初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 分式的运算第3课时教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 分式的运算第3课时教案设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第3课时

一、教学目标
1.掌握分式的混合运算顺序，能熟练地进行分式的混合运算.
2.会用分式的混合运算解决简单的实际问题.
3.经历类比分数的混合运算，得出分式的混合运算法则的过程，体会类比的思想方法，学会知识的迁移.
4.通过渗透类比转化的思想，意识到数学中知识之间的紧密联系，体会数学的一致性，培养学生对学习数学的兴趣.

二、教学重难点
重点：掌握分式的混合运算顺序，能熟练地进行分式的混合运算.
难点：会用分式的混合运算解决简单的实际问题.

三、教学过程
复习回顾
问题1：同分母分式是如何相加减的？
预设答案：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
这一法则可以用式子表示为：ba±ca=b±ca.
问题2：异分母的分式如何加减？
预设答案：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
公式表示为：ba±dc=bcac±adac=bc±adac.
设计意图：通过复习分式的加减法法则，一方面巩固已学知识，另一方面为新课学习做准备.
探究新知
活动一：分式的混合运算
思考：计算：35+12×103+13
解：原式=(610+510)×103+13
=1110×103+13
=113+13
=4.
追问：分数混合运算的顺序是怎样的呢？
预设答案：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的.
思考：尝试计算：(1)a−ba⋅bb−a2÷b2a2
解：原式=a−ba⋅b2b−a2÷b2a2
=a−ba⋅b2b−a2⋅a2b2
=(a−b)b2a2a(b−a)2b2
=(a−b)b2a2a(a−b)2b2
=aa−b .
提问：说一说，你是怎么运算的？
预设答案：先算的乘方、再算的乘除.
(2)56ab−23ac+34abc
解：原式=10c12abc−8b12abc+912abc=10c−8b+912abc .
提问：说一说，你是怎么运算的？
预设答案：先通分变成同分母分式，再按照从左到右的顺序进行加减运算.
(3)2x−2−1x÷x+22x⋅x−23
解：原式=[2xx(x−2)−x−2x(x−2)]÷x+22x⋅x−23
=x+2x(x−2)÷x+22x⋅x−23
=x+2x(x−2)⋅2xx+2⋅x−23
=23.
提问：说一说，你是怎么运算的？
预设答案：先算的括号里的加减，所得的结果再与括号外的进行乘除运算，按照从左到右的顺序进行.
设计意图：类比分数的混合运算，尝试进行分式的混合运算，体会类比的思想方法，学会知识的迁移.
总结：分式的混合运算：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②同级运算，按照从左到右的顺序进行；
③如有括号，先做括号里的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.
设计意图：让学生经历观察、类比、归纳、概括的过程，得出分式的混合运算的顺序.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1 计算：
(1)x2x+1−x+1；(2)aa−3+1a2−9∙a+3a−1.
分析：(1)先通分，变成同分母分式进行加减运算.
(2)先算乘法，再算加法.
解：(1)x2x+1−x+1=x2x+1−x−1
=x2x+1−(x−1)(x+1)x+1
=x2−(x−1)(x+1)x+1
=x2−(x−1)(x+1)x+1
=1x+1.
(2)aa−3+1a2−9∙a+3a−1=aa−3+1(a+3)(a−3)∙a+3a−1
=aa−3+1(a−3)(a−1)=a(a−1)(a−3)(a−1)+1(a−3)(a−1)=a2−a+1(a−3)(a−1).
设计意图：通过例题的解答，引导学生解决各种类型的分式混合运算.
例2 已知xy=2，求xx−y−yx+y−y2x2−y2的值.
分析：由已知得x=2y，对分式进行化简，再将x=2y代入求值.
解：xx−y−yx+y−y2x2−y2=x(x+y)−y(x−y)−y2x2−y2=x2x2−y2.
因为xy=2，即x=2y，所以，原式=(2y)2(2y)2−y2=4y23y2=43.
设计意图：引导学生此类题型，简便方法应该先化简再进行求值.
尝试·思考：根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120m的盲道.由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x m，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
分析：工作时间=工作总量÷工作效率
解：由原计划每天修建盲道x m，则实际每天修建盲道(x+10) m.
所以原计划修建这条盲道需要1 120x天，
实际修建这条盲道用了1 120x+10天.
1 120x−1 120x+10=1 120(x+10)x(x+10)−1 120xx(x+10)=1 120x+11 200−1 120xx(x+10)=11 200x(x+10)(天).
答：实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了11 200x(x+10)天.
设计意图：运用分式的混合运算解决实际问题，让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程，发展学生有条理地思考及代数表达能力.
回顾·反思：回顾分式运算的学习过程，你对代数式的运算有哪些感悟？
提示：可以从运算基础、运算规则、转化思想、符号处理、化简意识等方面进行思考和总结.
预设答案：例如：分式与分数的运算法则和顺序是一致的.分式是分数的抽象与扩展，当分式中的字母表示具体数值时，分式就化为分数，当字母代表变量时，分式便具有普遍适用性.这种从特殊到一般的转化，使得数学的运算与表达获得了质的提升.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
1.计算：
(1)2x−1−1；(2)1a2−a+a−3a2−1.
解：(1)2x−1−1=2x−1−x−1x−1=2−(x−1)x−1=2−x+1x−1=3−xx−1.
(2)1a2−a+a−3a2−1=1a(a−1)+a−3(a+1)(a−1)=a+1a(a−1)(a+1)+a(a−3)a(a−1)(a+1)=a+1+a2−3aa(a−1)(a+1)=(a−1)2a(a−1)(a+1)=a−1a(a+1).
2.先化简，再求值：
(1)已知a=110，求a+1a2−1−a+11−a的值；
(2)已知x=3y，求4xyx2−y2−x+yx−y的值.
解：(1)a+1a2−1−a+11−a=a+1(a+1)(a−1)+a+1a−1=1a−1+a+1a−1=1+a+1a−1=a+2a−1.
当a=110时，原式=110+2110−1=−73.
(2)4xyx2−y2−x+yx−y=4xy(x+y)(x−y)−x+yx−y=4xy(x+y)(x−y)−(x+y)2(x+y)(x−y)=4xy−x2−2xy−y2(x+y)(x−y)=−x2+2xy−y2(x+y)(x−y)
=−(x2−2xy+y2)(x+y)(x−y)=−(x−y)2(x+y)(x−y)=−x−yx+y.
当x=3y时，原式=−3y−y3y+y=−2y4y=−12.
【自选练习】
3.计算：yx2−y2÷1−xx+y的结果是________.
解：原式=y(x+y)(x−y)÷x+yx+y−xx+y=y(x+y)(x−y)÷yx+y=y(x+y)(x−y)⋅x+yy=1x−y.
4.先化简再求值: 设m=15n,求 2nm+2n+m2n−m+4mn4n2−m2的值.
解：原式=2n2n+m+m2n−m+4mn2n+m2n−m
=2n(2n−m)+m(2n+m)+4mn2n+m2n−m
=4n2+m2+4mn2n+m2n−m
=2n+m22n+m2n−m=2n+m2n−m.
把m=15n代入，得,原式=2n+15n2n−15n=119.
5.某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水a t，b t.若单独开放A进水管，p h可将该水池注满.如果A，B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？
解：两个水管同时注满水的时间为t h,则有ta+b=ap.解得，t=apa+b
提前注满水的时间为：p−apa+b
=pa+b−apa+b=bpa+bh.
答：A，B两根水管同时开放，那么能提前bpa+bh将该蓄水池注满.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.