数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算同步练习题

【基础】4.2.1 对数运算-1作业练习

一．单项选择

1．若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．函数在轴正半轴的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第行第列的数记为，如，，则时，（    ）

A．54 B．18 C．9 D．6

4．若，，且，则下列不等式错误的是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知，则（    ）

A．  B． C． D．

7．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．设，则（    ）

A． B． C． D．

9．若实数，，互不相等，且满足，则（    ）

A． B． C．， D．，

10．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11．已知正数，满足，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态，则是一个（    ）位的数.(参考数据：)

A．18 B．19 C．62 D．63

13．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

14．函数在上的大致图像是（    ）

A． B．

C． D．

15．已知，，，则（    ）

A.      B.    C.  D.

16．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

17．设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

18．已知，则

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】分析：根据对数运算得，，，故.

详解：依题意，，，故，

又，故，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查对数式的大小比较，对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据对数运算化简，并借助中间量实现大小比较.

2．【答案】D

【解析】分析：根据，化简函数的解析式，结合对数型函数的性质，幂函数的性质进行判断即可.

详解：当时，，

因为，所以，因此可以排除A，C，

因为当时，函数单调递减，所以函数单调递减，因此可以排除B，

故选：D

3．【答案】A

【解析】分析：根据题意第行有 个数，第行末为第个数，数表由奇数构成，由可得2021是数阵中的第1011个数，带入进行估算，第45行末为第1035个数，即可得解.

详解：奇数构成的数阵，令，解得，故2021是数阵中的第1011个数，

第1行到第行一共有个奇数，

则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数，

所以2021位于第45行，

又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，

所以2021位于第45行，从左到右第21列，

所以，，

则.

故选：A.

4．【答案】C

【解析】分析：A利用基本不等式结合已知即可判断正误，B完全平方公式得，由已知构造二次函数确定的范围，即可判断正误，C应用基本不等式“1”的代换求最值即可，D根据B中的范围，结合对数的运算性质可判断正误.

详解：A：，当且仅当时等号成立，正确；

B：，由，则，即，又，得，当，时等号成立，正确；

C：，当且仅当时等号成立，而，错误；

D：由B知，故，当，时等号成立，正确；

故选：C

5．【答案】A

【解析】分析：由题意，结合对数函数的单调性即可比较大小.

详解：解：因为，，，

则.

故选：A.

6．【答案】A

【解析】分析：根据对数函数的单调性及不等式的基本性质判断A，由特列法及反证法判断CBD.

详解：

（由函数为增函数）

对于A，，故正确；

对于B，取，，故错误；

对于C，取，显然不成立，故错误；

对于D，假设成立，则，即，

可得，而时，不能一定有，故不成立.

故选：A

7．【答案】A

【解析】`令，

，

是单调递减函数，

而已知复合函数在上单调递增，

则在上单调递减，且在上恒成立；

即，

则实数a的取值范围是：.

故选：A.

8．【答案】C

【解析】分析：引入中间变量0和1，即可得到答案；

详解：，

，

故选：C.

9．【答案】D

【解析】分析：令，然后分别求解出，利用指数．对数函数的图象与性质直接判断出大小关系.

详解：解：设，

则，，，

根据指数．对数函数图象易得：，，

即，，

故选：D.

10．【答案】D

【解析】因为，所以当时，，不一定有，所以充分性不成立；当吋，，不一定成立，所以必要性不成立，故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D

11．【答案】D

【解析】分析：根据对数与指数的运算，解方程组即可.

详解：解析：因为，所以，，所以

故选：D

12．【答案】B

【解析】分析：根据题意个超导量子比特共有种叠加态，进而两边取以为底的对数化简整理即可得答案.

详解：根据题意，设个超导量子比特共有种叠加态，

所以当有62个超导量子比特共有种叠加态。

两边取以为底的对数得，

所以，由于，

故是一个19位的数.

故选：B

【点睛】

本题考查数学文化，对数运算，考查知识的迁移与应，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得个超导量子比特共有种叠加态，进而根据对数运算求解.

13．【答案】

【解析】，，，故选．

14．【答案】D

【解析】分析：通过函数的奇偶性可排除，；通过计算的值可排除C，进而可得结果.

详解：由题可知函数的定义域关于原点对称，

且当时，，，

当时，，，故为偶函数，排除，；

而，排除C.

故选：D.

15．【答案】B

【解析】，，，根据对数函数的单调性故.

故选：B.

16．【答案】C

【解析】，

，

，

∴.

故选：C.

17．【答案】B

【解析】分析：求得函数是周期函数，且周期，依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.在同一坐标系中分别作出与的图象，数形结合可得结果.

详解：因为是上的偶函数，所以，对，，

所以函数是周期函数，且周期.

，

依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.

在同一坐标系中分别作出与的图象，

由图可知，实数满足，解得，即实数的取值范围是.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是：在同一坐标系中分别作出与的图象，数形结合得到满足.

18．【答案】B

【解析】则．故选B．