初中数学湘教版八年级上册第3章 实数3.3 实数优秀同步达标检测题

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一、选择题
1．（2023七下·连江期末）下列说法正确的是（ ）
A．实数分为正实数和负实数B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数
【答案】D
【知识点】实数及其分类；无理数的认识
【解析】【解答】解：A、实数分为正实数、负实数、0，错误；
B、无线小数包含无限不循环小数（属于无理数）和无限循环小数（属于有理数），错误；
C、带根号的数不一定都是无理数，比如4=2，错误；
D、无理数都是无限不循环小数，正确.
故答案为：D.
【分析】根据实数的分类（正实数、负实数和0）、无理数的定义（无理数就是无限不循环小数）逐项判断即可.
2．（2023七下·濮阳期末）如图，若数轴上点A、B对应的实数分别为.−2和2，以B为圆心，BA长为半径画弧与正半轴交点C，则点C对应的实数是（ ）
A．2B．22C．32D．42
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；两点间的距离
【解析】【解答】解：∵数轴上点A、B对应的实数分别为.−2和2，
∴AB=22，
∴BC=AB=22，
∴OC=OB+BC=32，
∴点C对应的实数为32.
故答案为：C.
【分析】由数轴上两点间距离公式结合题意可得BC=AB=22，则OC=OB+BC=32，据此可得点C表示的数.
3．（2023七下·阳江期末）在实数0，−2，−6，−3中，最小的是（ ）
A．0B．−2C．−6D．-3
【答案】D
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵-3<-6<-2<0，
∴最小的数为-3.
故答案为：D.
【分析】负数均小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行比较.
4．（2023七下·讷河期末）为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点O）到达点A，点A对应的数是（ ）
A．πB．3.14C．−πD．－3.14
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：C=πd=π×1=π.
故选： A.
【分析】根据圆周长等于π乘以直径可求解.
5．（2023七下·东港期末）估算13−3的值，下列结论正确的是（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【答案】A
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴0＜13-3＜1，
故答案为：A.
【分析】先估算出13的范围，继而得出13-3的范围即可.
6．（2022·七下潼南期末）如图，数轴上的点E，F，G，M，N，P分别表示数−1，0，1，2，3，4，则表示数17−3的点应落在（ ）
A．线段EF上B．线段GM上C．线段MN上D．线段NP上
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意得4＜17＜5，
∴1＜17−3＜2，
∴表示数17−3的点应落在线段GM上，
故答案为：B
【分析】先根据题意估算无理数17的大小，进而即可得到1＜17−3＜2，再结合数轴即可求解。
7．（2023·吉安模拟）求|12x−1|+|13x−2|+|14x−3|的最小值（ ）
A．12B．6C．72D．3
【答案】C
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：当x＜2时，原式=1-12x+2-13x+3-14x=6-1312x，
∵x＜2，
∴6-1312x>236；
当2≤x≤6时，原式=12x-1+2-13x+3-14x=4-112x，
∵2≤x≤6，
∴72<4-112x≤236；
当6＜x≤12时，原式=12x-1+13x-2+3-14x=712x，
∵6＜x≤12，
∴72<712x≤7；
当x＞12时，原式=12x-1+13x-2+14x-3=1312x-6，
∵x＞12，
∴1312x-6＞7，
综上所述：当x=6时， |12x−1|+|13x−2|+|14x−3|的最小值是72，
故答案为：C.
【分析】利用分类讨论的思想和绝对值的意义化简求解即可。
8．（2021七上·綦江期中）自定义运算： a☆b=a−2b(aA．2028B．2035C．2028或2035D．2021或2014
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；代数式求值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵a☆b=a−2b(a根据题图可知： n<0当 |n|≥|m| 时
∴m+n<0 ， m−n>0
∴m+n∴(m+n)☆(m−n)=(m+n)−2(m−n)=7 ，化简得： 3n−m=7
∴6n−2m=14
∴6n−2m+2021=14+2021=2035 ，
当 |n|≤|m| 时
∴m+n≥0 ， m−n>0
∵(m+n)−(m−n)=m+n−m+n=2n<0
∴m+n∴(m+n)☆(m−n)=(m+n)−2(m−n)=7 ，化简得： 3n−m=7
∴6n−2m=14
∴6n−2m+2021=14+2021=2035 ，
故答案为：B.
【分析】根据题图可知 n<0二、填空题
9．（2023七下·闽清期末）如图，把半径为1的圆从数轴上表示-1的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到达点A′，则点A′表示的数为 ．
【答案】2π−1
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵半径为1的圆的周长为2π，
∴AA'=2π，
∴ 点A′表示的数为2π−1；
故答案为：2π−1.
【分析】求出圆的周长即为AA'的长，再减去1即得点A′表示的数.
10．（2023八下·黄州期末）若m是6的小数部分，则m2= ．
【答案】10−46
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵2＜ 6＜3，
∴6的整数部分为2，小数部分为m=6-2，
∴m2=（6-2）2=10−46，
故填：10−46.
【分析】先估算6的大小，从而得出小数部分m值，再代入计算即可.
11．（2023七下·仙桃期末）已知432=1849，442=1936，452=2025，462=2116．若n为整数且n<2023【答案】44
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题干信息得：442=1936，452=2025，
∵1936＜2023＜2025，
∴44＜2023＜45，
∵n<2023∴n=44，
故答案为：44.
【分析】根据题目给出的信息：442=1936，452=2025，可得：44＜2023＜45，从而可以得出答案.
12．（2022七上·衢州期中）如图，将 1、2，3，三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，（3，2）为第 3 排第 2 列的数为2，则（8，2）与（100，100）表示的两个数的积是 ．
【答案】3
【知识点】实数的运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵每三个数一循环，1、3，2，
（8，2）在数列中是第（1+7）×7÷2+2=30个，
30÷3=10，
∴（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，
∴（8，2）表示的数是3；
（100，100）在数列中是第（1+99）×99÷2+100=5050个，
5050÷3=1683…1，
∴（100，100）表示的数正好是第1684轮的第一个数，
∴（100，100）表示的数是1，
∴（8，2）与（100，100）表示的两个数的积是1×3=3.
故答案为：3
【分析】观察表中数据的排列规律可知每三个数一循环，1、3，2，第1排1个数，第2排2个数，第3排3个数…第n排n个数，可得到（8，2）在数列中是第30个数，用30÷3，可得到（8，2）表示的数是3；再求出100，100）在数列中是第5050个，用5050÷3，根据结果及余数，可得到（100，100）表示的数是1，然后求出（8，2）与（100，100）表示的两个数的积即可.
13．（2021七上·青岛期中）若 x+y+z=0 ，且x，y，z均不为零，则 x|x|+|y|y+z|z| 的值为 ．
【答案】±1
【知识点】有理数的加法；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵x+y+z=0 ，且 x ， y ， z 均不为零，
∴x，y，z的值可能是两负一正或两正一负，
①当 x<0 ， y<0 ， z>0 时，其他两负一正的情况都是一样的，故这里只说明一种，则有：
x|x|+|y|y+z|z|=−1−1+1=−1 ，
②当 x<0 ， y>0 ， z>0 时，则有：
x|x|+|y|y+z|z|=−1+1+1=1 ，
综上所述： x|x|+|y|y+z|z| 的值为 ±1 ；
故答案为： ±1 ．
【分析】先求出x，y，z的值可能是两负一正或两正一负，再分类讨论，计算求解即可。
三、解答题
14．（2023七下·云阳期中）已知2a−1的平方根是±3，3a+b−9的立方根是2，c是−57的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
【答案】解：∵2a−1的平方根是±3
∴2a−1=9
2a=10
a=5
∵3a+b−9的立方根是2
∴3a+b−9=8
15+b−9=8
b=2
∵−8<−57<−7
∴c=−7
∴a+2b+c=5+4−7=2
∴a+2b+c的算术平方根为2．
故答案为：2．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小
【解析】【分析】利用平方根的性质可得2a−1=9，求出a的值，再利用立方根的性质可得3a+b−9=8，求出b的值，再利用估算无理数大小的方法求出c的值，再将a、b、c的值代入a+2b+c计算即可。
15．（2023七下·江北期中）先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足a+2b=3−22，求ba的值．
解：由题意得(a−3)+(b+2)2=0，
因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，
由于2是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=﹣2， 所以ba=(−2)3=−8．
问题：设x、y都是有理数，且满足x2−2y+5y=10+35，求x+y的值．
【答案】解：∵x2−2y+5y=10+35，
∴(x2−2y−10)+(5y−35)=0，
∴x2−2y−10=0，5y−35=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原式变形为(x2−2y−10)+(5y−35)=0， 根据阅读材料可得x2−2y−10=0，5y−35=0 ，从而解出x、y的值，再代入计算即可.
四、综合题
16．（2023七下·固始期末）下面是小李同学探索107的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是107，且10＜107＜11，
∴设107=10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10•x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即107≈10.35．
（1）76的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究76的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）8
（2）解：∵面积为76的正方形边长是76，且8＜76＜9，
∴设76＝8+x，其中0＜x＜1，如图所示，
∵图中S正方形＝82+2×8•x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8•x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即76≈8.75．
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：（1）∵64＜76＜81，
∴8＜76＜9，
∴76的整数部分是8；
故答案为：8.
【分析】（1）被开方数大，算术平方根就大，据此估算即可；
（2）根据题目提供的方法进行解答即可.
17．（2023七下·瑶海期末）我们容易发现：22+32>2×2×3；52+52=2×5×5；52+32>2×5×3．
（1）观察以上各式，请判断a2+b2与2ab之间的大小关系，并说明理由；
（2）利用（1）中的结论，当a>0，b>0时，求ba+ab的最小值；
（3）根据（1）中的结论猜想(a+b2)2与ab之间的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：a2+b2≥2ab，理由如下：
∵(a−b)2≥0
∴a2−2ab+b2≥0
∴a2+b2≥2ab；
（2）解：∵a>0，b>0
∴ba+ab≥2ba⋅ab=2
∴当且仅当ba=ab时，ba+ab取得最小值2；
（3）解：(a+b2)2≥ab，理由如下：
∵(a−b)2≥0
∴a2−2ab+b2≥0
∴a2+b2≥2ab
∴a2+b2+2ab≥4ab
∴(a+b)2≥4ab
∴(a+b)24≥ab
∴(a+b2)2≥ab．
【知识点】实数大小的比较；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；
（2）根据题意先求出ba+ab≥2ba⋅ab=2 ，再求最小值即可；
（3）先求出a2+b2≥2ab ，再求出(a+b)24≥ab ，最后求解即可。1
第一排
3
2
第二排
3
2
1
第三排
1
3
2
1
第四排
3
2
1
3
2
第五排
……
第五列
第四列
第三列
第二列
第一列
……