初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试课时练习

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试课时练习，共23页。试卷主要包含了方程的解是，若代数式的值是26，则的值应是，老师在黑板上写出解方程等内容，欢迎下载使用。

21.2 一元二次方程的解法
21.2.1直接开平方法

一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
　　(1)直接开方法解一元二次方程：
　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
　　(2)直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　　　 　若，则x=0；表示为，有两个相等的实数根；
　　　 　若，则方程无实数根．
　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 .
要点诠释：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

类型一、用直接开平方法解一元二次方程,形如关于x的一元二次方程
例1、求下列x的值
（1）
（2）
解析：形如或，的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．

练习：用直接开平方法求下列各方程的根：
(1)　　　（2）； 　（3）





例2、解下列方程：
(1) (2x+3)2-25=0； 　　 (2)（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 　　　
解析：形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 .


练习：解方程： (1)； (2)

　　 　
　　

例3、方程的根为（ ）
A.3 B.-3 C. D.无实数根

练习：若关于一元二次方程无解，则的取值范围是：

例4、若一元二次方程（）的两个根分别为与，则=

练习、若一元二次方程的两根为，其中为两个常数，则的值为（ ）
A. B. C.3 D.5

一、选择题
1.方程的解是（ ）
A. B. C. D.
2.方程的解是（ ）
A. B. C. D.
3.若关于的一元二次方程的一个根是，你认为另一个根是（ ）
A.0 B. C. D.没有
4.已知□没有解，你认为□代表的数字可能是（ ）
A.10 B.1 C.0 D.-4
5.若代数式的值是26，则的值应是（ ）
A.10 B. C. D. 或
6.老师在黑板上写出解方程：.四名同学给出四个不同的答案，你认为正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
7.当 时，关于的方程有实数根.
8.一元二次方程的解是 .
9.用直接开平方法解下列一元二次方程：①；②；③④，其中无解的方程是 .
10.如图所示，是4×3网格图，已知图中每个小正方形的边长均为㎝，且图中阴影部分的面积是80㎝2.根据题意可列出方程： ，可解得小正方形的边长为 ㎝.
10题图





三、解答题
11.用直接开平方法解一元二次方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）







12.根据题意列方程并求解：
（1）当取何值时，代数式的值与的值相等？
（2）当取何值时，代数多的值与互为相反数？





13.如果分式的值为0，那么请你求出的值.





14.学校采购了15块泡沫用于科技制作，每块规格为10dm×10dm，现按要求用这些材料制成10个同样大小的正方体的盒子（材料没有剩余），你能算出盒子的棱长吗？




21.2.2配方法解一元二次方程

1． 配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2) 配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．

类型一：用配方法解一元二次方程
例1、用配方法解方程：．
解析：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.


练习、用配方法解方程
（1） （2）





（3） （4）





（5） （6）



题型二：利用配方法求最值
例2、求代数式的最小值
解析：
∵，
∴当时，代数式的最小值是1.
练习1：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？




练习2：试用配方法证明：代数式的值不小于．



例3、若把代数式化为的形式，其中为常数，则的最大值是　　 ．




题型三：用配方法判断代数式的正负
例4、若代数式，，则的值（　　）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数
解析：（作差法）

．

练习：用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．
类型四：利用配方法求代数式的值
例5、已知，求的值．
思路点拨：解此题关键是把拆成 ，可配成两个完全平方式．



练习：已知，则的值为 ．





一、选择题
1. 一元二次方程配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
3．把一元二次方程化成的形式时，的值为（　　）
A．8 B．6 C．3 D．2
4．不论为何实数，代数式的值 ( )
A．总不小于2 B．总不小于7 C．为任何实数 D．为负数
5．已知，则的值等于（ ）
A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2
6.用配方法解方程
（1） （2）

（3）． （4）．




7．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab= ．

8．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是 ；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a= .


9.若是一个完全平方式，则m的值是 ．


10．求代数式2x2-7x+2的最小值为 .


11. （1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .


12． 当取何值时，多项式取得最小值，并求出最小值．



13. 已知，求的值．




14．已知a，b，c是△ABC的三边，且．
(1)求a，b，c的值；
(2)判断三角形的形状．

21.2.3公式法，因式分解法解一元二次方程

要点一、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
　①当时，原方程有两个不等的实数根；
　②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　①把一元二次方程化为一般形式；
　②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
　④若，则利用公式求出原方程的解；
　　若，则原方程无实根.
要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.
② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.
③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.

要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

知识点一：用公式法解一元二次方程
例1、用公式法解方程
（1）
（2）
（3）
解析：用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.

练习：用公式法解下列方程．
(1) ； (2)； (3)．




例2.解关于x的方程．
解析：(1)当m+n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为．
∵ m≠0，解得x＝1．
(2)当m+n≠0时，
∵ ，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，．
总结：解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．
练习1：解关于的方程；




练习2：用公式法解下列方程：；




练习3：用公式法解下列方程：




题型二：用因式分解法解特殊形式的一元二次方程
例3：用因式分解法解下列方程：
（1）
（2）
（3）

题型三：用因式分解法解一般形式的一元二次方程
例4：用因式分解法解方程：
解析：用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
练习：解方程
（1）x2-2x-3=0； （2）





例5、解下列一元二次方程：
(1)； (2)．





练习：（1） （2）





例6、已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
解析：把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过因式分解法解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．

练习：一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形周长是( )．
A．12 B．9 C．13 D．12或9

1．一元二次方程的解是( )
A．； B．； C．； D．；
2．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )
A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝7
3．整式x+1与整式x-4的积为x2-3x-4，则一元二次方程x2-3x-4＝0的根是( )．
A．x1＝-1，x2＝-4 B．x1＝-1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝-4
4．如果x2+x-1＝0，那么代数式的值为( )
A．6 B．8 C．-6 D．-8
5．若代数式的值为零，则x的取值是( )．
A．x＝2或x＝1 B．x＝2且x＝1
C．x＝2 D．x＝-1
6．已知，则的值为 ( )
A． 2011 B．2012 C． 2013 D．2014
7．已知实数x满足4x2-4x+1＝0，则代数式的值为________．
8.已知实数x、y满足，则 ．
9．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为　 　．
10．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是　 　．
11. 用公式法解下列方程：
（2） ．



12. 用因式分解法解方程
（1）x2-6x-16＝0． （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．




13．用适当方法解下列方程：
（1） （2） （3）





（4） （5） （6）






14.一元二次方程的大根为,方程 的小根为，则___________。










21.2 一元二次方程的解法
21.2.1直接开平方法
例1-练习：（1），（2） （3）
例2-练习：【答案】(1) 3x+2=±2（x﹣1），
∴3x+2=2x﹣2或3x+2=﹣2x+2，
∴x1=﹣4；x2=0．
　 　 (2) (x-2)=±5
　　 　　　∴x-2=5或x-2=-5
　　 　　　∴x1=7,x2=-3.
例3、D 练习 例4、4 练习：B
课后巩固
参考答案
1.C；2.A；3.B；4.D；5.D；6.C；
7. 0；8. ；9.③；10. 、4；
11.（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
12.（1）=
解得，
（2）=
解得，
13.
∴
解得，
当时，，舍去，
当时，≠0
∴
14.解设棱长为dm

解得，
∴棱长为5dm
21.2.2配方法解一元二次方程
例1、 练习（2） （3）
（4） （5） （6）无解
例2-练习1、 时，最小值-27
练习2、【答案】



．
∵ ，∴ ．
即代数式的值不小于．
练习3：
∴，
则．
∵，
∴当时，的最大值是．
例4、B
练习、解析：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5
=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2
=﹣8（x﹣）2﹣，
∵（x﹣）2≥0，
∴﹣8（x﹣）2≤0，
∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，
即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．
例5、解析:将原式进行配方，得
，
即，
∴ 且，
∴ ，．
∴ ．
练习、 【答案】4.
课后巩固
1-5：ACDDA 6. 答案（1）x1= x2= （2）
（3）∴x1=1+，x2=1﹣．（4）∴x1=3+，x2=3﹣．
7.【答案】4； 8、【答案】；2或6. 9、.
10、【答案】-；
11、（1）；
所以的最小值是
（2）
所以的最大值是9.
12.答案∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．
13.解：∵a2+b2﹣4a+6b+13=0，
∴a2﹣4a+4+b2+6b+9=0，
∴（a﹣2）2+（b+3）2=0，
∴a﹣2=0，b+3=0，
∴a=2，b=﹣3，
∴a+b=2﹣3=﹣1．
14、【答案与解析】（1）由，得
又，，，
∴ ，，，
∴ ，，．
（2）∵ 即，
∴ △ABC是以c为斜边的直角三角形．
21.2.3公式法，因式分解法解一元二次方程
例1-练习：【答案与解析】
(1) a=1，b=3，c=1
∴x==．
∴x1=，x2=．
(2)原方程化为一般形式，得．
∵，，，
∴．
∴，即，．
(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=17＞0
∴x=
∴x1=，x2=．
例2-练习1：答案：原方程可化为
∵
∴
∴
∴
例2-练习2、答案与解析：方程整理为，
∴ ，∴ a＝1，b＝-2，c＝-13，
∴ ，
∴ ，
∴ ，．
练习3、【答案】∵
∴
∴
∴
例4-练习：解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0
∴x-3=0，x+1=0
∴x1=3,x2=-1.
（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x）=0
∴x-1=0，3x-1=0
∴x1=1,x2=.
例5、【答案与解析】
(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，
(2x+1+2)2＝0．
即，
∴ ．
(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，
即(x-1)(x+2)＝0，
所以，．
练习：【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0
(x+6)(x+5)=0
X1=-6,x2=-5.
(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0
(2x+1)(3x-2)=0
.
例6、【答案】D
练习、A
课后巩固
1-6：ADBCCC 7.【答案】2；8、【答案】2 9、【答案】19或21或23．
10、 【答案】24或8．
11、【答案与解析】
（1）∵
∴
∴
∴
（2），
即，
令A＝ab，B＝，C＝ab．
∵
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，．
12、答案：（1）(x-8)(x+2)＝0，
∴ x-8＝0或x+2＝0，
∴ ，．
（2）设y＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，
∴ y+1＝0或y+2＝0，
∴ y＝-1或y＝-2．
当时，，；
当时，，．
∴ 原方程的解为，．
13、【答案与解析】
解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，
∴2x-3= 5或2x-3=-5
∴x1= 4，x2= -1
（2）∵a=1,b=-4,c=2,
∴△=b2-4ac=16-8=8.
∴
∴
（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0
∴ x-6= 0或 x+1=0
∴x1= 6，x2= -1.
（4）x1=-5或x2=-4；
（5）a=4，b=﹣6，c=﹣3，
b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，
x==，
，；
（6）移项得，（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=0，
因式分解得，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）=0，
，x2=4；
14. 答案2014