重庆市第一中学2026届高三下学期5月高考模拟考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市第一中学2026届高三下学期5月高考模拟考试数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了试卷由”整理排版， 已知一组 个数据等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.试卷由”整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.
1. 若集合 ， ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由 ，解得 ，即 ；
由 有意义，可得 ，故 ，
所以 .
2. 复数 z 满足 (其中 i 为虚数单位)，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由虚数单位的运算性质求出复数 z，再由共轭复数的定义计算即得.
【详解】由 ，可得
移项得 ，其共轭复数为 .
3. 已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由 ，则 ，
即 ，则 .
4. 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用偶函数的对称性得到函数在 上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结
合定义域求解即可.
【详解】因 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 在 上单调递减.
则 等价于 ，可得 ，即 ，
由①得 ；由②得 或
故 的解集为 .
5. 已知正项等比数列 的前 项积为 ， 且 ， ， 则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用等比数列的性质和通项公式的基本量的运算，求得 和公比为 ，进而求
得 的值.
【详解】由等比数列的性质，可得 ，
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因为 ，可得 ，即 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，
所以等比数列 的公比为 ，所以 .
6. 某游客计划一天内游览重庆 5 个景点: 洪崖洞、解放碑、长江索道、磁器口古镇、李子坝轻轨站，每个
景点仅游览一次，要求洪崖洞与解放碑必须相邻， 且长江索道不能排在第一位， 则不同的游览顺序共有
（ ）
A. 24 种 B. 28 种 C. 32 种 D. 36 种
【答案】D
【解析】
【详解】先捆绑洪崖洞与解放碑共有 种，
再与剩下 3 个景点排，又长江索道不能排在第一位，
则共有 种．
7. 已知正三棱台 的上、下底面的面积分别为 和 ， 侧棱与底面所成角的余弦值为
， 则该正三棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设正三棱台 的上下底面的中心分别为 ，证得 平面 ，得到
为直线 与底面 所成的角，求得正三棱台 的高 ，结合棱台的体积公式，
即可求解.
【详解】设正三棱台 的上下底面等边三角形的中心分别为 ,
分别连接 ，过 作 的垂线，垂足为 ，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
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所以 为直线 与底面 所成的角，所以 ，
因为正三棱台 的上下底面的面积分别为 和 ，
即等边 的边长为 ，等边 的边长为 ，
可得 ，所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
即正三棱台 的高 ，
所以正三棱台 的体积为 .
8. 已知点 ,点 为坐标原点，点 ， 在抛物线 上，且 ，则
为（ ）
A. B. C. D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，根据向量的坐标运算得到 ，再利用模长公式求解．
【详解】设 ，
，
，解得 ，
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， ，
．
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知将 的图象先向左平移 个单位，再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到
的图象，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 函数 在 处取得极小值
D. 曲线 在 处的切线斜率为
【答案】BD
【解析】
【分析】先根据函数的平移变换得到 ，再根据正弦函数的性质及极值的定义求解
判断 ABC；根据导数的几何意义求解判断 D.
【详解】由题意，先将 图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 得到 的图象，
再向右平移 个单位可得 的图象，
即 ；
对于 A，当 时， ，
因为函数 在 上不单调递增，
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则函数 在区间 上不单调递增，故 A 错误；
对于 B，由 ，
则函数 的图象关于点 对称，故 B 正确；
对于 C，由 ，
则函数 在 处取得最大值，也为极大值，故 C 错误；
对于 D，由 ，得 ，
则 ，
所以曲线 在 处的切线斜率为 ，故 D 正确.
10. 已知一组 个数据： ， ，…， ，满足： ，平均值为 ，中位数为
，方差为 ，则（ ）
A.
B.
C. 函数 的最小值为
D. 若 ， ，…， 成等差数列，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 特例{1,2,4,17}即可判断；B 由中位数定义判断；C 由均值与数据总和关系展开函数式，结合二
次函数性质确定最小值；D 利用等差数列前 n 项和公式，及平均数、中位数定义判断.
【详解】A：当 时，一组数据 1,2,4,17，则 ，不在 2，4 之间，故错误；
B：由中位数定义知： ，正确；
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C： ，
当 时， 最小值为 ，正确；
D：若 ， ，…， 成等差数列，则 ，故正确．
故选：BCD
11. 已知正方体 的棱长为 2， ， 点 在底面 上运动. 则
下列说法正确的是（ ）
A. 当 ∥面 时， 点 的轨迹长度为
B. 当 与底面 所成角为 时， 点 的轨迹长度为
C. 点 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离为 ， 且满足 时， 在
一条抛物线上运动
D. 存在点 ，使得 .
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平行的判定与性质分析判断 A；由线面角 判断 B；利用已知条件求出 ，
即可判断 C；作 关于平面 的对称点 即可判断 D.
【详解】在 上取 ，在 上取 ，连接 ，则可得平面 平面
，
即当 在 上运动时， ∥面 ，根据相似三角形可得点 的轨迹长度为 ，故 A 正
确，
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因为 平面 ，所以 与平面 所成角为 ，则 ，解得
，
所以点 的轨迹是以 A 为圆心， 为半径的圆弧，长度为 ，故 B 选项错误；
过点 作 于 ，再过点 作 于 ，则 面 ， ，
则 ，故 ， ， ， ，
故点 在以点 为焦点，以 为准线的抛物线上，故 C 正确，
作 关于平面 的对称点 ，则 ，且 ，
当点 与点 A 重合时，则 ，所以存
在 满足题意，故 D 选项正确；
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三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 设随机变量 的概率分布为 ， 为常数， ，则 ____.
【答案】
【解析】
【分析】由离散型随机变量所有可能取值的概率之和为 ，建立关于 的方程并求解即可.
【详解】由 ， ，
可得：
所以 ，即
解得 .
13. 已知 为椭圆 的右焦点， 为 上一点， 为圆 上一点，则
的最大值为____.
【答案】
【解析】
【详解】由圆 ，可知圆心 ，半径 ，
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设椭圆 的左焦点为 ，且 ，
则
.
14. 若对任意 ,均有不等式 成立，则实数 的取值范围是 ____.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用函数的导数，研究函数的单调性，从而求得函数的最值，根据不等式恒成立求得
实数的取值范围.
【详解】要使得对任意 ,均有不等式 成立，即 恒成立，
令函数 ，则导数 ，
当 时，导数 ，则函数 在 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，最大值 ，
需满足 ，∴ ，即 ；
当 时，函数 ，当 时， ，满足条件；
当 时，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
极小值为 ，端点值 ， ，
所以令 ，所以 ，所以 ；
当 时， 在 上单调递减，值域为 ，满足题意；
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当 时，函数 在 上单调递减，最小值 ，不满足题意.
综上所述： .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 随机变量 与 之间具有相关关系，在一次实验中得到如下表数据：
1 3 5 7 9
4 6 10
其中 且 ， ， .
参考公式：
（1）求 的值;
（2）求 关于 的回归直线方程.
【答案】（1） .
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 和 列出关于 的方程组，求解出 即可.
（2）先根据公式求解出 ，再根据 求解出 ，然后写出经验回归方程.
【小问 1 详解】
， ①，
又 ， ②，
联立①②解得 .
【小问 2 详解】
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.
.
关于 的回归直线方程为
16. 在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， .
（1）若 ，求角 ；
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、二倍角的正弦公式化简得出 的值，结合 可求得角 的值；
（2）由（1）可知 ，利用三角恒等变换化简得出 ，利用同角三角函数的
基本关系可得出 的值，再利用两角和的正弦公式可得出 的值，即可得出 ，利用正
弦定理结合已知条件可得出 、 的值，再利用三角形的面积公式求解即可.
【小问 1 详解】
在 中， ，
由 结合正弦定理可得 ，
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又因为 、 ，则 ，所以 ，即 ，
因为 ，则 ，所以 ，可得 ，所以 ，故 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，
故
，即 ，
因为 ，故 ，所以 ，
故
，
所以 ，
由正弦定理可得 ，即 ，整理可得 ，
解得 ，故 ，
因此 .
17. 如 图 ， 几 何 体 为 圆 柱 的 一 部 分 ， 为 底 面 圆 的 圆 心 ， 底 面 ，
， ， 为弧 上任意一点， 为弧 的中点， .
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（1）证明: 平面 平面 ;
（2）已知二面角 的大小为 ，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）以 为坐标原点如图建立空间直角坐标 ，设 ，
则 ，
则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，且 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，
∴平面 平面 .
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到点的坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而证明结论；
（2）由二面角定义及题意求得点坐标，由空间向量的数量积求得面的法向量，然后利用法向量由空间向量
的数量积求得面面角的余弦值.
【小问 1 详解】
第 14页/共 20页
略
【小问 2 详解】
由题意可知 ， ，
∴二面角 为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设向量 分别为平面 与平面 的一个法向量，
则 ，令 ，则 ，即 ，
，令 ，则 ，即 ，
平面 与平面 夹角为 ，
则 .
18. 已知函数 .
（1）若 在 处取得极值 ，求 和 的值（其中 为自然对数的底）；
（2）已知 ，记 为 的导函数， ，若 存在两个极值点 ， .
(i)证明： ；
(ii)已知 ，求 的取值范围.
第 15页/共 20页
【答案】（1） ， ；
（2）（i）当 时， ，求导得 .
因 有两个极值点 ，故方程 有两个正实根，因此 ，解得
.
因 是方程 的根，故 .
由 ，得 ，因 ，若 则矛盾，
故 ，且 .
将 代入 ，得 .
要证 ，即证 ，
即证 ，
即证 ，
令 ， ，则 ，
在 上单调递增，
故 ，即 .
（ii）
【解析】
【分析】（1）利用极值点的函数值与导数值为 0 列方程求参数，再通过导数验证极值点的有效性；
（2）先化简 ，利用导数分析极值点条件，（i）通过参数替换构造辅助函数证明不等式；（ii）引入比
例变量 ，转化为函数单调性问题求解取值范围.
【小问 1 详解】
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由题意，函数 的定义域为 ，求导得
.
因 在 处取得极值 ，故 且 .
，得 ；代入 ，得 ，解得 .
此时 ，令 ，
则 ，故 在 上单调递增.
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增，故 为极小值点，符合题意.
综上， ， .
【小问 2 详解】
（i）略
（ii）令 ，由 ，得 ， ，故 .
.
令 ， ， .
令 ，则 ， 在 上单调递增，
故 ， ， 在 上单调递增.
已知 ，故 ，即 .
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 .
（1）求 的方程;
（2）按如下规则作直线:在椭圆上任取一点 ，过点 作一条斜率为 的直线 与椭圆相交于另
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一点 ，过 作一条斜率为 的直线 与椭圆相交于另一点 ，过 作一条斜率为 的直线
与椭圆相交于另一点 ，以此类推，过点 作一条斜率为 的直线 ，与
椭圆相交于另一点 ，过点 作一条斜率为 的直线 与椭圆相交于另一点 .(在作这些
直线的过程中，若出现新作直线与已有直线重合或者直线与椭圆相切的情况时，则作图结束，不再作直线)
(i)对于不同的初始点 ，求三角形 的面积的最大值；
(ii)证明：对任意起始点 ，这样作出的直线的条数是有限的.
【答案】（1） ；
（2）（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用离心率与椭圆上点的坐标，联立求解椭圆方程的参数；
（2）（i）通过设点并结合直线与椭圆的位置关系，利用韦达定理得到点的坐标关系，结合直角三角形面积
公式与椭圆方程求最值；
（ii）推导点列的递推关系，证明其周期性，从而说明直线条数有限.
【小问 1 详解】
由离心率 ，得 ，故 ，
椭圆方程可化为 ，即 .
将点 代入，得 ，故 ， .
因此，椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
（i）设 ，直线 的方程为 ，
代入椭圆方程得 ，整理得 .
由韦达定理， ，故 .
第 18页/共 20页
同理，直线 的方程为 ，代入椭圆方程得
，由韦达定理， ，故 .
直线 与 的斜率为 和 ，故 ，
三角形 为直角三角形，其面积 .
， ，
故 .
因 在椭圆上，故 ，即 ，代入得 .
由 ，当 时， 取得最大值 .
(ii)证明：对任意起始点 ,若构造直线过程中出现切线,则结论成立；
下面论证不出现切线的情况:
设直线 ,
联立椭圆方程有: ,
设直线 ,
,
,
第 19页/共 20页
设直线 ,
同理: ,
,
于是对任意 有: ,
,
类似的有 ,
即在构造直线过程中,最多有 6 条直线则会出现循环,即直线条数有限.