数学八年级上册（2024）第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系试讲课复习课件ppt

这是一份数学八年级上册（2024）第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系试讲课复习课件ppt，共42页。PPT课件主要包含了三角形的相关概念，三角形的三边关系，命题与证明，考点四命题与证明，说明假命题的方法，举反例，其他证法，证法二，证法三，△ACE△ACD等内容，欢迎下载使用。
①三角形有三条边，三个内角，三个顶点；②组成三角形的线段叫作三角形的边；③相邻两边所组成的角叫作三角形内角，简称角；④相邻两边的公共端点是三角形的顶点； ⑤三角形 ABC 用符号表示为△ABC；⑥三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的角 C 的小写字母 c 表示，AC 可用 b 表示，BC 可用 a 表示.
不在同一直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫作三角形．
注意：1.三边关系的依据是：两点之间线段最短.2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形.3.三角形第三边的取值范围是： 两边之差＜第三边＜两边之和
三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边.
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在 的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法：① AD 是△ABC 的边 BC 上的高；② AD⊥BC 于 D；③∠ADB =∠ADC = 90°.
三、三角形的高、中线、角平分线：
注意：① 三角形的高是线段；② 锐角三角形三条高全在三角形的内部； 直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部； 钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部.③ 三角形三条高所在直线交于一点．
注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段．
表示法：① AD 是△ABC 的边 BC 上的中线；② BD = DC = BC.
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．
　3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与 它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.
表示法：① AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线.② ∠1 =∠2 = ∠BAC.
注意：① 命题有真命题和假命题两种.
对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫作命题.
② 命题由题设和结论两部分组成. 前一部分称之为条件，后一部分称之为结论.
③ 命题通常是用“如果······ 那么······”的形式给出.
④ “如果 p，那么 q”中的题设与结论互换，得一个新命题：“如果 q，那么 p” 这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作逆命题.
⑤ 当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题.
⑥ 符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°．
(2) 从剪拼可以看出：∠A +∠B +∠C = 180°
(1) 从折叠可以看出：∠A +∠B +∠C = 180°
(3) 由推理证明可知：∠A +∠B +∠C = 180°
2. 三角形内角和定理及推论
三角形的外角的定义：由三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
三角形的外角与内角的关系：
2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；
4.三角形的外角和为 360°.
例1 已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边，得 8 - 3＜a＜8 + 3， ∴ 5＜a＜11. 又∵第三边长为奇数， ∴ 第三条边长为 7 cm 或 9 cm.
考点一 三角形的三边关系
例2 下列条件中，能判定△ABC 为直角三角形的是 ( )A．∠A = 2∠B = 3∠C B．∠A +∠B = 2∠CC．∠A =∠B = 30° D．∠A =  ∠B =  ∠C【分析】根据“三角形内角和定理和为180°”求出各选项中△ABC 的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．【答案】故选 D．
考点二 三角形内角和定理及推论
例3 下列说法错误的是（ ）A.三角形的三条中线都在三角形内，且平分三角形面积B.直角三角形的高线只有一条C.三角形的三条角平分线都在三角形内D.钝角三角形内只有一条高线
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念逐一进行判断.【答案】B
考点三 三角形的角平分线、中线和高
例4 分别写出下列命题的条件及结论，并判断真假，是假命题的举出反例.（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c；（3）三角形的中线平分该三角形的面积.
【分析】先把各个命题写成“如果……那么……”的形式，方便找出条件及结论.
解：(1) 条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.假命题，反例：两个角也有可能是两条平行线的同位角或内错角.(2) 条件： a＞b，b＞c，结论： a＞c，真命题.(3) 条件：三角形的一条中线分三角形为两个小三角形，结论：这两个小三角形面积相等. 真命题.
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.
例5 如图，求证：∠A +∠B +∠C =∠ADC.
【分析】作射线 BD.通过三角形外角的性质进行转化即可求证.
证明：如图，作射线 BD.
根据三角形外角的性质，则有∠3 =∠1 +∠A ①，∠4 =∠2 +∠C ②.由① + ②得∠3 +∠4 =∠1 +∠A +∠2 +∠C，故∠A+∠B+∠C =∠ADC 得证.
考点五 三角形的外角
这是一个常见的几何图形模型，因为它像飞镖，故称之为“飞镖模型”.它利用三角形外角的性质推出四角之间的数量关系，即∠A +∠B +∠C =∠ADC.运用这一结论，能提高我们解题的准确性和速度.
两个概念概念1　与三角形有关的概念1.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD上一点.(1)以AC为边的三角形共有　　个，它们是　　　　　 . 　 ；(2)∠1是△　　　和△　　　的内角；(3)在△ACE中，∠CAE的对边是　　.
概念2　与命题有关的概念2.［多选题］下列命题是真命题的有(　　)A.若a＝b，则ac＝bcB.若a＞b，则ac＞bcC.两个有理数的积仍为有理数D.两个无理数的积仍为无理数
线段3　三角形的角平分线5. ［2026亳州模拟］如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H.求证：
两个关系关系1　三角形的三边关系6.在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分为15和21两部分，则AC的长为(　　)A.16　　或8　　D.11或1
如图.∵∠MBC＝∠A＋∠ACB，∠BCN＝∠A＋∠ABC，∠ACB＋∠A＋∠ABC＝180°，∴∠MBC＋∠BCN＝∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A＝180°＋∠A.
8.生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.图①②都是由一副三角板拼成的.(1)求图①中∠ADC的度数；
【解】∵∠F＝30°，∴∠ACB＝60°.∵∠E＝45°，∴∠EAC＝45°.∴∠ADC＝180°－∠EAC－∠ACB＝180°－45°－60°＝75°.
(2)在图②中，已知AE∥BC，求∠AFD的度数.
【解】∵∠B＝60°，∴∠C＝30°.∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°.又∵∠E＝45°，∴∠AFD＝∠CAE＋∠E＝30°＋45°＝75°.
一个计算——三角形中的简单计算9.如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线.(1)若S△ABC＝20，CF＝4，求AD的长；
(2)若∠C＝70°，∠B＝26°，求∠DAE的度数.
10. 如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，求∠ABX＋∠ACX的度数.
【解】方法一：在△XBC中，因为∠X＝90°，所以∠XBC＋∠XCB＝90°.在△ABC中，因为∠A＝30°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－30°＝150°，所以∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°.
方法二：如图①，延长YX交AC于点D.因为∠YXZ＝90°，所以∠DXC＝90°，所以∠ACX＋∠XDC＝90°.因为∠BDC＝∠A＋∠ABD，所以∠A＋∠ABD＋∠ACX＝90°，所以∠ABX＋∠ACX＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
方法三：如图②，连接AX并延长交YZ于点P，则∠BXP＝∠BAX＋∠ABX，∠CXP＝∠CAX＋∠ACX，所以∠BXP＋∠CXP＝∠BAX＋∠ABX＋∠CAX＋∠ACX，即∠BXC＝∠ABX＋∠ACX＋∠BAC.因为∠BXC＝90°，∠BAC＝30°，所以∠ABX＋∠ACX＝90°－30°＝60°.
三角形的内角和等于 180°
三角形内角和定理的证明及推论1、2
三角形内角和定理的证明
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.