2026年山东省德州市禹城市九年级数学二模试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年山东省德州市禹城市九年级数学二模试题（含解析）中考模拟，共8页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁．， 下列计算正确的是， 如图，中，．进行如下操作等内容，欢迎下载使用。
（满分150分 时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效．
3.考生必须保持答题卡的整洁．
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．）
1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a和n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案．
【详解】解：．
故选：C．
3. 某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，利用空间想象能力是解题的关键．
根据三视图并结合题意，对选项逐一分析，进行判断即可．
【详解】A、该几何体的主视图和俯视图符合题意，故此选项正确；
B、该几何体的主视图为矩形，故此选项不正确；
C、该几何体的俯视图右侧应为三角形，故此选项不正确；
D、该几何体的主视图下层为一个矩形，上层为两个矩形，故此选项不正确．
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键；
可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析：
【详解】A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意；
B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意；
C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意；
D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
6. 若，且，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了有理数的加法和乘法，绝对值意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则，乘法法则和绝对值意义判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，或，，
当，时，则，
∴；
当，时，∵，
∴，
综上分析可知：．
故选：D．
7. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法求概率，
先列出表格，可得所有可能出现的结果，即可得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可.
【详解】解：列表如下：
一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有6种，所以这两张卡片中有“指南针”的概率是.
故选：A.
8. 如图，是一个正多边形相邻的四个顶点，若，则这个多边形的边数为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
如图所示，设这个正边形内接于，连接，则，根据正多边形的每条边所对圆心角相等即可求解．
【详解】解：如图所示，设这个正边形内接于，连接，
∴，
∴，
∴，即这个多边形的边数为，
故选：D ．
9. 如图，中，．进行如下操作：
（1）以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线；
（2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点；
（3）过点作交的延长线于点，连接．根据以上操作过程及所作图形，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A. B.
C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并熟练应用是解题的关键．
由作图知⊥，平分，根据垂直平分线的作法，全等三角形及相似三角形的判定和性质依次对选项判断即可得出结果．
【详解】解：由作图知⊥，平分，
∴，
∵
∴
∴，选项A正确，不符合题意；
∵平分，，⊥，
∴，
∴，
∵，⊥，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，选项B正确，不符合题意；
∵，
∴∽，
∴，
由题意知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，故C选项正确，不符合题意；
无法证明，选项D错误，符合题意；
故选：D．
10. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ）
A. 或B. 或C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题．
【详解】解：令，
如图所示，则的值为函数较大的值，
∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值．
联立方程
解得
∴时，解得，，
当时，解得：
∴当时，或
故选：A
本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，填错或不填均记零分．
11. 当x＝_______ 时，的值最小．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次根式成立的条件即可求出答案．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴当，即时的值最小，最小值为0．
故答案为：3．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
12. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：原式，
故答案为：．
本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．
13. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，把代入解析式求出解析式，根据增减性，求出y的取值范围即可．
【详解】解：∵函数的图象经过点，
∴，
∴在第一象限内，随着的增大而减小，
∴当，，
故答案为：．
14. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______．
【答案】108
【解析】
【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：108
15. 如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可．
【详解】解：如图所示，取的中点O，连接，
由折叠的性质可得，
，
∴点F在以为直径的半圆O上运动，
∴当点在一条直线上时，的长度最小，此时，
∵在矩形中，，
，
∴，
．
三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）
（2），其中．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值以及零指数幂，然后计算加减法；
（2）先化简括号内的分式，然后化除法为乘法进行化简，再代入求值．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
；
当时，原式．
17. 【项目背景】
数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数：
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
【答案】（1）88，87，40；（2）；（3）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析；（4）640人
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、求扇形圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义计算即可得解；
（2）用乘以“B组”所占的比例计算即可得解；
（3）根据中位数和众数分析即可得解；
（4）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解．
【详解】解：（1）八年级组的人数为人，而八年级组有4人，
则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，
处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
∴八年级学生成绩的中位数，
∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数，
由题意可得：，
∴；
故答案为：88，87，40；
（2）扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为；
（3）八年级学生数学文化知识较好，
理由如下：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好；
（4）该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有（人）．
答：该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有640人.
18. 阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题．
材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表：
材料二：声音的频率（）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是．
材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：．
（1）当气温为时，声速为________；
（2）根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（）与气温（）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长．
【答案】（1）343 （2）选择一次函数，
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解表格信息，掌握待定系数法，求自变量或函数值的计算是关键．
（1）根据表格信息即可求解；
（2）根据题意，设声速（）与气温（）的函数关系为，把代入，运用待定系数法即可求解；
（3）根据题意，当室温为的情况时，，再根据即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，当气温为时，声速为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据表格信息，声速随着气温的增大而增大，
∴ 选择一次函数，
∴设声速（）与气温（）的函数关系为，把代入，
，
解得，，
∴声速（）与气温（）的函数关系为，
当时，，符合题意；
【小问3详解】
解：由（2）可知声速（）与气温（）的函数关系为，
∴室温为时，，
∵声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：，
∴，
∴钢琴标准音的波长约为．
19. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图1是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，过点C作于点F，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离可以调节．
（1）当坐垫E与点B的距离为时，求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适、小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，与（1）中的相比，调长了多少?（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】（1）坐垫到地面的距离为
（2）调长了
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的其他应用，切线的性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算出，再算出，然后结合与相切，车轮半径为，且运用线段的和差关系进行列式，即可作答．
（2）先算出，再，然后结合运用线段的和差关系进行列式，即可作答．
【小问1详解】
解：过点作于点，且交直线于一点，如图所示：
．
，坐垫与点的距离为，
．
，
，
．
与相切，
∴，
∴四边形是矩形，
∵车轮半径为，
∴
坐垫到地面的距离为．
答：坐垫到地面的距离为．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
．
小明的腿长约为，
．
，
，
．
答：与（1）中的相比，调长了．
20. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元．
（1）求A，B两种配件的进货单价；
（2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
【答案】（1）配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元
（2）购进A配件100件，B配件200件，能让本次销售的利润达到最大，且最大利润为11000元
【解析】
【分析】（1）设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据购进40件配件和100件配件需支出成本16000元；购进30件配件和30件配件需支出成本9300元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，得出，根据配件进货件数不低于配件件数的2倍，求出，根据一次函数增减性求出结果即可．
【小问1详解】
解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元；
【小问2详解】
解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵配件进货件数不低于配件件数的2倍，
∴，
解得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元），
此时需要购进A配件100件，B配件200件．
21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是关键．
（1）连接，证明，得到，即可证明结论成立；
（2）先求出，连接，证明，则，得到，勾股定理求出，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，则有
，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：为中点且
如图，连接
为直径
22. 在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合．
（1）直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）；
（2）将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）且且且
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．
（1）令，解方程即可得解；
（2）由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，，再根据，，，四点中，任意两点不重合，得到且且且，分时，时，两种情况，结合二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
解：令，即，
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标为，；
【小问2详解】
解：抛物线的对称轴为直线．
由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，．
∵，，，四点中，任意两点不重合，
∴且且且．
∵，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
①当时，
∵，
∴．
∴．
由知，不符合题意．
②当时，点在对称轴的左侧．
点关于直线的对称点为．
∵，
∴．
∴且．
∴．
综上所述，的取值范围是且且且．
23. 在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题．研究发现：通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化．如图，在中，，点M，N分别为，上的动点（不含端点）．
（1）如图1，若，将绕点顺时针旋转得到，判断和的数量关系并说明理由；
（2）如图2，在第（1）问的条件下，作于点E，交于点F，连接．试猜想四边形的形状，并说明理由；
（3）如图3，若，连接，求出的最小值．
【答案】（1），理由见解析
（2）四边形为平行四边形，理由见解析
（3）10
【解析】
【分析】（1）由旋转性质可知，然后证明，再由全等三角形的性质即可求解；
（2）由，则，通过旋转性质得出，可得，通过同角的余角相等得出，则，根据平行四边形的判定即可求解；
（3）过点作，使，连接，，延长，过点作于点，证明，故有，又，所以当点B、M、P三点共线时，的值最小，最小值为的值，然后通过勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：，理由如下：
绕点顺时针旋转得到，，
啊，
又，
，
；
【小问2详解】
解：四边形为平行四边形，理由如下：
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
∴∠MAD=∠ACB ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形；
【小问3详解】
解：如图，过点作，使，连接，，延长，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
，
，
，
∴当点B、M、P三点共线时，的值最小，最小值为的值，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
在中， ，
的最小值为10．第一次 第二次
火药
印刷术
造纸术
指南针
火药
（印刷术，火药）
（造纸术，火药）
（指南针，火药）
印刷术
（火药，印刷术）
（造纸术，印刷术）
（指南针，印刷术）
造纸术
（火药，造纸术）
（印刷术，造纸术）
（指南针，造纸术）
指南针
（火药，指南针）
（印刷术，指南针）
（造纸术，指南针）
年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
87
b
八年级
86
a
90
气温（）
0
10
20
30
声速
325
331
337
343
349