冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试练习

九年级数学下册第三十章二次函数专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3

2、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

3、若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（       ）

A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0

C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2

4、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）

A． B．

C． D．

5、一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是（       ）

A．秒 B．秒 C．秒 D．1秒

6、抛物线的顶点坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）

7、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）

A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)

8、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

9、已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（　　）

A．若x1+x2＜2，则y1＞y2 B．若x1+x2＞2，则y1＞y2

C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2 D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2

10、二次函数的最大值是（   ）

A． B． C．1 D．2

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、点P(m，n)在对称轴为x=1的函数的图像上，则m－n的最大值为____．

2、如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1________y2．（填“>”、“=”或“<”）

3、抛物线的顶点坐标是______．

4、若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b（填“＞”，“＜”或“＝”）．

5、如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

(1)求y与x的函数关系式；

(2)求公司销售该商品获得的最大日利润．

2、图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为．

(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；

(2)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号）

3、已知二次函数．

(1)把它配方成的形式，并写出它的开口方向、顶点的坐标；

(2)作出函数的图象（列表描出五个关键点）．

4、如图，抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；

(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．

①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；

②当h=16时，直接写出△BCP的面积．

5、（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；

（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

【详解】

解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；

再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，

故选：B．

【点睛】

本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

2、C

【解析】

【分析】

先求出抛物线对称轴，再根据两个点距对称轴距离判断即可．

【详解】

解：抛物线的对称轴为：直线，

∵，

当，点到对称轴的距离近，即，当，点到对称轴的距离远，即，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出抛物线的对称轴，根据点距对称轴的远近，进行判断开口．

3、A

【解析】

【分析】

根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．

【详解】

解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，

∴a=1．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．

4、B

【解析】

【分析】

分别利用函数解析式分析图象得出答案．

【详解】

解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；

B、两函数图象符合题意；

C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；

D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．

5、A

【解析】

【分析】

根据已知得到函数关系式，将h=3代入，求出t值的差即为答案．

【详解】

解：由题意得，

当h=3时，，

解得，

∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒），

故选：A．

【点睛】

此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，正确理解题中各字母的值，代入求出函数解析式解决问题是解题的关键．

6、A

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．

7、A

【解析】

【分析】

根据顶点式的顶点坐标为求解即可

【详解】

解：抛物线的顶点坐标是

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

9、A

【解析】

【分析】

由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，

∵x1＜x2，

∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，

∴y1＞y2，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．

10、D

【解析】

【分析】

由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．

【详解】

解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值

∴将代入中得

∴最大值为2

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．

二、填空题

1、##0.25

【解析】

【分析】

根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m−n的最大值，本题得以解决．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2＋ax＋2的对称轴为x=1，

∴，解得a=-2，

∴二次函数解析式为y＝x2-2x＋2，

∵点P（m，n）在二次函数y＝x2-2x＋2的图象上，

∴n＝m2-2m＋2，

∴m−n＝m−（m2-2m＋2）＝-m2+3m-2＝−（m−）2+，

∴当m＝时，m−n取得最大值，此时m−n＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

2、

【解析】

【分析】

将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小．

【详解】

=2时：

时：

∴

故答案为：<

【点睛】

本题考查函数性质，掌握比较方法是关键．

3、 (2，-1)

【解析】

【分析】

先把抛物线配方为顶点式，再确定顶点坐标即可．

【详解】

解：，

∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）．

故答案为（2，-1）．

【点睛】

本题考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线配方为顶点式的方法是解题关键．

4、＜

【解析】

【分析】

根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断的大小关系．

【详解】

解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，，开口向上，对称轴为

又点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

5、6

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．

【详解】

建立平面直角坐标系如图：

则抛物线顶点C坐标为（0，3），

设抛物线解析式y＝ax2+3，

将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3，

解得：a＝﹣，

故抛物线解析式为y＝﹣x2+3，

当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y＝﹣3时，对应的抛物线上两点之间的距离，

也就是直线y＝﹣3与抛物线相交的两点之间的距离，

将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3，

解得：x＝±，

所以水面宽度为米，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)y=-x+120；

(2)最大日利润是2025元．

【解析】

【分析】

（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；

（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值．

(1)

解：设解析式为y=kx+b，

将（40，80）和（60，60）代入，可得，

解得：，

所以y与x的关系式为y=-x+120；

(2)

解：设公司销售该商品获得的日利润为w元，

w=（x-30）y=（x-30）（-x+120）

=-x2+150x-3600

=-（x-75）2+2025，

∵x-30≥0，-x+120≥0，

∴30≤x≤120，

∵-1＜0，

∴抛物线开口向下，函数有最大值，

∴当x=75时，w最大=2025，

答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．

【点睛】

本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．

2、 (1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解可得；

（2）在所求函数解析式中求出时的值即可得．

(1)

解：设抛物线的解析式为，

将点、代入，得：，

解得：，

所以抛物线的解析式为；

(2)

当时，，即，

解得：，

则水面的宽为．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．

3、 (1)，开口向下，顶点的坐标为

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）按题目要求配方成顶点式，根据顶点式写出开口方向和顶点坐标；

（2）根据解析式列表、描点、连线画二次函数图象

(1)

解：∵，

∴开口向下，顶点的坐标为

(2)

列表：

描点、连线如图，

【点睛】

本题考查了将二次函数化为顶点式，画二次函数图象，掌握顶点式的图象的性质是解题的关键．

4、 (1)

(2)

(3)①；②

【解析】

【分析】

（1）将点代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）根据两点求得直线的解析式，进而求得的长，根据的范围分类讨论求得的值，进而得到矩形周长与的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最小值即可；

（3）①根据抛物线解析式求得顶点坐标，进而根据的纵坐标与的纵坐标求得最大与最小值求得其差即可，根据的纵坐标大于3和小于等于3求解即可；②过点作轴交于点，过点作于点，根据①中的范围可得，当时，，进而求得点的坐标，根据计算即可

(1)

解：∵抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），

∴令，则，

将点代入得

解得

则抛物线的解析式为

(2)

点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴

点在点上方，

,，设直线的解析式为

解得

直线的解析式为

设，则

抛物线的解析式为

对称轴为，顶点坐标为，

根据对称性可得

设矩形的周长为，

①当时，，不能构成矩形，

②当时，

则

当时，

③当时，

则

对称轴为

则当时，不存在最小值

综上所述，矩形的周长的最小值为

(3)

①抛物线的解析式为

对称轴为，顶点坐标为，

又

当时，

解得，

当时，

当时，

②当时，

当时，

解得

则

如图，过点作轴交于点，过点作于点，

抛物线的解析式为

令，则

解得

【点睛】

本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与矩形问题，二次函数与三角形面积问题，掌握二次函数的性质与一次函数的性质是解题的关键．

5、（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为

【解析】

【分析】

（1）利用公式法，即可求解；

（2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解．

【详解】

解：（1）

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）

∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键．