人教A版-选择性必修第一册-考前必背知识点大纲学案

这是一份人教A版-选择性必修第一册-考前必背知识点大纲学案，共15页。主要包含了共线向量，空间向量基本定理，空间向量运算的坐标表示，空间向量，直线与圆等内容，欢迎下载使用。

一、共线向量、共面向量定理
1．共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
2．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
二、空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
三、空间向量运算的坐标表示
1．空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
2．空间向量常用结论的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
3．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2．
四、空间向量
1．设直线l，m的方向向量分别为μ，v，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则

2．点到直线的距离
设AP＝a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝|AP|2－|AQ|2＝a2－(a·u)2．
3．点到平面的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝AP·n|n|＝AP·n|n|＝|AP·n||n|．
第二章 直线和圆的方程
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
2．直线的斜率
3．直线的方向向量
4．两条直线平行和垂直的判定
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2．
二、直线的方程
直线方程的五种形式及适用范围：
三、直线的交点坐标与距离公式
1．两条直线的交点坐标
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．
2．距离公式
四、圆的方程
五、直线与圆、圆与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断；
(2)代数法：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，利用判别式Δ判断．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0)．
第三章 圆锥曲线的方程
一、椭圆
1．椭圆的定义

2．椭圆的标准方程及其几何性质
二、双曲线
1．双曲线的定义
2．双曲线的标准方程及其几何性质
三、抛物线
1．抛物线的定义
2．抛物线的标准方程及其几何性质
运算
坐标表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
结论
坐标表示
共线
a∥b(b≠0)⇔ a＝λb⇔ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直
a⊥b⇔ a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
向量长度
|a|＝a·a＝a12＋a22＋a32
向量夹
角公式
cs＜a，b≥a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a12＋a22＋a32·b12＋b22＋b32
线线平行
l∥m⇔ μ∥v⇔ μ＝λv，λ∈R
线面平行
l∥α⇔ μ⊥n1⇔ μ·n1＝0
面面平行
α∥β⇔ n1∥n2⇔ n1＝λn2，λ∈R
线线垂直
l⊥m⇔ μ⊥v⇔ μ·v＝0
线面垂直
l⊥α⇔ μ∥n1⇔ μ＝λn1，λ∈R
面面垂直
α⊥β⇔ n1⊥n2⇔ n1·n2＝0
线线夹角
l，m的夹角θ∈0，π2，cs θ＝|μ·ν||μ||ν|
线面夹角
l，α的夹角为θ∈0，π2，sin θ＝|μ·n1||μ||n1|
面面夹角
α，β的夹角为θ∈0，π2，cs θ＝|n1·n2||n1||n2|
定义
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角
规定
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°
范围
[0，π)
定义
当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α
斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1
直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量
方向向量的坐标
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)，则直线AB的一个方向向量为AB＝(x2－x1，y2－y1)
方向向量与斜率
若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)
位置关系
判定
特例
平行
l1∥l2⇔ k1＝k2
直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行
垂直
l1⊥l2⇔ k1k2＝－1
一直线斜率为零，另一直线斜率不存在时，两条直线垂直
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
横、纵截距
xa＋yb＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
位置关系
方程组的解的个数
相交
方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解
平行
方程组无解
重合
方程组有无数个解
距离类型
已知几何元素
距离公式
两点间的距离
两点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)
|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2
点到直线的距离
点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0
d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2
两条平行直线
间的距离
两条平行直线l1：
Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0
d＝|C1－C2|A2＋B2
圆的定义
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合
圆
的
方
程
标准式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心坐标：(a，b)
半径为r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
圆心坐标：－D2，－E2
半径r＝12D2＋E2－4F
位置关系
几何法
代数法
相交
d＜r
Δ＞0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d＞r
Δ＜0
方法位置关系
几何法：根据圆心距d＝|O1O2|与r1＋r2或|r1－r2|的大小关系进行判断
代数法：根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断
外离
d＞r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
无解
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
符号语言
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数
轨迹类型
a＞c
点M的轨迹为椭圆
a＝c
点M的轨迹为线段
a＜c
点M不存在
标准方程
x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)
y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a，a为长半轴长；短轴B1B2的长为2b，b为短半轴长
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ca，e∈(0，1)，其中c＝a2－b2
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
符号语言
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0
轨迹类型
a＜c
点M的轨迹为双曲线(不含绝对值时为双曲线的一支)
a＝c
点M的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线)
a＞c
点M不存在
标准方程
x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)
y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率
e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2
轴
实轴A1A2的长为2a，a为实半轴长；
虚轴B1B2的长为2b，b为虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线
符号语言
集合P＝{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)
特例
当F∈l时，动点M的轨迹是过F点垂直于l的直线
图形
标准方程
y2＝
2px(p＞0)
y2＝
－2px(p＞0)
x2＝
2py(p＞0)
x2＝
－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Fp2，0
F－p2，0
F0，p2
F0，－p2
离心率
e＝1
准线方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下