2026年山东德州市武城县九年级中考模拟数学试题（二模）（含解析）

这是一份2026年山东德州市武城县九年级中考模拟数学试题（二模）（含解析），共12页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目等填涂在答题卡上，考试结束，监考人员将答题卡收回，试卷由学生自己保留．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1. 的相反数是（ ）
A. 2026B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义，根据定义直接推导即可得到结果．
【详解】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，
给定数为，改变符号后为，
的相反数是 ，
故选：C．
2. 2023年12月22日第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，充分展现了中华文明的传播力、影响力，它将有力促进世界不同文明的交流互鉴，积极体现联合国倡导的多元、包容文化价值理念，下图不同字体的“春”字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故A正确；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，故D错误．
故选：A．
3. 下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的正视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：领奖台的正视图是：
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂除法法则、单项式乘法法则、完全平方公式分别计算各选项，逐一判断正确结果．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A计算错误；
B、根据同底数幂除法法则，，B计算正确；
C、，C计算错误；
D、，D计算错误．
5. 截至年初，全国高铁运营里程突破公里，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题．
【详解】是大于的正整数，将改写为的形式时，得到满足，小数点共向左移动位，
，即，
故选．
6. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点A，交射线于点，再分别以为圆心，长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由作图可知，然后根据等边对等角以及三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知，
∴，
∵，是的外角，
∴，
∴．
7. 如图，点为坐标原点，在反比例函数的图象上有一点轴，轴，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 矩形的面积为4B. 该反比例函数图象的另一个分支在第二象限
C. 当时，D. 随的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解决本题的关键是熟练掌握反比例的性质．
将点B代入函数解析式可求解a的值，由此可求解矩形面积即可判断A、C选项；再根据反比例函数中反比例系数即可判断B、C选项．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，故C选项正确；
∴，
则矩形的面积为，故A选项错误；
∵反比例函数的反比例系数，
∴该反比例函数图象的另一个分支在第三象限，故B选项错误；
且由图象可知，随的增大而减小，故D选项错误．
故选：C ．
8. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键．
【详解】解：∵若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，
根据题意，得，
故选：D．
9. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】解：根据定义得：

＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
10. 抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线与x轴两交点，求出对称轴；根据抛物线平移对称轴不变，算出A、B两点到对称轴的距离，分别为定值2和；按开口向上：函数值越大，离对称轴距离越远；开口向下，函数值越小，离对称轴距离越远，分类进行讨论，根据列绝对值不等式，结合a的正负范围取交集，求出a的取值范围．
【详解】解：∵抛物线过点，，且P、Q是两个不同交点，
∴，且，
∴其对称轴为：
∵抛物线向上平移2个单位得到，对称轴不变，
∴的对称轴仍为．
∵，，两点到对称轴的距离分别为：
当时（开口向上）：
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大．
要使恒成立，需，即：
解得或，
即或．
∵
∴．
当时（开口向下）：
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小．
要使恒成立，需，
即：
解得，即．
∵，
∴．
综合两种情况可得：a的取值范围为：或．
二、填空题（本大题共5个小题，共20分）
11. 若有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意得，
解得
故答案为：
12. 已知：和是同类项，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”可得，，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵和是同类项，
∴，
解得：，
∴．
13. 如图，是的直径，，在圆上，，的度数是______度．
【答案】40
【解析】
【分析】根据圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余性质解答即可．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
14. 两个非零实数，（）满足，，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】可判断，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和的值，再将所求代数式变形代入计算即可求解．
【详解】解：，满足，，
，是一元二次方程的两个根，
由根与系数的关系得：，，
．
15. 如图，菱形中，，点为边上一点，连接，，交对角线于点．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】通过证明△DEF∽△BCF，可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝∠BCD＝60°，AD∥BC，
∴△ABD和△CBD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，即：，
∴AE=，
∵2−AE＞0，
∴AE＝，
故答案为：．
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明△DEF∽△BCF是本题的关键．
三、解答题（本大题有8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算下列各题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：

17. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人．
（2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图．
（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
【答案】（1）80 （2）32人，图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用学生成绩在B：70≤x＜80组的人数除以20%，即可求解；
（2）先求出学生成绩在C：80≤x＜90组的人数，即可求解；
（3）把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图可得共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人），
故答案为：80；
【小问2详解】
解：被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人），
补全的条形统计图如下所示：
【小问3详解】
把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，
根据题意，画树状图如下：
共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，
∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为：．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用树状图或列表法求概率，明确题意，从统计图中准确获取信息是解题的关键．
18. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，）
【答案】（1）的长度为
（2）线段的长度为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
（1）过点作于点，利用余弦求，即可得的长度；
（2）过点作于点，于点，过点作于点，先求出和，再求出，利用得，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为．
【小问2详解】
解∶如图，过点作于点，于点，过点作于点，
则，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
19. 某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律．
（1）由表格和图象可知，当时，是的__________函数；当时，是的__________函数；（填“一次”“二次”或“反比例”）
（2）求的值；
（3）科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．请你根据图表中给出的信息，结合测量学，求出学生学习解综合题效果显著的状态能持续多长时间？
【答案】（1）一次，反比例
（2）
（3）29.5分钟
【解析】
【分析】（1）根据表格，函数图象分析即可；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）根据函数解析式，分别求出时的时间，求差即可．
【小问1详解】
解：根据表格信息可得，当时，是的一次函数，当时，是的反比例函数；
【小问2详解】
解：当时，是的一次函数，
设解析式为，
当时，，当时，，
∴，
解得，，
∴一次函数解析式为，
∴当时，；当时，
是的反比例函数，当时，，
∴设反比例函数解析式为，
∴，解得，，
∴反比例函数解析式为，
当时，；
综上所述，，
【小问3详解】
解：当时，一次函数解析式为，
当时，，解得，，
当时，反例函数的解析式为，
当时，，
解得，，
∵，
∴学生学习解综合题效果显著的持续时间是29.5分钟
20. “非遗传承，匠心味道”，德州特产火腿作为地方特色美食，其传统工艺被列入非物质文化遗产．某经销商主营A、B两款礼盒装火腿，已知：A款礼盒进价50元/盒，B款礼盒进价60元/盒；售出2盒A款和1盒B款共收入192元，售出3盒A款和5盒B款共收入540元．
（1）求A、B两款礼盒的售价分别为多少元/盒？
（2）为推广非遗产品，经销商对A款礼盒开展促销；若每盒降价1元，每天销量可增加10盒．已知A款礼盒原每天销量60盒，且降价后售价不低于进价．设每盒A款礼盒降价元，每天销量为盒，求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的促销方案下，设A款礼盒每天销售利润为元．
①求关于的函数关系式（利润=单盒利润×销量）；
②若要实现每天A款礼盒利润最大化，则需降价多少元，此时最大利润是多少？
【答案】（1）A款礼盒的售价为元盒，B款礼盒的售价为元盒
（2）
（3）①；②A款礼盒每盒售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元．
【解析】
【分析】（1）设每盒A款礼盒的售价为元，则每盒B款礼盒的售价为元，根据题意列出方程求解即可；
（2）由题意得：，再由题意确定x的取值范围即可；
（3）①根据题意得出，化简即可；②结合二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设每盒A款礼盒的售价为元，则每盒B款礼盒的售价为元，
根据题意得：，
解得，
∴每盒B款礼盒的售价（元，
答：A款礼盒的售价为元盒，B款礼盒的售价为元盒；
【小问2详解】
解：由题意得：，
∵A款礼盒进价元盒，售价为元盒，且每盒售价不低于进价，
，
答：；
【小问3详解】
①解：，
②，
当时，有最大值，
答：A款礼盒每盒售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元．
21. 如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证；
（2）设，则，，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出的值，由此即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：∵，
设，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
22. 已知抛物线（d为常数）经过点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）过点垂直于y轴的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求k的值；
（3）设，抛物线的一段（）夹在两条均与x轴平行的直线，之间，若直线，之间的距离为9，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）先求出抛物线的解析式，然后将二次函数的解析式化成顶点式即可；
（2）根据点B为线段的中点，利用根与系数的关系，求出B，C两点的横坐标，再代入函数解析式即可；
（3）先求出新函数的顶点坐标为，当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，解方程组即可．
【小问1详解】
解：将 代入解析式
得：，
解得：，
，
抛物线对称轴为：；
【小问2详解】
由（1）知：抛物线解析式为，
在y轴上，过点垂直于y轴的直线交抛物线于B，C两点，，
关于对称轴对称，的纵坐标均为k，
又点B为线段的中点，
，
，
，
；
【小问3详解】
，
抛物线顶点坐标，
抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间，直线之间的距离为9，
当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如下图：
，
解得：，即，
．
23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
已知矩形纸片中，，三位同学进行如下操作：
（1）小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，折痕的另一端点在边上，此时，则________；
（2）小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点落在上的点处，折痕的另一端落在边上，若，求的长；
（3）大刚的折纸如图3，分别将和沿，翻折，点，的对应点分别为点，，且，，三点共线，平分，求的度数及的长．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）由折叠可得，，推出，得到，最后根据折叠的性质和四边形的内角和即可求解；
（2）根据三角函数求出，得到，根据折叠可得，由三角函数求出，即可求解；
（3）延长，交于点，根据平分和折叠的性质可求出的度数，推出和均为等腰直角三角形，得到，，，即可求解．
【小问1详解】
解：，，
，
由折叠可得，，，
，
，
，
；
【小问2详解】
，，
，
又，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
；
【小问3详解】
如图，延长，交于点，
平分，
，
由折叠的性质可知，，，．
，
，
，
，
和均为等腰直角三角形，
，，，
即，
．
上课时间
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
24
32
40
指标数
28.8
33.6
38.4
43.2
48
48
48
48
48
48
40
30