2021年中考数学：专题28 四边形综合（专题测试 原卷及解析卷）

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专题28 四边形综合
（满分：100分 时间：90分钟）
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________
一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（2020·湖北荆门市·中考真题）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2），再过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，连接BE交x轴与D点，过A’作A’C∥DE交x轴于点C，得到四边形CDEA’为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2）
过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2）
连接BE交x轴与D点
过A’作A’C∥DE交x轴于点C，
∴四边形CDEA’为平行四边形，
此时AC+BD最短等于BE的长，
即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE==
故选B．

形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是（　　）
A．AC，BD相等且互相平分 B．AC，BD垂直且互相平分
C．AC，BD相等且互相垂直 D．AC，BD垂直且平分对角
【答案】C
【分析】
利用中点四边形的判定方法得到答案即可．
【详解】
顺次连接对角线相等的四边形的四边中点得到的是菱形，
顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点得到的是矩形，
顺次连接对角线相等且垂直的四边形的四边中点得到的四边形是正方形，
故选：C．
3．（2019·湖南永州市·中考真题）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．40 B．24 C．20 D．15
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．
【详解】
∵AB＝AD，点O是BD的中点，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB＝5，BOBD＝4，
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
∴四边形ABCD的面积6×8＝24，
故选：B．
4．（2018·山东省潍坊第八中学中考真题）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【详解】
当0≤t＜2时，S=×2t××（4﹣t）=﹣t2+2t；
当2≤t＜4时，S=×4××（4﹣t）=﹣t+4；
只有选项D的图形符合，
故选D．
5．（2020·山东东营市·九年级一模）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（　　）

A．5 B．10 C．10 D．15
【答案】B
【解析】
作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示，

∵AE=CG，BE=BE′，
∴E′G′=AB=10，
∵GG′=AD=5，
∴E′G=，
∴C四边形EFGH=2E′G=10，
故选B．
6．（2020·江苏徐州市·九年级二模）如图，正方形的边长为4，延长至使，以为边在上方作正方形，延长交于，连接、，为的中点，连接分别与、交于点、.则下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由正方形的性质可得∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC，继而可得四边形CEFM是矩形，∠AGF=90°，由此可得AH=FG，再根据∠NAH=∠NGF，∠ANH=∠GNF，可得△ANH≌△GNF(AAS)，由此可判断①正确；由AF≠AH，判断出∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，由此可判断②错误；证明△AHK∽△MFK，根据相似三角形的性质可对③进行判断；分别求出S△ANF、S△AMD的值即可对④作出判断.
【详解】
∵四边形ABCD、BEFG是正方形，
∴∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC，
∴四边形CEFM是矩形，∠AGF=180°-∠BGF=90°
∴FM=EC，CM=EF=2，FM//EC，
∴AD//FM，DM=2，
∵H为AD中点，AD=4，
∴AH=2，
∵FG=2，
∴AH=FG，
∵∠NAH=∠NGF，∠ANH=∠GNF，
∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正确；
∴∠NFG=∠AHN，NH=FN，AN=NG，
∵AF>FG，
∴AF≠AH，
∴∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，故②错误；
∵EC=BC+BE=4+2=6，
∴FM=6，
∵AD//FM，
∴△AHK∽△MFK，
∴，
∴FK=3HK，
∵FH=FK+KH，FN=NH，FN+NH=FH，
∴FN=2NK，故③正确；
∵AN=NG，AG=AB-BG=4-2=2，
∴AN=1，
∴S△ANF=，S△AMD=，
∴S△ANF：S△AMD=1：4，故④正确，
故选 C.
7．（2020·广东湛江市模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∵AB=BC，∠ABE=∠BCF，BE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°．
∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k
在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正确；
∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．
故选B．
8．如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE＝BF＝CG＝DH
∴AH＝BE＝CF＝DG，∠A＝∠B＝∠C＝∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y＝4×4﹣x（4﹣x）×4
＝16﹣8x+2x2
＝2（x﹣2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
9．（2020·河南模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=20，CE=15，CF=7，AF=24，则BE的长为（　　）

A．10 B． C．15 D．
【答案】C
【解析】
分析：根据平行四边形的面积，可得设 则在Rt中，用勾股定理即可解得.
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∴
设 则
在Rt中，
即
解得（舍去），

故选C．
10．（2020·安徽宣城市模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF＝DC；③S△DCF＝4S△DEF；④tan∠CAD＝．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】
解：如图，过D作DMBE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，∠ABC=90°，AD=BC，S△DCF=4S△DEF
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
②∵DEBM，BEDM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故②正确；
③∵点E是AD边的中点，
∴S△DEF=S△ADF，
∵△AEF∽△CBF，
∴AF：CF=AE：BC=，
∴S△CDF=2S△ADF=4S△DEF，故③正确；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有，即b=a，
∴tan∠CAD= =．故④正确；
故选A．

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（2020·西藏中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PFE沿PE折叠，得到，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．

【答案】8
【分析】
点F在以E为圆心、EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，再根据折叠的性质得到BE＝EF＝5即可．
【详解】
解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，

根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，
∴EF⊥PF，EB＝EF，
∵E是AB边的中点，AB＝10，
∴AE＝EF＝5，
∵AD＝BC＝12，
∴CE＝＝＝13，
∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．
故答案为8．
12．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是_______．

【答案】
【分析】
动点问题,找到对称轴作对称点,相连即可算出答案,连接CE即为AP+PE的最小值．
【详解】

连接CE,
因为A、C关于BD对称．
CE即为AP+PE的最小值．
∵正方形边长为4,E是AB中点,
∴BC=4,BE=2．

故答案为: .
13．（2019·陕西中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___.

【答案】2.
【分析】
如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“=”，此时即PM—PN的值最大，由正方形的性质求出AC的长，继而可得，，再证明，可得PM∥AB∥CD，∠90°，判断出△为等腰直角三角形，求得长即可得答案.
【详解】
如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“=”，
∵正方形边长为8，
∴AC=AB=，
∵O为AC中点，
∴AO=OC=，
∵N为OA中点，
∴ON=，
∴，
∴，
∵BM=6，
∴CM=AB-BM=8-6=2，
∴，
∴PM∥AB∥CD，∠90°，
∵∠=45°，
∴△为等腰直角三角形，
∴CM==2，
故答案为：2.

14．（2019·辽宁盘锦市·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形纸片，将△BCD沿BD折叠，得到△BED，BE交AD于点F，AB＝3．AF：FD＝1：2，则AF＝_____．

【答案】.
【分析】
根据矩形的性质得到AD∥BC，∠A＝90°，求得∠ADB＝∠DBC，得到FB＝FD，设AF＝x（x＞0），则FD＝2x，求得FB＝FD＝2x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠DBC＝∠DBF，
∴∠ADB＝∠DBF，
∴FB＝FD，
∵AF：FD＝1：2，
∴设AF＝x（x＞0），则FD＝2x，
∴FB＝FD＝2x，
∵AB2+AF2＝FB2，
∴32+x2＝（2x）2，
∵x＞0，
∴x＝，
∴AF＝，
故答案为：．
15．（2019·山东滨州市·中考真题）如图，▱ABCD的对角线交于点，平分交于点，交于点，且，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有__________（填写所有正确结论的序号）

【答案】①③④
【分析】
①根据已知的条件首先证明是等边三角形，因此可得，所以可得，再根据O、E均为AC和AB的中点，故可得，便可证明；②首先证明，因此可得，故可得 和的比. ③根据勾股定理可计算的AC：BD；④根据③分别表示FB、OF、DF，代入证明即可.
【详解】

解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误，
设，则，，，
∴，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为①③④．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（2020·江西中考真题）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究
（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ；
推广验证
（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积．

【答案】（1）；（2）结论成立，证明看解析；（3）
【分析】

（1）由题目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均为直角三角形，又因为，则有∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系；
（2）在△ABD、△ACE、△BCF中，，，可以得到∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系；
（3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点A作AHBP于点H，连接PD，BD，由此可知，，即可计算出，根据△ABP∽△EDP∽△CBD，从而有，由（2）结论有，最后即可计算出四边形ABCD的面积．
【详解】

（1）∵△ABC是直角三角形，
∴，
∵△ABD、△ACE、△BCF均为直角三角形，且，
∴∽∽，
∴，，
∴
∴得证．
（2）成立，理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴，
∵在△ABD、△ACE、△BCF中，，，
∴∽∽，
∴，，
∴
∴得证．
（3）过点A作AHBP于点H，连接PD，BD，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴PH=AH=，
∴，，
∴，
∵，ED=2，
∴，，
∴，
∵，
∴△ABP∽△EDP，
∴，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴△ABP∽△EDP∽△CBD
∴
故最后答案为．

17．（2020·贵州贵阳市·中考真题）如图，四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）40
【分析】

（1）直接利用矩形的性质结合BE=CF,可得，进而得出答案；
（2）在中利用勾股定理可计算，再由求出得，进而求出AD长，由即可求解．
【详解】

解：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，即．
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）如图，连接，

∵四边形是矩形
∴
在中，，，
∴由勾股定理得，，即．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴即，解得．
由（1）得四边形是平行四边形，
又∵，高，
∴．
18．（2020·湖南邵阳市·中考真题）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板与正方形的一角重合，连接，点M是的中点，连接．

（1）请你猜想与的数量关系是__________．
（2）如图②，把正方形绕着点D顺时针旋转角（）．
①与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长到点N，使，连接）
②求证：；
③若旋转角，且，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由见解析②见解析③
【分析】
（1）根据题意合理猜想即可；
（2）①延长到点N，使，连接，先证明△MNC≌△MDE，再证明△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；
②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；
③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解．
【详解】
（1）猜想与的数量关系是AF=2DM，
故答案为：AF=2DM；
（2）①AF=2DM仍然成立，
理由如下：延长到点N，使，连接，
∵M是CE中点，
∴CM=EM
又∠CMN=∠EMD，
∴△MNC≌△MDE
∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE
∴CN∥DE，
又AD∥BC
∴∠NCB=∠EDA
∴△ADF≌△DCN
∴AF=DN
∴AF=2DM
②∵△ADF≌△DCN
∴∠NDC=∠FAD，
∵∠CDA=90°，
∴∠NDC+∠NDA=90°
∴∠FAD+∠NDA=90°
∴AF⊥DM

③∵，
∴∠EDC=90°-45°=45°
∵，
∴∠EDM=∠EDC=30°，
∴∠AFD=30°
过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG=90°-45°=45°
∴△ADG是等腰直角三角形，
设AG=k,则DG=k，AD=AG÷sin45°=k，
FG=AG÷tan30°=k，
∴FD=ED=k-k
故=．

19．（2020·湖南怀化市·中考真题）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形中，∥，，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径．

【答案】（1）④；（2）证明过程见解析；③4
【分析】
（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；
（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；
（3）过点O作，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理即可得到答案．
【详解】
（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形对角线相等但不垂直；③菱形的对角线互相垂直但不相等；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
（2）∵，，
∴AC∥DE，
又∵∥，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
又∵，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=DE，
∴BD=AC，
∴四边形是垂等四边形．
（3）如图，过点O作，

∵四边形是垂等四边形，
∴AC=BD，
又∵垂等四边形的面积是24，,根据垂等四边形的面积计算方法得：
，
又∵，
∴，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD=r，DE=，
∴，
∴的半径为4．
20．（2020·四川广安市·中考真题）如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，AB=5个单位长度，BC=6个单位长度．用这两个三角形来拼成四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（每个小正方形的边长均为1个单位长度，所画四边形全等视为同一种情况），并直接在对应的横线上写出该四边形两条对角线长度的和．

【答案】作图和对应的四边形两条对角线长度的和见解析
【分析】
根据三线合一即可求出BD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，然后根据拼成不同的四边形分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理结合网格分别求出对角线的长即可求出结论．
【详解】
解：∵△ABC为等腰三角形，AD是BC边上的高，AB=5个单位长度，BC=6个单位长度
∴BD=BC=3个单位长度
∴AD=个单位长度
①按如下图所示拼成的四边形，

∴一条对角线AC=4个单位长度，另一条对角线BC=个单位长度
∴该四边形两条对角线长度的和为个单位长度
故答案为：个单位长度；
②按如下图所示拼成的四边形，

∴一条对角线AB=5个单位长度，另一条对角线CD=5个单位长度
∴该四边形两条对角线长度的和为10个单位长度
故答案为：10个单位长度；
③按如下图所示拼成的四边形，

∴一条对角线BD=3个单位长度，另一条对角线AC=个单位长度
∴该四边形两条对角线长度的和为个单位长度
故答案为：个单位长度．