)(2020−1)=2019×(2019+2021)=2019×4040 ，
∴2x+1=2×2019×4040+1=4038×4040+1=(4039−1)(4039+1)+1=40392−1+1=40392 ，
∴ 2x+1=40392=4039 ．
故答案为：3，4039．
【分析】（1）根据 a⩾0 时， a2=a ，直接计算 9 ，即可；（2）根据平方差公式可得x的值，进而得2x+1的值，即可求出 2x+1 的值．
三、解答题
14．（2022八上·莲湖月考）已知2a-1的平方根是±1，3a+b-1的平方根是±4，c是57的整数部分，求a+2b+c的平方根．
【答案】解：由题意得 2a−1=1，3a+b−1=16 ，则 a=1，b=14
∵49<57<64 ，即 7<57<8
∴c=7
∴±a+2b+c=±36=±6 ，
故答案为±6.
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】根据平方根的定义可得2a−1=1，3a+b−1=16，据此求出a、b值，再估算出7<57<8，即得c值，再代入求解即可.
15．（2022八上·仁寿月考）已知a是10的整数部分，b是10的小数部分，求代数式(b−10)a−1的平方根．
【答案】解：∵32<10<42，
∴3<10<4，
∴10的整数部分是3，则a=3，10的小数部分是10−3，则b=10−3，
∴(b−10)a−1=(10−3−10)3−1=(−3)2=9，
∴9的平方根为±3．
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】利用估算无理数的大小可知a，b的值，然后将a，b的值代入代数式，利用平方根的性质，进行计算，可求出结果.
四、计算题
16．设 S1=1+112+122 ， s2=1+122+132 ， s3=1+132+142 ，…， sn=1+1n2+1(n+1)2 ．若 s=s1+s2+⋯+sn ，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【答案】解：∵s1=1+112+122 ， s2=1+122+132 ， s3=1+132+142 ，…， sn=1+1n2+1(n+1)2 ． ∴S1=（ 32 ）2 ， S2=（ 76 ）2 ， S3=（ 1312 ）2 ， …，Sn=（ n(n+1)+1n(n+1) ）2 ，
∵s=s1+s2+⋯+sn ，
∴S= 31×2+72×3+⋯+n(n+1)+1n(n+1) ，
∴S=1+ 11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+1n(n+1) ，
∴S=1+1﹣ 12 +1+ 13 ﹣ 14 +…+1+ 1n−1n(n+1) ，
∴S=n+1﹣ 1n+1 = n2+2nn+1
【知识点】算术平方根；探索数与式的规律
【解析】【分析】根据材料中的规律得到s1=32=31×2，s2=76=72×3，···求出S的代数式.
五、综合题
17．（2021八上·贵阳月考）阅读材料： ∵2<6<3，∴6 的整数部分为2， 6 的小数部分为 6−2 .
解决问题：
（1）填空： 73 的小数部分是 ；
（2）已知a是 19−4 的整数部分，b是 19−4 的小数部分，求代数式 (a+1)3+(b+4)2 的值；
（3）已知：m是 2+3 的整数部分，n是其小数部分，求 m−n 的相反数.
【答案】（1）73−8
（2）解：∵4<19<5
∴0<19−4<1
∵a是 19−4 的整数部分，b是 19−4 的小数部分
∴a=0，b=19−4
∴(a+1)3+(b+4)2 =1+19=20 ；
（3）解：∵1<3<2
∴3<2+3<4
m是 2+3 的整数部分，n是其小数部分
∴m−n 的相反数为 −(m−n)=n−m=3−4 .
【知识点】相反数及有理数的相反数；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：（1） ∵8<73<9，∴73 的整数部分为8， 73 的小数部分为 73−8.
故答案为： 73−8；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得8<73<9，据此可得小数部分；
（2）根据估算无理数大小的方法可得4<19<5，进而根据不等式的性质求出19-4的范围，得到其整数部分以及小数部分，即a、b的值，然后代入进行计算；
（3）根据估算无理数大小的方法可得1<3<2，进而根据不等式的性质求出2+3的范围，求出m、n，进而可得m-n，最后根据相反数的概念进行求解.
18．（2019八上·罗湖期中）观察：∵4 ＜ 7 ＜ 9 ，即2＜ 7 ＜3，∴7 的整数部分为2，小数部分为 7 ﹣2，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[ 45 ]＝0，[π]＝3，填空：[ 10 +2]＝ ；[5﹣ 13 ]＝ ．
（2）如果5+ 13 的小数部分为a，5﹣ 13 的小数部分为b，求a2﹣b2的值．
【答案】（1）5；1
（2）根据题意，得
∵3<13<4 ，
∴8<5+13<9 ，
∴a=5+13−8=13−3 ．
∵1<5−13<2
∴b=5−13−1=4−13 ，
∴a+b=1 ， a−b=213−7 ．
∴a2−b2=(a+b)(a−b)
=213−7 ．
∴a2−b2 的值为 213−7 ．
【知识点】估算无理数的大小；代数式求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵9<10<16 ， 9<13<16 ，
∴10 的整数部分为3， 13 的整数部分为3，
∴[10+2]=5 ； [5−13]=1 ．
故答案为5、1．
【分析】（1）根据题目中所给规律即可得结果；（2）把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可．a
0.0001
0.01
1
100
10000
a
0.01
x
1
y
100
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