数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算学案及答案

这是一份数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算学案及答案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，自我检测，达标测评，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化。
2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值。
【学习重难点】
1．对数的概念。
2．对数的基本性质。
【学习过程】
预习教材P15－P18的内容，思考以下问题：
1．对数的概念是什么？对数有哪些性质？
2．什么是常用对数、自然对数？
3．对数恒等式是什么？
4．如何进行对数式和指数式的互化？
一、对数的概念
（1）在表达式ab=N（a>0且a≠1，N∈（0，＋∞））中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b=lgaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数。
（2）当a>0且a≠1时，b=lgaN的充要条件是ab=N，由此可知，只有N>0时，lgaN才有意义，这通常简称为负数和零没有对数。
（3）lga1=0；lgaa=1；algaN=N；lgaab=B．
2．常用对数和自然对数
（1）以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“lg”写成“lg”，即把lg10N简写为lgN。
（2）以无理数e（e=2．71828…）为底的对数称为自然对数，自然对数lgeN通常简写为lnN。
[名师点拨]
lgaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）根据对数的定义，因为（－2）4=16，所以lg（－2）16=4．（ ）
（2）对数式lg32与lg23的意义一样。（ ）
（3）因为1a=1，所以lg11=A．（ ）
（4）lg（－2）（－2）=1．（ ）
2．若lg8x=－eq \f(2,3)，则x的值为（ ）
A．eq \f(1,4)
B．4
C．2
D．eq \f(1,2)
3．2lg23=________。
4．若lg3（lg2x）=0则xeq \s\up6(\f(1,2))=________。
探究一、对数的概念
1．在N=lg（5－b）（b－2）中，实数b的取值范围是（ ）
A、B<2或b>5
B．2C．4D．2[规律方法]
由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax=N，而ax>0，所以N>0.
2．求f（x）=lgxeq \f(1－x,1＋x)的定义域。
探究二、对数式与指数式的互化
3．（1）将下列指数式化成对数式：
①54=625；②2－6=eq \f(1,64)；③3a=27；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(m)=5．73．
（2）将下列对数式化成指数式并求x的值：
①lg64x=－eq \f(2,3)；②lgx8=6；③lg100=x。
[规律方法]
（1）指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
（2）要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。
4．如果a=b2（b>0，b≠1），则有（ ）
A．lg2a=b
B．lg2b=a
C．lgba=2
D．lgb2=a
5．计算：（1）lg927；（2）lgeq \r(4,3)81；（3）lgeq \r(3,54)625．
探究三、对数基本性质的应用
6．求下列各式中x的值：
（1）lg2（lg5x）=0；（2）lg3（lgx）=1．
[规律方法]
eq \a\vs4\al()lgaN=0⇒N=1；lgaN=1⇒N=a使用频繁，应在理解的基础上牢记。
7．若lg2（lg3x）=lg3（lg4y）=lg4（lg2z）=0，则x＋y＋z的值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【达标测评】
1．lgbN=a（b>0，b≠1，N>0）对应的指数式是（ ）
A．ab=N
B．ba=N
C．aN=b
D．bN=a
2．若lgax=1，则（ ）
A．x=1
B．a=1
C．x=a
D．x=10
3．已知lgx16=2，则x等于（ ）
A．±4
B．4
C．256
D．2
4．设10lgx=100，则x的值等于（ ）
A．10
B．0.01
C．100
D．1000
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×（2）×（3）×（4）×
2．解析：选A．因为lg8x=－eq \f(2,3)，
所以x=8－eq \s\up6(\f(2,3))=2－2=eq \f(1,4)，故选A．
3．解析：由对数恒等式得，2lg23=3．
答案：3
4．解析：因为lg3（lg2x）=0，所以lg2x=30=1，所以x=2，即xeq \s\up6(\f(1,2))=eq \r(2)。
答案：eq \r(2)
探究一、对数的概念
1．【解析】因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b－2>0，,5－b>0，,5－b≠1，))所以2【答案】D
2．解：要使函数式f（x）有意义，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,x≠1，,\f(1－x,1＋x)>0，))
解得0所以f（x）=lgxeq \f(1－x,1＋x)的定义域为（0，1）。
探究二、对数式与指数式的互化
3．【解】（1）①lg5625=4；②lg2eq \f(1,64)=－6；③lg327=a；④lgeq \s\d9(\f(1,3))5．73=m。
（2）①x=64－eq \f(2,3)=（43）－eq \s\up6(\f(2,3))=4－2=eq \f(1,16)。
②因为x6=8，所以x=（x6）eq \s\up6(\f(1,6))=8eq \s\up6(\f(1,6))=（23）eq \s\up6(\f(1,6))=2eq \s\up6(\f(1,2))=eq \r(2)。
③因为10x=100=102，所以x=2．
4．解析：选C．lgba=2，故选C．
5．解：（1）设x=lg927，则9x=27，32x=33，所以x=eq \f(3,2)。
（2）设x=lgeq \r(4,3)81，则（eq \r(4,3)）x=81，3eq \s\up6(\f(x,4))=34，所以x=16．
（3）令x=lgeq \r(3,54)625，则（eq \r(3,54)）x=625，5eq \s\up6(\f(4,3))x=54，所以x=3．
探究三、对数基本性质的应用
6．【解】（1）因为lg2（lg5x）=0.
所以lg5x=20=1，所以x=51=5．
（2）因为lg3（lgx）=1，所以lgx=31=3，所以x=103=1000.
7．解析：选A．因为lg2（lg3x）=0，
所以lg3x=1．
所以x=3．同理y=4，z=2．所以x＋y＋z=9．
【达标测评】
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：B
4．答案：C