初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数达标测试

21.5一元二次方程的应用

1、列一元二次方程解应用题的特点

列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．

2、列一元二次方程解应用题的一般步骤

和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．

(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；

(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；

(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；

(4)“解”就是求出所列方程的解；

(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．

3、数与数字的关系

两位数=(十位数字)×10＋个位数字

三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字

4、翻一番

翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．

5、增长率问题

(1)增长率问题的有关公式：

增长数=基数×增长率　　　　实际数=基数＋增长数

(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：

　　　　原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的

　说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；

　(2)如果是下降率，则上述关系式为：　　　原来的×(1－增长率)下降期数=后来的

6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤

(1)整体地、系统地审读题意；

(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；

(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；

(4)正确地求解方程并检验解的合理性；

(5)写出答案．

7、列方程解应用题的关键

(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；

(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．

8、列方程解应用题应注意：

(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；

(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的

题型一：利用一元二次方程解决增长率问题

（一）传播问题

例1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少      个人？

解析：设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有（x+1）人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有（x+1）人，一个人传染x个人，则第二轮又有x（x+1）人患病，则两轮后有1+x+x（x+1）人患病，据此即可列方程求解．

练习：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

例2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场，共有         个队参加比赛。

解析：假设有x个队参加比赛，那么每一个球队要进行（x-1）场比赛，但A对B与B对A只能算一场，所以列出方程为

练习：生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？

（二）平均增长率问题

变化前数量×（1x）n＝变化后数量

例3、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为       

解析：平均增长率问题的基本公式：变化前数量×（1x）n＝变化后数量，利用此公式列出方程

练习1：青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为         。

练习2：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？

例4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.设第一次存款时的年利率为（利息税为20%，只需要列式子）                                     。

解析：第一次到期后的本息和：1000（1+80%x）

  第二次存入本金为：1000（1+80%x）-500

依题意可得：

练习：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共560元，求第一次存款时的年利率.设第一次存款时的年利率为（假设不计利息税）                                     。

题型二：利用一元二次方程解决图形面积问题

例5、一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，两条直角边的长分别是      。

解析：设其中的一条直角边为xcm，根据题意列出方程即可。

练习：一个菱形两条对角线长的和是10㎝，面积是12㎝2，菱形的周长是        。

例6、若把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，得到的矩形面积的2倍比正方形的面积多11cm2，则原正方形的边长为       cm

解析：设原来正方形的边长为xcm，根据题意列出方程即可。

练习：如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是      。

例7、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了是      元钱

解析：设长方体的宽为x米，利用剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子

练习：如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?

题型三：利用一元二次方程解决利润问题

售价—进价=利润     单件利润×销售量=总利润     单价×销售量=销售额

例8、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系：P=100-2x销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

解析：售价—进价=利润，设售价为x元，则单件利润=x-30，再利用单件利润×销售量=总利润列出方程解答

练习：某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170—2x。

(1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？

(2)若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？

例9、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

解析：设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．

练习：利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。

题型四：利用一元二次方程解决动点问题

例10、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D作DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm²？

解析：设点D出发x秒后四边形DFCE的面积为20cm2，利用BD×CF=四边形DFCE的面积，列方程解答即可．

练习：在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，几秒后PQ距离等于厘米。

0.4s

题型五、其他类型题：

例11、象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，临时有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加?

分析：这道题主要考查了一元二次方程的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．首先排除不是偶数的总分，再根据题意求出整数x.

1、本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找出等量关系；

2、根据题意排除不是偶数的选手总分，设共有x名选手参加；

3、不管输赢或者平局，每一场得到的总分都是2分。

4、根据题意分别列出一元二次方程，求出x整数根，排除其他根.

1、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？

2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有         个队参加比赛。

3、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出         小分支。

4、某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是      。

5、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

6、一个直角三角形的两条直角边相差5㎝，面积是7㎝2，斜边的长是      。

7、为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为       米，宽为     米。

8、如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分作为耕地有551㎡。则道路的宽为是      。

9、有一个两位数，两个数字的和为9 ，数字的积等于这个两位数的，求这个两位数。

10、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?

11、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

12、服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

13、西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共24元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

14、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

15、在△ABC中, AC=50cm,  CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动, 同时另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟后,△PCQ的面积等于450cm²?

16、如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．是否存在某一时刻t,使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE:S五边形PQBCD=1:29?若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由。

17、在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0<t<3.5）

（1）经过几秒后，PQ的长度等于5？

（2）经过几秒后，△BPQ的面积等于4？

（3）经过几秒后，DP=DQ？

18、机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．

（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？

（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？

21.5一元二次方程的应用

例1、10人  练习：8台，例2、10个 练习：14人  例3、20%

练习1：8.3%  练习2:29.3%  例4-练习：

例5、答案：6,8  练习：cm

例6、1   练习：2cm  例7、700元  练习：①能长15宽10，

例8、40元，20件  练习（1）25件（2）35件 例9、5元  练习：  例10、   练习

例11、

课后巩固

1.9人  2.10  3.9个 4.33.3%  5.20%  6.  7.64  50  8.1m    9.63  10.X=6

11.25元 100件  12.20元  13.0.3元  14.30名  15.10s  16.t=2,h=

17. (1)2s  (2)1s  (3)s  18.(1)28kg  (2)75kg  重复利用率