人教版第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数当堂检测题

28.1.3 特殊角的三角函数值

基础训练

知识点1 特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值

1.sin 30°的值是(　　)

A.      B.    C.   D.1

2.cos 60°的值等于(　　)

A.    B. C. D.

3.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,则sin A的值等于(　　)

A.     B.   C.   D.1

4.计算sin245°+cos 30°·tan 60°,其结果是(　　)

A.2 B.1 C. D.

5.如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=30°,则sin ∠AOB的值是(　　)

A.   B.    C. D.

6.如图,已知☉O的两条弦AC,BD相交于点E,∠A=70°,∠C=50°,那么tan ∠AEB的值为(　　)

A. B. C. D.

7.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°,OC=,则点B的坐标为(　　)

A.(,1)    B.(1,)

C.(+1,1) D.(1,+1)

知识点2 由特殊三角函数值求角

8.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则∠B的度数是(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

9.(2014·凉山州)在△ABC中,若+(1-tan B)2=0,则∠C的度数是(　　)

A.45° B.60° C.75° D.105°

10.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,则△ABC的形状是(　　)

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.锐角三角形 D.不能确定

11.若(tan A-1)2+|2cos B-|=0,则△ABC为(　　)

A.直角三角形

B.等边三角形

C.含有60°角的任意三角形

D.顶角为钝角的等腰三角形

12.如图,已知点A(0,1),B(0,-1),以点A为圆心,AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点C,则∠BAC等于　　　　度.

13.如图,在△ABC中,AC=1,AB=2,∠BAC=60°,求BC的长.

提升训练

考查角度1 利用特殊角的三角函数值进行实数混合运算

14.计算:-(π-)0+|-2|+4sin 60°

考查角度2 利用特殊角的三角函数值进行分式化简求值

15.先化简,再求值:

÷,其中x=2(tan 45°-cos 30°).

考查角度3 利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状

16.已知a=3,且(4tan 45°-b)2+=0,判断以a,b,c为边组成的三角形的形状.

考查角度4 利用三角函数值求三角形内角的度数

17.如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=1.

若BC=,求△ABC三个内角的度数;

考查角度5 利用特殊角的三角函数值求角

18.如图,△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,已知∠BDC=45°,BD=10,AB=20.求∠A的度数.

19.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处观察树顶C,测得视线与水平线的夹角为30°(即∠CAD=30°),然后沿AD方向前行10 m,到达B处,在B处观察树顶C,测得视线与水平线的夹角为60°(即∠CBD=60°,A,B,D三点在同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度.(结果精确到0.1 m.参考数据:≈1.414,≈1.732)

20.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10 km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果保留根号)

探究培优

拔尖角度1 利用三角函数求点的坐标及三角形面积

21.如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限内,点B的坐标为(3,0),OA=2,∠AOB=60°.

(1)求点A的坐标;

(2)若直线AB交y轴于点C,求△AOC的面积.

拔尖角度2 利用特殊角的函数值猜想平方关系(从特殊到一般的思想)

22.阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题.

sin230°+cos230°=　　　　;① 

sin245°+cos245°=　　　　;② 

sin260°+cos260°=　　　　;③ 

……

观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=　　　　.④ 

(1)如图所示,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想;

(2)已知∠A为锐角(cos A>0)且sin A=,求cos A.

参考答案

1.【答案】A　2.【答案】A　3.【答案】B　4.【答案】A

5.【答案】C　

解：∵∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°,

∴sin ∠AOB=sin 60°=.

6.【答案】A　7.【答案】C　8.【答案】C　

9.【答案】C　10.【答案】B　11.【答案】D

12.【答案】60

13.错解:在△ABC中,∵=sin A,∴BC=AB·sin A=2sin 60°=2×=.

诊断:错解的原因是忽略了锐角三角函数使用的前提条件是在直角三角形中.本题中没有明确指出△ABC是直角三角形,因此,不能直接得到=sin A,必须通过添加辅助线,构造出直角三角形再利用三角函数的定义来解决.

正解:过点C作CD⊥AB于点D,如图所示.

在Rt△ADC中,

∵cos A=,sin A=,∴AD=AC·cos A=1×cos 60°=,

CD=AC·sin A=1×sin 60°=.

在Rt△BDC中,BD=AB-AD=2-=,

∴BC====.

14.解:原式=4-1+2-+4×

 =5-+2

 =5+

15.解:∵x=2(tan 45°-cos 30°)=2=2-,

∴原式=÷=·=-=-==.

16.解:∵(4tan 45°-b)2+=0,

∴4tan 45°-b=0,3+b-c=0.∴b=4,c=5.

又∵a2+b2=9+16=25=c2,∴以a,b,c为边组成的三角形是直角三角形.

分析：先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出c,b的值,再根据三角形的三边关系判断出其形状.

17.解:过点A作AD⊥BC,垂足为D.

当BC=时,∵AB=AC=1,

∴AB2+AC2=BC2.∴∠BAC=90°.

∴∠B=∠C=45°.

18.解:∵∠BDC=45°,∠C=90°,∴△BCD为等腰直角三角形,

∴BC=CD.

又∵BD=10,∴BC=10.

又∵AB=20,∴sin A===.

∴∠A=30°.

19.解:由题意可知:CD⊥AD,设CD=x m.

在Rt△BCD中,tan ∠CBD=,

∴BD==x.在Rt△ACD中,tan A=,

∴AD==x.又∵AD=AB+BD,∴x=10+x,解得:x=5≈8.7.∴CD≈8.7 m.

20.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,

在Rt△ACD中,

∵AC=10,∠A=30°,sin 30°=,cos 30°=,

∴CD=ACsin 30°=5(km),

AD=ACcos 30°=5(km).

在Rt△BCD中,

∵∠B=45°,

∴BD=CD=5 km,BC=5 km,

∴AC+BC-(AD+BD)=10+5-(5+5)=5+5-5(km).

答:隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走(5+5-5)km.

分析：解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形并利用特殊角的三角函数值求解.

21.分析:(1)要求点A的坐标,只需过点A作x轴的垂线,垂足为D,只要求出OD,AD的长即可.(2)欲求S△AOC,只需求出OC的长,然后根据S△AOC=OC·OD计算即可.

解:(1)过点A作AD⊥x轴,垂足为D,如图.

在Rt△OAD中,sin 60°=,cos 60°=.

∴AD=OA·sin 60°=2sin 60°=2×=,

OD=OA·cos 60°=2cos 60°=2×=1.

∴点A的坐标是(1,).

(2)设直线AB的解析式为y=kx+b.

∵直线AB过点A(1,)和B(3,0),

∴代入得解得

∴直线AB的解析式是y=-x+.

 令x=0,则y=,因此OC=,

∴S△AOC=OC·OD=××1=.

方法解：过平面直角坐标系中的一点向x轴或向y轴作垂线是解决求点坐标及面积的主要方法.再在直角三角形中运用三角函数的知识,求出相关线段的长是解本题的关键.

22.解:1;1;1;1

(1)如图所示,过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90°.

∵sin A=,cos A=,

∴sin2A+cos2A=+=,

∵∠ADB=90°,

∴BD2+AD2=AB2,

∴sin2A+cos2A=1.

(2)∵sin A=,sin2A+cos2A=1,∠A为锐角,

∴cos A==.