初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第五章 分式与分式方程2 分式的运算第2课时教学设计及反思

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第五章 分式与分式方程2 分式的运算第2课时教学设计及反思，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.理解异分母分式的加减法的法则，会进行异分母分式的加减法运算.
2.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.
3.经历探索分式加减运算法则的过程，进一步培养代数化归意识，发展合情推理能力.
4.体会数学与实际生活的密切联系，培养学生热爱生活的情操.

二、教学重难点
重点：理解异分母分式的加减法的法则，会进行异分母分式的加减法运算.
难点：会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：教师提出问题，学生思考后回答.
问题：同分母分式是如何相加减的？
如：m−1x+2−mx=m−1+2−mx=1x
预设答案：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
这一法则可以用式子表示为：ba±ca=b±ca.
追问：异分母的分式如何加减？
设计意图：通过复习同分母分式的加减法法则，提出新的问题引发思考，为新课学习做准备.
探究新知
活动一：异分母分式相加减
观察·交流：在计算3a+14a时，小颖和小亮的做法如下.
追问：他们的做法有何相同和不同之处呢？
预设答案：相同点：根据分式的基本性质将异分母分式变成同分母分式.
不同点：公分母不一样，一个是“4a²”，另一个是“4a”.
设计意图：通过思考如何计算3a+14a,引导学生尝试不同的方法，产生思想的火花，再经过交流讨论，得出不同的方法相同和不同之处，引导学生如何通分和找分式的最简公分母.
总结：通分和最简公分母：
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
为了计算方便，异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的共同分母.
设计意图：类比分数的通分，得出分式的通分概念.
思考：如何取最简公分母呢？
预设答案：举例说明分数如何找最简公分母，所有分母必须是公分母的其中一个因数.
类比分数取最简公分母，说明分式如何取最简公分母.
①先找各个分母系数的最小公倍数；
②再找相同字母或因式，相同字母或因式取次数最高的；
③单独出现的字母或因式直接加上.
追问：如何确定最简公分母呢？
预设答案：第一种情况：各分式分母为单项式
(1)定系数：分母各系数的最小公倍数；
(2)定字母：凡各分母中出现的不同字母都要取到；
(3)定指数：相同字母取指数最高的.
预设答案：第二种情况：各分母为多项式
(1)定系数：分式分母各系数的最小公倍数；
(2)定因式：凡各分母中出现的不同因式都要取到；
(3)定指数：相同因式取指数最高的.
设计意图：通过类比，归纳，得出分式找最简公分母的方法和步骤.
思考：还记得异分母分数是如何加减吗？
预设答案：异分母的分数相加减，先通分，化为同分母的分数，然后再按同分母分数的加减法法则进行计算.
总结：与异分母的分数加减法法则类似，异分母的分式加减法法则是：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
上述法则可用式子表示为：ba+dc=bcac+adac=bc±adac.
设计意图：让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，得出异分母分式加减法法则.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1 计算：
(1)3a+a−155a；(2)1x−3−1x+3；(3)2aa2−4−1a−2.
分析：(1)将第一个分式的分子、分母同乘5，即可化为同分母分式的加减.
(2)对分母是多项式的分式通分，分母中出现的不同因式都要出现在最简公分母中.
(3)先对分母因式分解，再通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则计算.
解：(1)3a+a−155a=155a+a−155a=15+a−155a=a5a=15；
(2)1x−3−1x+3=x+3(x−3)(x+3)−x−3(x−3)(x+3)=x+3−(x−3)(x−3)(x+3)=6(x−3)(x+3)；
(3)2aa2−4−1a−2=2a(a−2)(a+2)−a+2(a−2)(a+2)=2a−(a+2)(a−2)(a+2)=a−2(a−2)(a+2)=1a+2.
总结：异分母分式的加减法的步骤：
(1)正确地找出各分式的最简公分母.
(2)准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式.
(3)通分后进行同分母分式的加减运算.
(4)将得到的结果化成最简分式或整式.
例2 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2vkm/h.小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h.那么：
(1)小刚从家到学校需要多长时间?
(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少?少用多长时间?
分析：(1)根据时间=路程÷速度，分别求上坡路和下坡路的时间，从而得到从家到学校的时间.
(2)先求出小丽所花的时间，再与小刚所花的时间进行比较.
解：(1)小刚从家到学校需要： 1v+23v=3+23v=53v(ℎ)
(2)小刚从家到学校需要 53vℎ ，小丽从家到学校需要32vℎ .
因为53v>32v，所以小丽在路上花费的时间少.
小丽比小刚在路上花费时间少：53v−32v=10−96v=16v(ℎ)
设计意图：运用分式的加减运算解决这一实际问题，既体现了加减运算的意义，又让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程，发展学生有条理的思考及代数表达能力.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
1.将下列各分式通分：
(1)x−13x2,2ax, (2)3a2a−b,−1b−2a;(3)1a−3,2a2+6a+9;(4)1x2−4，x4−2x.
解：(1)最简公分母：3ax2，ax−a3ax2、6x3ax2；
(2)最简公分母：2a-b，3a2a−b，12a−b；
(3)最简公分母：(a+3)2(a-3)，(a+3)2(a+3)2(a−3)，2a−6(a+3)2(a−3)；
(4)最简公分母：2(x+2)(x-2)，22(x+2)(x−2)，−x2+2x2(x+2)(x−2).
2.计算：
(1)b3a+a2b；(2)1a−1−21−a2.
解：(1)b3a+a2b=2b26ab+3a26ab=2b2+3a26ab；
(2)1a−1−21−a2=1a−1+2a2−1=a+1a2−1+2a2−1=a+3a2−1.
【自选练习】
3.计算：2x−2x−x2−3x−1
解：原式=2(x−1)x(x−1)+2x(x−1)−3xx(x−1)=2x−2+2−3xx(x−1)=−xx2−x=−xx(x−1)=−1x−1.
4.先化简，再求值：1x+3−13−x÷2x−3，其中x=3−3
解：原式=1x+3+1x−3.x−32
=x−3+x+3(x+3)(x−3)⋅x−32
=2x(x+3)(x−3)⋅x−32=xx+3 .
把x=3−3代入得：原式=3−33−3+3=3−33=1−3.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.