数学21.2 解一元二次方程综合与测试当堂检测题

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2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
21.2 解一元二次方程

题型导航


解
一
元
二
次
方
程

配方法解一元二次方程
题型1
公式法解一元二次方程

题型2
因式分解法解一元二次方程

题型3
换元法解一元二次方程
题型4
根的判别式

题型5
根与系数的关系
题型6



题型变式

【题型1】配方法解一元二次方程
1．（2020·全国·九年级期中）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后变形正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝35 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝35
【答案】B
【解析】
【分析】
先将常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左边化成完全平方式，依此判定即可．
【详解】
解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，
∴（x﹣3）2＝8．
故选：B．
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．

【变式1-1】
2．（2022·湖南岳阳·九年级期末）用配方法将方程变为的形式，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】
方程整理后，利用完全平方公式配方即可求得a、b的值，进而求得a＋b的值．
【详解】
解：方程，变形得：x2−2x＝3，
配方得：x2−2x＋1＝4，即（x−1）2＝4，
∴a＝1，b＝4，
∴a＋b＝5
故答案为：5．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

【题型2】公式法解一元二次方程
1．（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．
．（公式法）
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．
解：
则


解得：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解本题的关键．

【变式2-1】
2．（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x的方程是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个一元二次方程．
【答案】(1)-1
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义求解即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
(1)
关于x的方程是一元二次方程，

解得
(2)
方程为，
即，
，

解得，
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．

【题型3】因式分解法解一元二次方程
1．（2022·上海·八年级期末）方程x3﹣x＝0在实数范围内的解是 _____
【答案】x1＝0，x2＝-1，x3＝1．
【解析】
【分析】
利用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：x3﹣x＝0，
x（x2﹣1）＝0，
x（x+1）（x﹣1）＝0，
x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝-1，x3＝1．
【点睛】
本题考查了解高次方程，能把解高次方程转化成解低次方程是解此题的关键．

【变式3-1】
2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二方程即可；
（2）利用公式法直接解方程即可 ．
(1)

移项，得，
因式分解，得，
即，
∴或
解得，
(2)
，
这里，，，
∴，
∴，
∴，
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特点选取适当的方法是解题的关键．

【题型4】换元法解一元二次方程
1．（2022·上海嘉定·八年级期中）用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，即原方程变为，去分母即可得解．
【详解】
设，
则原方程变为：，
两边同时乘以4y，即可得：；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

【变式4-1】
2．（2022·内蒙古包头·一模）若实数x，y满足，则的值为（       ）
A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1
【答案】C
【解析】
【分析】
设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出x+y的值．
【详解】
解：设：，则变为，
变形可得：，则，则，
解得：，即的值为2或﹣1，
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将等式转化为一元二次方程是解决本题的关键．

【题型5】根的判别式
1．（2022·河南周口·二模）关于x的一元二次方程根的情况判断正确的是（       ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．与k的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．

【变式5-1】
2．（2022·贵州遵义·三模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4．
∴m＝3，符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

【题型6】根与系数的关系
1．（2022·贵州遵义·一模）已知，是关于x的一元二次方程的两个根，且，，则该一元二次方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】
解：∵，，
，
当时，，即，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．


【变式6-1】
2．（2022·湖北鄂州·二模）一元二次方程x2－2x－6＝0的两根分别为x1，x2，则x12＋x22的值为______．
【答案】16
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到两根的和与积，再将所求代数式变形转换为积与和的形式即可求解．
【详解】
解：由题可知：，，
∴


．
故答案为：16
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，解题关键是牢记根与系数的关系，即的两根之和为，两根之积为．


专项训练

一．选择题

1．（2018·山东泰安·中考真题）一元二次方程根的情况是（     ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值．
详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
       整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．
       故选D．
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
2．（2022·江苏·常州市朝阳中学二模）已知x＝a时，多项式的值为﹣4，则x＝﹣a时，该多项式的值为（ ）．
A．0 B．6 C．12 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
先将代入多项式，进而根据多项式的值为得出，再根据平方的非负性即得，的值，最后代值计算即得．
【详解】
∵时，多项式的值为
∴
∴
∴，
∴当时，
∴当时，该多项式的值为12
故选：C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式及多项式求值，解题关键是观察式子，确定式子中含有的完全平方式的展开式，熟知完全平方公式．
3．（2022·安徽芜湖·一模）已知实数满足，则代数式的值是(   )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
【答案】A
【解析】
【分析】
将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可.
【详解】
∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，
故选A．
【点睛】
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．
4．（2020·四川雅安·中考真题）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（       ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
5．（2022·浙江杭州·八年级阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根的判别式∆>0，且m-1≠0求解即可．
【详解】
解：由题意得
∆=b2-4ac=4+8(m-1)>0，且m-1≠0，
解得
且，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆