初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品测试题

九年级数学下册第三十章二次函数专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（       ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤

2、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（       ）

A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6

3、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）

A． B．

C． D．

4、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

5、在抛物线的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

6、下列函数中，二次函数是（       ）

A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）

C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝

7、抛物线的函数表达式为，若将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（       ）

A． B．

C． D．

8、抛物线的顶点坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）

9、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（       ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．

10、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若抛物线与轴交于原点，则的值为 __．

2、如果抛物线的顶点在轴上，那么的值是_________．

3、某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______．

4、这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段图文，则被墨迹污染的二次函数的二次项系数为______．由图像知，当x＝﹣1时二次函数y＝■x2＋6x﹣5有最小值．

5、二次函数的图象的顶点坐标为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．

(1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标；

(2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；

(3)若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请直接写出t的最大值．

2、已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2．

(1)当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；

(2)如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；

(3)将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．

3、已知函数（为常数）．

(1)若图象经过点，判断图象经过点吗？请说明理由；

(2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式；

(3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．

4、生态水果是指在保护、改善农业生态环境的前提下，遵循生态学、生态经济学规律，运用现代科学技术，营养的、健康的水果．青岛市扶贫工作小组对李沧、胶州、即墨等多地果农进行精准投资建设，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了．批发销售总额比去年增加了20%

(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？

(2)今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时该水果店一天的利润最大（利润计算时，其它费用忽略不计，并且售价为整数）

5、某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可看作一次函数：，已知当销售单价定为25元时，李明每月获得利润为1250元．

(1)求的值；

(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？

（注：利润=（销售单价-进价）×销售量）

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤

【详解】

解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则

∴

故①正确；

∵二次函数的图象经过点，

则当时，

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

时，

即

故②不正确

对称轴为直线，

∴，即

故③正确；

∵二次函数图象与轴有两个交点，则

即

故④错误；

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，

故⑤正确

故正确的是①③⑤

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．

2、C

【解析】

【分析】

根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），

∴，

解得：，

∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，

∴函数的最小值为=，即y≥-3，

故选C．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．

3、D

【解析】

【分析】

分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．

【详解】

解：∵，，，

∴BC=，

过CA点作CH⊥AB于H，

∴∠ADE=∠ACB=90°，

∵，

∴CH=4.8，

∴AH=，

当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，

∴△ADE∽△ACB，

∴，即，解得：x=，

∴y=•x•=x2；

当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，

∴△BDE∽△BCA，

∴，

即，解得：x=，

∴y=•x•=；

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．

4、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

把三个点，，的横坐标代入解析式，然后比较函数值大小即可．

【详解】

解：把三个点，，的横坐标代入解析式得，

；；；

所以，，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出函数值，再比较大小．

6、B

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义逐个判断即可．

【详解】

解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

B．是二次函数，故本选项符合题意；

C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

D．不是二次函数，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．

7、C

【解析】

【分析】

此题可以转化为求将抛物线“向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的顶点坐标为 ，

∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线顶点坐标为 ，

∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为，

∴将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为．

故选：C

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律——左加右减，上加下减是解题关键．

8、A

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；

（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；

（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；

（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；

（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；

故选C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

10、C

【解析】

【分析】

根据两根之和公式可以求出对称轴公式．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，

∴x1＋x2＝− ＝2．

∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

二、填空题

1、-3

【解析】

【分析】

根据函数图象经过原点时，，，代入即可求出的值．

【详解】

解：抛物线与轴交于原点，

当时，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当时，是解决问题的关键．

2、2

【解析】

【分析】

把二次函数一般式转化为顶点式，求出其顶点坐标，再根据顶点在x轴上确定其纵坐标为0，进而求出m的值．

【详解】

解：∵，

∴二次函数顶点坐标为．

∵顶点在x轴上，

∴，

∴m=2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查二次函数的一般式转化为顶点式的方法和坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键．

3、

【解析】

【分析】

某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案.

【详解】

解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为

故答案为：

【点睛】

本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键.

4、

【解析】

【分析】

由图象可得：抛物线的对称轴为： 再利用抛物线的对称轴公式建立方程求解即可.

【详解】

解：由图象可得：抛物线的对称轴为：

而

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的对称轴方程求解未知系数的值”是解本题的关键.

5、

【解析】

【分析】

根据的意义直接解答即可．

【详解】

解：二次函数的图象的顶点坐标是．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：（a≠0）的顶点坐标为（0，c）．

三、解答题

1、 (1)对称轴x＝2；交点坐标为（1，0）和（3，0）

(2)10

(3)4

【解析】

【分析】

（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可求得抛物线与x轴的交点坐标；

（2）构建方程求出a的值，再求出△OPQ的面积即可解决问题；

（3）当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，可得t+1≤5且t≥﹣1，由此即可解决问题．

(1)

解：∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，

∴对称轴x＝2；

令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，

解得x＝1或3，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）；

(2)

解：∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，

∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），

∴4a﹣8a+3a＝2，

∴a＝﹣2，

∴y＝﹣2x2+8x﹣6，

∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，

∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．

∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，

∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．

∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．

∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2＝10；

(3)

解：∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，

∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，

∴t+1≤5且t≥﹣1，

∴﹣1≤t≤4，

∴t的最大值为4．

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数的最值问题等知识，解题的关键是读懂题意、灵活运用所学知识解决问题．

2、 (1)

(2)证明见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象的性质可知，当时，， ，，有，求解即可；

（2）如图，分别过点作交点分别为，设两点横坐标分别为，由题意知：，， ，，；有，，，，故可证；

（3）平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，可知，有相同的纵坐标，可得，解得，知点横纵标，在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标，可得，进而可得的关系．

(1)

解：∵，

∴根据函数图象的性质可知，当时，，

∵

∴

解得．

(2)

证明：如图，分别过点作交点分别为

∴

设两点横坐标分别为，

由题意知：

∴，

∵

∴

∵，

∴

∴

∴．

(3)

解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，

∵

∴

∴有相同的纵坐标

∴

解得

故可知点横纵标

∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标

∴

解得．

【点睛】

本题考查了一次函数与二次函数的综合，相似三角形等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．

3、 (1)经过，理由见解析

(2)n＝﹣m2﹣6m．

(3)4或6

【解析】

【分析】

（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，即可得到函数表达式，然后把点（2，4）代入判断即可；

（2）利用顶点坐标公式得到﹣＝m，＝n，然后消去b可得到n与m的关系式．

（3）由抛物线不经过第三象限可得b的取值范围，分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值求解．

(1)

解：经过，

把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：

4﹣2b+3b＝4，

解得b＝0，

∴此函数表达式为：y＝x2，

当x＝2时，y＝4，

∴图象经过点（2，4）；

(2)

解：∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），

∴﹣＝m，＝n，

∴b＝﹣2m，

把b＝﹣2m代入＝n得n＝＝﹣m2﹣6m．

即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．

(3)

把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，

∵抛物线不经过第三象限，

∴3b≥0，即b≥0，

∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，

∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），

∵﹣≤0，

∴当﹣+3b≥0时，抛物线不经过第三象限，

解得b≤12，

∴0≤b≤12，﹣6≤﹣≤0，

∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，

把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，

把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，

当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16时，

解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．

当1+4b﹣（﹣+3b）＝16时，

解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．

综上所述，b＝4或6．

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．

4、 (1)24元；

(2)当m=35时，w最大=7260元．

【解析】

【分析】

（1）设去年这种水果的批发价为x元/千克，今年的销量-去年的销量=1000列方程解方程即可；

（2）设每千克的平均销售价为m元，根据总利润=每千克利润×销量列函数关系式w=(m-24)(300+)配方为顶点式，利用函数性质求即即可．

(1)

解：设去年这种水果的批发价为x元/千克，

根据题意得：，

整理得：3000-2400=24x，

解得x=25，

经检验符合题意，

元；

(2)

解：设每千克的平均销售价为m元，

w=(m-24)(300+)，

=，

=，

∵a=-60＜0，

抛物线开口向下，函数有最大值，

当m=35时，w最大=7260元．

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，列二次函数解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，列二次函数解应用题方法是解题关键．

5、 (1)的值是500；

(2)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元

【解析】

【分析】

（1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量列方程求解即可；

（2）根据利润=（销售单价-进价）×销售量得到w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．

(1)

解：由题意可得，，

解得：，

答：的值是500；

(2)

解：设利润为w元，

由题意：，

，

∵-10<0，

∴时，取得最大值，此时，

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．

【点睛】

本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键．