2026年中考数学二轮复习 专题18 综合与实践专项(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题18 综合与实践专项(高频考点专练)，共6页。试卷主要包含了数学文化题，跨学科融合题题型三，阅读理解型问题题型五，综合与实践探究性问题，新定义问题，方案设计型问题等内容，欢迎下载使用。

综合与实践是中考数学核心素养必考模块，分值约 6～12 分，以解答题为主，常作为中档题或压轴题小问出现。侧重考查数学文化理解、信息提取、模型建立、跨学科应用、方案优化、探究推理六大能力，是近年命题热点。
基础知识必备：
了解初中数学常见数学文化背景（古代数学、经典结论、数学家思想）。
掌握跨学科融合的信息转化能力（物理、生活、经济、图表等）。
会处理新定义：读懂规则→转化为旧知识→计算推理。
熟练阅读理解：提取关键条件→建立方程 / 函数 / 几何模型。
能完成方案设计：列出约束→求最优解（成本、利润、效率）。
具备综合实践探究：猜想 — 验证 — 归纳 — 推广能力。
2026 中考预测：
必考题型：数学文化、跨学科、新定义、阅读理解、方案设计、综合探究。
难度适中：入口宽、梯度清晰，最后一问侧重思维深度。
命题趋势：贴近传统文化、真实生活、科技应用，强调应用性、探究性、创新性。
题型一 数学文化题
【典例 01】（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为 m，?(? > ?)．若小正方形面积为 5，(? + ?)2 = 21，则大正方形面积为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为?−?，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为?2 + ?2．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为?−?，
∴(?−?)2 = 5，即?2 + ?2−2?? = 5①，
∵(? + ?)2 = 21，
∴?2 + ?2 +2?? = 21②，
① + ②得2(?2 + ?2) = 26，
∴大正方形的面积?2 + ?2 = 13，故选：B．
【变式 01】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程? + 2? = 3恰有一个正整数解? = 1, ? = 1．类似地，方程2? + 3? = 21的正整数解的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出2? + 3? = 21的正整数解，即可求解．
【详解】解：∵2? + 3? = 21
2
∴? = 7−3?
正整数解为：? = 3，? = 5；? = 6，? = 3；? = 9，? = 1共 3 个，故选：C．
【变式 02】（2025 辽宁锦州一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，其大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐 5 人，则空余 2 辆车；若每辆车乘坐 3 人，则有 8 人步行．问人与车各多少？若设有?人，?辆车，则所列方程组正确的是（ ）
A．
?−2
5
? =
?−8
3
= ?B．
?−2
5
? =
?+8
3
= ?C．
? = ? + 2
5
?−8 = ?D．
3
? = ? + 2
5
?+8 = ?
3
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意，设有?人，?辆车，分别分析两种乘车情况，建立方程组即可解答．
【详解】解：设有?人，?辆车，根据题意得：
5
? =
?−8
3
?−2
= ? ．
故选：A
【变式 03】（2024 四川巴中中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即?? = 5，?? = 1，?? = ??，则?? = （ ）
A．8B．10C．12D．13
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设?? = ?，则?? = ?? = (? + 1)，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设?? = ?，则?? = ?? = (? + 1)，由题意，得：(? + 1)2 = 52 + ?2，
解得：? = 12，即?? = 12，故选：C．
【变式 04】（2024 江苏盐城中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长 5 尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短 5 尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为尺．
【答案】15
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
关键．
设绳索长? 尺，竿长? 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于?，? 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设绳索长? 尺，竿长? 尺，
? = ? + 5
根据题意得：
? = 20
解得： ? = 15
故答案为 15．
? = ?−5．
2
【变式 05】（2025·辽宁·模拟预测）在人教版八年级上册数学书P113页提到了杨辉三角，材料如下：
在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．事实上，这个三角形给出了(? + ?)?(? = 0,1,2,3,4……)的展开式（按?的次数由大到小的顺序）的系
数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着(? + ?)2 = ?2 +2?? + ?2展开式中的各项的
系数．
根据上述材料，请回答：
(1)请根据(? + ?)3的展开式证明其对应第四行的系数；
(2)请根据(? + ?)6的展开式补齐第七行的系数，并写出一个杨辉三角的性质；
(3)请你预测并直接写出(? + ?)?展开式的第二项系数．
【答案】(1)证明见解析
(2)第七行的系数为：1，6，15，20，15，6，1；递推关系：每个数字等于上一行的左右两个数字之和 (3)?
【分析】本题考查了整式乘法，数字规律的探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
利用整式的乘法求解验证即可；
（2）写出(? + ?)6的展开式补齐第七行的系数，根据题意知每行系数的规律为：每个数字等于上一行的左右两个数字之和；
（3）观察数字规律即可知：从第二行开始第二项的系数与(? + ?)的次幂相等，即可求解．
【详解】（1）解： ∵ (? + ?)3 = (? + ?)(? + ?)2 = (? + ?)(?2 +2?? + ?2) = ?3 +3?2? + 3??2 + ?3，
∴ (? + ?)3的展开式的系数为1，3，3，1，
∴ (? + ?)3的展开式的系数对应第四行的系数；
解： ∵ (? + ?)6 = ?6 +6?5? + 15?4?2 +20?3?3 +15?2?4 +6??5 + ?6，
∴ 第七行的系数为：1，6，15，20，15，6，1，
杨辉三角的性质：递推关系：每个数字等于上一行的左右两个数字之和；
（3）解：由题意知，从第二行开始第二项的系数与(? + ?)的次幂相等，
∴ (? + ?)?展开式的第二项系数为?，故答案为：?．
题型二 跨学科融合题
【典例 01】（2025 安徽阜阳二模）如图，??，??是两块平面镜，一束光线??照射到平面镜??上，反射光线为??，点?在平面镜??上，再次反射后反射光线为??．若∠??? = 110°，∠??? = 30°，则∠???的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】B
【分析】本题考查轴对称，三角形的内角和定理，由反射可知∠??? = ∠??? = 30°，∠??? = ∠???，再结合三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意：∠??? = ∠??? = 30°，∠??? = ∠???，
∵∠??? = 110°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 40°，
∴∠??? = ∠??? = 40°，
故选：B．
【变式 01】（2024 河南中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流 I 与使用电器的总功率 P 的函数图象（如图 1），插线板电源线产生的热量 Q 与 I 的函数图象（如图 2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当? = 440W时，? = 2AB．Q 随 I 的增大而增大
C．I 每增加 1A，Q 的增加量相同D．P 越大，插线板电源线产生的热量 Q 越多
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】解∶根据图 1 知：当? = 440W时，? = 2A，故选项 A 正确，但不符合题意；根据图 2 知：Q 随 I 的增大而增大，故选项 B 正确，但不符合题意；
根据图 2 知：Q 随 I 的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项 C 错误，符合题意；
根据图 1 知：I 随 P 的增大而增大，又 Q 随 I 的增大而增大，则 P 越大，插线板电源线产生的热量 Q 越多，故选项 D 正确，但不符合题意；
故选：C．
【变式 02】（2025 山东烟台二模）甲、乙两种物质的溶解度 y（g）与温度 t（℃）之间的对应关系如图所示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至?2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g；④当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相同．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．②④
【答案】B
【分析】根据图中的函数关系，逐一判断即可解答．
【详解】解：根据图像，可得甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大，故①正确；当温度升高至?2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大，故②错误；
当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g，故③正确；当温度为?1℃时，甲、乙的溶解度相同，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据图象得到信息，学会看图是解题的关键．
【变式 03】（2025 河南驻马店一模）如图 1，某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板
（踏板质量忽略不计）的可变电阻．?1（单位：Ω），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数?0（单位： V）换算为人的质量?（单位：kg）．已知?0随着?1变化的关系图象如图 2 所示，?1与踏板上人的质量?的 关系见图 3．则下列说法正确的是（ ）
A．在一定范围内，?0越大，?越小 B．当?0 = 3V时，踏板上人的质量为95kg
C．当踏板上人的质量为90kg时，?0 = 2V
D．若电压表量程为0−6?(0 ≤ ?0 ≤ 6)，为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是120kg
【答案】B
【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断 A、B 选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为90kg和?0 = 2V时的阻值，可判断 C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断 D 选项．
【详解】解：A、由图 2 可知，在一定范围内，?0越大，?1越小，
由?1 = −2? + 240(0 ≤ ? ≤ 120)可得，?1越小，?越大，原说法错误，不符合题意；
B、由图 2 可知，当?0 = 3V时，?1的阻值为50Ω，
∴50 = −2? + 240，解得：? = 95，原说法正确，符合题意；
C、由图 3 关系式可知，当踏板上人的质量为90kg时，?1 = −2 × 90 + 240 = 60Ω，由图 2 可知，?0 = 2V
时，?1 = 90Ω，原说法错误，不符合题意；
D、当电压表量程为0~6V(0 ≤ ?0 ≤ 6)时，由图 2 可知，当?0 = 6V，?1阻值最小为10Ω，由?1 = −2? + 240可知，?1随着?的增大而减小，则当?1 = 10Ω时，?有最大值，
10 = −2? + 240，解得：? = 115，即该电子体重秤可称的最大质量是115kg，原说法错误，不符合题意；故选：B．
【变式 04】物体自由下落的高度 h（单位：m）与下落时间 t（单位：s）的关系是ℎ = 4.9?2．在一次实验中，一个物体从78.4m高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为s．
【答案】4
【分析】本题考查了利用算术平方根求值的知识，熟练掌握知识点是解题的关键．把ℎ = 78.4代入ℎ = 4.9?2即可求解．
【详解】解：把ℎ = 78.4代入ℎ = 4.9?2得：4.9?2 = 78.4，解得? = 4（舍负），
故答案为：4．
【变式 05】（2025 湖南怀化一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式：
第 1 种物质的分子式是C10H8，第 2 种物质的分子式是C16H10，第 3 种物质的分子式是C22H12，…由此可知，该系列化合物第 8 种物质的分子式是．
【答案】C52H22
【分析】本题考查了数字的规律，根据相邻分子式间的差值求得增加规律是解题关键．根据 C 和 H 随序数的增长规律计算求值即可．
【详解】解：观察可知，序数每增长 1，C 增加 6，H 增加 2，所以可得第 n 个分子式为C6?+4H2?+6
故第 8 个分子式为C6×8+4H2×8+6 = C52H22
故答案为∶C52H22．
题型三 新定义问题
【典例 01】新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数?和?，?☆? = ?2? + ?? + 1 （?为常数），如：2☆3 = ?2 ⋅ 2 + ? ⋅ 3 + 1 = 2?2 +3? + 1．若1☆2 = 3，则3☆6的值为（）
A．7B．8C．9D．13
【答案】A
【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键．
根据新运算可得?2 +2? = 2，再根据3☆6 = 3?2 +6? + 1 = 3(?2 + 2?) +1，把?2 +2? = 2代入，即可求解．
【详解】解：因为1☆2 = 3，所以?2 +2? + 1 = 3，
所以?2 +2? = 2，
所以3☆6 = 3?2 +6? + 1 = 3(?2 + 2?) +1 = 3 × 2 + 1 = 7．故选：A
【变式 01】当三角形中一个内角?是另一个内角?
1
的时，我们称此三角形为
2
“希望三角形”，其中角?称为“希
望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为．
【答案】54°或84°或108°
【分析】分54°角是 α 或是 β 或既不是 α 也不是 β 三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
【详解】解：依题意，①54°角是 α，则“希望角”度数为54°；
②54°β? = ? = 54°
1
角是 ，则，
2
∴? = 108°
∴“希望角”度数为108°；
③54°角既不是 α 也不是 β，则? + ? + 54° = 180°，
∴? + 1? + 54° = 180°
2
解得? = 84°，
∴“希望角”度数为84°；
综上所述，“希望角”度数为54°或84°或108°
故答案为：54°或84°或108°
【变式 02】对于正整数 a，我们规定：若 a 为奇数，则?(?) = 5?−1；若 a 为偶数，则?(?) = ?
?(3)
．例如
2
1
= 5 × 3−1 = 14，?(10) = 10 = 5．若?
2
= 8，?2
= ?(?1)，?3
= ?(?2)，?4
= ?(?3)，…，依此规律进行下
去，得到一列数?1,?2,?3,?4,…（n 为正整数），则?3 = ，?1 + ?2 + ?3 +… + ?2023 = ．
【答案】24726
【分析】本题为新定义问题，理解题目中规定进行计算，进而找出规律是解题关键．根据题目中规定法则 可以分别求出?1 = 8，?2 = 4，?3 = 2，?4 = 1，?5 = 4，…，进而可以得出数列??从第二项开始以 4、2、 1 这 3 个数为周期循环，再根据2023−1 = 674 × 3即可求解．
【详解】解：∵?1 = 8，
∴? = ?(? ) = 8 = 4，
212
? = ?(? ) = 4 = 2，
322
? = ?(? ) = 2 = 1，
432
?5 = ?(?4) = 5 × 1−1 = 4，
…
∴数列??从第二项开始以 4、2、1 这 3 个数为周期循环，
∵2023−1 = 674 × 3，
∴?1 + ?2 + ?3 +… + ?2023
= 8 + 4 + 2 + 1 + … + 4 + 2 + 1
= 8 + (4 + 2 + 1) × 674
= 4726
故答案为：2；4726
【变式 03】对于任意一个四位数 m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的 2 倍，则称这个四位数 m 为“倍和数”．例如：
m＝6132，∵6 + 2 = 2 × (1 + 3)，∴6132 是“倍和数”；
m＝1374，∵1 + 4 ≠ 2 × (3 + 7)，∴1374 不是“倍和数”．
(1)判断 1047 和 4657 是否为“倍和数”？并说明理由．
(2)当一个“倍和数”m 千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于 8 时，记这个“倍和数”m 的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为?(?)，记百位上的数字与十位上的数字
?(?)
之差的绝对值为?(?)，令?(?) = ?(?)，当?(?)能被 3 整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m．
【答案】(1)1047 是倍和数：4657 不是倍和数；见解析
(2)1317，1137，7131，7311
【分析】（1）根据题设定义，满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的 2 倍，则称这个四位数为“倍和数”，进行判断即可．
（2）设“倍和数”? = ??(4−?)(8−?)，（其中1 ≤ ? ≤ 8，0 ≤ ? ≤ 4且 a，b 为整数），根据已知表示出? (?)，?(?)，?(?)，结合 G（m）能被 3 整除，m 千位上的数字与个位上的数字不相等，得出相应 a，b 的值，最后得出符合题设条件的 m 值．
【详解】（1）解；∵1 + 7 = 2 × (0 + 4)，∴1047 是“倍和数”．
∵4 + 7 ≠ 2 × (5 + 6)，∴4657 不是“倍和数”．
（2）解：设“倍和数”? = ??(4−?)(8−?)，（其中1 ≤ ? ≤ 8，0 ≤ ? ≤ 4且 a，b 为整数），
∴?(?) = |2?−8|，?(?) = |2?−4|，?(?) = ?(?) = |?−4|
?(?)|?−2|．
∵m 千位上的数字与个位上的数字不相等，
∴a≠4，
∵G（m）能被 3 整除，
∴?(?) = |?−4| = 3?（k 为正整数），
|?−2|
|?−4|
|?−2|
∴= ?，
3
∵1 ≤ ? ≤ 8，
∴0 < |?−4| ≤ 4，
∴|?−4| = 3，
∴a＝1 或 7，
∴?|?−2| = 1，
∴|?−2| = 1，
∴? = 1或 3．
∴满足条件的所有“倍和数”m 有 1317，1137，7131，7311．
【点睛】本题考查了含参数字的整除问题，根据题设条件，正确理解相关定义，大胆设未知数，是解题关键．
【变式 04】（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线”
定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线? = ??2 +?? + ?和直线? = ?，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”．
若抛物线的顶点到直线? = ?的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线? = ?具有“等距截线性质”．
(1)判断抛物线? = ?2−6? + 8是否关于直线? = 3具有“等距截线性质”，并说明理由．
(2)已知抛物线? = ?2−4? + ?关于直线? = 2具有“等距截线性质”，求?的值．
(3)已知抛物线? = ?2−2?? + ?2 +?关于直线? = 4具有“等距截线性质”，且截距为 2．
①求?的值；
②若点?是抛物线上位于直线? = 4上方的一个动点，点?是抛物线上位于直线? = 4下方的一个动点，若 P、 Q 关于直线? = 4对称，直接写出??的最大值．
【答案】(1)不具有“等距截线性质”；理由见解析；
(2)? = 5；
(3)①? = 3；②??的最大值为2．
【分析】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解“等距截线性质”的定义，结合二次函数的顶点坐
标、与直线的交点坐标进行计算，同时利用二次函数的对称性和性质求解最值．
先求抛物线顶点到直线的距离，再求截距，验证是否满足“顶点到直线的距离等于截距的一半”；
根据定义列方程，即可求解参数?；
① 先写出抛物线顶点式，结合定义和截距列方程求?；
② 利用对称性表示??的长度，结合 Q 的纵坐标范围即可求最大值．
【详解】（1）解：不具有“等距截线性质”；理由如下：先将抛物线配方：? = ?2−6? + 8 = (?−3)2−1，
顶点坐标为(3,−1)，顶点到直线? = 3的距离为：|3−(−1)| = 4，
联立抛物线与直线? = 3的方程：?2−6? + 8 = 3，解得?1 = 1，?2 = 5，截距为|5−1| = 4，
截距的一半为4 ÷ 2 = 2，而顶点到直线的距离为4，4 ≠ 2，因此不具有“等距截线性质”；
（2）已知抛物线? = ?2−4? + ?关于直线? = 2具有“等距截线性质”：配方得：? = (?−2)2 +?−4
顶点坐标为(2,?−4)，顶点到直线? = 2的距离为：|2−(?−4)| = |6−?|
联立抛物线与直线? = 2的方程：?2−4? + ? = 2，
16−4(?−2)
设两根为?1,?2，由韦达定理，?1 + ?2 = 4，?1?2 = ?−2，
(?1 + ?2)2−4?1?2
截距为：|?1−?2| =
=
= 24−4?，
1
24−4?
根据定义，顶点到直线的距离等于截距的一半：|6−?| =
2
1
4?
令? = 6−? (? > 0)（因为抛物线开口向上，顶点在直线下方），则? = 6−?，
1 24−4(6−?)
2
代入得：? =
= 2
= ?，
解得? = 1（? = 0舍去），故? = 6−1 = 5；
（3）已知抛物线? = ?2−2?? + ?2 +?关于直线? = 4具有“等距截线性质”，且截距为2：
① 配方得：? = (?−?)2 +?
顶点坐标为(?,?)，顶点到直线? = 4的距离为|4−?|，
根据定义，距离等于截距的一半，即|4−?| = 1 × 2 = 1，解得? = 3或? = 5，
2
又因为抛物线开口向上，顶点在直线? = 4下方（否则截距不存在或不符合定义），故? = 3；
② 由①得抛物线为? = (?−?)2 +3，?,?关于直线? = 4对称，设?(?,?)，则?(?,8−?)，
∵ 抛物线? = (?−?)2 +3，
∴ 抛物线的最低点即顶点为(?,3)，
∵ ?在? = 4上方，?在? = 4下方，
∴ 3 ≤ 8−? < 4，解得4 < ? ≤ 5，
∴ ??的长度为：?? = ?−(8−?) = 2?−8，
∴ 0 < 2?−8 ≤ 2，即??的最大值为2．
【变式 05】（25-26 九年级上·江苏无锡·月考）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
(1)如图 1，已知Rt △ ???在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点?，使四边形????是以??为“相似对角线”的四边形．（在图中标出，并用?1、?2、?3、?4、．．．．．表示）；
(2)如图 2，圆内接四边形????中，∠??? = 60°，点?是??的中点，连接??交??于点?，连接??，∠??? = 30°，
①求证：??是四边形????的“相似对角线”；
②若△ ???的面积4 3，求线段??的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②?? = 4
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆内接四边形，解直角三角形．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出?? = 5，?? = 2 5，?? = 5，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质求解，确定点?位置作图即可；
（2）①证明△ ??? ∽△ ???，即可得证；②根据△ ??? ∽△ ???，得??2 = ?? ⋅ ??，过点?作?? ⊥ ??于点?，结合△ ???的面积为4 3，易得?? ⋅ ?? = 16，即可得解．
【详解】（1）解：由图可知?? = 5，?? = 2 5，?? = 5，
∴ ??2 +??2 = ??2，
∴ ∠??? = 90°，
∵ 四边形????是以??为“相似对角线”的四边形，
当∠??? = 90°时， △ ??? ∽△ ???或 △ ??? ∽△ ???，
????1????
∴ ?? = ?? = 2或?? = ?? = 2，
∴ ?? = 10或?? = 2.5;
同理：当∠??? = 90°时，?? = 2.5或?? = 10；作图如下:
（2）①证明： ∵ 点?是??的中点，
∴ ∠??? = ∠??? =
1∠??? = 30°，
2
∵ 四边形????为圆内接四边形，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∵ ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴ ??是四边形????的“相似对角线”；
②解： ∵ △ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
过点?作?? ⊥ ??于点?，
∴ ?113
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? × 2 ?? = 4 3，
∴ ?? ⋅ ?? = 16，
∴ ??2 = ?? ⋅ ?? = 16，
∵ ?? > 0，
∴ ?? = 4．
题型四 阅读理解型问题
【典例 01】（2026·广西南宁·一模）我们已经学过完全平方公式：(? ± ?)2 = ?2 ± 2?? + ?2，将它适当变形可以解决很多数学问题．
(1)填空：已知? + ? = 5，?? = 3，则?2 + ?2 = ．
(2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字 1，2，3，4，5，6 填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等．
①如图 1 所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填，；每个圆圈上的三个数字之和为．
②如图 2 所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，? + ?−3，请根据图 3 的对话内容，求? + ?的值．
小彬：由填数规则得1 ≤ ? + ?−3 ≤ 6；所以4 ≤ ? + ? ≤ 9
小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为 S，则? + ?的值可以用含 S 的式子表示．
小彬：对！根据你的发现，可以求出? + ?的值．
图 3
③在②的结论下，
? + ? = 6或 9，
若12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ?2 + ?2 + (? + ?−3)2 = 126，求??的值．
【答案】(1)19
(2)①4，5，12；②? + ? = 6或 9；③?? = 5
【分析】（1）由(? + ?)2 = ?2 + ?2 +2??可知，?2 + ?2 = (? + ?)2−2??，代入已知条件，从而求得?2 + ?2
的值；
（2）①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为 x，右边空白“□”应填的数为 y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程，即可求得从左到右依次应填 4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为 12；
②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为 m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为 x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为 y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从
而求得? = 6 + 2(? + ?)，最后由 S 为整数，以及4 ≤ ? + ? ≤ 9，求出? + ?的值；
3
③先求出?2 + ?2 = 26，运用?2 + ?2 = (? + ?)2−2??将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：∵? + ? = 5，?? = 3，
又∵?2 + ?2 = (? + ?)2−2??，
∴?2 + ?2 = 52−2 × 3 = 25−6 = 19，
即?2 + ?2 = 19；
（2）解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为 x，右边空白“□”应填的数为 y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，
3 + ? + ? = 2 + ? + 6
可得： 2 + ? + 6 = 6 + ? + 1 ，
? = 4
解得： ? = 5 ，
∴两个空白“□”中，从左到右依次应填 4，5，
每个圆圈上的三个数字之和为：3 + ? + ? = 3 + 4 + 5 = 12；
②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为 m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为 x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为 y，
∵每个圆圈上的三个数字之和为 S，
? + ? + ? = ?①
∴ ? +(? + ?−3) + ? = ?② ，
? +(? + ?−3) + ? = ?③
∴① + ② + ③得：4? + 4?−6 + (? + ? + ?) = 3?，即? + ? + ? = 3?−4(? + ?) +6，
即? + ? = 2? + 6−3(? + ?)，
∵所有填入的数字之和为：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = ? + ? + ? + ? + ? + (? + ?−3)，
∴? + ? + ? + 2(? + ?) = 24，
∵? + ? + ? = 3?−4(? + ?) +6，
∴24−2(? + ?) = 3?−4(? + ?) +6，
∴? = 6 + 2(? + ?)，
3
∵4 ≤ ? + ? ≤ 9，S 为整数，
∴? + ? = 6或 9；
③∵12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
1
= 6 × 6 ×
(6 + 1) × (2 × 6 + 1) = 91，
又∵12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ?2 + ?2 + (? + ?−3)2 = 126，
∴?2 + ?2 + (? + ?−3)2 = 126−91 = 35，
∴(? + ?)2−2?? + (? + ?−3)2 = 35，
∴2?? = (? + ?)2 + (? + ?−3)2−35，由②得? + ? = 6或 9，
当? + ? = 6时，2?? = 62 + (6−3)2−35 = 36 + 9−35 = 10，
∴?? = 5；
当? + ? = 9时，
∴?? = 41，
则?、?是方程?2−9? + 41 = 0的两个根，
∵Δ = (−9)2−4 × 1 × 41 = −83 < 0，
∴此情况不存在，舍去；
∴?? = 5．
【变式 01】阅读与应用
?
阅读 2：若函数? = ? + ? （? > 0,? > 0,?为常
?
由阅读 1 的结论可知? + ? ≥ 2，
?
?
? ⋅
?
?
即? +≥ 2
我们知道(?−?)2 ≥ 0，即?2−2?? + ?2 ≥ 0，所以?2 + ?2 ≥ 2??（当且仅当? = ?时取等号）．
?
数），
∵ ? > 0,? > 0，
2
阅读 1：若?,?为实数，
且? > 0,? > 0，
∵ ( ?− ?) ≥ 0
?
∴ 当? = ? 时，函数? = ? + ? 有最小值，最小值为
阅读理解以上材料，解答下列问题：
(1)当? =时，函数
4有最小值，最小值为．
∴ ?−2 ?? + ? ≥ 0
∴ ? + ? ≥ 2 ??（当且仅当? = ?时取等号）
?
2 ?．
? = ? + (? > 0)
?
疫情防控期间，某核酸检测采样点用隔离带分区管理，如图是一边靠墙其它三边用隔离带围成的面积为
32m2的矩形隔离区域，假设墙足够长，则这个矩形隔离区域的长和宽分别是多少时，所用隔离带的长度最
短？
随着高科技赋能传统快递行业，某大型物流公司为提高工作效率引进一批分拣机器人，已知每台机器人的运营成本包含以下三个部分：一是进价为 25000 元；二是材料损耗费，每小时为 7 元；三是折旧费，折旧费 y（元）与运营工作时间 t（小时）的函数关系式为? = 0.1?2(? > 0)．当运营工作时间 t 长达多少小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低？最低运营成本是多少？
【答案】(1)2，4
这个矩形隔离区域的长是 8m，宽是 4m 时，所用隔离带的长度最短；
当运营工作时间 t 长达 500 小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低，最低运营成本是 107 元．
【分析】（1）根据阅读材料 2，即可求解；
3264
设这个矩形隔离区域的长为 xm，宽为 ym，所用隔离带的长度为 S，可得? = ? ，从而得到? = ? + ? ，
再由阅读材料 2，即可求解；
?= 0.1? +
根据题意可得每台机器人平均每小时的运营成本为0.1?2+7?+25000
25000
?+7
，再由阅读材料 2，
即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：4
? ⋅ 4
? + ? ≥ 2?，
4
∴? + ?
≥ 4，
44
∴当? = ?时，函数? = ? + ?有最小值，最小值为 4，
此时 x=2，x=-2（舍去），
4
即 x=2 时，函数? = ? + ?有最小值，最小值为 4；
故答案为：2，4
解：设这个矩形隔离区域的长为 xm，宽为 ym，所用隔离带的长度为 S，根据题意得： xy=32，
∴? =
32
64
? ，
∴? = ? + 2? = ? +
3264
? × 2 = ? + ?
≥ 2
= 16，
∴当? =
64
? 时，函数 S 有最小值，最小值为 16，
此时 x=8，x=-8（舍去），
即这个矩形隔离区域的长是 8m，宽是 4m 时，所用隔离带的长度最短；
解：根据题意得：每台机器人平均每小时的运营成本为
0.1? ⋅ 25000
?
0.1?2+7?+25000 = 0.1? + 25000 +7 ≥ 2
+7 = 100 + 7 = 107，
??
∴当0.1? =
25000
? 时，运营成本最低，最低运营成本是 107 元，
此时 t=500 或 t=-500（舍去），
即当运营工作时间 t 长达 500 小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低，最低运营成本是 107 元．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，分式方程的应用，明确题意，理解阅读材料是解题的关键．
【变式 02】请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（?????????????）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段??上找一个点 C，C 把??分为??和??两段，其中??是较小的一段，如果??:?? = ??:??，那么称线段??被 C 点黄金分割，点 C 叫做线段??的黄金分割点，??与??的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设?? = 1,?? = ?，则?? = 1−?．
∵??:?? = ??:??，∴……
任务：
请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设??是已知线段，过点 B 作?? ⊥ ??且使?? =
1??；
2
②连接??，在??上截取?? = ??；
③在??上截取?? = ??；
则点 C 即为线段??黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
(3)已知线段?? = 1，点 C，D 是线段??上的两个黄金分割点，则线段??的长是 ．
黄金分割数为 2
【答案】(1) 5−1
能，道理见解析
(3) 5−2
【分析】（1）设?? = 1,?? = ?，则?? = 1−?．根据黄金分割的定义，构建方程求出 x 即可．
2
（2）设?? = 2?，根据勾股定理求出?? = 5?，再证明??:?? = 5−1即可．
（3）利用黄金分割的定义求出??,??，再根据?? = ?? + ??−??求解即可．
【详解】（1）设?? = 1,?? = ?，则?? = 1−?．
∵??:?? = ??:??，
∴??2 = ?? ⋅ ??，
∴?2 = 1−?，
−1± 5
2
∴? =，
∵? > 0，
5−1
2
∴? =，
5−1
2
∴??:?? =，
5−1
即黄金分割数为 2 ．
能，道理如下：
设?? = 2?，则?? = ?，
∴?? = ?? = ?，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
??2 + ??2
∴?? =
=
= 5?，
(2?)2 + ?2
∴?? = ??−?? = 5?−? = ( 5−1)?，
∴?? = ?? = ( 5−1)?，
∴??:?? = ( 5−1)? = 5−1，
2?2
∴点 C 是线段??的黄金分割点．
（3）如图，设?? = 1,?? = ?,?? = 1−?，
∵??:?? = ??:??，
∴??2 = ?? ⋅ ??，
∴?2 = 1−?，
−1± 5
2
∴? =，
∵? > 0，
5−1
∴? =2 ，
5−1
2
∵?? = ?? =，
∴?? = ?? + ??−?? = 5−2，故答案为： 5−2．
【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于
中考常考题型．
【变式 03】阅读理解：
【问题情境】教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积．从
而得数学等式：(? + ?)2 = ?2
1
+4 × 2??
，化简证得勾股定理：?2 + ?2 = ?2．
【初步运用】如图 1，若 b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；
【初步运用】现将图 1 中上方的两直角三角形向内折叠，如图 2，若 a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；
【初步运用】如图 3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为 24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
【初步运用】如图 4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3＝40，则 S2＝．
【迁移运用】如果用三张含 60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图 5 的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含 60°的三角形三边 a、b、c 之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图 6，含 60°的直角三角形，对边 y：斜边 x＝定值 k）．
【答案】(1)5：9 (2)28
24
3
40
?2 + ?2−?? = ?2，见解析
【分析】（1）如图 1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；
根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2 个直角三角形的面积计算即可；
可设 AC＝x，根据勾股定理列出方程可求 x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
根据图形的特征得出四边形 MNKT 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y，从而用 x，y 表示出 S1，S2，S3，得出答案即可；
根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【详解】（1）∵? =?2 + ?2，b＝2a，
∴c＝ 5a，
?2 + ?2
42 + 62
∴小正方形面积：大正方形面积＝( 5a)2：(3a)2＝5：9，故答案为：5：9；
（2）根据题意可求? =
=
= 2 13，
∵空白部分的面积为=小正方形的面积-两个三角形的面积，
∴空白部分的面积为=52-2××4×6＝28．
1
2
故答案为：28；
根据题意可知 AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3．设 AC＝x，则 OA＝3+x，AB＝6-x．
在?? △ ???中，??2 +??2 = ??2，即(? + 3)2 + 32 = (6−?)2，
解得 x＝1，
∴OA=4，
∴该风车状图案的面积=4?1；
△??? = 4 × 2?? ⋅ ?? = 2 × 4 × 3 = 24
将四边形 MTKN 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y．
∵正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，且 S1+S2+S3＝40，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
40
∴x+4y＝ 3 ，
40
∴S2＝x+4y＝ 3 ．
40
故答案为： 3 ；
结论：?2 + ?2−?? = ?2．
由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
1
可得：
11，
2(? + ?) × ?(? + ?) = 3 × 2 × ? × ?? + 2 × ? × ??
∴(? + ?)2 = 3?? + ?2
∴?2 + ?2−?? = ?2．
【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键．
【变式 04】请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设?，?，?依次是△ ???的三边??，??，??或其延长线上的点，且这三点共线，则满足?? ?? ?? = 1．
??∙??∙??
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图 1，直线??交△ ???的边??于点?，交边??于点?，交边??的延长线与点?．
????????
过点?作?? ∥ ??交??于点?，则?? = ??，?? = ??（依据），
∴
?? ??
∙ =
?? ??
?? ??
??∙??，
?? ?? ??
∴??·??·?? = ??·??·??，即??∙
∙
?? ??
= 1．
情况②：如图 2，直线??分别交△ ???的边??，??，??的延长线于点?，?，?．… (1)情况①中的依据指：；
(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图 3，?，?分别是△ ???的边??，??上的点，且??:?? = ??:?? = 2∶3，连接??并延长，交??的延长线于点?，那么??:?? =
【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
4
(2)证明过程见详解 (3)9
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）如图 2 中，作?? ∥ ??交??于?，模仿情况①的方法解决问题即可；
??
（3）利用梅氏定理??∙??∙?? = 1即可解决问题．
?? ??
【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）证明：如图 2 中，作?? ∥ ??交??于?，
则有∠??? = ∠???，∠??? = ∠???
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
??+????+??
=
??
??
=，
??
??，则
??
?? ，变形得??+??
??+??
∴?? = ??
??
??，
∵?? ∥ ??，
∴?? = ??，
??
??
∴
?? ??
∙ =
?? ??
?? ??
??∙??，
∴??·??·?? = ??·??·??，
∴ ．
?? ?? ??
∙∙ = 1
?? ?? ??
∙∙ = 1
（3）解：∵ ?? ?? ??，??:?? = ??:?? = 2∶3，
?? ?? ??
∴2 ×
3
??2
?? × 3
= 1，
??9
∴?? = 4．
9
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式 05】
阅读下列材料，并完成相应任务．黄金分割
天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”．历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆．19 世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两
2
部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为 5−1．用下面的方法（如
图（1））就可以作出已知线段 AB 的黄金分割点 H；
①以线段 AB 为边作正方形 ABCD；
②取 AD 的中点 E，连接 EB；
③延长 DA 到点 F，使?? = ??；
④以线段 AF 为边作正方形 AFGH，点 H 就是线段 AB 的黄金分割点．
以下是证明点 H 就是线段 AB 的黄金分割点的部分过程．证明：设正方形 ABCD 的边长为 1，则?? = ?? = 1．
1
∵点 E 为 AD 的中点，∴?? = 2．
??2 + ??2
在?? △ ???中，?? =
=
= 5，∴?? = ?? = 5
1 +
2
1 2
2
5−1
2
2
，
2
∴?? = ??−?? =
．……
任务：
补全题中的证明过程．
如图（2），点 C 为线段 AB 的黄金分割点（?? > ??），分别以 AC，BC 为边在线段 AB 同侧作正方形
ACDE 和矩形 CBFD，连线 BD，BE．求证： △ ???∽ △ ???．
如图（3），在正五边形 ABCDE 中，对角线 AD，AC 与 EB 分别交于点 M，N．求证：点 M 是 AD 的黄金分割点．
【答案】(1)见解析
见解析
见解析
【分析】（1）设正方形 ABCD 的边长为 1，则?? = ?? = 1．可得?? = 1．由勾股定理可得?? = ?? = 5，
22
2
从而得到?? = ?? = 5−1． 即可求证；
设 AC 的长为 1，可得?? = 5−1，从而得到?? = 5+1，再由四边形 ACDE 是正方形，四边形 CBFD
22
5−1
是矩形，可得?? = ?? = ?? = 1，∠A=∠BCD=90°，从而得到?? = 5−1，?? =
，即可求证；
证明△AEM∽△ADE，即可求证．
??
2??2
【详解】（1）证明：设正方形 ABCD 的边长为 1，则?? = ?? = 1．
∵点 E 为 AD 的中点，
1
∴?? = 2．
在?? △ ???中，?? =
5
??2 + ??2
1 +
2
1 2
2
，
== 2
，
5
∴?? = ?? = 2
5−1
2
∴?? = ??−?? =．
∵四边形 AFGH 为正方形，
5−1
2
∴?? = ?? =，
∴?? = 5−1，
??2
∴点 H 是线段 AB 的黄金分割点．
证明∶设 AC 的长为 1，
∵点 C 为线段 AB 的黄金分割点（?? > ??），
5−1
2
∴?? =，
∴?? = ?? + ?? = 5−1 +1 = 5+1，
22
∵四边形 ACDE 是正方形，四边形 CBFD 是矩形，
∴?? = ?? = ?? = 1，∠A=∠BCD=90°，
5−1
∴?? = 5−1，?? = 1 =，
??
2??
5+12
2
∴?? = ?? ，
????
∴ △ ???∽ △ ???；
证明：在正五边形 ABCDE 中，AE=DE=AB，∠??? = ∠??? = (5−2)×180° = 108°，
5
∴∠ABE=∠AEB=∠DAE=∠ADE=36°，
∴∠DEM=∠AED-∠AEB=72°，AM=EM，
∴∠DME=72°，
∴∠DME=∠DEM，
∴DM=DE=AE，
设 DM=1，
∵∠AEM=∠ADE，∠EAM=∠EAD，
∴△AEM∽△ADE，
∴?? = ??，即 1
??
=，
??
??
1+??1
解得：?? = 5−1或− 5−1（舍去）．
22
∴?? = 5−1，
??2
即点 M 是 AD 的黄金分割点．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，正多边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，理解黄金分割点是解题的关键．
题型五 方案设计型问题
名称
×× 品牌空调
安装
出风最小角：∠??? = 133°，出风最大角：∠??? = 154°
示意图
技术参数
空调尺寸：795 ∗ 200 ∗ 273（宽×深×高，单位：mm）
安装要求
空调安装尽量避免正对着床；
空调底部??需与墙面垂直
【典例 01】（2026·山西吕梁·一模）威利斯开利（?????????????????????）于 1928 年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机的安装说明：
根据以上信息，解决下面的问题：
小丽房间内的床长 200cm，高 50cm，靠墙摆放，为了让空调风不直接吹到床上，求空调安装的最低高度
??．（结果精确到1cm．参考数据：sin43° ≈ 0.68，cs43° ≈ 0.73，tan43° ≈ 0.93，sin64° ≈ 0.90，cs64° ≈ 0.44， tan64° ≈ 2.05）
【答案】空调安装的最低高度??约为244cm
【分析】本题主要考查了直角三角形的三角函数应用．熟练掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义与实际计算，添加辅助线建立直角三角形，是解题的关键．
连接??，过点?作?? ⊥ ??于点?，构造出直角三角形???和矩形????，结合题意推出?? = 180cm，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘?之外即可，即点?与点?重合，在
??
?? △ ???中，根据题意得出∠??? = 43°，利用tan43° = ??得到?? ≈ 194cm，进而得到??的长度，最后根
据?? = ?? + ??即可求解．
【详解】解：连接??，过点?作?? ⊥ ??于点?，如图所示，则四边形????是矩形，
∴ ?? = ??,?? = ?? = 200mm = 20cm,∠??? = 90°，
∴ ?? = ??−?? = 200−20 = 180(cm)，
由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘?之外即可，
∴ 当空调出风角最小时，且出风恰好在床的边缘?处时，空调安装的高度最低，此时∠??? = 133°−90° = 43°，
??
在Rt △ ???中，tan∠??? = tan43° = ??，
??
∴ ?? = tan43°
≈ 180 ≈ 194(cm)，
0.93
∴ ?? = ?? = 194cm，
∵ ?? = 50cm，
∴ ?? = ?? + ?? = 50 + 194 = 244(cm)，答：空调安装的最低高度??约为244cm．
【变式 01】【问题背景】
如图①所示的受水型“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，实践小组根据其原理做出了如图②所示的简易计时器．
【实验操作】
实践小组设计了如下实验：先在甲容器里装满水，开始放水后每隔10min观察一次乙容器中的水面高度，获得的数据如下表所示：
【探究发现】
观察乙容器水面高度值的变化规律可知，每隔10min水面高度变化量定值；（填“是”或“不是”）
请利用表格中的数据，求乙容器水面高度 h 与放水时长 t 之间的关系式；
【解决问题】
求放水 1h 后乙容器的水面高度（此时水还未溢出）；
若乙容器的容器高度为30cm，且从上午 8：00 开始放水（此时乙容器中的水面高度为3cm），则乙容器几点可以接满水？
【答案】（1）是；（2）ℎ = 0.2? + 3；（3）乙容器的水面高度为15cm；（4）乙容器10∶15可以接满水．
【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次方程的应用及常量与变量，用待定系数法求出函数的表达式是解题的关键；
根据表中的数据进行回答即可；
根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度ℎ与流水时间?是一次函数关系，利用? = 0时，ℎ = 3，? = 10时，ℎ = 5，由待定系数法求解；
（3）把? = 60代入函数解析式，求出ℎ的值即可；
（4）根据高度随时间变化规律，求出当ℎ = 30cm时，?的值，再根据从上午 8：00 开始放水，即可求解．
【详解】解：（1）根据表格中的数据可知，
每隔10min水面高度观察值的变化量为：5−3 = 2，7−5 = 2，9−7 = 2，11−9 = 2，故水面高度变化量为定值2．
故答案为：是．
设乙容器水面高度 h 与放水时长 t 之间的关系式为ℎ = ?? + ?，
∵ ? = 0时，ℎ = 3，? = 10时，ℎ = 5，
3 = ?
∴5 = 10? + ? ，
放水时长
t/min
0
10
20
30
40
乙容器水面高度h/cm
3
5
7
9
11
解得：
? = 0.2
? = 3 ，
∴ 乙容器水面高度 h 与放水时长 t 之间的函数解析式为ℎ = 0.2? + 3．
求放水1h后乙容器的水面高度，即把? = 60代入ℎ = 0.2? + 3得，
ℎ = 0.2 × 60 + 3 = 15，
答：乙容器的水面高度为15cm．
（4）当ℎ = 30cm时，得30 = 0.2? + 3，解得：? = 135min，
因为从上午 8：00 开始放水，故乙容器10∶15可以接满水．
活动主题
测量操场看台对面体育馆的高度
测量工具
测角仪，皮尺，计算器等
测量示意图
测绘过程与数据信息
①用皮尺测得看台??的长为2.5米，坡度 i 为3∶4，看台最低点 A 到地面??的距离为 1 米，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??；
②用测角仪在看台最低点 A 处测得体育馆顶部 D 点的仰角为30°，在看台顶部点 B 处测得体育馆顶部 D 点的仰角为26°35′；
③用计算器计算得：sin26°35′ ≈ 0.45，cs26°35′ ≈ 0.89，tan26°35′ ≈ 0.50，
3 ≈ 1.73．
【变式 02】（2026·陕西西安·模拟预测）西安滨河学校九年级某班七组同学利用课后服务时间进行综合实践活动，在操场看台上测量对面体育馆的高度．
请你根据测量结果，帮助七组同学求出体育馆??的高度（结果精确到0.1米）．
【答案】19.8米．
??2 + ??2
【分析】延长??交??于点 N，设?? = 3?,?? = 4?，则?? == 5?，求得? = 0.5，设?? = ?
米，则?? = ?? + ?? = (? + 1.5)米，?? = 2?，?? = 3?? = 3(? + 1.5)，根据特殊角的正切列式求解即可．
【详解】解：延长??交??于点 N，
根据题意，得∠??? = 30°，
因为看台??的长为2.5米，坡度 i 为3∶4，
∴ ??:?? = 3∶4，
??2 + ??2
设?? = 3?,?? = 4?，则?? == 5?，
∴ 5? = 2.5，解得? = 0.5，
∴ ?? = 3? = 1.5,?? = 4? = 2.0，
根据题意，易证四边形????，四边形????都是矩形，
?? = ?? = 1.5,?? = ?? = ?? + ?? = 2 + ??，?? = ?? = 1，设?? = ?米，则?? = ?? + ?? = (? + 1.5)米，
根据题意，得∠??? = 26°35′，
∴ tan∠??? = tan26°35′ = ?? = ? ≈ 1，
????2
∴ ?? = 2?，
根据题意，得tan∠??? = tan30° = ?? = 3，
??3
∴ ?? = 3?? = 3(? + 1.5)，
2+ 3(?+1.5)
根据题意，得tan∠??? = tan26°35′ = ?? =?
??
≈ 0.5，
解得? ≈ 17.15（米），
经检验，? ≈ 17.15，符合题意，
故?? = ?? + ?? = 1 + 17.15 + 1.5 = 19.65 ≈ 19.7（米）；故体育馆??的高度为19.7米．
【变式 03】（2026 年山西省临汾市九年级数学模拟试卷（二））项目化学习
项目背景：水龙头是日常生活中常见的设备，广泛应用于厨房、浴室等场所，主要用于控制水流的开关与调节．它不仅在家庭中起着基础作用，也在工业、医疗等领域有特定用途．综合实践小组的同学围绕“水龙头中的数学”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算问题
(1)求图 2 中??的长度．
(2)求图 3 中点?′到台面??的距离．
【答案】(1)8cm
3
(2)(4+ 14)cm
【分析】（1）在Rt △ ???中，利用余弦函数的定义求解即可；
（2）过点?′作?′? ⊥ ??，垂足为?，交??于点?，在Rt △ ?′??中，利用正弦函数的定义求?′?的长度，据此求解即可．
【详解】（1）解：在Rt △ ???中，?? = 4cm，∠??? = 60°，
项目主题
水龙头中的数学问题
驱动问题
如何解决水龙头中的数学
活动内容
利用三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程
某种水龙头关闭时如图 1 所示，将其简画成图 2，?，?，?三点共线，?−?−?−?是水管，
?? ⊥ 台面??．?−?−?是开关，可整体绕点?上下旋转，且?? ⊥ ??，?? ⊥ ??．
数据测量
连接??，∠??? = 60°，?? = 14cm，?? = 4cm，如图 3，当开关开到最大时， △ ???旋转到△ ??′?′的位置上，旋转角∠?′?? = 30°．
交流展示
……
∴ ?? =
??
cs∠???
??
= cs60°
= 8cm；
（2）解：如图，过点?′作?′? ⊥ ??，垂足为?，交??于点?，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 90°−60° = 30°，
∴ ∠?′?? = ∠?′?? + ∠??? = 60°，根据旋转可得??′ = ?? = 8cm，
在Rt △ ?′??中，?′? = ??′sin60° = 8 × 3 = 4 3cm，
2
∵ ?? = ?? = 14cm，
3
∴ ?′? = ?′? + ?? = (4
+ 14)cm．
3
∴ 点?′到台面??的距离为(4
+ 14)cm．
【变式 04】（2026·安徽六安·一模）请根据以下素材，完成探究任务．
素材一
如图（1），一个书架上放着 8 个完全一样的长方体档案盒，其中左边 7
个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边 1个档案盒向左斜放，档案盒的顶点?在书架底部，顶点?靠在书架右侧，顶点?靠在左边的档案盒上．
素材二
其示意图如图（2），经测量知书架内侧长度?? = 60cm，∠??? = 53∘，档案盒高度?? = 35cm．
（参考数据：sin53∘ ≈ 0.799，cs53∘
≈ 0.602，tan53∘ ≈ 1.327）
任务一：计算右边档案盒的顶点?到它所靠的档案盒的距离；
(1)求??的长（结果保留整数）；任务二：求出每个档案盒的厚度 (2)求??的长（结果保留整数）；
【答案】(1)约为 21cm
(2)?? = 5cm
【分析】（1）根据?? = ?? ⋅ cs53∘，即可求解；
（2）推导出∠??? = 53∘，列方程构造等量关系即可求解．
【详解】（1）在Rt △ ???中，?? = ?? = 35cm，∠??? = 53∘，
∴ ?? = ?? ⋅ cs53∘ ≈ 35 × 0.602 ≈ 21(cm)，答：??的长约为21cm；
（2）由题意得：∠??? = ∠??? = 90∘，
∵ ∠??? = 53∘，
∴ ∠??? = 180∘−∠???−∠??? = 180∘−90∘−53∘ = 37∘，
∴ ∠??? = 90∘−∠??? = 90∘−37∘ = 53∘，设每一个档案盒的厚度为?cm，
在 Rt △ ???中，?? = ?cm，
∴ ?? = ?? ⋅ sin53∘ ≈ 0.799?(cm)，
∴ 7? + 0.799? + 21 = 60，解得：? ≈ 5，即每一个档案盒的厚度?? = 5cm．
【变式 05】（2025·陕西西安·三模）【问题提出】
（1）如图①，已知⊙ ?与直线?相离，过?作?? ⊥ ?于点?，?? = 6， ⊙ ?的半径为4，则圆上一点?到直线?的距离的最小值是；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形????中，?? ∥ ??，?? = 2，?? = 4，∠? = ∠? = 60°，请你过点?画出将四边形
????面积等分的线段??，并求出??的长．
3
【问题解决】
（3）如图③所示，是由线段??、??、??与弧??围成的花园的平面示意图，?? = 2?? = 80m，?? = 40 m，?? ∥ ??，?? ⊥ ??，点?为??的中点，??所对的圆心角为120°．管理人员想在??上确定一点?，在四
边形????区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过?点修建一条小路??，把四边形????分成面积相等且尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉．问是否存在满足上述条件的小路??？若存在，请求出??的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）图见解析，?? = 7；（3）存在满足上述条件的小路??，??的长为70m
【分析】（1）当点?在线段??上时，点?到直线?的距离的最小，即可求解；
（2）利用尺规作图，过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??，则??即为所求．先证出四边形????是矩形，根据矩形的性质可得?△??? = ?△???，?? = ??，再证出△ ???≌ △ ???，根据全等三角形的性质可得?△??? =
?△???，然后解直角三角形求出??的长，最后在Rt △ ???中，利用勾股定理求解即可得；
（3）连接??，求出△ ???的面积，证明要使四边形????的面积最小，则 △ ???的面积需最小，设??所在圆的圆心为?，则∠??? = 120°，过?作?? ⊥ ??于?，交??于点?，交??于?，由（1）可得此时点?到??的距离最短，即△ ???的面积最小．得出?? = 30m，则?? = ??−?? = 10m，由勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）当点?在线段??上时，点?到直线?的距离最小，
∵?? = 6， ⊙ ?的半径为4，
∴最小值是为6−4 = 2，故答案为：2．
（2）如图，过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??，则??即为所求．理由如下：过点?作作?? ⊥ ??于?，
∴∠??? = ∠??? = 90°，?? ∥ ??，
∵?? ∥ ??，
∴四边形????是矩形，
∴?△??? = ?△???，?? = ??，在△ ???和 △ ???中，
∠? = ∠? = 60°
∠??? = ∠??? = 90° ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?△??? = ?△???，
∴?△??? + ?△??? = ?△??? + ?△???，即?四边形???? = ?△???，
∴线段??将四边形????面积等分，
∵四边形????是矩形，?? = 2，
∴?? = ?? = 2，
∵ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，
∵?? + ?? + ?? = ?? = 4，
∴?? = ?? = 1，
( 3) + 22
2
在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ tan? = 3，
??2 + ??2
在Rt △ ???中，?? =
=
= 7．
（3）存在满足上述条件的小路??，求解过程如下：如图，连接??，
∵ ?? = 2?? = 80m，点?为??的中点，
∴ ?? = ?? = ?? = 40m，
∵?? ∥ ??，?? ⊥ ??，
∴ 四边形????是矩形，
3
3
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，?? = ?? = 40 3m，
1
∴ ?
1
(m2)
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 40 × 40
= 800．
∴ 要使四边形????的面积最小，则 △ ???的面积需最小．设??所在圆的圆心为?，则∠??? = 120°，
过?作?? ⊥ ??于?，交??于点?，交??于?，
由（1）可得，此时点?到??的距离最短，即△ ???的面积最小．
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? ⊥ ??，?? = ?? = 40m，
∴ ?? = ?? =
1?? = 20 3m，∠??? = ∠??? = 60°，
2
∴ ?? =
??
tan60°
= 20m，?? = ?? = ?? = 2?? = 40m．
∴ ?? = ??−?? = 20m，
∴ ?? = ??−?? = 20m，
∴ △ ???面积的最小值为?△???1
1
3
3
(m2)，
= 2?? ⋅ ?? = 2 × 20 × 40
∴ ?= ?+ ?= 1200 3(m )，
2
四边形????△???△???
= 400
12?
2
∴ ?四边形???? = 600 3m > △???，
∴ 点?在??上，
11
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 40 3?? = 600 3，
∴ ?? = 30(m)，
∴ ?? = ??−?? = 10m，
??2 + ??2
∴ ?? == 70m，
所以存在满足上述条件的小路??，??的长为70m．
【点睛】本题考查了圆的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、三角形全等的判定与性质、勾股定理、作垂线的尺规作图等知识，较难的是题（3），确定△ ???的面积最小时，点?的位置是解题关 键．
题型六 综合与实践探究性问题
【典例 01】（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形????，?? = 0.2
米，?? = 1.6米，雨伞撑开的宽度?? = 1米，伞柄的??部分长为0.45米，点?为??中点，?? ⊥ ??，点?到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线??与地面的夹角为?，雨线??与??平行，??与地面??平行．
【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点?到地面的距离是米；
②如图（1）所示，? = 72°，若小丽将伞拿在胸前（??与??在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分?? = 米．（参考数据：sin72° ≈ 0.95，cs72° ≈ 0.31，tan72° ≈ 3.08）
【问题探究】（2）如图（2）所示，? = 60°，设小丽将手臂水平前伸了?米（即线段??的长度），身体被
雨水淋湿部分??的长度为?米，求?与?的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下?的取值范围．
【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点?顺时针旋转一定角度（点?到地面的距离保持不变），使得??与雨线??垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出??的最小值；如果不可以，请说明理由．
【答案】（1）①1.8；②0.26；（2）? = − 3? + 1.8− 3
2
0 ≤ ? ≤
；（3）可以，??的最小值为7 3．
9+2 3
30
60
【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解．
①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解；
2
（2）延长??交??于点?，先求出相关角，再利用?? = ?? ⋅ tan60°，接着可得?? = − 3? + 1.8− 3，延长??
交??于点?，过?作?? ⊥ ??交??于?，为保证头部不被淋湿，即?? ≥ ??，建立不等式求解即可；
（3）设小丽将手臂水平前伸了?米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时?的值，再判断此时头部是否被淋湿即可．
【详解】解：（1）①由题意知，?? = 0.45米，?? = 1.35米，
∴ ?? = ?? + ?? = 0.45 + 1.35 = 1.8米，即点?到地面的距离是1.8米，
故答案为：1.8；
② ∵ ?? = 1米，点?为??中点，
11
∴ ?? = 2?? = 2米，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 72°，
∵ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠??? = 72°，
∴ 在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ tan72° =
1 × 3.08 = 1.54米，
2
∴ ?? = ??−?? = 1.8−1.54 = 0.26米，故答案为：0.26；
如图，延长??交??于点?，
则?? = ?? = ?，
1
2
∴ ?? = ?? + ?? = ? +米，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 60°，
∵ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠??? = 60°，
∴ 在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ tan60° =
1
2
+ ? ×
3
=
+ 3? 米，
3
2
∴ ?? = ??−?? = 1.8−
2
即? = − 3? + 1.8− 3，
3
3 2
+ 3? = − 3? + 1.8− 2 ，
3
延长??交??于点?，过?作?? ⊥ ??交??于?，
则?? = 1.8−1.6 = 0.2（米），?? = 0.2
tan60°
= 15，?? = ?? = 0.5−?，
为使头部不被淋湿，
所以?? = ?? + ?? = 3 +0.5−? ≥ ?? = 0.2，
15
30
30
解得? ≤ 9+2 3，又? ≥ 0，所以0 ≤ ? ≤ 9+2 3；
9+2 3
30
∴ ? = − 3? + 1.8− 3
2
0 ≤ ? ≤；
设小丽将手臂水平前伸了?米时，身体恰好不会被淋湿，如图，延长??交??于点?，过?作?? ⊥ ??交??于?，
延长??交??于?，过?作?? ⊥ ??交??于?，
1
则?? = ?? = 0.5 = 2，∠??? = ∠??? = 60°，?? = ?? = 1.6，
2 3
3
??2 + ??2
3
1
?? = sin60° =，
所以在Rt △ ???中，?? = ??
tan60°
= 3 < ??，?? =
6
= 3 ，
在Rt △ ???中，?? = ??
tan60°
1.359 3
3
，
== 20
−
所以?? = ??−?? = 9 3 3 = 7 3 < 0.5，
20360
在Rt △ ???中，?? = ??
tan60°
1.68 3
3
，
== 15
又??−?? = 2 3−8 3 = 2 3 > ?? = 0.2，
31515
所以此时头部不会被淋湿，
60
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，??的最小值为7 3．
【变式 01】（2025·青海·中考真题）数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷．
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8 米，插入地下的部分为 0.3 米，竹竿与地面接触点间距为 0.6 米且与地面所形成的夹角均为65°．
环节二：数学抽象
如图：已知线段??与??交于点?，??，??与直线?分别交于点?，?，?? = ?? = 1.8 m，?? = ?? = 0.3 m，∠??? = ∠??? = 65°，?? = 0.6 m，求??的长度．（结果精确到 0.1，参考数据：sin65° ≈ 0.91，cs 65° ≈ 0.42，tan65° ≈ 2.14）
【模型求解】
【问题总结】
交叉点?距顶端?的长度即??为m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律．
【答案】?? ≈ 0.7m，?? = 0.8m
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过?作?? ⊥ ??于?，根据等腰三角形的性质可得
??
?? = ?? = 0.3m，结合cs65° ≈ 0.42 = ??可得答案；最后由?? = ??−??−??即可得到答案.
【详解】解：数学抽象：如图，过?作?? ⊥ ??于?，
∵∠??? = ∠??? = 65°，
∴?? = ??，
∵?? = 0.6 m，
∴?? = ?? = 0.3m，
??
∴cs65° ≈ 0.42 = ??，
∴?? =
0.3
0.42
≈ 0.7m，
问题总结：∵?? = ?? = 1.8 m，?? = ?? = 0.3 m，
∴?? = 1.8−0.3−0.7 = 0.8m.
【变式 02】（2024·广西南宁·一模）综合与实践
【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度．
【实践探究】下面是两个方案及测量数据：
项目
测量龙象塔的高度
方案
方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长??，影长??，塔影长??．
方案二：利用锐角三角函数．测量：距离??，仰角 α，仰角 β．
测量示意图
【问题解决】
根据“方案一”的测量数据，直．接．写．出．龙象塔??的高度；
根据“方案二”的测量数据，求出龙象塔??的高度；（参考数据：sin37° ≈ 0.60，cs37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75， sin26.5° ≈ 0.45，cs26.5° ≈ 0.89，tan26.5° ≈ 0.50）
请对本次实践活动进行评价（一条即可）．
【答案】(1)52 米
52.5 米
见解析
????
【分析】（1）由题意可知△ ??? ∽△ ???，从而得出?? = ??，代入测量的平均值进行求解即可；
????
（2）根据锐角三角函数的正切值分别得出?? = tan37°，?? = tan26.5°，再根据?? = ??−?? = 35进行求解
即可；
（3）根据实践的结果进行合理评价即可．
【详解】（1）由题意可知△ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即?? = 1.6
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量项目
第一次
第二次
平均值
??
1.61
m
1.59
m
1.6 m
β
26.4°
26.6
°
26.5°
??
1.18
m
1.22
m
1.2 m
α
37.1°
36.9
°
37°
??
38.9
m
39.1
m
39 m
??
34.8 m
35.2
m
35 m
??
??
391.2，
解得?? = 52，
∴龙象塔??的高度为 52 米；
??
（2）在Rt △ ???中，tan? = ??，
??
∴?? = tan37°，
??
在Rt △ ???中，tan? = ??，
??
∴?? = tan26.5°，
∵?? = ??−?? = 35，
−= 35，即
∴ ?? ?? 4．
tan26.5°
tan37°
2??−3?? = 35
∴?? = 52.5米
∴龙象塔??的高度为 52.5 米；
（3）答案不唯一，合理即可．
如：两种方案均可测量出龙象塔的高度；取平均值是减少误差的方式；方案一易受天气影响．
【点睛】本题考查了关于求塔高的实践与探究，熟练掌握相似三角形的性质和锐角三角函数并进行实际应用是解题的关键．
【变式 03】【综合与实践】
【认识研究对象】教材 121 页给出了如下定义：如图 1，如果点?把线段??分成两条线段??和
????
??(?? > ??)，且?? = ??，则我们称点?为线段??的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形
中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”．
如图 2，已知△ ???是“类黄金三角形”，且?? < ?? < ??．若?? = 3，?? = 5，求??的长．
【探索研究方法】如图 3，已知△ ???是“类黄金三角形”，且?? < ?? < ??．若∠??? = 90°，小滨同学过点?作?? ⊥ ??于点?，发现了两个结论：
①??2 = ?? × ??；
②点?是边??的黄金分割点；请给出证明．
【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于
是开展新的探究，请解决以下问题：
如图 4，已知△ ???是“类黄金三角形”，且?? < ?? < ??．若?? = 2，
1，求??的长．
∠? = 90° + 2∠?
【答案】【认识研究对象】?? = 15；
【探索研究方法】①证明见解析；②证明见解析；
2
【尝试问题解决】?? =
【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据定义理解“类黄金三角形”的特征，根据比例式适当构造相似三角形．
【认识研究对象】直接利用“类黄金三角形”定义，代入边长计算即可；
【探索研究方法】①通过证明△ ??? ∼△ ???，利用相似三角形对应边成比例推导??2 = ?? × ??；
②结合“类黄金三角形”定义与①的结论，证明??2 = ?? × ??，从而判定?是??的黄金分割点；
【尝试问题解决】在??上取点?，使?? = ??，连接??．根据“类黄金三角形”的定义??2 = ?? × ??，将其
转化为比例式?? = ?? = ??，结合公共角∠??? = ∠???，可证 △ ??? ∼△ ???，由相似得∠??? = ∠???，
??????
结合已知∠??? = 90° + 1∠?，推导得出?? = ??，代入定义式??2 = ?? × ??求出??的长即可．
2
【认识研究对象】解：∵ △ ???是类黄金三角形，且?? < ?? < ??，
∴根据定义，最长边??与最短边??的乘积等于第三边??的平方，即?? × ?? = ??2．
∵?? = 3，?? = 5，
∴??2 = 5 × 3 = 15，
∴?? = 15；
【探索研究方法】①证明：∵∠??? = 90°，?? ⊥ ??于?，
∴∠??? = ∠??? = 90°，又∵∠? = ∠?，
∴ △ ??? ∼△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴??2 = ?? × ??；
②证明：∵ △ ???是类黄金三角形，且?? < ?? < ??，
∴?? × ?? = ??2，
由①知??2 = ?? × ??，
∴?? × ?? = ?? × ??，
∵?? ≠ 0，
∴?? = ??．
∵∠??? = ∠??? = 90°，∠? = ∠?，
∴ △ ??? ∼△ ???，
∴?? = ??
????，
∴??2 = ?? × ??，又∵?? = ??，
∴??2 = ?? × ??，
根据黄金分割点的定义，点?是边??的黄金分割点；
【尝试问题解决】解：如图，在??上取点?，使?? = ??，连接??．
∵??2 = ?? × ??，
∴?? = ?? = ??．
??
??
??
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∼△ ???，
∴∠??? = ∠???．
∵∠??? = ∠? + ∠???，∠??? = 90° +
1∠?，
2
∴90° +
1∠? = ∠? + ∠???，
2
1
∴∠??? = 90°−∠?，
2
∴∠??? = ∠? + ∠??? = 90° +
1∠?，
2
∠?，
1
∴∠??? = 180°− 90° + 2
∴?? = ??，
∴?? = 2??，
∴?? = 1，
∴??2 = ?? × ?? = 2，
∴?? = 2．
【变式 04】综合与实践动手操作
1
= 90°−2∠?
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图 1，点?为正方形????的??边上的一个动点，?? = 3，将正方形????对折，使点?与点?重合，点?与点?重合，折痕为??．
思考探索
（1）将正方形????展平后沿过点?的直线??折叠，使点?的对应点?′落在??上，折痕为??，连接??′，如图 2．
①点?′在以点?为圆心，的长为半径的圆上；
②?′? = ；
③ △ ??′?为三角形，请证明你的结论．拓展延伸
（2）当?? = 3??时，正方形????沿过点?的直线?（不过点?）折叠后，点?的对应点?′落在正方形????
内部或边上．
① △ ???′面积的最大值为；
②连接??′，点?为??的中点，点?在??′上，连接??,∠??? = ∠??′?，则?′? + 2??的最小值为．
【答案】（1）①??；
6−3 3；③等边（2）①3②
13
②2
【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解；
②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得?′? = ?? = ??，即可求解；
（2）①由题意知点?′在以点 E 为圆心，半径长为 2 的圆上， △ ???′的面积要最大，只要以??为底的高最长即可，此时当?′? ⊥ ??时， △ ???′的面积最大；
②当 E、?′、C 三点共线时，?′? + ??′取得最小值，即?′? + 2??取得最小值，且最小值为??的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）①点?′在以点 E 为圆心，??的长为半径的圆上；
2
②根据折叠的性质知：?? = ?′?，?? = ?′? = 3，?? = ?? = ?? = ?? = 3，
∠? = ∠??′? = 90°，
?′?2−??2
?′? = ??−?′? = ??−
3 2
32− 2
= 3−
；
3 3
= 3− 2
?′?2 + ??2
③?′? =
=
=
= ?? = ??，
?′?2−??2 + ??2
??2
∴ △ ??′?为等边三角形；
2
故答案为：①??，②3−3 3，③等边；
（2）①∵?? = 3 = 3??，
∴?? = 1,?? = 2，
故点?′在以点 E 为圆心，半径长为 2 的圆上，
∴ △ ???′的面积要最大，只要以??为底的高最长即可，
∴当?′? ⊥ ??时， △ ???′的面积最大，如图：
△ ???′的面积最大值
②∵∠??? = ∠??′?，
∴?? ∥ ?′?，
1
∴?? = ?? ，
1
= 2?? ×
?′
? = 2 × 3 × 2 = 3；
????′
∵P 为??的中点，
∴Q 为??′的中点，
∴??为 △ ???′的中位线，
11
∴?? =
??，即?? = 2??，
2
2
∴?′? + 2?? = ?′? + ??′，
当 E、?′、C 三点共线时，?′? + ??′取得最小值，即?′? + 2??取得最小值，且最小值为??的长，
??2 + ??2
∴?? =
=
= 13，
32 + 22
∴?′? + 2??的最小值为 13．故答案为：①3；② 13．
【点睛】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度
适中，其中（2）①当?′? ⊥ ??时，△ABB'的面积最大；②当 E、?′、C 三点共线时，?′? + 2??取得最小值是解本题的关键．
【变式 05】（2026·吉林·一模）在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下：
【观察发现】
如图 1，在等边△ ???中，?? = 4 3，
1，E，F 分别是??和??上的动点，且总有?? = ??，阅读
?? = 2??
下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定?? + ??最小值的方法．
∵在等边△ ???中，?? = 4 3，?? =
1??，
2
∴点?为??边上的中点，∠? = ∠???．
∴?? ⊥ ??．
过点?作?? ⊥ ??，使?? = ??，连接??，
∴?? ∥ ??．
∴∠??? = ∠??? = ∠?．又∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)．
∴?? = ??．
证明过程缺失
连接??，??，当?,?,?三点共线时，?? + ??的最小值等于线段??的长．连接??，
∴四边形????是矩形．
∴?? = ??．
【问题解决】①如图 1 请你补全缺失的证明四边形????为矩形的过程；
②结合上述探究过程可知?? + ??的最小值为．
【类比应用】
如图 2，已知正方形????的边长为 12，O 为对角线的交点，M，N 分别是??，??上的动点，且总有
?? = ??，连接??，??，求?? + ??的最小值．
【拓展延伸】
如图 3，矩形????中，?? = 2，?? = 2 2，?是??的中点，F，G 分别是??和??上的动点，且总有
?? = 2??，则?? + 2??的最小值为．
3
【答案】(1)①见解析；②4
10
(2)6
13
(3)2
【分析】（1）①先证明四边形????是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证；
②求出?? = ?? = 4 3即可；
（2）过点?作?? ⊥ ??，使?? = ??，连接??，??，先得出?? + ?? = ?? + ??，则当点?,?,?三点共线时，?? + ??的最小值等于线段??的长，即?? + ??的最小值等于线段??的长，再利用勾股定理求解即可；
（3）延长??到点?，使?? = 2??，连接??，??，先证明 △ ??? ∽△ ???，可得?? + 2?? = ?? + ??，则当点?,?,?三点共线时，?? + ??的最小值等于线段??的长，即?? + 2??的最小值等于线段??的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①∵?? = ?? = ??，?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形．
②由上已证：四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 4 3，
∴?? + ??的最小值为4 3，又∵?? = ??，
∴?? + ??的最小值为4 3．
（2）解：如图，过点?作?? ⊥ ??，使?? = ??，连接??，??，
∵正方形????的边长为 12，
∴?? = ?? = 12，∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 45°，?? =
1??，
2
??2 + ??2
∴?? == 12 2，∠??? = 90°−∠??? = 45°，
∴?? = ?? = 6 2,∠??? = ∠??? = 45°，在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? = 45° ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ??，
∴当点?,?,?三点共线时，?? + ??的最小值等于线段??的长，即?? + ??的最小值等于线段??的长，如图，过点?作?? ⊥ ??，交??的延长线于点?，
∵∠??? = 90°,∠??? = 45°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 45°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
??2 + ??2
在Rt △ ???中，?? == 2?? = 2?? = 6 2，
∴?? = ?? = 6，
∴?? = ?? + ?? = 18，
??2 + ??2
∴在Rt △ ???中，?? == 6 10，
∴?? + ??的最小值为6 10．
（3）解：如图，延长??到点?，使?? = 2??，连接??，??．
∵矩形????中，?? = 2 2，?是??的中点，
∴?? = 4 2，?? =
1?? = 2，∠??? = ∠??? = ∠? = 90°，
2
∴∠??? = 90°，
∵?? = 2??，?? = 2??，
∴?? = ?? = 1，
????2
在△ ???和 △ ???中，
?? = ?? = 1
????2，
∠? = ∠??? = 90°
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 1，
????2
∴?? = 2??，
∴?? + 2?? = ?? + ??，
∴当点?,?,?三点共线时，?? + ??的最小值等于线段??的长，即?? + 2??的最小值等于线段??的长，
∵?? = 2，?? = 4 2，
∴?? = ?? + ?? = 5 2，
??2 + ??2
∴在Rt △ ???中，?? == 2 13，
∴?? + 2??的最小值为2 13．
【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．
（限时训练：50 分钟）
1．（2025 安徽淮南三模）一束光照射到平面镜??上的点?处后反射到平面镜??上的点?处，已知入射光线、反射光线与??的夹角相等，照射点?处的法线??∥??（法线与反射面垂直，即?? ⊥ ??），若∠??? = 20°，则两平面镜的夹角∠???的度数为（ ）
0°B．110°C．120°D．130°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，利用题意求得∠??? = 140°，再根据平行的性质可得∠??? = 180°−∠??? = 40°，即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键．
【详解】解： ∵ ∠??? = 20°，
∴∠??? = ∠??? = 20°，
∴∠??? = 140°，
∵ ??∥??，
∴∠??? = 180°−∠??? = 40°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°−∠??? = 50°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 110°．故选：B．
2．（2023 湖南娄底中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的
1
2
? ? −
2 2
?2+?2−?2 2
2
一个结论：三边分别为 a、b、c 的△ ???的面积为?△??? =． △ ???的边 a、b、c 所
对的角分别是∠A、∠B、∠C，则?△???111．下列结论中正确的是（ ）
= 2??sin? = 2??sin? = 2??sin?
A．cs? = ?2+?2−?2
2??
C．cs? = ?2+?2−?2
2??
B．cs? = −?2+?2−?2
2??
D．cs? = ?2+?2−?2
2??
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
1
2
? ? −
2 2
?2+?2−?2 2
2
1
【详解】解：∵?△??? =
，?△??? = ??sin?，
2
∴1 ?2
2
?2−
?2+?2−?2
2
21
= 2??sin?
即?2
?2
−
2
?2+?2−?2
2
= ?2
?2
sin2?，
?2
?2
2
?2+?2−?2
2
(1−sin2?) =，
?2+?2−?2 2??
2
cs2? =，
cs? =
?2 + ?2−?2 2??
故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉sin2? + cs2? = 1是解题的关键．
3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形????和小正方形????，连接??交??于点 P．若?? = ??，则tan∠???的值是（ ）
A． 2−1
2
C2
3
． 2
【答案】A
2−
D．2 2
【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意， 设?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，则：?? = ??−?? = ?−?，三线合一，得到?? = ?? = ?，进而得到?? = ?−2?，
????
证明△ ??? ∽△ ???，得到?? = ??，进而求出?,?的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：?? = ??,?? = ??,?? ⊥ ??,?? ∥ ??，
∴设?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，则：?? = ??−?? = ?−?，
∵?? = ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ?? = ?，
∴?? = ??−??−?? = ?−2?，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即：? = ?−2?，
??
??
??
解得? =
+ 1?或? = 1−
?（不合题意，舍去）；
2
2
2+1 ?
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? =?
??
= 2−1；
故选 A．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释(? + ?)?展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，(? + ?)3的展开式中第二项的系数为 3，那么(? + ?)5的展开式中第三项的系数为．
【答案】10
【分析】本题主要考查了整式的规律、根据图形中的规律得到(? + ?)?的第三项系数为1 + 2 + 3 + ⋯ + (?−2) + (?−1)成为解题的关键．
先根据图形中的规律得到(? + ?)?的第三项系数为1 + 2 + 3 + ⋯ + (?−2) + (?−1)，然后令? = 5并代入计
算即可．
【详解】解：找规律发现(? + ?)3的第三项系数为3 = 1 + 2； (? + ?)4的第三项系数为6 = 1 + 2 + 3；
……
(? + ?)?的第三项系数为1 + 2 + 3 + ⋯ + (?−2) + (?−1)；当? = 5时，有1 + …… + (5−3) + (5−2) + (5−1) = 10．
所以(? + ?)5第三项系数为 10．故答案为：10．
1
5．当三角形中一个内角?是另一个内角?的2时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角?称为“希望
角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为．
【答案】54°或84°或108°
【分析】分54°角是 α 或是 β 或既不是 α 也不是 β 三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
【详解】解：依题意，①54°角是 α，则“希望角”度数为54°；
1
②54°角是 β，则2? = ? = 54°，
∴? = 108°
∴“希望角”度数为108°；
③54°角既不是 α 也不是 β，则? + ? + 54° = 180°，
1
∴? + 2? + 54° = 180°
解得? = 84°，
∴“希望角”度数为84°；
综上所述，“希望角”度数为54°或84°或108°故答案为：54°或84°或108°
6．（23-24 七年级上·浙江衢州·月考）对于正整数 a，我们规定：若 a 为奇数，则?(?) = 5?−1；若 a 为偶
?
数，则?(?) = 2．例如
?(3) = 5 × 3−1 = 14，?(10) = 10 = 5．若?1
2
= 8，?2
= ?(?1)，?3
= ?(?2)，?4
= ?
(?3)，…，依此规律进行下去，得到一列数?1,?2,?3,?4,…（n 为正整数），则?3 = ，?1 + ?2 + ?3 +… +
?2023 = ．
【答案】24726
【分析】本题为新定义问题，理解题目中规定进行计算，进而找出规律是解题关键．根据题目中规定法则 可以分别求出?1 = 8，?2 = 4，?3 = 2，?4 = 1，?5 = 4，…，进而可以得出数列??从第二项开始以 4、2、 1 这 3 个数为周期循环，再根据2023−1 = 674 × 3即可求解．
【详解】解：∵?1 = 8，
8
∴?2 = ?(?1) = 2 = 4，
4
?3 = ?(?2) = 2 = 2，
2
?4 = ?(?3) = 2 = 1，
?5 = ?(?4) = 5 × 1−1 = 4，
…
∴数列??从第二项开始以 4、2、1 这 3 个数为周期循环，
∵2023−1 = 674 × 3，
∴?1 + ?2 + ?3 +… + ?2023
= 8 + 4 + 2 + 1 + … + 4 + 2 + 1
= 8 + (4 + 2 + 1) × 674
= 4726
故答案为：2；4726
7．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函数值 y，都满足? ≤ ?，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数? = −(?−3)2 +2是有上界函数，其上确界是 2．
(1)函数①? = ?2 +2? + 1和②? = 2?−3（? ≤ 5）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；
6
(2)若反比例函数? = ?（? ≤ ? ≤ ?，? > 0）的上确界是? + 1，且该函数的最小值为 2，求 a、b 的值；
(3)如果函数? = −?2 +2?? + 2(−1 ≤ ? ≤ 3)是以 6 为上确界的有上界函数，求实数 a 的值．
【答案】(1)②，7；
? = 3
(2)
2
? = 3
(3)a=2 或 a=-2．
【分析】（1）分别求出两个函数的函数值范围即可得解；
先求出函数值的范围，再由已知得到关于 a，b 的等式，即可得到解答；
把原函数配方，再根据已知得到关于 a 的方程，即可得解．
【详解】（1）解：∵? = ?2 +2? + 1 = (? + 1)2 ≥ 0,? = 2?−3 ≤ 7(? ≤ 5)，
∴有上界函数为②，其上确界为 7，
故答案为②，7；
（2
111
）解：由已知可得? ≤ ? ≤ ?，
66
∴? ≤ ? ≤ ?，
6
?
= ? + 1
∴
6 = 2
?
? = 3
∴2
? = 3
（3）解：∵? = −(?2−2??−2) = −(?−?)2 + ?2 +2 ≤ ?2 +2，
∴?2 +2 = 6，
∴a=2 或 a=-2．
【点睛】本题考查新定义下的函数探究，在理解所给定义的前提下综合运用各类型函数的性质是解题关键．
8．阅读理解：如图 1，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与点 A，B 重合），分别连接 ED， EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点 E 叫四边形 ABCD的边 AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点 E 叫四边形 ABCD 的边 AB 上的“强相似点”．解决问题：
如图 1，∠?=∠?=∠???=50°，试判断点 E 是否是四边形????的边 AB 上的相似点，并说明理由．
如图 2，在矩形 ABCD 中，A，B，C，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长均为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形????的边 AB 上的强相似点．
如图 3，将矩形????沿着 CM 折叠，使点 D 落在??边上的点 E 处，若点 E 恰好是四边形????的边??上的一个强相似点，试探究 AB 与 BC 的数量关系．
【答案】(1)点 E 是四边形????的边 AB 上的相似点，理由见详解
(2)见详解
(3)?? = 2 3
??3
【分析】（1）要证明点 E 是四边形????的??边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ ???∽ △ ???，所以问题得解．
以??为直径画弧，取该弧与??的一个交点即为所求；
由点 E 是矩形????的??边上的一个强相似点，得 △ ???∽ △ ???∽ △ ???，根据相似三角形的对应
，
角相等，可求得∠???=1∠???=30°利用含 30°角的直角三角形性质可得??与??，??边之间的数量关系，
3
从而可求出??与??边之间的数量关系．
【详解】（1） ∵ ∠?=∠?=∠???=50°，
∴ ∠??? + ∠???=130°，∠??? + ∠???=130°，
∴ ∠???=∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∵∠?=∠?，∠???=∠???，
∴△ ???∽△ ???，
∴点 E 是四边形????的边??上的相似点．
如图所示：点 E 是四边形????的边??上的强相似点，
∵点 E 是四边形????的边??上的一个强相似点，
∴△ ???∽ △ ???∽ △ ???，
∴ ∠???=∠???=∠???，
由折叠可知： △ ???≌ △ ???，
∴ ∠???=∠???，??=??，
1
∴ ∠???=∠???=30°，
3
11
??=??=??，
22
在?? △ ???中，
??3，
???∠???=??=???30°= 3
∴?? = 2 3．
??3
【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．
9．（2025·广东·中考真题）综合与实践
【阅读材料】
，则有
如图，在锐角△ ???中，∠?，∠?，∠?的对边长分别为?，?，? ? = ? = ? ．这是解三角形的重
sin?sin?
sin?
要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中?，?两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤 1：如图，在空旷地找一点?；
步骤 2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠? ≈ 43°，∠? ≈ 51°；
步骤 3：利用测距仪多次测量并取平均值测得?? ≈ 341 m，?? ≈ 388.5 m．
【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算?，?两岛间的距离．
（参考数据：sin43° ≈ 0.682，sin51° ≈ 0.777，sin86° ≈ 0.998）
【评价反思】
设计其他方案计算?，?两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
【答案】（1）499m；（2）见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．
????
（1）利用三角形内角和定理求出∠? = 180°−∠?−∠? = 86°，根据题意可得sin? = sin?，代入数据求出??的
长，即可解答；
（2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可．
【详解】解：（1）∵∠? ≈ 43°，∠? ≈ 51°，
∴∠? = 180°−∠?−∠? ≈ 180°−43°−51° = 86°，
????
由题意得，sin? = sin?，
又∵?? ≈ 341 m，
∴?? =
??sin?
sin? =
??sin86° sin43°
341×0.998
≈0.682
= 499m，
答：?，?两岛间的距离为499m．
（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．测量过程：
步骤 1：如图，在空旷地找一点?，使得△ ???是锐角三角形；步骤 2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠?的度数；
步骤 3：利用测距仪多次测量并取平均值测得?? = ?m，?? = ?m．
计算过程：
过点?作?? ⊥ ??，则∠??? = ∠??? = 90°，
????
∵在Rt △ ???中，sin? = ??，cs? = ??，
∴?? = ?sin?(m)，?? = ?cs?(m)，
∴?? = ??−?? = (?−?cs?)(m)，
∵在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴?? =(?sin?)2 + (?−?cs?)2(m)．
答：?，?两岛间的距离为 (?sin?)2 + (?−?cs?)2m．
10．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究
已知条件
喷头结构
手柄?? = 30cm，与墙面??的夹角∠??? = ?（称为 “调整角”）．水流射线?? ⊥ ??，落点?需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．
题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题：
问题解决
(1)当父亲使用喷头时，调整角? = 37°，水流恰好落于其“舒适喷淋点”?处(?? = 170−30 = 140cm)．求：点?到地面的距离??．
(2)父亲使用后，固定器位置不变（??长度固定），调整角改为? = 60°．判断：小明站立于?处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位）
【答案】(1)143cm；
(2)水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析
【分析】（1）作?? ⊥ ??于点 N，延长??交??于点 M，利用37°的正弦值和余弦值可得??和??的长度，进而可得??的长度，那么根据37°的正切值可得??的长度，那么??的长度即为??的长度减去??的长度；
（2）利用60°的正弦值和余弦值可得??和??的长度，进而可得??的长度，那么根据60°的正切值可得??的长度，那么??的长度即为??的长度减去??的长度，再比较即可．
【详解】（1）解：作?? ⊥ ??于点 N，延长??交??于点 M，则∠??? = ∠? = 90°，
淋浴
房参
矩形????是淋浴房的截面图，?? = 90cm,?? = 195
cm．固定站立点?满足?? = 54cm．
数
人体
工程
“舒适喷淋点”（高度=身高−30cm）．已知父亲身高170cm，小明身高140cm．
学定
义
参考
数据
sin37° ≈ 0.60,cs37° ≈ 0.80,tan37° ≈ 0.75,
3 ≈ 1.73
∵爸爸身高是170cm，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C 处，
∴?? = 170−30 = 140(cm)，
∵?? = 30cm，? = 37°，
∴?? = 30 × sin37° ≈ 30 × 0.60 = 18(cm)，?? = ?? × cs37° ≈ 30 × 0.80 = 24(cm)，∠??? = 53°，
∵?? = 54cm，∠??? = 90°，
∴?? = 36(cm)，∠??? = 37°，
∴?? = 36 × tan37° ≈ 36 × 0.75 = 27(cm)，
∴?? = 140 + 27 = 167(cm)，
∴?? = 167(cm)，
∴?? = 167−24 = 143(cm)．
答：点 A 到地面的距离??约为143cm；
（2）解：当? = 60°时，∠??? = 30°，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 60°，
∵?? = 30cm，
∴?? = 15(cm)，?? = 15 3(cm)，
∴?? = (54−15 3)(cm)，
3
∴?? = (54−15 3) ×= 54 3−45 ≈ 48.42(cm)，
∴?? = ?? + ??−?? = 143 + 15−48.42 ≈ 109.58(cm)，
∵小明的身高是140cm，
∴小明的舒适距离?? = 140−30 = 110(cm)，
∵109.58 < 110，
∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处．