21.2解一元二次方程 自主达标测试题 2022-2023学年人教版九年级数学上册(word版含答案)

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2022-2023学年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》自主达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有（　　）
A．两个相等的实数根
B．两个不相等的正数根
C．两个不相等的负数根
D．一个正数根和一个负数根
2．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+3a+2b的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
3．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为m，记Δ＝b2﹣4ac，下列说法正确的是（　　）
A．Δ＝（am+b）2 B．Δ＝（am﹣b）2 C．Δ＝（2am+b）2 D．Δ＝（2am﹣b）2
4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k＞﹣ D．k＞﹣且k≠0
6．若a，b，c是△ABC的三边长，则关于x的方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两相等的实数根
C．有两不相等的实数根 D．无法确定
7．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（　　）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．7
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝﹣3，x2＝5，则b+c＝　 　．
10．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　 　．
11．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2＝0没有实数根，则k的取值范围是 　 　．
12．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2+3＝0的两根，则△ABC的周长为 　 　．
13．一个直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是 　 　．
14．已知：关于x的方程a（x+k）2+2022＝0的解是x1＝﹣2、x2＝1（a、k均为常数，a≠0）．
（1）关于x的方程a（x+k+2）2+2022＝0的根是 　 　；
（2）关于x的方程a（x+3k）2+2022＝0的根为 　 　．
15．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m＝0为“好友方程”，则m的值是 　 　．
16．已知a≠b，且a、b满足a2﹣3a﹣4＝0，b2﹣3b﹣4＝0，那么+的值等于　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解方程：
（1）x2+2x﹣2＝0； （2）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（2﹣x）．
18．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+6＝0；
（2）x2+3x＝0；
（3）3x2+x＝3x+1．
19．已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1＝0．
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
（2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根．
20．已知关于x的方程（k+2）x2+（k﹣1）x﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个根x1和x2，且，求k的值．
21．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求m的值和△ABC的周长．
22．先阅读，后解题．
已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．
解：将左边分组配方：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．
∵（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，且和为0，
∴（m+1）2＝0且（n﹣3）2＝0，∴m＝﹣1，n＝3．
利用以上解法，解下列问题：
（1）已知：x2+4x+y2﹣2y+5＝0，求x和y的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝8a+6b﹣25且△ABC为直角三角形，求c．

参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：x2﹣2x﹣5＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
设方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为e、f，则ef＝﹣5＜0，则e和f异号，
即方程有一个正数根和一个负数根，
故选：D．
2．解：∵a是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，
∴a2+a﹣2022＝0，
∴a2+a＝2022，
∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+3a+2b＝a2+a+2a+2b＝2022+2×（﹣1）＝2020．
故选：A．
3．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为m，
∴am2+bm+c＝0，
∴am2+bm＝﹣c，
∴Δ＝b2+4a（am2+bm）＝b2+4a2m2+4abm＝（2am+b）2．
故选：C．
4．解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝（﹣1）﹣4a×（﹣）＝0，，
解得：a＝﹣1．
∴a﹣2＝﹣3，﹣a+3＝2，
∴点P（a﹣2，﹣a+3）在第二象限．
故选：B．
5．解：当k＝0时，原方程可化为﹣x﹣3＝0，
∴x＝﹣3，
∵方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k（k﹣3）＝8k+1≥0，
解得：k≥﹣，
∴k的取值范围为：k≥﹣．
故选：A．
6．解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+b＞c＞0．
在方程中，
Δ＝[﹣（a+b）]2﹣4×c2＝（a+b）2﹣c2＞0，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
7．解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
整理得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．
故选：C．
8．解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况，
①当a＝2，或b＝2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，
∴x＝2，
把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0，
解得：n＝6，
当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n＝6不合题意，
②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0
解得：n＝7．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别是x1＝﹣3，x2＝5，
∴﹣3+5＝﹣c，﹣3×5＝b，
解得：c＝﹣2，b＝﹣15，
∴b+c＝﹣15+（﹣2）＝﹣17，
故答案为：﹣17．
10．解：x2﹣4x﹣8＝0，
移项，得x2﹣4x＝8，
配方，得x2﹣4x+4＝8+4，
∴（x﹣2）2＝12，
∴m＝2，n＝12，
∴m+n＝2+12＝14，
故答案为：14．
11．解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4×k×2＜0，
解得k＞，
即k的取值范围为k＞．
故答案为：k＞．
12．解：由题意知方程kx2+3＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣）2﹣4×k×3＝0，
解得：k＝3，
∴原方程为：，
解得：x＝2，
则三角形的三边长度为2、2、3，
则△ABC的周长为7，
故答案为：7．
13．解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故答案为：6或．
14．解：（1）把方程a（x+k+2）2+2022＝0看作关于x+2的一元二次方程，
而于x的方程a（x+k）2+2022＝0的解是x1＝﹣2、x2＝1（a、k均为常数，a≠0），
所以x+2＝﹣2，x+2＝1，
所以x1＝﹣4，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝﹣1；
（2）把x＝﹣2与x＝1代入得：a（﹣2+k）2+2022＝0，a（1+k）2+2022＝0，
解得：k＝，a＝﹣，
代入方程得：﹣（x+）2+2022＝0，即（x+）2＝，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣3．
15．解：解方程x2﹣2x＝0，得：x1＝0，x2＝2．
①若x＝0是两个方程相同的实数根．
将x＝0代入方程x2+3x+m＝0，得：m＝0，
∴m＝0，此时原方程为x2+3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3，符合题意，
∴m＝0；
②若x＝2是两个方程相同的实数根．
将x＝2代入方程x2+3x+m＝0，得：4+6+m＝0，
∴m＝﹣10，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣5，符合题意，
∴m＝﹣10．
综上所述：m的值为0或﹣10．
故答案为：0或﹣10．
16．解：∵a、b满足a2﹣3a﹣4＝0，b2﹣3b﹣4＝0，
∴a、b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
∴a+b＝3，ab＝﹣4，
∴+＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）x2+2x﹣2＝0，
x2+2x＝2，
（x+1）2＝3，
，
，；
（2）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（2﹣x），
（x﹣2）2+（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2+2x﹣1）＝0，
（x﹣2）（3x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝1．
18．解：（1）∵x2﹣5x+6＝0．
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3；
（2）∵x2+3x＝0，
∴x（x+3）＝0，
∴x＝0或x+3＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣3；
（3）∵3x2+x＝3x+1，
∴x（3x+1）﹣（3x+1）＝0，
（3x+1）（x﹣1）＝0，
3x+1＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣，x2＝1．
19．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4m+4＞0，
即m＜2．
（2）当x＝1时，1﹣2+m﹣1＝0，
∴m＝2，
∴x2−2x+1＝0，
解得x1＝x2＝1．
即另一根是1．
20．（1）证明：①当k+2≠0时，
∵Δ＝（k﹣1）2﹣4（k+2）×（﹣3）＝k2﹣2k+1+12k+24＝k2+10k+25＝（k+5）2≥0，
∴方程总有实数根；
②当k+2＝0时，原方程化为﹣3x﹣3＝0，方程的解为x＝﹣1．
∴无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）依题意有x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
∵，
∴（﹣）2﹣2×（﹣）＝10，
解得k1＝﹣1，k1＝﹣3，
经检验，k1＝﹣1，k1＝﹣3都是原方程的解．
故k的值是﹣1或﹣3．
21．解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2；
（2）当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
当7为等腰三角形的底边时，则x1＝x2，所以m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
综上所述，m的值是4，这个三角形的周长为17．
22．解：（1）∵x2+4x+y2﹣2y+5＝0，
∴（x2+4x+4）+（y2﹣2y+1）＝0，即（x+2）2+（y﹣1）2＝0，
∵（x+2）2≥0，（y﹣1）2≥0，且和为0，
∴（x+2）2＝0且（y﹣1）2＝0，
∴x＝﹣2，y＝1；
（2）∵a2+b2＝8a+6b﹣25，
方程变形为（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，
∵（a﹣4）2≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝4，b＝3，
∵△ABC为直角三角形，
∴当a＝4，b＝3是直角边时，则；
当a＝4是斜边，b＝3是直角边时，则；
∴c＝5或c＝．