2021年中考数学：专题28 四边形综合（知识点串讲）

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专题28 四边形综合
【知识要点】
四边形之间的从属关系


特殊四边形的性质与判定：


【考查题型】

考查题型一 四边形综合
典例1．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）

A．14 B．15
C． D．
【答案】A
【提示】连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得，进而可求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长．
【详解】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，
∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴，
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10，
∵EC:CH＝1:2，
∴AC:BC＝1:2，
设AC＝a，则BC＝2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC为平行四边形，
∴AB＝CQ＝10，
∵，
∴，
∴（舍负）
∴，，
∵，
∴，
∵JR＝AF＝AB＝10，
∴CR＝CJ＋JR＝14，
故选：A．

变式1-1．（2020·江苏无锡市·中考真题）如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根据已知，易求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，，，在中，根据，代入数值，即可求解．
【详解】解：如图

∵ ，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，延长交于，
∴ ，则， ，
过点作，设，则，，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴．
故选B．
变式1-2．（2020·浙江中考真题）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】B
【提示】
如图，连接DD＇,延长C＇D＇交AD于E，由菱形ABC＇D＇，可得AB∥C＇D＇,进一步说明∠ED＇D=30°,得到菱形AE=AD;又由正方形ABCD,得到AB=AD,即菱形的高为AB的一半,然后分别求出菱形ABC＇D＇和正方形ABCD的面积,最后求比即可．
【详解】
解：如图：延长C＇D＇交AD于E
∵菱形ABC＇D＇
∴AB∥C＇D＇
∵∠D＇AB=30°
∴∠A D＇E=∠D＇AB=30°
∴AE=AD
又∵正方形ABCD
∴AB=AD,即菱形的高为AB的一半
∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是．
故答案为B．

变式1-3．（2019·四川眉山市·中考真题）如图，在菱形中，已知，，，点在的延长线上，点在的延长线上，有下列结论：①；②；③；④若，则点到的距离为．则其中正确结论的个数是( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【提示】
①只要证明即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点到的距离即可判断．综上即可得答案.
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，，
∵∠ABC=60°，
∴是等边三角形，
∴∠ACD=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠ABE=∠ACF=120°，
∵，
∴∠BAE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，．故①正确；
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴和不会相似，故③不正确；
过点作于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴在中，，，
∴．
∴．
∴点到的距离为，故④不正确．
综上，正确结论有①②，共2个，
故选B．

变式1-4．（2020·四川攀枝花市·九年级一模）如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：
①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【提示】
建立以B点位坐标原点的平面直角坐标系，分别求出相应直线的解析式和点的坐标，求出各线段的距离，可得出结论.
【详解】
解：如图，
建立以B点为坐标原点的平面直角坐标系，设正方形边长为2，可分别得各点坐标，
A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2), E为CD的中点,可得E点坐标（2，1），可得AE的直线方程，，由OF为直线AE的中垂线可得O点为，设直线OF的斜率为K，得，可得k=2,同时经过点O(),可得OF的直线方程：
，可得OF与x轴、y轴的交点坐标G(,0),H(0,),及F(,2),
同理可得：直线CO的方程为：，可得M点坐标（，2），
可得：①FG=,
AO==,
故FG=2AO，故①正确；
②：由O点坐标，D点坐标（2，2），可得OD的方程：，
由H点坐标(0,)，E点坐标（2，1），可得HE方程：，
由两方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE，
故②错误；
③由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1），
可得：BH=,EC=1,AM=,MD=,
故=，
故③正确；
④：由O点坐标，E（2，1），H(0,)，D(2,2),
可得：,
AH=,DE=1,有2OE2=AH•DE，
故④正确；
⑤：由G(,0)，O点坐标，H(0,)，C(2,0),
可得：,
BH=,HC=,
可得：GO≠BH+HC,
故正确的有①③④，
故选B.
变式1-5．（2020·广东九年级三模）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】
①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出最大值BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
【详解】
解：
①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
②∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，

则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
EF===，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选C．
考查题型二 连接四边形中点得到新四边形，探索其性质
典例2．（2020·黑龙江双鸭山市模拟）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
【答案】D
【提示】
根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
【详解】
解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选D．

变式2-1．（2020·河北模拟）如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【提示】
证出、、、分别是、、、的中位线，得出，，，，证出四边形为平行四边形，当时，，得出平行四边形是菱形；当时，，即，即可得出菱形是正方形．
【详解】
点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，
四边形为平行四边形，
当时，，
平行四边形是菱形；
当时，，即，
菱形是正方形；
故选：．
变式2-2．（2020·四川成都市一模）顺次连结一个平行四边形的各边中点所得四边形的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】A
【详解】
试题提示：连接平行四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．
解：顺次连接平行四边形ABCD各边中点所得四边形必定是：平行四边形，
理由如下：
（如图）根据中位线定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选A．

变式2-3．（2020·河北保定市模拟）如图，在任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）

A．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形
B．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形
C．当，，，不是各边中点时，四边形可以为平行四边形
D．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形
【答案】D
【提示】
当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点时，连接AC、BD，如图，根据三角形的中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形的定义和矩形的定义即可对A、B两项进行判断；画出符合题意的平行四边形，但满足，，，不是各边中点即可判断C项；画出符合题意的菱形，但满足，，，不是各边中点即可判断D项，进而可得答案．
【详解】
解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点时，连接AC、BD，如图，则由三角形的中位线定理可得：EH=BD，EH∥BD；FG=BD，FG∥BD，所以EH=FG，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形；

当AC＝BD时，∵EH=BD，EF=AC，∴EF=EH，故四边形EFGH为菱形，故A正确；
B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，如上图，由三角形的中位线定理可得：EH∥BD，EF∥AC，所以EH⊥EF，故平行四边形EFGH为矩形，故B正确；
C．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；

D．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；

故选：D．
变式2-4．（2020·广东惠州市·九年级一模）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）

A．8048个 B．4024个 C．2012个 D．1066个
【答案】B
【解析】
：第1个图形，有4个直角三角形，
第2个图形，有4个直角三角形，
第3个图形，有8个直角三角形，
第4个图形，有8个直角三角形，
…，
依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，
所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024．
故选B．
变式2-5．（2020·南昌市模拟）如图，四边形ABCD中，AC＝m，BD＝n，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……，如此进行下去，得到四边形A5B5C5D5的周长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形A1B1C1D1是矩形，根据菱形的判定定理得到四边形A2B2C2D2是平行四边形，得到四边形A5B5C5D5为矩形，计算即可．
【详解】
解：点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1∥BD，A1D1＝BD＝n，
同理：B1C1∥BD，B1C1＝BD＝n，
∴A1D1∥B1C1，A1D1＝B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形，
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1，
∴四边形A1B1C1D1是矩形，其周长为2×（m＋n）＝m＋n，
同理，四边形A2B2C2D2是平行四边形，
∵A2B2＝A1C1，B2C2＝A1C1，
∴A2B2＝B2C2，
∴四边形A2B2C2D2是菱形，
同理，A3B3C3D3为矩形，周长为，
∴矩形A5B5C5D5的周长为，
故选：A．
考查题型三 利用平行四边形（特殊）的对称性求阴影面积
典例3．（2019·山东济南市一模）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题提示：矩形的对角线将矩形分割成面积相等的四部分，如图，因为△DOF和△EOB是全等三角形，将△DOF切割到△EOB与△AOE合并成△AOB，刚好占了该矩形面积的，所以P落在阴影部分的概率是.
考点：矩形的性质和事件概率
变式3-1．下面各图中，所有大正方形边长是，所有小正方形边长是.下面各图中阴影部分面积最大的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
大正方形的边长为4，小正方形的边长为3，根据：三角形的面积=底×高÷2，平行四边形的面积=底×高，分别求出四个选项中阴影部分的面积，然后进行比较即可．
【详解】
解：大正方形的边长为4，小正方形的边长为3，则：
A、阴影部分的面积为：3×4=12；
B、阴影部分的面积为：4×（3+4）÷2=14；
C、阴影部分的面积为：3×（3+4）÷2=10.5；
D、阴影部分的面积为：4×4÷2+3×3÷2=12.5；
B图形的阴影面积最大.
故选：B．
变式3-2．（2020·天津市一模）正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是( )cm2．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题提示：阴影部分的面积可转化为两个三角形面积之和，根据角平分线定理，可知阴影部分两个三角形的高相等，正方形的边长已知，故只需将三角形的高求出即可，根据△DON∽△DEC可将△ODC的高求出，进而可将阴影部分两个三角形的高求出．
连接AC，过点O作MN∥BC交AB于点M，交DC于点N，PQ∥CD交AD于点P，交BC于点Q

∵AC为∠BAD的角平分线，
∴OM=OP，OQ=ON；
设OM=OP=h1，ON=OQ=h2，
∵ON∥BC
∴，即，解得
∴OM=OP

故选B.
变式3-3．（2020·襄樊市一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（ ）

A．0．7 B．0．9 C．22−2 D．22
【答案】C
【解析】
试题提示：如图，求出AE、BE的长度，证明△CFB1∽△BAB1，列出比例式求出CF的长度，运用三角形的面积公式即可解决问题．
试题解析：如图：

∵∠B=45°，AE⊥BC
∴∠BAE=∠B=45°
∴AE=BE
由勾股定理得：BE2+AE2=22
解得：BE=2
由题意得：△ABE≌△AB1E
∴∠BAB1=2∠BAE=90°，BE=B1E=2
∴BB1=22，B1C=22-2
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，
∴∠CB1F=45°，CF=B1F
∵CF∥AB
∴△CFB1∽△BAB1，
∴CFAB=B1CBB1，解得：CF=2-2
∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：12×2×2=1，12×(2-2)2=3-22．
∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=1-(3-22)=22-2．
故选C．
考查题型四 平行四边形（特殊）动点问题
典例4．（2020·江苏南通市·中考真题）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【答案】C
【提示】
过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，可得出答案．
【详解】
解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC，

由三角形面积公式得：y＝，
解得EH＝AB＝6，
∴BH=AE=8,
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，

∴ED=4,
∴BC=AD＝12，
∴矩形的面积为12×6＝72．
故选：C．
变式4-1．（2020·贵州铜仁市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【详解】
解：由题意当0≤x≤4时，
y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，

y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．
故选：D．
变式4-2．（2020·江西赣州市模拟）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【详解】
当0≤t＜2时，S=×2t××（4﹣t）=﹣t2+2t；
当2≤t＜4时，S=×4××（4﹣t）=﹣t+4；
只有选项D的图形符合，
故选D．
变式4-3．（2020·邵阳市模拟）如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　）

A．B．C． D．
【答案】A
【提示】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE＝BF＝CG＝DH
∴AH＝BE＝CF＝DG，∠A＝∠B＝∠C＝∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y＝4×4﹣x（4﹣x）×4
＝16﹣8x+2x2
＝2（x﹣2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
考查题型五 求四边形中线段最值问题
典例5．（2019·西藏中考真题）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
先由，得出动点在与平行且与的距离是的直线上，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即可得到的最小值．
【详解】
设中边上的高是．
，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，
如图，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，
在中，，
，
即的最小值为．
故选：A．

变式5-1．（2020·浙江杭州市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为（   ）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=2，
在Rt△ACN中，∵AC=2，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=AC=，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为．
变式5-2．（2020·洛阳模拟）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为　( )

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
先根据矩形的判定得出四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分且相等，再根据垂线段最短可以得出当时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，互相平分，且，
又∵为与的交点，
∴当的值时，的值就最小，
而当时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：．
变式5-3．（2020·辽宁铁岭市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【详解】
作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F

AE的长度是固定的，要△AEF的周长最小，只要AF+EF最小即可，又根据三角形两边之和大于第三边可知，对CD上任意点F′,总有AF′+E′F′＞AE′,所以点F是使得AF+EF最小的点．
∵在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，
∴BE=CE=CE′=6，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△CE′F∽△BE′A，即CE′·AB=CF·BE′，即6×9=CF·(12+6)，解得CF=3，
∴DF=CD-CF=9-3=6
故选B