初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀课后作业题

九年级数学下册第三十章二次函数专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．或

2、对于抛物线下列说法正确的是（       ）

A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点

3、抛物线的顶点为（       ）

A． B． C． D．

4、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）

A． B．

C． D．

5、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）

A． B． C． D．

6、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（       ）

A． B． C． D．

8、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：

对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（       ）

A．①② B．③④ C．①③ D．①②④

9、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（       ）

A． B． C． D．

10、如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知抛物线与轴相交于，两点.若线段的长不小于2，则代数式的最小值为_______．

2、二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：

则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____．

3、抛物线与y轴的交点坐标为_________．

4、如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；抛物线经过点与点，则；方程的一个解是；，其中所有正确的结论是__________．

5、如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y轴交于点C．

(1)求证：b＝0；

(2)点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D．连接BP，过点A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．

①当a＝﹣1时，求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）

②求的值．

2、如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．

(1)建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；

(2)求水流的落地点D到水枪底部B的距离．

3、（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；

（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．

4、如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标；

(3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

5、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．

(1)求c的值；

(2)计算铅球距离地面的最大高度．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据函数图象写出y=1对应的自变量x的值,再根据判断范围即可．

【详解】

由图可知，使得时

使成立的x的取值范围是或

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．

2、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，

∴A选项不正确；

由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；

由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；

在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．

【详解】

解：∵y=2（x-1）2+3，

∴抛物线的顶点坐标为（1，3），

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．

4、B

【解析】

【分析】

由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．

【详解】

解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为

再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

5、C

【解析】

【分析】

把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．

【详解】

解：点，，都在函数的图象上，

，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

6、D

【解析】

【分析】

先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．

【详解】

解：∵，

∴对称轴为直线x＝b，开口向下，

在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

∵当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴1不在对称轴左侧，

∴b≤1，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．

【详解】

解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．

所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．

8、A

【解析】

【分析】

根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．

【详解】

解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得

解得，

∴二次函数式为：

∵

∴二次函数的图像开口向下，故①正确；

∵

∴对称轴为直线

∴当时，随的增大而减小，故②正确；

当时，二次函数的最大值是，故③错误；

若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误

∴正确的是①②

故答案为①②

【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

9、B

【解析】

【分析】

由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．

【详解】

解：由题意知，平移后的抛物线解析式为

将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；

将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．

10、B

【解析】

【分析】

将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k＝−h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与线段AB、BO均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．

【详解】

解：∵将与联立得：，

解得：．

∴点B的坐标为（−2，1），

由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k），

∵将x＝h，y＝k，代入得y＝−x得：−h＝k，解得k＝−h，

∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，

如图1所示：当抛物线经过点C时，

将C（0，0）代入y＝（x−h）2−h得：h2−h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝；

如图2所示：当抛物线经过点B时，

将B（−2，1）代入y＝（x−h）2−h得：（−2−h）2−h＝1，整理得：2h2＋7h＋6＝0，解得：h1＝−2，h2＝−（舍去）．

综上所述，h的范围是−2≤h≤，即−2≤h≤

故选：B．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与线段AB、BO均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点O是解题解题的关键．

二、填空题

1、-1

【解析】

【分析】

将抛物线解析式配方，求出顶点坐标为（1，-2）在第四象限，再根据抛物线与x轴有两个交点可得，设为A，B两点的横坐标，然后根据已知，求出的取值范围，再设，配方代入求解即可．

【详解】

解：

=

=

∴抛物线顶点坐标为（1，-2），在第四象限，

又抛物线与轴相交于A，两点.

∴抛物线开口向上，即

设为A，B两点的横坐标，

∴

∵线段的长不小于2，

∴

∴

∴

∴

∴

解得，

设

当时，有最小值，最小值为：

故答案为：-1

【点睛】

本题主要考查发二次函数的图象与性质，熟记完全平方公式和根与系数的关系是解题的关键．

2、，

【解析】

【分析】

从表中找到三对数值，将三对数值分别代入y=ax2+bx+c组成方程组，求出a、b、c的值，然后再运用因式分解法求解方程即可得到结论．

【详解】

解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得，

整理得，

②×3+①，得

∴

把代入②得，

∴

又

∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5可变形为：

即：

∴

∴，或

解得，，

故答案为：，

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法，从图表中找到相关的量是解题的关键．

3、

【解析】

【分析】

根据二次函数图像的性质，时，通过计算即可得到答案．

【详解】

当时，

∴抛物线与y轴的交点坐标为

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．

4、②⑤

【解析】

【分析】

由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，再由抛物线对称轴为直线，得到，即，即可判断①；根据抛物线的对称性可知抛物线过点，则当时，，由，可得，即可判断②；由抛物线对称轴为直线，且开口向上，则抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可判断③；由cx2+bx+a=0，方程两边同时除以a得，再由方程的两个根分别为，，得到，，则即为，由此即可判断④；当对应的函数值为，

当对应的函数值为，又时函数取得最小值，则，由此即可判断⑤．

【详解】

解：由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，

∵抛物线对称轴为直线，

∴，即，

，故①错误；

抛物线过点，且对称轴为直线，

抛物线过点，

当时，，

，

∴，故②正确；

抛物线对称轴为直线，且开口向上，

∴抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，

∵点（4，）与直线的距离为3，点（-3，）与直线的距离为4，

，故③错误；

∵cx2+bx+a=0

∴方程两边同时除以a得，

∵方程的两个根分别为，，

∴，，

∴即为，

∴

解得或，故④错误；

当对应的函数值为，

当对应的函数值为，

又时函数取得最小值，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，故⑤正确．

故答案为：②⑤．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图像与其系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．

5、

【解析】

【分析】

根据点，的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．

【详解】

解：抛物线经过点和点，

抛物线的对称轴为直线．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)①2；②2．

【解析】

【分析】

（1）利用根与系数的关系即可证明b=0；

（2）①设出P点坐标，然后令c=t²，然后表示出A、B的坐标，先求出直线BP的解析式，即可得到直线AQ的解析式，然后联立抛物线与直线AQ解析式，求出Q点横坐标，即可求解；②同①的方法，令a=-s²，c=t²，设出P点坐标，分别求出D、E的坐标，代入计算即可求解．

(1)

解：设方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，

∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，且OA＝OB，

∴x1=-x2，即x1+x2=0，

∵x1+x2=-，

∴-=0，

∵a＜0，

∴b=0；

(2)

解：①当a=﹣1时，令c=t2，抛物线的解析式为y=-x2+t2，

解方程-x2+t2=0，得：x1=t，x2=-t，

∴A(-t，0)，B(t，0)，

设点P的坐标为(p，-p2+ t2)，

设直线PB的解析式为y=kx+m，

∴，解得：，

∴直线PB的解析式为y=x+，

∵AQ∥BP，  

设直线AQ的解析式为y=x+n，

把A(-t，0)代入得：n=

∴直线AQ的解析式为y=，

联立y=和y=-x2+ t2得：，

整理得：，

解得x1=-t，x2=p+2t，

∴点Q的横坐标为p+2t，

∴Q，P两点横坐标的差为p+2t-p=2t=2；

②令c=t2，a=-s²，抛物线的解析式为y=-s²x2+t2，

解方程-s²x2+t2=0，得：x1=，x2=-，

∴A(-，0)，B(，0)，C(0，t2)，

设点P的坐标为(p，-s²p2+ t2)，

同理求得直线PB的解析式为y=x+，

直线AQ的解析式为y=，

令x=0，则y=，  

即点E的坐标为(0，)，

同理求得直线AP的解析式为y=，

令x=0，则y=，

即点D的坐标为(0，)，

∴OD=，OE=，OC=，

∴．

．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．

2、 (1)图解析，y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6

(2)水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．

【解析】

【分析】

（1）依题意，建立直角坐标系（见详解1），依据二次函数的顶点式进行求解即可；

（2）结合（1）中的解析式，将距离问题转变为二次函数与横坐标轴的交点问题，求解；

(1)

由题知，如图，以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，

由题意知，抛物线的顶点为、点；

设抛物线的解析式为，

将点代入，得：，

则抛物线的解析式为，

(2)

结合（1），可知水流的落地点D到水枪底部B的距离转换为，与横坐标的交点问题；

∴ 当y＝0时，有，

解得：或（舍），

∴，

答：水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．

【点睛】

本题主要考查二次函数解析式的求解及其实际应用，关键在熟练应用解析结合实际问题；

3、（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为

【解析】

【分析】

（1）利用公式法，即可求解；

（2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解．

【详解】

解：（1）

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）

∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键．

4、 (1)

(2)当时，有最大值，此时点的坐标为

(3)在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；

（2）过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；

（3）分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．

(1)

解：抛物线经过点，，，

，解得．

抛物线的解析式为：；

(2)

如图，过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点．

设直线的解析式为，由题意，得

，解得，

直线的解析式为：．

设点坐标为，则点的坐标为，

．

，

，

当时，有最大值，此时点的坐标为；

(3)

解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：

，

顶点的坐标为，

，

．

设点的坐标为，分三种情况进行讨论：

①当为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

②当为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

③当为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得，

即，

解得或，

所以点的坐标为或；

综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．

5、 (1)；

(2)铅球距离地面的最大高度为

【解析】

【分析】

（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；

（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．

(1)

把（10，0）代入函数解析式中得：

解得：

(2)

当x＝﹣时，y最大＝

所以铅球距离地面的最大高度为3m．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．