高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.2 排列与排列数第1课时学案设计

3.1.2　排列与排列数

第1课时　排列与排列数

(教师独具内容)

课程标准：1.通过实例，理解排列的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式.

教学重点：理解排列的概念及排列数公式.

教学难点：利用排列数公式解决一些简单的实际问题.

知识点一　　　排列的定义

一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列.

知识点二　　　排列数及排列数公式

1.排列数的定义

从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示.

2.排列数公式

(1)乘积形式：A＝n(n－1)…(n－m＋1)(n和m都是自然数，且m≤n).

(2)阶乘形式：A＝ (n和m都是自然数，且m≤n).

(3)性质：A＝n！，规定0！＝1.

　排列的定义包括两个基本内容：一是“取出对象”；二是“按照一定的顺序排成一列”.

注意：所研究的n个对象是互不相同的，取出的m个对象也是不同的．判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同对象中取出m个对象后，再安排这m个对象时，是有序的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列.

注意“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从n个不同对象中任取m个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，它是一个数.

1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．(　　)

(2)在一个排列中，同一个对象不能重复出现．(　　)

(3)从1,2,3,4中任选两个对象，就组成一个排列．(　　)

(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2.做一做

(1)89×90×91×…×100可表示为(　　)

A.A  B．A  C．A  D．A

(2)从5个人中选取甲、乙2个人去完成某项工作，这________(填“是”或“不是”)排列问题.

(3)从1,2,3中任取两个数字可组成的不同的两位数有________个.

答案　(1)C　(2)不是　(3)6

题型一  排列的有关概念

例1　判断下列问题是否是排列问题：

(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？

(2)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？

(3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？

(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？

(5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？

[解]　(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的两个数做加法时，与两个数的位置无关，所以不是排列问题.

(2)是．因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数做横坐标，哪一个数做纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.

(3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题.

(4)是．因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以这是排列问题.

(5)是．任取两个球分别放入甲、乙两个盒子里，这是有顺序的，所以这是排列问题.

点睛

判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出对象后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换对象的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题.

　判断下列问题是否为排列问题：

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？

(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1？

(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？

解　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.

(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.

(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关.

题型二  简单的排列问题

例2　(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？

(2)两名老师和两名学生排成一排合影留念，求共有多少种不同的排法？

[解]　(1)列出每一个起点和终点的情况，如图所示.

故符合题意的机票种类有：

北京—广州，北京—南京，北京—天津，广州—南京，广州—天津，广州—北京，南京—天津，南京—北京，南京—广州，天津—北京，天津—广州，天津—南京，共12种.

(2)共有A＝4×3×2×1＝24种不同的排法.

点睛

用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列中各对象的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏.

　从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数.

(1)能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数；

(2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个？并写出这些三位数.

解　(1)组成三位数分三个步骤：

第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；

第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；

第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.

由分步乘法计数原理得，共有3×3×2＝18个不同的三位数.

画出下列树形图：

由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.

(2)直接画出树形图如图：

由树形图知，符合条件的三位数有8个，分别为201,210,230,231,301,302,310,312.

题型三  与排列数有关的运算

例3　(1)计算：；

(2)解方程3A＝4A；

(3)解不等式A>6A，其中x≥3，x∈N*；

(4)若n∈N，将(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示.

[解]　(1)原式＝＝＝＝.

(2)由3A＝4A，得，

化简，得x2－19x＋78＝0，

解得x1＝6，x2＝13.

又x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.

(3)由原不等式，得，其中3≤x≤9，x∈N*，即(11－x)(10－x)>6，

整理，得x2－21x＋104>0，解得x<8或x>13.

又3≤x≤9，x∈N*，所以x＝3,4,5,6,7.

故原不等式的解集为{3,4,5,6,7}.

(4)先确定最大数，即69－n，再确定因式的个数为(69－n)－(55－n)＋1＝15.

则由排列数公式，得A.

点睛

(1)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意，A中m∈N，n∈N，且m≤n这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不符合题意的解舍掉.

(2)利用排列数公式灵活解决问题的前提条件是准确把握排列数公式的结构特征——A就是从n起，依次减“1”的m个正整数之积，熟练掌握这一结构特征，就能活用排列数公式.

　(1)设a∈N*，且a<27，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于(　　)

A.A  B．A

C.A  D．A

(2)计算：＝________.

(3)求证：A＝A·A.

答案　(1)D　(2)5　(3)见解析

解析　(1)27－a,28－a，…，34－a中最大数为34－a，一共有34－a－(27－a)＋1＝8个因式，所以(27－a)·…·(34－a)＝A.

(2)解法一：＝＝＝5.

解法二：＝＝5.

(3)证明：A·A＝＝n！＝A.等式得证.

1.下列问题是排列问题的是   (　　)

A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B.10个人互相发微信一次，共发了多少条微信？

C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ 

D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？

答案　B

解析　排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选B.

2.计算＝(　　)

A.12    B．24  C．30    D．36

答案　D

解析　因为A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.

3.某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　)

A.8  B．12  C．16  D．24

答案　B

解析　设车站数为n，则A＝132，即n(n－1)＝132，

∴n＝12.

4.若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种.

答案　23

解析　因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现的错误的种数为A－1＝23.

5.将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法.

解　树形图为(如图)：

由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.若6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　)

A.36  B．120

C.720  D．240

答案　C

解析　此问题可以看成求6名同学站成一排的方法数，即A＝AA＝720.故选C.

2.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有(　　)

A.9个  B．12个

C.15个  D．18个

答案　B

解析　本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：12－2－23－3－34－4－4　12－1－13－1－14－1－1　112－13－14－1　111234

由此可知，这样的四位数共有12个.

3.若S＝1！＋2！＋3！＋…＋2020！，则S的个位数是 (　　)

A.0  B．3

C.5  D．9

答案　B

解析　∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24，而5！＝120的个位数是0,6！＝720的个位数是0，…，2020！的个位数也是0，∴S的个位数就是1！＋2！＋3！＋4！的个位数．∵1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝33，∴S的个位数就是3.故选B.

4.三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有(　　)

A.6种  B．10种

C.8种  D．16种

答案　B

解析　记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传给乙，则不同的传球方式有

其中经过5次传球后，球仍回到甲手中的有5种，同理若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式使球仍回到甲手中，故共有10种传球方式使球仍回到甲手中.

5.(多选)下列各式中与排列数A相等的是(　　)

A.   B．n(n－1)(n－2)…(n－m)

C.  D．AA

答案　CD

解析　∵A＝，A显然错误；∵n(n－1)(n－2)…(n－m)＝＝A，∴A≠n(n－1)(n－2)…(n－m)，故B错误；∵＝·＝，∴A＝，故C正确；∵AA＝＝＝，∴A＝AA，故D正确．故选CD.

二、填空题

6.在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数是________.

答案　5

解析　首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树形图进行筛选.

满足a1>a2的树形图如下：

从而得出满足题意的排列：2143,3142,3241,4132,4231，共5个排列.

7.求值：A＋A＝________.

答案　726

解析　由已知，得解得≤n≤3.∵n∈N，

∴n＝3，∴A＋A＝A＋A＝6×5×4×3×2＋3×2×1＝726.

8.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________.

答案　18

解析　由于lg a－lg b＝lg (a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝20－2＝18.

三、解答题

9.(1)求值：；

(2)解方程：A＝140A；

(3)求值：；

(4)化简：1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！；

(5)化简：＋＋＋…＋.

解　(1)

＝

＝＝1.

(2)根据原方程，x应满足

解得x≥3，n∈N.

根据排列数公式，原方程可化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2).

又x≥3，两边同时除以4x(x－1)，得

(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，即4x2－35x＋69＝0，

解得x＝3或x＝(舍去).

故原方程的解为x＝3.

(3)原式＝·(n－m)！·

＝·(n－m)！·＝1.

(4)原式＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.

(5)∵＝－，

∴＋＋＋…＋＝＋＝1－.

10.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.

解　如图，

由树形图可写出所有不同试验方法如下：

a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.

B级：“四能”提升训练

1.证明：A－A＝mA.

证明　证法一：∵A－A＝－

＝·－1＝·

＝m·＝mA，

∴A－A＝mA.

证法二：A表示从n＋1个对象中取出m个对象的排列个数，其中不含对象a1的有A个，含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外n个对象中取出m－1个对象排在剩下的m－1个位置上，有A种排法，故含有a1的排法有mA种，

∴A－A＝mA.

2.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？

解　由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，∴A－A＝62，

即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.

∴m(2n＋m－1)＝62＝2×31.

∵m<2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*；

∴

解得

故原有15个车站，现有17个车站.