【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练11　用向量求解空间距离问题

限时小练11　用向量求解空间距离问题

1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M，N分别为CD，BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离.

解　以A为原点，以AD，AB，AA1为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图.

则M(3，2，0)，N(0，4，1)，A1(0，0，2)，B(0，4，0)，

即＝(－3，2，1)，＝(0，4，－2).

设MN，A1B公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，则有

⇒

令y＝1，则z＝2，x＝，

即n＝，|n|＝.

又＝(－3，－2，2)在n上的射影的长度为

d＝＝＝＝.

即异面直线MN与A1B的距离为.

2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝BC＝AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝a，点F在AD上，且CF⊥PC.

(1)求点A到平面PCF的距离；

(2)求AD到平面PBC的距离.

解　(1)由题意知AP，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，如图.

则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，3a，0)，P(0，0，a).

设F(0，m，0)，则＝(－a，m－a，0)，＝(－a，－a，a).

∵PC⊥CF，∴⊥，

∴·＝(－a)·(－a)＋(m－a)·(－a)＋0·a＝a2－a(m－a)＝0，

∴m＝2a，即F(0，2a，0).

设平面PCF的法向量为n＝(x，y，z)，

则

解得取x＝1，得n＝(1，1，2).

设点A到平面PCF的距离为d，由＝(a，a，0)，

得d＝＝＝a.

(2)由于＝(－a，0，a)，＝(0，a，0)，＝(0，0，a).

设平面PBC的法向量为n1＝(x0，y0，z0)，

由得

取x0＝1，得n1＝(1，0，1).

设点A到平面PBC的距离为h，

∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，

∴AD∥平面PBC，

∴h为AD到平面PBC的距离，

∴h＝＝＝a.