










高中数学3.1.2 排列与排列数课文配套课件ppt
展开www.ks5u.com第2课时 排列数的应用
学 习 目 标 | 核 心 素 养 |
1.进一步理解排列的概念,掌握一些排列问题的常用解题方法.(重点) 2.能应用排列知识解决简单的实际问题.(难点) | 1.通过排列知识解决实际问题,提升逻辑推理的素养. 2.借助排列数公式计算,提升数学运算的素养. |
无限制条件的排列问题 |
【例1】 (1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
(2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
[思路点拨] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题;(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本,各人得到哪本书相互之间没有联系,要用分步乘法计数原理进行计算.
[解] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是A=5×4×3=60,所以共有60种不同的送法.
(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同方法种数是5×5×5=125,所以共有125种不同的送法.
1.没有限制的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可.
2.对于不属于排列的计数问题,注意利用计数原理求解.
1.(1)将3张电影票分给10人中的3人,每人1张,则共有________种不同的分法.
(2)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,不同的选法共有________种.
(1)720 (2)60 [(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来,这是一个排列问题.故不同分法的种数为A=10×9×8=720.
(2)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,应有A=5×4×3=60种选法.]
排队问题 |
角度一 元素“相邻”与“不相邻”问题
【例2】 3名男生、4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法的种数.
(1)全体站成一排,男、女各站在一起;
(2)全体站成一排,男生必须站在一起;
(3)全体站成一排,男生不能站在一起;
(4)全体站成一排,男、女各不相邻.
[解] (1)男生必须站在一起是男生的全排列,有A种排法;
女生必须站在一起是女生的全排列,有A种排法;
全体男生、女生各视为一个元素,有A种排法.
由分步乘法计数原理知,共有A·A·A=288种排队方法.
(2)三个男生全排列有A种方法,把所有男生视为一个元素,与4名女生组成5个元素全排列,有A种排法.故有A·A=720种排队方法.
(3)先安排女生,共有A种排法;男生在4个女生隔成的五个空中安排,共有A种排法,
故共有A·A=1 440种排法.
(4)排好男生后让女生插空,
共有A·A=144种排法.
“相邻”与“不相邻”问题的解决方法
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
2.5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为( )
A.18 B.24
C.36 D.48
C [5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A×A=36(种).]
角度二 元素“在”与“不在”问题
【例3】 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙站在两端;
(3)甲不站左端,乙不站右端.
[解] (1)法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有A种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法A·A=480种.
法二:由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有A种站法,然后其余4人有A种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法A·A=480种.
法三:若对甲没有限制条件共有A种站法,甲在两端共有2A种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即得所求的站法数,共有A-2A=480种.
(2)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有A种,再让其他4人在中间位置作全排列,有A种,根据分步乘法计数原理,共有A·A=48种站法.
(3)法一:甲在左端的站法有A种,乙在右端的站法有A种,且甲在左端而乙在右端的站法有A种,共有A-2A+A=504种站法.
法二:以元素甲分类可分为两类:a.甲站右端有A种,b.甲在中间4个位置之一,而乙不在右端有A·A·A种,故共有A+A·A·A=504种站法.
“在”与“不在”问题的解决方法
3.4名运动员参加4×100接力赛,根据平时队员训练的成绩,甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,则不同的出场顺序有( )
A.12种 B.14种
C.16种 D.24种
B [用排除法,若不考虑限制条件,4名队员全排列共有A=24种排法,减去甲跑第一棒有A=6种排法,乙跑第四棒有A=6种排法,再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A=2种排法,共有A-2A+A=14种不同的出场顺序.]
角度三 定序问题
【例4】 将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻).则有多少种不同的排列方法?
[解] 5个不同元素中部分元素A,B,C的排列顺序已定,这种问题有以下两种常用的解法.
法一:(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种,由于字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”或“C,B,A”,因此,在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”排列方式的排列有×2=40(种).
法二:(插空法)若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”,将字母D,E插入,这时形成的4个空中,分两类:
第一类,若字母D,E相邻,则有A·A种排法;
第二类,若字母D,E不相邻,则有A种排法.
所以有A·A+A=20(种)不同的排列方法.
同理,若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”,也有20种不同的排列方法.
因此,满足条件的排列有20+20=40(种).
在有些排列问题中,某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻),解决这类问题的基本方法有两种:
1.整体法:即若有m+n个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,先将这m+n个元素排成一列,有A种不同的排法;然后任取一个排列,固定其他n个元素的位置不动,把这m个元素交换顺序,有A种排法,其中只有一个排列是我们需要的,因此共有种满足条件的不同排法.
2.插空法:即m个元素之间的先后顺序确定不变,因此先排这m个元素,只有一种排法,然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中.
4.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有________个七位数符合条件.
210 [若1,3,5,7的顺序不定,有A=24(种)排法,故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的.故有A=210(个)七位数符合条件.]
数字排列问题 |
[探究问题]
1.偶数的个位数字有何特征?从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数?
[提示] 偶数的个位数字一定能被2整除.先从2,4中任取一个数字排在个位,共2种不同的排法,再从剩余数字中任取一个数字排在十位,共4种排法,故从1,2,3,4,5中任取两个数字,能组成2×4=8(个)不同的偶数.
2.在一个三位数中,身居百位的数字x能是0吗?如果在0~9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数,如何排才能使百位数字不为0?
[提示] 在一个三位数中,百位数字不能为0,在具体排数时,从元素0的角度出发,可先将0排在十位或个位的一个位置,其余数字可排百位、个位(或十位)位置;从“位置”角度出发可先从1~9这9个数字中任取一个数字排百位,然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置.
【例5】 (教材P12例6改编)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)六位奇数?
(2)个位数字不是5的六位数?
[思路点拨] 这是一道有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外,还可以用间接法求解.
[解] (1)法一:从特殊位置入手(直接法)分三步完成,第一步先填个位,有A种填法,第二步再填十万位,有A种填法,第三步填其他位,有A种填法,故共有AAA=288(个)六位奇数.
法二:从特殊元素入手(直接法)
0不在两端有A种排法,从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有A种排法,故共有AAA=288(个)六位奇数.
法三:排除法
6个数字的全排列有A个,0,2,4在个位上的六位数为3A个,1,3,5在个位上,0在十万位上的六位数有3A个,故满足条件的六位奇数共有A-3A-3A=288(个).
(2)法一:排除法
0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个,0在十万位且5在个位的六位数有A个.
故符合题意的六位数共有A-2A+A=504(个).
法二:直接法
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类:
第一类:当个位排0时,符合条件的六位数有A个.
第二类:当个位不排0时,符合条件的六位数有AAA个.
故共有符合题意的六位数A+AAA=504(个).
(变结论)用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数.
(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?
(2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数?
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an},则240 135是第几项?
[解] (1)符合要求的五位数可分为两类:第一类,个位上的数字是0的五位数,有A个;第二类,个位上的数字是5的五位数,有A·A个.故满足条件的五位数的个数共有A+A·A=216(个).
(2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类:
第一类,形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共A·A个;
第二类,形如14□□,15□□,共有A·A个;
第三类,形如134□,135□,共有A·A个.
由分类加法计数原理知,无重复数字且比1 325大的四位数共有:A·A+A·A+A·A=270(个).
(3)由于是六位数,首位数字不能为0,首位数字为1有A个数,首位数字为2,万位上为0,1,3中的一个有3A个数,∴240 135的项数是A+3A+1=193,即240 135是数列的第193项.
解数字排列问题常见的解题方法
1.“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.
2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行,要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏.
3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.
4.“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.
1.解排列应用题的基本思想
2.求解排列问题的主要方法
直接法 | 把符合条件的排列数直接列式计算 |
优先法 | 优先安排特殊元素或特殊位置 |
捆绑法 | 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列 |
插空法 | 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 |
定序问题 除法处理 | 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 |
间接法 | 正难则反,等价转化的方法 |
1.6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为( )
A.36 B.120
C.720 D.240
C [由于6人排两排,没有什么特殊要求的元素,故排法种数为A=720.]
2.某段铁路所有车站共发行132种普通车票,那么这段铁路共有的车站数是( )
A.8 B.12
C.16 D.24
B [设车站数为n,则A=132,n(n-1)=132,∴n=12.]
3.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数,要求在其偶数位上必须是偶数,奇数位上必须是奇数,则这样的七位数有________个.
144 [先排奇数位有A种,再排偶数位有A种,故共有AA=144个.]
4.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有________种.
24 [把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,共A=24种.]
5.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?
(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;
(2)2个唱歌节目互不相邻;
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
[解] (1)先排唱歌节目有A种排法,再排其他节目有A种排法,所以共有A·A=1 440(种)排法.
(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目,有A种插入方法,所以共有A·A=30 240(种)排法.
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共A种排法,再将3个舞蹈节目插入,共有A种插入方法,最后将2个唱歌节目互换位置,有A种排法,故所求排法共有A·A·A=2 880(种)排法.
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