初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）5. 斜边直角边教案

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课题
12.2.5 三角形全等的判定斜边直角边
课型
新授课
教学内容
教材第83-85页的内容
教学目标
1. 探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单的应用.
2. 会利用基本作图完成：已知一直角边和斜边作直角三角形.
3. 初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力.
教学重难点
教学重点：探究直角三角形全等的条件.
教学难点：灵活运用直角三角形全等的条件进行证明.
教 学 过 程
备 注
1.回顾复习，引入课题
师：三角形全等的判定方法有哪些?
师生共同复习三角形全等的判定方法
教师引导学生分析判定三角形全等的四个定理，找出思路，让学生独立完成证明过程.
前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？今天我们一起探究一下.
2.实践探究，学习新知
【过渡语】在一个直角三角形中，由勾股定理可知：如果两条边确定，那么第三边也随之确定.由此可得出直角三角形全等的新的判定方法.
活动一:教材探究活动——直角三角形全等的判定定理
【探究】
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
全等，根据AAS
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
全等，根据ASA
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
全等，根据SAS
如图，两个直角三角形，AB = A′B′ ，AC= A′C′，这两个直角三角形全等吗？如何证明？
教师说明:我们已经知道三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知两边对应相等的两个直角三角形,其第三边一定相等.从而这两个直角三角形一定全等.因此斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
怎样利用勾股定理证明这个命题呢?
指导学生画出图形，写出已知、求证.
【课件】 已知:如图所示，在ΔABC和ΔA'B'C'中，∠C=∠C'=90°,AB=A'B’，AC=A’C’.
求证：ΔABC≌ΔA'B'C'.
证明：在ΔABC和ΔA'B’C’中，
∵∠C=90°，∠C'=90°,
∴BC2=AB2-AC2,
B’C'2=A'B’2—A'C'2（勾股定理).
∵AB=A'B',AC=A'C'，
∴BC=B’C’.
∴ΔABC≌ΔA’B’C'（SSS）.
【归纳】直角三角形全等的判定定理：
斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.
这个定理可以简写成“斜边、直角边”或“HL".
【说明】对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了，如果满足斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形也全等.三角形全等的各个条件中，一个必要的条件是至少有一条边对应相等.
活动二:教材做一做——尺规作直角三角形
【教材做一做】
已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形.
已知:如图所示，线段a，c.
求作：ΔABC，使∠C=90°,BC=a，AB=c.
分析:首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线，由AB=c可以确定点A.
作法:如图所示.

（1)作线段CB=a.
（2）过点C，作MC⊥BC.
（3）以B为圆心,c为半径画弧,交CM于点A.
(4)连接AB.
则ΔABC即为所求.
与同桌所作的进行比较,是否重合.
3.学以致用，应用新知
考点 直角三角形全等的判定
例1 如图,在△ABC和△ABD中，已知AC=BD,∠C=∠D=90°,
求证：BC=AD.
证明:∵∠C=∠D=90°(已知)，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形（直角三角形的定义）.
在RtΔABC和RtΔBAD中，
∵AB=BA(公共边)，
AC=BD(已知)，
∴RtΔABC≌RtΔBAD(HL).
∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）
例2 如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是 .
答案：AC＝AD或BC＝BD
变式训练 如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论
证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）.
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形.
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和斜边对应相等
答案：A
（2）如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝
A．28° B．59° C．60° D．62°
答案：B
（3）如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝ ，△ABC与△APQ全等．
答案：5或10
（4）如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．
求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．
证明：如图，连接AC，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AC=ACAB=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∵BE⊥EF，DF⊥EF，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
BC=DCBE=DF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）.
5.课堂小结，自我完善
谈谈这节课你的收获有哪些？
直角三角形全等的判定定理：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.根据勾股定理，HL实际转换为SSS的判定方法.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
6.布置作业
课本P85练习1-3题，P113习题A，B组.
回顾所学判定三角形全等的方法,使学生系统地把握前面所学的知识，并为后续问题的探究做铺垫.
根据转变不同的条件看两直角三角形是否全等，让学生理解和掌握探究的流程和思考问题的方式.
通过“HL”定理的推导渗透转化的思想，体验从特殊到一般的思维方式，发展合情推理与演绎推理的能力，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，培养学生严谨的治学态度和创造性的解决问题的能力.
该例题作图的依据是“如果已知一个直角三角形的斜边和一条直角边，那么这个直角三角形就确定了”.也是直角三角形全等判定的应用.
利用直角三角形全等的判定定理证明角平分线性质定理的逆定理，理解知识间的必然联系.
通过例题讲解，巩固理解使用“HL”判定直角三角形，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏.
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用“HL”定理解决问题.
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏.
归纳出本节课的知识要点；教师了解学生对本节课的感受并进行总结；培养学生的归纳概括能力
板书设计
12.2.5 三角形全等的判定斜边直角边
提纲掣领，重点突出.
教后反思
本节教学重点是掌握直角三角形全等的条件，并能用之解决实际问题，难点是能有条理地进行简单推理，在教学时，可采用以下两种方法来抓住重点，突破难点，效果较好.
1.合作探究，生生互助.在探究直角三角形全等的条件时，让学生经历“建模—说理—验证”合作学习，归纳得出“HL”判定方法；通过“议一议、练一练、想一想”，深化理解“HL”；为了学生掌握，我以“问题—模型—归纳—应用”模式，使学生感受生活与教学的联系.这样，既符合教学规律，又培养学生推理应用能力，既能抓住重点，又提高了教学效率.
2.适时点拨，突破难点.在“HL”应用推理时，我以“示范—思考—讨论—小结—验证”为线索，设计演示、训练、点评、归纳、总结.这样既符合学生认识水平，也易于接受，又突破难点.
反思，更进一步提升.