高中数学3.1.2 排列与排列数课文配套课件ppt

www.ks5u.com第2课时　排列数的应用

【例1】　(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

[思路点拨]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．

[解]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．

(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．

1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．

2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．

1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，则共有________种不同的分法．

(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．

(1)720　(2)60　[(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720.

(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A＝5×4×3＝60种选法．]

角度一　元素“相邻”与“不相邻”问题

【例2】　3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．

(1)全体站成一排，男、女各站在一起；

(2)全体站成一排，男生必须站在一起；

(3)全体站成一排，男生不能站在一起；

(4)全体站成一排，男、女各不相邻．

[解]　(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；

女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；

全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．

由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法．

(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法．

(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，

故共有A·A＝1 440种排法．

(4)排好男生后让女生插空，

共有A·A＝144种排法．

“相邻”与“不相邻”问题的解决方法

处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．

2．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为(　　)

A．18 B．24　　　　

C．36　 D．48

C　[5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A×A＝36(种)．]

角度二　元素“在”与“不在”问题

【例3】　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

(1)甲不站两端；

(2)甲、乙站在两端；

(3)甲不站左端，乙不站右端．

[解]　(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480种．

法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后其余4人有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480种．

法三：若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A－2A＝480种．

(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有A·A＝48种站法．

(3)法一：甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有A－2A＋A＝504种站法．

法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A·A·A种，故共有A＋A·A·A＝504种站法．

“在”与“不在”问题的解决方法

3．4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有(　　)

A．12种 B．14种

C．16种 D．24种

B　[用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24种排法，减去甲跑第一棒有A＝6种排法，乙跑第四棒有A＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A＝2种排法，共有A－2A＋A＝14种不同的出场顺序．]

角度三　定序问题

【例4】　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．则有多少种不同的排列方法？

[解]　5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．

法一：(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(种)．

法二：(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：

第一类，若字母D，E相邻，则有A·A种排法；

第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法．

所以有A·A＋A＝20(种)不同的排列方法．

同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法．

因此，满足条件的排列有20＋20＝40(种)．

在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：

1．整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法．

2．插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．

4．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．

210　[若1,3,5,7的顺序不定，有A＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的.故有A＝210(个)七位数符合条件．]

[探究问题]

1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？

[提示]　偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(个)不同的偶数．

2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?

[提示]　在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．

【例5】　(教材P12例6改编)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的

(1)六位奇数？

(2)个位数字不是5的六位数？

[思路点拨]　这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．

[解]　(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．

法二：从特殊元素入手(直接法)

0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A种排法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．

法三：排除法

6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A个，故满足条件的六位奇数共有A－3A－3A＝288(个)．

(2)法一：排除法

0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在十万位且5在个位的六位数有A个．

故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．

法二：直接法

十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：

第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A个．

第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有AAA个．

故共有符合题意的六位数A＋AAA＝504(个)．

解数字排列问题常见的解题方法

1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．

2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．

3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．

4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．

1．解排列应用题的基本思想

2．求解排列问题的主要方法

1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　)

A．36　　　 B．120　　　

C．720 D．240

C　[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.]

2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　)

A．8　　　 B．12　　　

C．16 D．24

B　[设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.]

3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．

144　[先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个．]

4．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．

24　[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A＝24种．]

5．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？

(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；

(2)2个唱歌节目互不相邻；

(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．

[解]　(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440(种)排法．

(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30 240(种)排法．

(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有A·A·A＝2 880(种)排法．