人教版九年级上册22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质优秀综合训练题

这是一份人教版九年级上册22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质优秀综合训练题，文件包含第24章重点突破训练切线性质判定的应用-2022-2023九年级上册同步讲练解析版人教版docx、第24章重点突破训练切线性质判定的应用-2022-2023九年级上册同步讲练原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
第24章 重点突破训练：切线性质判定的应用
考点体系（本专题54题65页）

考点1：三角形内心的性质及应用
典例：（2020·山东牡丹·初三二模）如图，等边三角形的边长为8，点是的内心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①点也一定是的外心；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵点O是等边△ABC的内心，
∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30∘，
∴∠BOC=120∘，即∠BOE+∠COE=120∘，
而∠DOE=120∘，即∠BOE+∠BOD=120∘，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE，
∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；
∴S△BOD=S△COE，
∴四边形ODBE的面积=S△OBC=S△ABC=，所以③错误；

作OH⊥DE，如图，则DH=EH，
∵∠DOE=120∘，
∴∠ODE=∠OEH=30∘，
∴OH=OE，HE=OH=OE，
∴DE=OE，
∴S△ODE=.OE⋅OE=，
即S△ODE 随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；
∵BD=CE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=，
∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④正确.
故选：B.
方法或规律点拨
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，最短路线问题，旋转的性质等，综合性很强，熟练掌握知识点之间的联系是解答的关键 .
巩固练习
1．（2020·石家庄外国语教育集团开学考试）根据尺规作图的痕迹，可以判定点为内心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵内心的是各个角的平分线的交点，
∴C选项符合题意．
故选C．
2．（2020·江苏宿豫·期中）下列关于三角形的外心说法正确的是（　　）
A．三角形的外心一定在它的外部
B．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点
C．三角形的外心到它的三边距离相等
D．三角形的外心与它的内心不可能重合
【答案】B
【解析】解：A．三角形的外心还可以在三角形的边上或三角形的内部，故错误；
B．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点，正确；
C．根据三角形的外心到三个顶点的距离相等，故此选项错误；
D．只有等边三角形的外心与内心重合，故错误．
故选：B．
3．（2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）

A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【解析】解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，
故选：B．
4．（2020·合肥市第四十五中学三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）

A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【解析】∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选C．
5．（2021·湖南长沙·明达中学月考）如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动．使它的三边依次与x轴重合．第一次滚动后，圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2…依次规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是（　　）

A．（673，1） B．（674，1） C．（8076，1） D．（8077，1）
【答案】D
【解析】∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB= =5，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝（3+4﹣5）＝1，
∴P的坐标为（1，1），
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1），
每滚动3次一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3+5+4）+1，
即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是（8077，1）；
故选D．
6．（2020·北京海淀区101中学温泉校区初三三模）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是(　　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：三角形内心为三条角平分线的交点，由基本作图得到选项作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心．
故选：B．
7．（2020·河北初三其他）如图，在ABC中，AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，则点O是ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．中线交点 D．高线交点
【答案】B
【解析】解：∵AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，
∴点O是△ABC的内心．
故选：B．
8．（2020·河北遵化·初三三模）如图，在中，，，于点D，点E是上一点，连接，交于点F，若，则点F为（ ）

A．的外心 B．的内心 C．的外心 D．的内心
【答案】B
【解析】解：∵在中，，，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴平分.
∵，，
∴平分.
∴点F是的角平分线的交点，即点F是的内心.
故选B.
9．（2020·河北滦州·初三二模）如图，在中，，点在线段上（不与、重合），若为的内心，则不可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵中，，
∴∠BAC=180º﹣∠B﹣∠C=100º，
∵为的内心，
∴∠OAC=∠DAC，∠ACO=∠ACB=20º，
∴∠AOC=180º﹣∠OAC﹣∠ACO=160º﹣∠DAC，
∵点在线段上（不与、重合），
∴0º﹤∠DAC﹤100º，即0º﹤∠DAC﹤50º，
∴110º﹤∠AOC﹤160º，
故∠AOC不可能是100º，
故选：A．
10．（2020·山东济宁·中考真题）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）

A．4 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2.
故选B.

11．（2020·河北玉田·初三一模）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】D
【解析】解：如图，连接AI，BI，

∵点I为△ABC的内心，
∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴DA＝DI，EB＝EI，
∴DE＋DI＋EI＝DE＋DA＋EB＝AB＝4．
所以图中阴影部分的周长为4．
故选：D．
考点2:三角形内切圆半径的计算
典例：（2021·湖南长沙·明达中学月考）两边为和的直角三角形的内切圆半径为________．
【答案】或
【解析】解：设直角三角形ACB的内切圆的圆心是O，分别与边AC、BC、AB相切于D、E、F，连接OD、OE，

则∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
即四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形，
∴OD=OE=CD=CE，
设⊙O的半径是R，
则OD=OE=DC=CE=R，
由切线长定理得：AD=AF，BF=BE，CD=CE，
①当AC=4，BC=3时，由勾股定理得：AB=5，
∵AF+BF=5，
∴AD+BE=5，
∴4-R+3-R=5，
解得R=1；
②当AB=4，BC=3时，由勾股定理得：AC=，
∵AF+BF=4，
∴AD+BE=4，
∴-R+3-R=4，
解得R=．
故答案为1或.
方法或规律点拨
本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，正方形、矩形的性质和判定，勾股定理，切线长定理等知识点，关键是得出四边形ODCE是正方形，题目比较典型，是一道比较好的题目.
巩固练习
1．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，在中，，，，是的内心，作于，则的长为（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】解：如图，作OE⊥BC，OF⊥AC，

∵，点O是
∴的内心，
∴OD=OE=OF，
∴△AOD≌△AOF，△BOD≌△BDE，四边形OFCE是正方形，
∴AF=AD，BE=BD，
设AF=AD=x，OD=OE=OF=r，
则BE=BD=10，
∴，
解得：，
∴；
故选：B．
2．（2020·扬州平山实验学校月考）如图，在矩形中，，，，则内切圆的半径是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：如图示，连接、、，

∵，，，
∴
又∵圆是三角形的内切圆，
，，， ，，
四边形是正方形，
设圆的半径是，
则有：，
∴，，
∵，
即：，
，
故选：C．
3．（2020·山东诸城·初三学业考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB交AB于点E.若BC=5，AC=12，则AE等于______ .

【答案】10
【解析】如图，过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．

∵在△ABC中，∠C=90°，
∴四边形PMCN为正方形，
∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=．
∵∠A和∠B的平分线交于点P，
∴点P为△ABC内切圆的圆心，
设直角△ABC内切圆P的半径为r，
∴CM=CN=PM=r，
则AE=AM=AC-r=12-r，BE=BN=BC-r=5-r，
AB=AE+BE=12-r+5-r=17-2r，
∴17-2r=13，
∴r=2，
∴AE=12-2=10．
故答案为：10．
4．（2020·福建初三其他）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，⊙E为内切圆，若BE=4，则△BCE的面积为___________.

【答案】
【解析】如图，设圆E与三边的相切点分别为点，连接
则，且
由题意得：，，
圆E为的内切圆
平分，BE平分
，
则在中，，
在中，
由切线长定理得：

设，则，
在中，由勾股定理得：
即
解得
则的面积为
故答案为：．

5．（2019·滨海县第一初级中学月考）若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则它的内切圆半径为_______．
【答案】1
【解析】解：设三角形内切圆的半径为r，则由题意得：
， 解得：r=1．
故答案为1．
6．（2020·全国初三课时练习）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2019次滚动后，内切圆的圆心的坐标是________．

【答案】
【解析】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝，
∴P的坐标为（1，1），
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3（3＋5＋4＋1，1），即（13，1），每滚动3次为一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3＋5＋4）＋1，即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是（8077，1）；
故答案为：（8077，1）．
7．（2020·四川达州·中考真题）已知的三边a、b、c满足，则的内切圆半径=____．
【答案】1
【解析】解：


则=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
∴的内切圆半径==1．
故答案为1．
考点3：确定半径的取值
典例：（2020·辽宁立山·初三其他）已知点A为⊙O外一点，连接AO，交⊙O于点P，AO=6．点B为⊙O上一点，连接BP，过点A作CA⊥AO，交BP延长线于点C，AC=AB．

（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若PC=4，求 PB的长．
（3）若在⊙O上存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围是___________．
【答案】（1）AB与⊙O相切 ，理由见解析；（2）；（3）
【解析】解：（1）连接OB，如图：

∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP=∠APC，
∵AC=AB，
∴∠C=∠ABP，
∵AC⊥AO，
∴∠CAP=90°，
∴∠C+∠APC=90°，
∴∠ABP+∠OBP=90°，
即OB⊥AB，
∴AB为切线；
（2）∵AB=AC
∴，
∴，
设半径为r，则

解得：r=2；
作OH⊥BP与H，

则△ACP∽△HOP，
∴，即
∴,
∴；
（3）如图，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，

∴四边形AOEM是矩形，
∴OE=AM=AC=AB=；
又∵圆O与直线MN有交点，
∴OE=，
∴，
∴，
∴，
又∵圆O与直线AC相离，
∴r＜6，
即．
方法或规律点拨
此题主要考查了圆的综合以及切线的判定与性质和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，得出EO与AB的关系进而求出r取值范围是解题关键．
巩固练习
1．（2020·河北迁西·初三其他）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点E是BC边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．

（1）求AC的长；
（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；
（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．
【答案】（1）AC=5；（2）；（3）或．
【解析】解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：

在Rt△ABG中，AB=5，，
∴BG=4，
∴AG=3，
∴，
∴点G是BC的中点，
在Rt△ACG中，；
（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：

∴CE=CF=4，
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠ACB，
∴，
∴CH=3.2，
在Rt△CFH中，由勾股定理，得
FH=2.4，
∴EH=0.8，
在Rt△EFH中，由勾股定理，得
；
（3）根据题意，圆C与线段AD没有公共点时，可分为以下两种情况：
①当圆C与AD相离时，则CECA时，点E在线段BC上，

∴半径CE的取值范围是：；
综合上述，半径CE的取值范围是：或．
2．（2019·南京外国语学校初三月考）如图，中，，．P是底边上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，为半径的与射线交于点D，射线交射线于点E．

（1）若点E在线段的延长线上，设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）；；（2）或或
【解析】（1）过点A作于点F，过点P作于点H
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴

（2）当D点在线段上时，连，
∵
∴
∴
代入得
当D在延长线上时

∴
∴
∵
∴
∴
∴或
∴或
综上：或或
3．（2019·湖北宜昌·初三期末）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作⊙O，过点B作⊙O的切线BF，F为切点．

（1）如图1，当⊙O经过点C时，求⊙O截边BC所得弦MC的长度；
（2）如图2，切线BF与边AD相交于点E，当FE＝FO时，求r的值；
（3）如图3，当⊙O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H，设△BCH、四边形HFOD、四边形FOAB的面积分别为S1、S2、S3，求的值．
【答案】（1）CM＝；（2）r＝2﹣2；（3）1．
【解析】解：（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．

∵OH⊥CM，
∴MH＝CH，∠OHC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠HCD＝90°，
∴四边形CDOH是矩形，
∴CH＝OD，CM＝2OD，
设AO＝CO＝r，
在Rt△CDO中，∵OC2＝CD2+OD2，
∴r2＝22+（3﹣r）2，
∴r＝，
∴OD＝3﹣r＝，
∴CM＝2OD＝．
（2）如图2中，

∵BE是⊙O的切线，
∴OF⊥BE，
∵EF＝FO，
∴∠FEO＝45°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝2，
设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝r，
∴r+r＝2，
∴r＝2﹣2．
（3）如图3中，

由题意：直线AB，直线BH，直线CD都是⊙O的切线，
∴BA＝BF＝2，FH＝HD，设FH＝HD＝x，
在Rt△BCH中，∵BH2＝BC2+CH2，
∴（2+x）2＝32+（2﹣x）2，
∴x＝，
∴CH＝，
∴S1＝
S2＝，
S3＝＝3，
∴．
4．（2019·江苏南京·初三期末）如图，已知菱形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8．点E是AB边上一点，求作矩形EFGH，使得点F、G、H分别落在边BC、CD、AD上．设 AE＝m．

（1）如图①，当m＝1时，利用直尺和圆规，作出所有满足条件的矩形EFGH；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）写出矩形EFGH的个数及对应的m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①当m＝0时，存在1个矩形EFGH；②当0＜m＜时，存在2个矩形EFGH；③当m＝时，存在1个矩形EFGH；④当＜m≤时，存在2个矩形EFGH；⑤当＜m＜5时，存在1个矩形EFGH；⑥当m＝5时，不存在矩形EFGH.
【解析】（1）如图①，如图②（也可以用图①的方法，取⊙O与边BC、CD、AD的另一个交点即可）

（2）∵O到菱形边的距离为,当⊙O与AB相切时AE=，当过点A,C时，⊙O与AB交于A,E两点，此时AE=×2=，根据图像可得如下六种情形：
①当m＝0时，如图，存在1个矩形EFGH；

②当0＜m＜时，如图，存在2个矩形EFGH；

③当m＝时，如图，存在1个矩形EFGH；

④当＜m≤时，如图，存在2个矩形EFGH；

⑤当＜m＜5时，如图，存在1个矩形EFGH；

⑥当m＝5时，不存在矩形EFGH.
5．（2019·南京民办求真中学初三月考）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．

（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　 　．
【答案】（1）13；（2）0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4
【解析】解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4．

6．（2019·天台县坦头中学初三期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D， 点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.
（2）若BD＝，BF＝3，求⊙O的半径.

【答案】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）⊙O的半径是3．
【解析】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD//AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即(R+3)2＝()2+R2，
解得：R＝3，
即⊙O的半径是3．
7．（2019·江苏泰州·初三月考）如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．

（1）求DE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
【答案】（1）；（2）3＜r＜5．
【解析】解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝＝5，
∵AC•DE＝DC•AD，
∴DE＝＝，
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点B在圆内，点C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为3＜r＜5．

8．（2019·浙江全国·单元测试）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．

【答案】（1）AB＝AC（2）≤r