2025-2026学年人教版八年级数学下册期末提升卷+答案

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1．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．
【详解】解：
∴，
解得．
故选：D．
2．下列各式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断．
【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0.
A、，成立，符合题意；
B、，但右边无意义，不成立，不符合题意；
C、和无意义，不成立，不符合题意；
D、，不成立，不符合题意；
故选：A.
3．设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题利用勾股定理和直角三角形等面积法推导a，b，h的数量关系，即可得到正确答案．
【详解】解：设该直角三角形的斜边长为，
根据勾股定理可得 ，
∵直角三角形的面积可表示为，也可表示为，
∴ ，即，
∴ ，
两边同时平方得，
等式两边同时除以得，即．
故选：C．
4．下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（ ）
A．如图中，是的函数；
B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数：
C．式子中，是的函数；
D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数．
【答案】D
【分析】根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给定x的一个值，y有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断解答即可．
【详解】解：A.根据图象可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确；
B.根据表格可得给一个m的值，n，t都有唯一确定值，所以n，t都是m的函数，正确；
C.根据关系式可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确；
D.给一个x的值，y有无数个值与其对应，y不是x的函数，原说法错误．
5．如图是某班去年1～8月份全班同学每月的课外阅读总量折线统计图，关于这8个月每月的课外阅读总量，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是58本B．众数是83本
C．平均数是50本D．有6个月的月课外阅读总量在50本以上
【答案】A
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数的计算及数据统计，掌握中位数是排序后中间两数的平均数，众数是出现次数最多的数，平均数是总和除以个数是解题的关键．
先整理个月阅读总量数据，再分别计算中位数、众数、平均数，统计本以上的月份数，逐一验证选项．
【详解】解：从折线图中读取月的阅读量：．
A、将数据从小到大排序为，共个数，中位数是第、个数的平均数，即，A正确，符合题意；
B、出现次，次数最多，众数是本，B错误，不符合题意；
C、平均数为 （本），C错误，不符合题意；
D、阅读量在本以上的有，共个月，D错误，不符合题意；
故选：A．
6．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．在图2中，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出正五边形各个内角的度数，然后在等腰中计算角度，即可得到的度数．
【详解】解：由n边形内角和公式 可得五边形的内角和为，
∴，
∴在等腰中，，
∴．
7．已知一次函数y＝2x与y＝﹣x如图所示，点（1，2）在直线y＝2x上，过点作平行于x轴交直线y＝﹣x与点，过点作平行于y轴交直线y＝2x于点，过点作平行于x轴交直线y＝﹣x与点，以此类推，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依次求出，，，，，的坐标，找出规律解答．
【详解】解：由题意知，与的纵坐标相同，与的横坐标相同，…
将y=2代入y＝﹣x得，x=－4， ∴(－4，2)；
将x=－4代入y＝2x得，y=－8， ∴ (－4，－8)；
将y=－8代入y＝﹣x得，x=16， ∴ (16，－8)；
将x=16代入y＝2x得，y=32， ∴ (16，32)；
将y=32代入y＝﹣x得，x=－64， ∴ (－64，32)；
…；
由图形可知，交点所在直线的位置4次一个循环，2021÷4=505…1，
∴点在第一象限，点在第二象限，即线段A2021A2022在x轴的上方，且与x轴平行，
∵（1，2），(－4，2)， (16，32) ， (－64，32)，
即（，），(，)， (，) ， (，)，
∴第一象限内(，)，第二象限内(，)，
∴(，)，(，)，
∴=－（）=．
故选C．
【点睛】本题考查了求一次函数的值或变量的值，以及坐标与图形的变化－规律型，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
8．如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（ ）
A．7B．8C．9D．12
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点作于点，先由面积关系证明，然后证明，，，最后得到，再由求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点
由题意得，，
∵
∴，
∴，
∴，
由正方形可得，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，，
同理可证明：，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
故选：B．
9．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①是等边三角形：②；③：④；⑤其中正确的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①②⑤D．②③④
【答案】C
【分析】由AB=AE及平行四边形的性质、AE平分∠BAD，可得△ABE是等边三角形，即可判定①正确；由△ABE是等边三角形及平行四边形的性质可得，即可判定②正确；若点E是DF的中点，则可得AD=AF，否则AD与AF不相等，即可判定③错误；由，可对④作出判断；由及前一步的证明可判定⑤．
【详解】∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠DAE=∠AEB
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB=∠ABE
∴△ABE是等边三角形
故①正确
∵△ABE是等边三角形
∴∠ABE=∠BAE=60°
∴ ∠ABE=∠DAE=60°
∵AB=AE，BC=AD
∴
故②正确
若点E是DF的中点，则可得AD=AF，否则AD与AF不相等
故③错误
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
故④错误
∵AD∥BC
∴
由④知，
∴
即
故⑤正确
即正确的有①②⑤
故选：C.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等底等高的两个三角形面积相等，其中平行四边形的性质是解题的关键．
10．已知正方形和正方形边长相等，如图1，点，，，均在直线上，若正方形可沿平移．设长为，两个正方形重叠部分的面积为，关于的函数图象如图2所示．给出下面三个结论：
①正方形的对角线长为；
②当时，重叠面积
③函数图象的最高点的坐标为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】由正方形的性质，结合函数图象，分析正方形平移过程中，两个正方形重叠部分的变化，用对角线表示正方形的面积，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解： 由图可知，当及时，，
∴两个正方形对角线长之和，
∴正方形的对角线长为，故①正确符合题意；
∵两个正方形边长相同，
∴，
设正方形边长为，则，
解得，
∴正方形的边长为，
当时，重叠部分是对角线长为的正方形，
∴，
当时，取得最大值，此时两正方形重合，
∴，
∴函数图象的最高点坐标为，
∴③正确，符合题意；
当时，重叠部分是对角线长为的正方形，
∴，
当时，，
∴②正确，符合题意．
二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分)
11．已知数据，，，，，其中整数比这组数据的平均数大1，则该组数据的方差是____．
【答案】
【分析】根据平均数确定出后，再根据方差的公式计算方差即可．
【详解】解：由平均数的公式得：，
解得，
所以平均数为，
则方差．
12．定义新运算：，则的运算结果是______．
【答案】
【分析】对于，由定义可得，，，，代入计算即可．
【详解】解：
．
13．如图，直线经过两点，直线．
（1）若，则k的值为__________；
（2）当时，总有，则k的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、两直线平行的条件以及不等式恒成立问题，解题的关键是用待定系数法求出直线​的解析式，再结合初中阶段两直线平行的条件（解析式中x的系数相等）和函数值大小比较来求解．
（1）用待定系数法求出直线的解析式，得到的系数；根据两直线平行时的系数相等，直接得到的值．
（2）把转化为关于的不等式；分“系数为0、为负、为正”三种情况讨论，结合的条件，确定的范围．
【详解】（1）解：∵直线经过，两点，
∴将代入解析式，得．
将代入，得，
解得．
∵，直线平行时的系数相等，
∴．
故答案为：．
（2）解：由（1）得，
∵当时，总有．
∴对恒成立．
移项整理得，
分情况讨论：
当，即时不等式化为，恒成立，满足条件．
当，即时，式子随增大而减小，
要让时式子恒大于0，只需时式子，
代入，得，
解得．
结合前提，得，
当，即时，式子随增大而增大，
此时不能满足时式子恒大于0，舍去．
综上，的取值范围是．
故答案为：．
14．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线过原点且与直线相交于点C，点P为y轴上一动点，当的值最小时，此时点P的坐标为 _______ ．
【答案】
【分析】联立两直线解析式组成方程组，可得点C的坐标，确定出点A关于y轴的对称点，即可求出的最小值，再用待定系数法求出直线的解析式即可得出点P坐标．
【详解】解：直线①与直线②相交于点，
联立①②解得，，，
；
在中，当时，，
，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图：
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
令时，
点．
15．如图，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接，过点F作于点M．若，，则的面积为______．
【答案】/
【分析】连接，根据菱形性质及求出对角线长，利用三角形中位线定理证得并求边长，在中利用等面积法求，勾股定理求，最后计算面积．
【详解】解：连接交于点，
四边形是菱形，，
，是等边三角形，，平分，
，，
在中，，，
，
.分别是的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，
，即，
在中，由勾股定理得，
，
，
由的面积公式得，
，
在中，由勾股定理得，
．
16．如图，中，，以为斜边向内部作等腰直角，过直角顶点作于于，则线段的长度为___________．．
【答案】
【分析】如图，过作交的延长线于，交于，连接，证明，再进一步利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过作交的延长线于，交于，连接，
∵等腰直角，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分)
17．计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
18．用长为的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为，一腰长为．
(1)写出表示y与x的函数关系的式子，指出自变量及其取值范围；
(2)当等腰三角形的底边长为时，求出该等腰三角形的面积．
【答案】(1)，自变量为，其取值范围是
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的周长腰长底边长，可得出y与x的函数关系式，根据，可求出自变量及其取值范围；
（2）把自变量的值代入函数关系式，求出，根据三线合一和勾股定理求出底边上的高，然后利用三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）解：由已知，得，，．
∴，
，
∴，
∴
∴y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是；
（2）解：当时，，
如图，，作于H，
∴，
∴，
∴等腰三角形的面积是．
19．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元?
(2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于452根，请问有几种购买方案并指出哪种方案学校花钱最少?
【答案】(1)跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元
(2)共有3种购买方案，当学校购买450根跳绳，150个毽子时，总费用最少
【分析】（1）根据题意列出分式方程进行计算即可；
（2）设购买跳绳a个，则购买毽子个，根据题意列出不等式组进行求解，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，求出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最小值即可．
【详解】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元．
（2）解：设购买跳绳a个，则购买毽子个．
依题意，得：，
解得：，
∵a为整数，
∴，共三种方案；
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，
则，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，则，
答：共有3种方案，当学校购买450根跳绳，150个毽子时，总费用最少．
20．如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，
①请判断的形状，并求出的面积．
②直接写出的面积______．
【答案】(1)见解析
(2)①是等边三角形，的面积为；②
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再由已知条件证明，据此可证明结论；
（2）①过点C作于点H，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，证明，即可证明是等边三角形，得到，则，即可得到；②由可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是边的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①如图所示，过点C作于点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由（2）①得．
21．如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)120
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形；
（2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
∴，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，，
，
，
四边形的面积．
22．某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息：
乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99．
甲、乙两校20名学生成绩统计表
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
(1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）；
(2)上述图表中：中位数______，下四分位数______；
(3)该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？
【答案】(1)乙
(2)83；72
(3)人
【分析】（1）方差越小，成绩越稳定，据此可得答案；
（2）根据中位数和下四分位数的定义可得答案；
（3）用1120乘以甲校样本中参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴甲校的方差大于乙校的方差，
∴乙的成绩更加稳定，
∴选乙校更合适；
（2）解：由题意得，，
（3）解：人，
答：估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有人．
23．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理．
证明：连接，，则．
则
(1)请借助图2补全勾股定理的验证过程．
(2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：
，
，
；
（3）解：是高，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，为线段的中点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，若为线段上一动点，过点作轴于点，轴于点，连接，为上一动点．当线段最短时，求周长的最小值；
(3)如图2，直线交坐标轴于，两点，直线交轴于点，将沿着轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，、或
【分析】（1）由待定系数法列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）先由矩形对角线相等得到，再结合垂线段最短可知当时，最短，即线段最短，得到满足题意的点，进而将周长的最小值问题转化为常见的动点最值问题-将军饮马模型，依据此类问题的解法，作点关于的对称点，由对称性求出点的坐标即可得到答案；
（3）根据题意，设将沿着轴平移个单位长度，得到、，连接、、构成，分别以的两条边为菱形邻边分类讨论，再作出图形，结合点的平移得出点的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
直线与轴、轴分别交于点、点，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：连接，如图所示：
由轴于点，轴于点，可知四边形是矩形，
，
由于点是固定点、点是直线：上的一个动点，则根据垂线段最短可知当时，最短，即线段最短，
在中，，
则由勾股定理可得，
即，
，
当时，如图所示：
在中，，，则，且，
在中，，则，
，，
则，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
点、点，为线段的中点，
，即，
则，
，点是上的动点，是定点，
由动点最值问题-将军饮马模型解法，作点关于的对称点，则，即当三点共线时，有最小值为，
连接交于点、交轴于点，如图所示：
，，
，
则，
，
在中，，为线段的中点，则，
，，且点均在轴上，
即点与点重合，
直线过原点，
设直线的解析式为，
，
则直线的解析式为，
联立，
解得，即，
由对称性可知，是线段的中点，
，
，
则，
周长的最小值为；
（3）解：存在，
直线交坐标轴于，两点，则当时，，即；当时，，即；
直线交轴于点，则当时，，即；当时，，即直线与交于点；
设将沿着轴平移个单位长度，则、，
连接、、构成，
以、、、为顶点的菱形邻边为，则，
，
则，
解得（没有平移，不会产生点、，舍去）或（符合题意，向下平移）；
以、、、为顶点的菱形邻边为，则，
，
则，
解得（符合题意，向上平移）或（符合题意，向下平移）；
以、、、为顶点的菱形邻边为，则，
，
则，
解得（符合题意，向下平移）；
将沿着轴向上平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，如图所示：
由点的平移可得；
将沿着轴向下平移时，如图所示：
①由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得；
②由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得；
③由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得；
将沿着轴向上平移个单位长度；向下平移个单位长度、个单位长度或个单位长度时，存在点（与点重合）、或使得以、、、为顶点的四边形是菱形，
综上所述，存在点，坐标为、或．
【点睛】本题难度较大，掌握动点最值问题-将军饮马模型解法、掌握平面直角坐标系中平行四边形及特殊平行四边形综合问题的解法步骤才能打开突破口，寻到有效解决问题的思路．3
2
1
0
1
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－3
－2
－1
1
2
3
－2
－3
－6
8
3
2
学校
甲校
乙校
平均数
82
82
中位数
方差