八年级数学下学期3月学情自测（新教材人教版，高效培优 提升卷）+答案

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：新教材人教版八年级下册第十九章~第二十章。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．13，14，15B．3，4，6
C．0.3，0.4，0.5D．6，8，10
【答案】D
【解答】解：根据勾股定理得，
A、∵132+142≠152，
∴13，14，15不是勾股数，所以该选项错误，不符合题意；
B、∵32+42≠62，
∴3，4，6不是勾股数，所以该选项错误，不符合题意；
C、∵0.3，0.4，0.5都不是整数，
∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以该选项错误，不符合题意；
D、∵62+82＝102，
∴6，8，10是勾股数，所以该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．23−3=1B．25=±5C．27÷3=3D．12×13=4
【答案】C
【解答】解：A、23−3=3≠1，原计算错误，不符合题意；
B、25=5≠±5，原计算错误，不符合题意；
C、27÷3=9=3，正确，符合题意；
D、12×13=4=2≠4，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
3．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，5C．2，2，2D．6，8，10
【答案】D
【解答】解：A、22+32＝4+9＝13≠42＝16，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、(3)2+(4)2=3+4=7，(5)2=5，7≠5，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、(2)2+(2)2=2+2=4，(2)2=2，4≠2，不能组成直角三角形，不符合题意；
D、62+82＝36+64＝100102，62+82＝102，能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
4．x取怎样的实数，式子x−2在实数范围内有意义（ ）
A．x≠2B．x＞﹣2C．x≥2D．x＞2
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，x﹣2≥0，
∴x≥2．
故选：C．
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2B．a：b：c=1：3：2
C．a＝6，b＝8，c＝10D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【解答】解：A、∵a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵（3）2+12＝22，
∴能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，
∴a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×53+4+5=75°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
6．化简(x−2025)2−(x−2026)2的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2025D．2026
【答案】B
【解答】解：由条件可知x﹣2026≥0，
∴x≥2026，
则(x−2025)2−(x−2026)2
＝|x﹣2025|﹣（x﹣2026）
＝x﹣2025﹣x+2026
＝1，
故选：B．
7．已知1≤x≤3，则(1−x)2+(3−x)2化简后的结果是（ ）
A．2B．4﹣2xC．﹣2D．2x﹣4
【答案】A
【解答】解：∵1≤x≤3，
∴1﹣x≤0，3﹣x≥0，
∴原式＝x﹣1+3﹣x＝2．
故选：A．
8．已知a=5+3，b=25−3，则a与b的关系是（ ）
A．a＝bB．ab＝1C．a＝﹣bD．ab＝﹣5
【答案】A
【解答】解：b=25−3=(5+3)(5−3)5−3=5+3，a=5+3，
故选：A．
9．如图，此图取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是12，小正方形式面积是2，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．144B．28C．22D．20
【答案】C
【解答】解：∵如果大正方形的面积是12，小正方形式面积是2，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，
∴直角三角形的斜边的平方12，
由勾股定理得：a2+b2＝12，
∵大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形的面积之和，
∴4×12ab=12−2，即2ab＝10，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝12+10＝22．
故选：C．
10．小明的骑行路线如图所示，他从O地出发，0.5小时后到达A地，若他骑行的速度保持不变，则他从A地骑行至B地所需时间为（ ）
A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时
【答案】B
【解答】解：根据题意得，∠AOB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，AB∥x轴，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2OA，
∵从O地出发，0.5小时后到达A地，
∴从A地骑行至B地所需时间为1小时，
故选：B．
11．若5−11的整数部分为x，小数部分为y，则(x+11)(y−3)的值是（ ）
A．−13−311B．13+311C．10D．﹣10
【答案】D
【解答】解：∵3＜11＜4，
∴1＜5−11＜2，
∴x＝1，y=5−11−1=4−11，
∴(x+11)(y−3)=(1+11)(4−11−3)=(1+11)(1−11)=−10，
故选：D．
12．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ）
A．7.5米B．8米C．9米D．10米
【答案】A
【解答】解：如图，
根据题意可得，柱身高为6米，底面周长为1.5米，
∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，
∴AE＝1.5米，AB=13AD=13×6=2（米），
∴BE=1．52+22=2.5（米），
故雕刻在木柱上的巨龙长至少为2.5×3＝7.5（米），
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若最简二次根式a−1与2是同类二次根式，则a的值是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵最简二次根式a−1与2是同类二次根式，
∴a﹣1＝2，
解得，a＝3，
故答案为：3．
14．已知长方形的长为12，宽为8，则该长方形的面积为 46 ．
【答案】46．
【解答】解：根据题意得，该长方形的面积=12×8=12×8=4×3×4×2=46，
故答案为：46．
15．已知y=x−2+4−2x−5，则x+y的值为 2−5 ．
【答案】2−5．
【解答】解：由二次根式的定义可得：x−2≥04−2x≥0，
解得：x＝2，
将x＝2代入y=x−2+4−2x−5，
解得y=−5，
∴x+y＝2−5，
故答案为：2−5．
16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，则正方形ADEC的面积是 20 ．
【答案】20．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴由勾股定理得AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，
∴正方形ADEC的面积＝AC2＝20，
故答案为：20．
17．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2＝36+S1．则图中阴影部分的面积为 9 ．
【答案】9．
【解答】解：如图所示，
∵△ABC直角三角形，四边形ABFG，AHJC，BCDE均是正方形，
∴S正方形ACJH=S1=AC2，S正方形ABFG=S2=AB2，S正方形BCDE=S3=BC2，且AB＝BF＝FG＝AG，
∵AC2+AB2＝BC2，
∴S1+S2＝S3，
∵S3+S2＝36+S1，
∴S2＝18，
∵S阴影=12BF⋅FG=12AB2，
∴S阴影=12S2=12×18=9，
故答案为：9．
18．如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，Q．点P表示的数记为m，点Q表示的数记为n，则m2﹣mn+n2的值为 31 ．
【答案】31．
【解答】解：观察图象可得AD=12+32=10，
∴AQ=AP=AD=10，
故m=10+1，n=1−10，
∵m2﹣mn+n2＝（m﹣n）2+mn，
∵m−n=10+1−(1−10)=210，
mn=(10+1)(1−10)=−9，
∴m2−mn+n2=(m−n)2+mn=(210)2−9=31，
故答案为：31．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：
（1）62×3+330÷5；
（2）24−8÷23+(3+2)(3−2)．
【答案】（1）96；
（2）26−23+1．
【解答】解：（1）原式=66+36
=96；（3分）
（2）24−8÷23+(3+2)(3−2)
=26−23+(3)2−(2)2
=26−23+3−2
=26−23+1．（6分）
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AE＝4，BD＝3，求EF的长．
【答案】（1）见解答；
（2）165．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，（1分）
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠ADE，（2分）
∴AE＝DE；（3分）
（2）解：∵DE∥AC，∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
∵AE＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵BD＝3，
∴BE=DE2+BD2=5，（4分）
∵DF⊥AB，
∴S△BDE=12DF⋅BE=12DE•BD，
∴DF=DE⋅BDBE=3×45=125，（5分）
∴EF=DE2−DF2=165．（6分）
21．（8分）已知a=5+3，b=5−3，求下列各题的值：
（1）ab；
（2）a2﹣3ab+b2．
【答案】（1）2；
（2）10．
【解答】解：（1）原式=(5+3)(5−3)
＝5﹣3
＝2；（4分）
（2）原式＝a2﹣2ab+b2﹣ab
＝（a﹣b）2﹣ab（6分）
=[5+3−(5−3)]2−2
=(23)2−2
＝12﹣2
＝10．（8分）
22．（8分）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米．
（1）求B处与地面的距离；
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？
【答案】（1）B处与地面的距离是25米；
（2）消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，
∵AB＝25米，OA＝15米，OE＝5米，
∴OB=AB2−OA2=252−152=20（米），（2分）
∴BE＝OB+OE＝20+5＝25（米），
答：B处与地面的距离是25米；（4分）
（2）由题意得BD＝4米，
∵CD＝25米，OD＝OB+BD＝20+4＝24（米），
∴OC=CD2−OD2=252−OD2=252−242=7（米），（6分）
∴AC＝OA﹣OC＝15﹣7＝8（米）．
答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米．（8分）
23．（10分）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．
（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 6，8，10 ， 5，12，13 ；
（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．
【答案】（1）6，8，10；5，12，13；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）勾股数有6，8，10或5，12，13；
故答案为：6，8，10；（2分）
5，12，13；（4分）
（2）∵x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，
∴x2＝（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2，y2＝4m2n2，z2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，（7分）
∴x2+y2＝（m4+n4﹣2m2n2）+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝z2，（9分）
∴x、y、z是一组勾股数．（10分）
24．（12分）在解决问题“已知a=12−1，求2a2﹣4a+1的值”时，红华是这样分析与解答的：
∵a=12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2，
∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a＝2，
∴2a2﹣4a+1＝3．
请根据红华的分析过程，解决下列问题：
（1）化简：23+7；
（2）若a=23−7，求a2﹣6a的值；
（3）已知x=12(2+1)，求代数式x3+54x2﹣1的值．
【答案】（1）3−7；
（2）﹣2；
（3）−1516．
【解答】解：（1）23+7
=2(3−7)(3+7)(3−7)
=2(3−7)32−(7)2
=2(3−7)9−7
=3−7；（3分）
（2）∵a=23−7=2(3+7)(3+7)(3−7)=3+7，（4分）
∴a−3=7，
∴a2=(7+3)2=16+67，（6分）
∴a2﹣6a
＝16+67−6（7+3）
＝16﹣18
＝﹣2；（7分）
（3）∵x=12(2+1)=2−12[(2+1)(2−1)]=2−12，（8分）
∴2x+1=2，
∴(2x+1)2=(2)2，
∴4x2+4x+1＝2，
∴x2+x=14，（10分）
∴x3+54x2−1
=x(x2+x)+14x2−1
=14x+14x2−1
=14(x2+x)−1
=14×14−1
=116−1
=−1516．（12分）
25．（10分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a、b、c为三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S=14[a2b2−(a2+b2−c22)]，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
（1）利用材料1解决下面的问题：
当a＝3，b＝5，c＝6时，求这个三角形的面积；
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知△ABC三条边的长度分别是a=x+1，b=(5−x)2，c=4−(4−x)2，记△ABC的周长为C△ABC．
①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度 3 ；
②若x是满足0＜x≤4的整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
【答案】（1）214；
（2）①3；②374．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝5，c＝6，
∴p=3+5+62=7，（1分）
∴S=7×(7−3)(7−5)(7−6)=7×4×2×1=56=214；（3分）
（2）①当x＝2时，△ABC中最长边的长度为3．（6分）
②∵0＜x≤4，
∴(5−x)2=5−x，4−(4−x)2=4−(4−x)=x，
∴C△ABC=x+1+(5−x)2+4−(4−x)2
=x+1+5−x+x
=x+1+5，（8分）
∵C△ABC=x+1+5，0＜x≤4，x为整数，
∴当x＝4时，三边为5，1，4，
∵5+1＜4，
∴x＝4不合题意，舍去，（9分）
当x＝3时，三边为2，2，3，符合题意，此时C△ABC取最大值，
∴a＝2，b＝2，c＝3，
∴S=14×[22×22−(22+22−322)2]
=14×[16−(−12)2]
=374．（12分）
26．（12分）【知识再现】
（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC，CA，AB为边向外作的正方形的面积为S1，S2，S3．当S1＝225，S3＝625时，S2＝ 400 ；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以AB，BC，CD，DA为边向外作正方形的面积为S1，S2，S3，S4，试探究S1，S2，S3，S4的数量关系并说明理由；
（3）如图3，分别以图3中Rt△ABC的边BC，CA，AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC，CA，AB为直径的半圆柱的体积分别为V1，V2，V3，若AB＝4，柱体的高h＝8，求V1+V2的值．
【答案】（1）400；
（2）S1+S4＝S2+S3；理由见解答；
（3）16π．
【解答】解：（1）400；（3分）
S1+S4＝S2+S3；（4分）
理由如下：
如图2，连接BD，
∵BD2＝AB2+AD2，AB2＝S1，AD2＝S4，
∴BD2＝S1+S4，（5分）
同理可得，BD2＝S2+S3，
∴S1+S4＝S2+S3；（7分）
（3）由题意得：V1=12⋅π(BC2)2h=18πh⋅BC2，V2=12⋅π(CA2)2h=18πh⋅CA2，V3=12⋅π(AB2)2h=18πh⋅AB2，（9分）
∵BC2+CA2＝AB2，
∴V1+V2=18πh⋅BC2+18πh⋅CA2=18πh⋅(BC2+CA2)=18πh⋅AB2=V3，（10分）
∵V3=18π×8×42=16π，（11分）
∴V1+V2＝16π．（12分）