2026年中考数学二轮复习 专题01 二次函数综合(重难专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题01 二次函数综合(重难专练)，共7页。试卷主要包含了二次函数的图象与性质；，二次函数与方程等内容，欢迎下载使用。
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近三年：中考数学中二次函数综合考点主要考向分为四类：
一、二次函数的图象与性质（每年 1~2 道，3~6 分）； 二、二次函数与系数的关系（每年 2~3 题，12~15 分）；
三、二次函数与方程、不等式的关系（每年 2~3 道，6~10 分）；四、二次函数的实际应用与几何综合（每年 1 道，6~10 分）
考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为压轴题，难度中等偏上．
预测 2026 年：二次函数仍是中考数学核心压轴考点，全国统一命题趋势下，二次函数综合题难度稳中有升。选择、填空题压轴常考查二次函数的性质、最值、与不等式的关系；解答题（第 23 题左右）常考查待定系数法求解析式、与系数的关系、最值综合，压轴题（第 24~25 题）常结合几何图形、动点问题考查综合应用。考生需熟练掌握各考点核心方法，多练变式题，提升数形结合与分类讨论能力，做到举一反 三。
考向 01二次函数图象与性质
题型 1 二次函数的性质
1、对于二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
形状：抛物线； 对称轴：直线 x  ；顶点坐标： (，) ；
b
b4ac  b2
2a
2a4a
2、抛物线的增减性问题，由 a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说 y 随 x 的增大而增大（或减小）
是不对的，必须在确定 a 的正负后，附加一定的自变量 x 取值范围；
3、当 a＞O，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a＜O，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2O26·陕西西安·模拟预测）已知抛物线? = ??2−2?? + ?−2的图象经过?(?−2,?1)，?(3−?,?2)，其中
? > 4，且当? < 0时，y 值随 x 值的增大而增大，下列说法正确的是（ ）
A．?1 < ?2 < −2B．−2 < ?2 < ?1
C．−2 < ?1 < ?2D．?2 < ?1 < −2
【答案】D
【分析】先对抛物线配方得到对称轴和顶点坐标，根据已知增减性判断开口方向，再计算两点到对称轴的距离，结合开口向下抛物线的性质比较函数值大小即可．
【详解】解：∵? = ??2−2?? + ?−2 = ?(?−1)2−2，
∴抛物线对称轴为直线? = 1，顶点坐标为(1,−2)，顶点纵坐标为−2，
∵当? < 0时，?随?的增大而增大，? < 0在对称轴? = 1左侧，
∴抛物线开口向下，? < 0，
∵开口向下时抛物线顶点为最高点，
∴抛物线上所有非顶点的点纵坐标都小于−2，
设点 A，B 到对称轴的距离分别为?1和?2，
∵? > 4，
∴?1 = |(?−2)−1| = |?−3| = ?−3，?2 = |(3−?)−1| = |2−?| = ?−2，
∵?2−?1 = (?−2)−(?−3) = 1 > 0，
∴?2 > ?1，即?点离对称轴更远，
∵抛物线开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小，
∴?2 < ?1 < −2．
2．（2O26·陕西宝鸡·一模）已知二次函数? = ??2 +?? + ?（其中?、?、?为常数，且? ≠ 0）的自变量?与函数?的对应值如下表：
则下列关于二次函数? = ??2 +?? + ?的说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向上B．函数图象的对称轴为直线? = 1
C．当? < 1时，?的值随?值的增大而减小D．当? = −1时，? < 0
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再化为顶点式，逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵? = 0时? = 3，
∴ ? = 3，
将(−2,−5)和(1,4)分别代入? = ??2 +?? + 3得
4?−2? + 3 = −5
? + ? + 3 = 4
2?−? = −4
化简得 ? + ? = 1
? = −1
解得 ? = 2
∴二次函数解析式为? = −?2 +2? + 3 = −(?−1)2 +4
∵? = −1 < 0，
∴函数图象开口向下，故选项 A 错误；
函数图象的对称轴为直线? = 1，故选项 B 正确；
∵开口向下，对称轴为直线? = 1，
∴当? < 1时，?的值随?值的增大而增大，故选项 C 错误；
当? = −1时，? = −(−1)2 +2 × (−1) + 3 = 0，即? = 0，不满足? < 0，故选项 D 错误．
3．（2O26·陕西西安·一模）如图，抛物线? = ? ?2与抛物线? = ? ?2 +??交于点?(3,?)，过点 A 作 x 轴的
12
?2
1
平行线，与两条抛物线分别交于 B、C 两点，若点 B 是??的中点，则? = （ ）
11
A．3B．3C．9D．9
2
= ? ，进而推导出? = 6?2，
2
−3
?
?
?2
?
【分析】先推导出?(−3,?)，? − ? −3,? ，得到?? = 6,?? = −3− −
【答案】A
?
…
−2
O
1
3
…
?
…
−5
3
4
O
…
?
2
∴?? = 6,?? = −3− − ? −3 = ?2，
?
?
2
∵点 B 是??的中点，
∴6 = ? ，即：? = 6?2，
?
2
将?(3,?)，代入? = ?1? ，? = ?2?2 +??，得
? = 9?1，? = 9?2 +3?
则9?1 = 9?2 +3?，
∴9?1 = 9?2 +3 × 6?2，
∴9?1 = 27?2，
1
2
∴? = 3．
?2
1
即? − ? −3,? ，
2
2
,? ，
??
∴由抛物线的对称性可知?(−3,?)，? − 2? − 3− − 2?
2
∵抛物线? = ?1? 与抛物线? = ?2?2 +??相交于点?(3,?)，
2
2? ，
12
2
2
【详解】解：抛物线? = ? ? 的对称轴为? = 0，抛物线? = ? ? +??的对称轴为? = −
2
将?(3,?)，代入? = ?1? ，? = ?2?2 +??，可得到9?1 = 9?2 +3?，则9?1 = 9?2 +3 × 6?2，即可解答．
?
4．（2O26·陕西咸阳·一模）已知二次函数? = ?(?−2)2 +9（a 为常数，且? ≠ 0）的自变量?1，?2对应的函数值分别为?1，?2，当3 < ?1 < ?2时，?1 > ?2，则下列说法错．误．的是（ ）
A．? < 0B．该函数图象的对称轴为? = 2
C．该函数有最大值，且最大值为 9D．该函数图象一定与 y 轴交于正半轴
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：∵? = ?(?−2)2 +9的对称轴为直线? = 2，顶点为(2,9)，当3 < ?1 < ?2时，?1 > ?2，
∴抛物线开口向下，即? < 0，故 A、B 正确；
∴该函数有最大值，且最大值为 9；故 C 正确；
∵? = ?(?−2)2 +9 = ??2−4?? + 4? + 9，
∴该函数图象与 y 轴交于(0,4? + 9)，
无法确定4? + 9 > 0，则该函数图象不一定与 y 轴交于正半轴，故选项 D 错误，符合题意．
5．（2O26·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线? = ?−
2
1
2
+ ?−
2
3
2
与? = −(? + ?)2−
(? + ?)2关于原点成中心对称，则代数式(? + 2)2 + (? + 2)2的值为．
37
【答案】 2
【分析】设(?,?)为? = −(? + ?)2−(? + ?)2上任一点，它关于原点成中心对称的点为(−?,−?)，根据抛物
?− 2
2
上，
代入可得−? =
−?− 2
+
3 2
−?− 2
，
1 2
整理得? = − ? + 2
3 2
− ? + 2
，
∴? = 2，? = 2或? = 2，? = 2，
37
1
3
3
1
∴(? + 2)2 + (? + 2)2 =．
，
1 2
线? = ?− 2
3 2
+ ?− 2
与? = −(? + ?) −(? + ?) 关于原点成中心对称，(−?,−?)在抛物线? =
2
2
1 2
?− 2
3 21 2
+ ?− 2上，得? = − ? + 2
3 2
− ? + 2
+
从而? = 2，? = 2或? = 2，? = 2，求解即可．
【详解】解：设(?,?)为? = −(? + ?)2−(? + ?)2上任一点，它关于原点成中心对称的点为(−?,−?)，
3 2
1
3
3
1
那么(−?,−?)在抛物线? =
1 2
1 2
?− 2
6．（2O26·广东广州·一模）老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出了这个函数的一个正确的性质：
小张：函数图象不经过第三象限；小赵：函数图象经过第一象限；
小王：当? < 2时，y 随 x 的增大而减小；小马：当? > 2时，? > 0．
请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式．
【答案】? = (?−2)2
【分析】根据增减性确定二次函数的对称轴和开口方向，再结合函数取值范围与图象经过的象限，确定顶点纵坐标和常数项的范围，即可写出符合要求的解析式．
【详解】解：∵ 当? < 2时，?随?的增大而减小，当? > 2时，? > 0，
∴ 二次函数的对称轴为直线? = ℎ，且ℎ ≥ 2，开口向上，即? > 0，
∵ 函数图象不经过第三象限，
∴ 二次函数与?轴的交点纵坐标 ≥ 0，
取? = 1，顶点纵坐标为0，则顶点坐标可为(2,0)，可得函数解析式为? = (?−2)2，
验证该函数满足所有给出的性质，符合要求，故答案为? = (?−2)2（答案不唯一）．
题型 2 二次函数图象上点的坐标特征
1、二次函数图象上的点，其横、纵坐标满足函数解析式，代入可求参数值或判断点是否在图象上；
2、利用抛物线的对称性，可求对称点的坐标（对称轴为 x=h，若点(x₁,y)在图象上，则其对称点(2h−x₁,y)也在图象上）；
3、比较图象上多点的函数值大小，可结合开口方向和对称轴，判断点到对称轴的距离，距离越近，函数值越接近最值。
1．（2O26·陕西西安·三模）已知二次函数? = ??2 +4?? + ?(? > 0)的函数图像经过?(1,4?)，?(?,?2 + 5)
两点，则?的值可能是（ ）
A．OB．−2C．2D．−3
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称性得到抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，根据完全平方公式判断出?2 +5 > 4?，则|?−(−2)| > |1−(−2)|，求解即可．
【详解】解：∵二次函数? = ??2 +4?? + ?(? > 0)，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线? = −2? = −2，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∵?2 +5−4? = (?−2)2 +1 > 0，
∴?2 +5 > 4?，
∵二次函数? = ??2 +4?? + ?(? > 0)的函数图像经过?(1,4?)，?(?,?2 + 5)两点，
∴|?−(−2)| > |1−(−2)|，解得：? < −5或? > 1．只有 2 在范围内，
即?的值可能是 2．
4?
2．（2O26·陕西榆林·二模）定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数? = ??2−4? + 3（?为常数，? ≠ 0）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”(?0,−?0)，则?的值为（ ）
34
A．4B．3C．−4D．3
【答案】A
【分析】根据“反点”定义，反点满足? = −?，代入二次函数得到关于?的一元二次方程，由“唯一反点”可知方程有唯一解，利用一元二次方程根的判别式等于0求解?即可．
【详解】解：∵“反点”坐标满足横纵坐标互为相反数，即? = −?，且“反点”在二次函数图象上，
∴将? = −?代入? = ??2−4? + 3，得:−? = ??2−4? + 3，整理得??2−3? + 3 = 0，
∵该二次函数有唯一的“反点”，
∴上述一元二次方程有两个相等的实数根，判别式? = 0，
∵? = (−3)2−4·?·3 = 9−12?，
∴令9−12? = 0，
3
解得? = 4．
【答案】2
【分析】先求得?(1,1),?(?,?2)，接着过点?作?? ⊥ ?轴于点?，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，证明
△ ???≌ △ ???(AAS)，得到?? = ?? = 1，?? = ?? = ?，那么?? = 1 + ? + 1 = ? + 2，结合?点坐标得到?2 = ? + 2，然后解方程算得答案即可．
【详解】解：∵点?、?在抛物线? = ?2上， ?、?两点的横坐标分别为 1 和?(? > 1)，
∴?? = 1
2
= 1，?? = ? ，
2
∴?(1,1),?(?,?2)，
如图所示：过点?作?? ⊥ ?轴于点?，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，
∴?? = ?? = 1,?? = ?，
∵ △ ???是等腰直角三角形，∠??? = 90°，
∴?? = ??，∠??? + ∠??? = 90°，
∵过点?作?? ⊥ ?轴于点?，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∠??? = ∠???
在△ ???和 △ ???中， ∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ?? = 1，?? = ?? = ?，
3．（2O25·上海闵行·一模）在等腰直角三角形???中，∠??? = 90°，点?、?在抛物线? = ?2上，点?在?轴上，?、?两点的横坐标分别为 1 和?(? > 1),?的值为．
∵?? = ?? + ?? + ??，
∴?? = 1 + ? + 1 = ? + 2，
∴?2 = ? + 2，
∴? = 2或? = −1，
∵? > 1，
∴? = 2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，通过构造“?型全等”三角形，结合点在抛物线上的坐标关系建立方程求解是关键．
4．（2O26·上海长宁·一模）若将抛物线? = 2(? + ?)2 +5沿?轴向左平移 2 个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在?轴上，那么?的值为．
【答案】−2
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为 O 求解．
【详解】解：原抛物线? = 2(? + ?)2 +5的顶点坐标为(−?,5)．
沿 x 轴向左平移 2 个单位后，新抛物线的解析式为? = 2(? + ? + 2)2 +5，顶点坐标为 (−?−2,5)．因为顶点落在 y 轴上，
所以横坐标−?−2 = 0，解得? = −2．
故答案为：−2．
5．（2O26·安徽合肥·一模）已知抛物线? = ??2 +?? + ?（?，?，?是常数，?? ≠ 0，且? > 0）的最小值是
−1．
(1)若该抛物线的对称轴为直线? = 2，并且经过点(−1,8)，求抛物线对应的函数表达式．
(2)若直线? = ?? + ?经过抛物线? = ??2 +?? + ?的顶点．
①求抛物线的顶点坐标；
②?(?−4,?1)，?(?,?2)是抛物线上的两点，且?1 > ?2，求?的取值范围．
【答案】(1)? = ?2−4? + 3
(2)①抛物线的顶点坐标为(−1,−1)；②? < 1
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点为(2,−1)，设顶点式? = ?(?−2)2−1，再将点(−1,8)代入求 a 的值即可；
顶点纵坐标公式
（2）①根据二次函数的性质可得顶点为 − 2? ,−1 ，将 − 2? ,−1 代入? = ?? + ?得到一个关系式，再结合
4??−?2
??
4?
= −1，联立求解即可；
②将?(?−4,?1)，?(?,?2)代入抛物线解析式，利用?1 > ?2解不等式即可．
2
?
∴ −2? = −1，
∴ 抛物线的顶点坐标为(−1,−1)；
②设抛物线对应的函数表达式为? = ?(? + 1)2−1，
∴ ?1 = ?(?−4 + 1)2−1，?2 = ?(? + 1)2−1，
?1−?2 = [?(?−4 + 1)2−1]−[?(? + 1) −1]，
= ?(?−3)2−?(? + 1)2 = 8?(1−?)．
∵ ?1 > ?2，
∴ 8?(1−?) > 0，
∵ ? > 0，
∴ 1−? > 0，
∴ ? < 1．
∴ ? = 2?，
?
4?
4?⋅ −1 −?2
∴ 2 = −1，
= −1，
4?
∵
?
+? = −1，
?
− 2?
?
把 − 2? ,−1 代入? = ?? + ?，得? ⋅
化简，得? = 2−1，
4??−?2
?
∴二次函数的顶点为 − 2? ,−1 ，
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为(2,−1)，
设抛物线对应的函数表达式为? = ?(?−2)2−1，把(−1,8)代入，可得8 = 9?−1，
解得? = 1，
∴ 抛物线对应的函数表达式为? = (?−2)2−1 = ?2−4? + 3；
（2）解：①∵抛物线? = ??2 +?? + ?的最小值是−1，
考向 02二次函数与系数的关系
题型 3 二次函数与系数的关系
1、核心三要素：a（开口方向、开口大小）、b（对称轴位置，与 a 符号相关：ab＞O，对称轴在 y 轴左侧； ab＜O，对称轴在 y 轴右侧；b=O，对称轴为 y 轴）、c（与 y 轴交点纵坐标，c＞O 交正半轴，c＜O 交负半轴，c=O 过原点）；
2、关键代数式：a+b+c（x=1 时的函数值）、a−b+c（x=−1 时的函数值）、4a+2b+c（x=2 时的函数值）、4a−2b
（x=−2 时的函数值）；
3、判别式Δ=b²−4ac：Δ＞O，抛物线与 x 轴有两个交点；Δ=O，有一个交点；Δ＜O，无交点。
1．（2O26·四川泸州·一模）如图，二次函数? = ??2 +?? + ?的图象经过?(2,0)，对称轴是直线? = −1，下列说法正确的是（ ）
?? > 0B．2? + ? = 0C．9?−3? + ? < 0D．3? + ? > 0
【答案】C
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴求2?与 ?的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键；
由抛物线的开口方向判断?的正负，由抛物线与?轴的交点判断?与 0的关系，然后根据对称轴? = −1计算 2? + ?与 0的关系；再由与?轴的交点个数判断根的判别式，进而对所得结论进行判断.
【详解】解：A.抛物线开口向上，? > 0，抛物线交?轴的负半轴，故? < 0，则?? < 0，故 A 选项不正
确，不符合题意；
B. 抛物线对称轴是直线? = −1，则−2? = −1，则? = 2?，故?−2? = 0，则 B 选项不正确，不符合题意；
C. 二次函数? = ??2 +?? + ?的图象经过?(2,0)，对称轴是直线? = −1，则另一个交点坐标为(−4,0)，则当
? = −3时，? = 9?−3? + ? < 0，故 C 选项正确，符合题意；
D.当? = 1时，则? + ? + ? < 0，由于? = 2?，代入后得3? + ? < 0，故 D 错误，不符合题意.
?
2．（2O26·江苏宿迁·一模）如图，抛物线? = ??2 +?? + ?的对称轴是直线? = 1，其中抛物线图像与 x 轴负半轴交点横坐标−1 < ? < 0，则以下五个结论中，正确的有（ ）
①??? > 0；②2? + ? = 0；③?2 > 4??；④4? + 2? + ? > 0；⑤3? + ? > 0．
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】由图象可知：抛物线? = ??2 +?? + ?的开口向下，则? < 0，与 y 轴交于正半轴，即? > 0，对称
轴为直线? = −2? = 1，则有? = −2? > 0，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：抛物线? = ??2 +?? + ?的开口向下，则? < 0，与 y 轴交于正半轴，即? > 0，
?
对称轴为直线? = −2? = 1，则有? = −2? > 0，
∴??? < 0，故①错误；2? + ? = 0，故②正确；
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴?2−4?? > 0，即?2 > 4??，故③正确；
由图象可知当? = 0时，则有? = ? > 0；当? = −1时，则? = ?−? + ? < 0，由? = −2?可得? = ?−(−2?)
+? = 3? + ? < 0，故⑤错误；
∴根据二次函数的对称性可知：当? = 0和? = 2时，其对应的函数值相等，
∴当? = 2时，? = 4? + 2? + ? > 0，故④正确；综上所述：正确的结论有②③④共 3 个．
?
3．（2O26·贵州黔南·一模）如图，二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象与?轴交于点?(3,0)，与?轴交于点?，对称轴为? = 1，有下列四个结论：①4?−2? + ? > 0；②3? + 2? > 0；③??2 +?? ≥ ? + ?；④若
8
−3 < ? < −2，则−4 < ? + ? + ? < −3，其中正确结论的个数为（ ）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】由图象可知：开口向上，即? > 0，对称轴为直线? = −2? = 1，即? = −2? < 0，根据二次函数的
对称性可知：二次函数与 x 轴的另一个交点坐标为(−1,0)，? < 0，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
?
【详解】解：由图象可知：开口向上，即? > 0，对称轴为直线? = −2? = 1，即? = −2? < 0，
∴当? = 1时，y 有最小值，即为?min = ? + ? + ?，
∴当 x 为任何值，都有??2 +?? + ? ≥ ? + ? + ?，即??2 +?? ≥ ? + ?，故③正确；
∵二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象与?轴交于点?(3,0)，与?轴交负半轴于点?，对称轴为? = 1，
∴根据二次函数的对称性可知：二次函数与 x 轴的另一个交点坐标为(−1,0)，? < 0，则由图象可知：当? = −2时，? = 4?−2? + ? > 0，故①正确，
?
当? = 3时，则有? = 9? + 3? + ? = 0，
由? = −2?可得：9?−6? + ? = 0，即3? + ? = 0，
∴3? + 2? = 3? + ? + ? = ? < 0，故②错误；
∵−3 < ? < −2，3? + ? = 0，
2
∴−3 < −3? < −2，即3 < ? < 1，
∵? = −2?，? = −3?，
∴? + ? + ? = ?−2?−3? = −4?，
∵3 < ? < 1，
2
∴−4 < −4? < −3，即−4 < ? + ? + ? < −3，故④正确；
综上所述：①③④正确，共有 3 个．
88
4．（2O26·江苏徐州·一模）函数? = ??2 +?? + ?图像的大致位置如图所示，则??，??，2? + ?，(? + ?)2−
?2，(? + ?)2−?2，等代数式的值中，正数有（ ）
个B．3 个C．1 个D．2 个
【答案】C
【分析】根据函数的开口方向以及与坐标轴交点位置、对称轴位置判断函数值符号，确定?,?,?及相关代数式的符号．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与?轴交于负半轴，
∴ ? < 0，? < 0；，
?
∵对称轴? = −2?在?轴右侧，
∴ −2? > 0，即? > 0；
∴ ?? < 0，?? < 0；
?
由图可知对称轴? = −2? < 1，且? < 0，
∴ −? > 2?，即2? + ? < 0；
当? = 1时，? = ? + ? + ? > 0，当? = −1时， ? = ?−? + ? < 0；
∴ (? + ?)2−?2 = (? + ? + ?)(? + ?−?) = (? + ? + ?)(?−? + ?) < 0；
∵ ? + ? + ? > 0，? < 0，
∴ ? + ?−? = (? + ? + ?)−2? > 0，
?
∴ (? + ?)2−?2 = (? + ? + ?)(? + ?−?) > 0；综上所述，正数只有(? + ?)2−?2这 1 个．
5．（2O26·辽宁抚顺·一模）已知二次函数? = ??2 +?? + ?的图象开口向上，与?轴交于(−2,0)和(3,0)，则下列关系正确的是（ ）
A．? > 0，? > 0，? > 0B．? > 0，? < 0，? < 0
C．? > 0，? > 0，? < 0D．? > 0，? < 0，? > 0
【答案】B
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】解： ∵ 二次函数? = ??2 +?? + ?的图象开口向上，与?轴交于(−2,0)和(3,0)，
∴ ? > 0，对称轴为直线? = −=
?−2+3
1
2?22
=
> 0，关于?的一元二次方程??2 +?? + ? = 0的两根为?1
= −2，?2 = 3，
∴ ? < 0，?1?2 = ? = (−2) × 3 = −6 < 0，
∵ ? > 0，
∴ ? < 0．
?
6．（2O26·辽宁抚顺·一模）二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的部分图象如图所示，对称轴为直线? = 1且经
2
过点(2,0)．现有下列说法：①??? < 0；②−2? + ? = 0；③??2 +?? + ? > 0的解集是−1 < ? < 2
1
；④4
1
? + 2? > ?
(?? + ?)
（?为任意实数）．其中正确的是（填序号）．
【答案】①②③
【分析】先根据抛物线开口向下、与 y 轴的交点位于 y 轴正半轴? < 0，? > 0，再根据对称轴可得? > 0，
由此可判断说法①；将对称轴? = 进行化简得到? = −?，代入二次函数中，即? = −??2 +?? + ?，将点
1
2
(2,0)代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点(−1,0)，结合图象
得到当−1 < ? < 2，??2 +?? + ? > 0，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案．
【详解】解：∵由图可知，开口向下，即? < 0，对称轴在?轴右侧，即? > 0，与?轴交于正半轴，即
? > 0，
∴??? < 0，故①符合题意；
12
∴4? + ? + ? > ? ? + ?? + ?，即? + ? + ? > ? ? + ?? + ?，
2
11
2
1
2
2
2
2
∵当? = 2， 2? + 2? + ? = ? ? + ?? + ?，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意；
综上，符合题意的有：①②③．
1
1 2
1
4242
11
1
1
∵假设 ? + ? > ?(?? + ?)（?为任意实数），即 ? + ? > ?2? + ??，
2
∴当? = 时，二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)有最大值，
1
∴与?轴另一个交点为 2 × 2−2,0 ，即(−1,0)，
∴由图象可知??2 +?? + ? > 0的解集为−1 < ? < 2，故③符合题意；
1
∵由图可知，开口向下，对称轴为直线? = 2，
1
2
∵二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)对称轴为直线? = ，且经过点(2,0)，
?
∴? = −2? = 2，即? = −?，
∴二次函数? = ??2 +?? + ?可化简为? = −??2 +?? + ?，
∵二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)经过点(2,0)，
∴将(2,0)代入? = −??2 +?? + ?，得−4? + 2? + ? = 0，即−2? + ? = 0，故②符合题意；
1
1
∵对称轴为直线? = 2，
1
7．（2O26·山东临沂·模拟预测）二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图像如图所示，对称轴为? = 1，与 x 轴
负半轴交于(−0.5,0)，下列结论①??? > 0；②3? + ? > 0；③??2
根；④4? + 5? > 0；其中正确的个数为．
1
+?? + ? + 2 = 0
有两个不相等的实数
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．正确读图，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
根据二次函数的图像和性质，逐一分析即可．
【详解】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为? = 1，与 y 轴交于正半轴
∴? < 0，? = −2? > 0，? > 0，
∴??? < 0，故①错误；
②∵二次函数与 x 轴交于(−0.5,0)，且对称轴为? = 1，
∴与 x 轴另一个交点为(2.5,0)，
将? = 3代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)
得：? = 9? + 3? + ?
将? = −2?代入，得? = 3? + ?，
由图像可知，3? + ? < 0，故②错误；
③将??2 +?? + ? + 1 = 0变形得：??2 +?? + ? = − ，
2
1
2
1
由图像可知，二次函数与直线? = −2一定有两个交点，
1
∴方程??2 +?? + ? = − 一定有两个不相等的实数根，故③正确；
2
④将(−0.5,0)代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)
1
得：4?−2? + ? = 0
整理得：?−2? + 4? = 0
将? = −2?代入，得5? + 4? = 0(1)，将? = 1代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)得：? = ? + ? + ? > 0
将? = −2?代入，得? = −? + ? > 0(2)，
（1）+（2）得：4? + 5? > 0，故④正确；所以正确的个数为 2 个，
故答案为：2．
1
考向 03二次函数与方程、不等式的关系
题型 4 二次函数与最值
1、顶点式最值：将解析式化为 y=a(x−h)²+k（a≠O），当 a＞O 时，x=h 时，y 有最小值 k；当 a＜O 时，x=h时，y 有最大值 k；
2、区间最值：当自变量 x 有取值范围时，需分三种情况讨论：①对称轴在区间左侧，函数在区间上单调增减；②对称轴在区间右侧，函数在区间上单调增减；③对称轴在区间内，最值为顶点纵坐标；
3、注意：实际应用中，最值需结合自变量的实际意义取舍（如长度、人数不能为负）。
1．（2O26·陕西宝鸡·一模）已知抛物线? = −?2−4? + ?（?为常数，−5 ≤ ? ≤ ?−5），当? = −5时，?取得最小值，当? = −2时，?取得最大值，则?的取值范围是（）
A．3 ≤ ? ≤ 6B．−5 ≤ ? ≤ 0C．−3 ≤ ? ≤ 0D．? ≥ 6
【答案】A
【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据最值位置确定区间端点的范围，解不等式得到 m 的取值范围．
【详解】对抛物线配方得：? = −?2−4? + ? = −(? + 2)2 + (? + 4)，
∵ ? = −1 < 0，
∴抛物线开口向下，对称轴为? = −2，在? = −2处取得最大值，
∵−5 ≤ ? ≤ ?−5，且? = −2时?取得最大值，
∴−2 ≤ ?−5，解得 ? ≥ 3，
又∵ ? = −5时?取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，? = −5到对称轴
? = −2的距离为|−5−(−2)| = 3，因此区间右端点?−5到对称轴的距离不超过 3，即：
|(?−5)−(−2)| ≤ 3化简得|?−3| ≤ 3，解得 0 ≤ ? ≤ 6，
取两个不等式的交集得3 ≤ ? ≤ 6，故选：A．
2．（2O26·陕西西安·三模）已知二次函数? = ??2 +??−3?，当−4 ≤ ? ≤ 0时函数值 y 有最大值 1，且函数图象向右平移 3 个单位后经过坐标原点，则 b 的值为（ ）
21124
B．−2C．−2或5D．−5或 1
【答案】C
【分析】由二次函数图象平移的规律得? = ?(?−3)2 +?(?−3)−3?，由经过原点得? = 1?，由抛物线的对称
2
轴为直线? = −1，①当? > 0时，②当? < 0时，由二次函数的最值即可求解．
【详解】解：二次函数向右平移 3 个单位长度后，得? = ?(?−3)2 +?(?−3)−3?，
∵平移后的二次函数经过原点，
∴?(0−3)2 +?(0−3)−3? = 0，
解得? = 2?，
∵? = −2? = −2? = −1，
∴二次函数? = ??2 +??−3?的对称轴为直线? = −1，
①当? > 0时，
∵当−4 ≤ ? ≤ 0时，函数值 y 有最大值 1，−1−(−4) > 0−(−1)，
∴当? = −4时，?最大 = 1，
∴16?−4?−3? = 1，
1
?2?
将? = 2?代入得：16?−3?−4? = 13?−4? = 2 ?−4? = 2? = 1，
1
13
5
2
解得? = 5；
②当? < 0时，
∵当−4 ≤ ? ≤ 0时，函数值 y 有最大值 1，
∴当? = −1时，?最大 = 1，
∴?−?−3? = 1，
将? = 2?代入得：?−3?−? = −2?−? = −?−? = −2? = 1，
1
解得? = −2，
12
综上，b 的值为−2或5．
1
3．（2O26·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数? = ?2 +?? + ?2−?（?为常数）的图象经过点(0,6)，其对称轴在?轴左侧，则该二次函数的最小值为．
15
【答案】 4
【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出?的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的?的值，最后计算二次函数的最小值即可．
【详解】解：二次函数? = ?2 +?? + ?2−?中，? = 1 > 0，因此二次函数开口向上，有最小值．
∵ 二次函数图象经过点(0,6)，
∴ 将? = 0,? = 6代入解析式得：?2−? = 6，整理得?2−?−6 = 0，
解得? = 3或? = −2．
?
∵ 对称轴在?轴左侧，二次函数对称轴公式为? = −2?，
∴ ? = − 2 < 0，解得? > 0，
因此? = −2舍去，得? = 3．
将? = 3代入二次函数解析式得：? = ?2 +3? + 32−3 = ?2 +3? + 6，
?
配方得? = (? + 2 ) + 4 ，
3 2
15
15
因此该二次函数的最小值为 4 ．
2
4．（2O25·江苏淮安·一模）二次函数? = 1?2−?? + ? + 3的顶点为?，则点?到直线? = 10的距离的最小值为
．
13
【答案】 2
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．先求出二次函数图象顶点的纵坐标，然后即可表示出点?到直线? = 10的距离，再根据二次函数的性质，即可求得点?到直线? = 10的距离的最小值．
13
∴ 当? = 1时，点 P 到直线? = 10的距离取得最小值 2 ，
13
故答案为： 2 ．
13
2
1
= 2(?−1) + 2 ，
2?+6−?2
∴ 点 P 到直线? = 10的距离为：10−2
2
，
2?+6−?2
2
=
1
4×
2
∴ 该函数顶点的纵坐标为：
1
4× (?+3)−(−?)2
1
2
【详解】解： ∵ 二次函数? = ?2−?? + ? + 3，
5．（2O26·山东枣庄·一模）已知，二次函数? = −?2 +?? + ?−1（?为常数）的图象经过点?(−1,?)，?(5,?)
两点．
求二次函数的表达式及顶点坐标；
若点?(2,−3)先向下平移 6 个单位长度，再向右平移?(? > 0)个单位长度后，恰好落在? = −?2
+?? + ?−1的图象上，求?的值；
当? ≤ ? ≤ 5时，?有最大值 7，最小值−2，求?的取值范围．
【答案】(1)? = −?2 +4? + 3，顶点坐标为(2,7)
(2)4
(3)−1 ≤ ? ≤ 2
【分析】（1）先根据已知条件求得抛物线的对称轴，进而可求得 b，可得表达式和顶点坐标；
先求出点 P 平移后的点的坐标，然后把坐标代入（1）中表达式求解，即可解答；
根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数? = −?2 +?? + ?−1（?为常数）的图象经过点?(−1,?)，?(5,?)两点，
−1+5
∴该函数的对称轴为直线? =2
= 2，则−2×(−1) = 2，
?
解得? = 4，
∴该二次函数的表达式为? = −?2 +4? + 3，
当? = 2时，? = −22 +4 × 2 + 3 = −4 + 8 + 3 = 7，
∴顶点坐标为(2,7)；
（2）解：点?(2,−3)先向下平移 6 个单位长度，再向右平移?(? > 0)个单位长度后的坐标为(2 + ?,−9)，将(2 + ?,−9)代入? = −?2 +4? + 3中，得−9 = −(2 + ?)2 +4(2 + ?) +3，
解得? = 4或? = −4（舍去），故 m 的值为 4；
（3）解：由（1）知，该二次函数的对称轴为直线? = 2，顶点坐标为(2,7)，开口向下，又当? ≤ ? ≤ 5时，?有最大值 7，最小值−2，
∴当? = 2时，?取最大值 7，
∵当? = 5时，? = −52 +4 × 5 + 3 = −25 + 20 + 3 = −2，
又点(5,−2)关于对称轴对称的点的坐标为(−1,−2)
∴−1 ≤ ? ≤ 2．
6．（2O26·海南省直辖县级单位·一模）已知二次函数? = −?2 +?? + ?（?，?为常数）的图象经过(−1,2)，(
5,2)．
求该二次函数的解析式；
当0 ≤ ? ≤ 3时，求?的取值范围；
当0 ≤ ? ≤ ?时，?的最大值和最小值的和为17，求?的值．
【答案】(1)二次函数的解析式为? = −?2 +4? + 7
(2)?的取值范围为7 ≤ ? ≤ 11
(3)?的值为1或 5 +2
【分析】（1）将点(−1,2)，(5,2)代入? = −?2 +?? + ?，即可求出?、?的值，得出结果；
根据自变量取值范围和对称轴位置，判断出函数最值的情况，即可得出结果；
对?的取值范围进行分类讨论，根据函数的最值情况得出?的取值即可．
【详解】（1）解：将点(−1,2)，(5,2)代入? = −?2 +?? + ?，
2 = −(−1)2−? + ?
得方程组
2 = −52 + 5? + ? ，
? = 4
解得 ? = 7 ，
∴二次函数的解析式为? = −?2 +4? + 7，
（2）解：二次函数? = −?2 +4? + 7的对称轴为? = 2，
当0 ≤ ? ≤ 3时，? = 2时，函数取最大值，此时? = −22 +4 × 2 + 7 = 11，当? = 0时，函数取最小值，此时? = −02 +4 × 0 + 7 = 7，
∴?的取值范围为7 ≤ ? ≤ 11．
（3）解：对?的取值范围进行分类讨论，当0 < ? < 2时：
? = 0时，函数取最小值，得???? = −02 +4 × 0 + 7 = 7，
? = ?时，函数取最大值，得???? = −?2 +4? + 7，若?的最大值和最小值的和为17，
得−?2 +4? + 7 + 7 = 17，
解得? = 1或? = 3（舍去）；
当2 ≤ ? ≤ 4时：
? = 0时，函数取最小值，得???? = −02 +4 × 0 + 7 = 7，
? = 2时，函数取最大值，得???? = −22 +4 × 2 + 7 = 11，此时?的最大值和最小值的和为18，与题意不符；
当4 < ?时：
? = 2时，函数取最大值，得???? = −22 +4 × 2 + 7 = 11，
? = ?时，函数取最小值，得???? = −?2 +4? + 7，若?的最大值和最小值的和为17，
得−?2 +4? + 7 + 11 = 17，
解得? = 5 +2或? = − 5 +2（舍去）；综上，?的值为1或 5 +2．
题型 5 抛物线与 x 轴交点问题
1、交点求法：令 y=0，解一元二次方程 ax²+bx+c=0，根即为交点横坐标；
2、交点个数：由判别式Δ=b²–4ac 判断（Δ＞0：2 个交点；Δ=0：1 个交点；Δ＜0：无交点）；
3、交点距离：若交点为（x₁,0）、（x₂,0），则距离为：|?1−?2| =
?
(?1 + ?2) −4?1?2，结合韦达定理?1 +
2
= −?、?1?2 = ?计算。
?
1．（2O26·福建泉州·一模）已知二次函数? = (?2 + 1)?2 +?? + ?的图象与 x 轴交于(?1,0)、(?2,0)两点，且
?1 < ?2．若点?(?,?)在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当? < 0时，? < 0B．当? > 0时，? > ?2
C．当? > 0时，? < ?1D．当? < 0时，?1 < ? < ?2
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与 x 轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性．
【详解】解：∵ 对任意实数 a，?2 ≥ 0，
∴ ?2 +1 > 0，即该二次函数抛物线开口向上，
∵ 抛物线与 x 轴交于(?1,0)、(?2,0)，且?1 < ?2，
∴ 根据开口向上抛物线的性质，可得：
当? < 0时，?1 < ? < ?2；当? > 0时，? < ?1或? > ?2，
∵ 点?(?,?)在抛物线上，即? = ?，
∴ 当? < 0时，?1 < ? < ?2，当? > 0时，? < ?1或? > ?2．
对于选项 A：当? < 0时，?1 < ? < ?2，而? < 0不一定成立，故该选项错误，不符合题意；对于选项 B：当? > 0时，? < ?1或? > ?2，故该选项错误，不符合题意；
对于选项 C：当? > 0时，? < ?1或? > ?2，故该选项错误，不符合题意；对于选项 D：当? < 0时，?1 < ? < ?2，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．（2O26·陕西渭南·一模）已知二次函数? = ??2 +?? + 4（a、b 为常数，且? ≠ 0），当? < 1时，y 随 x 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
A．该函数图象的对称轴为直线? = 1B．该函数图象与 x 轴只有一个交点
C．该函数图象的最大值不可能是 4D．? < 0，? < 0
【答案】C
【分析】先根据二次函数的增减性得到开口方向和对称轴的范围，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵二次函数? = ??2 +?? + 4中，当? < 1时，?随?的增大而增大，
∴抛物线开口向下，即? < 0，且对称轴? = −2? ≥ 1，因此对称轴不一定为? = 1，故 A 错误；
由−2? ≥ 1，? < 0，
不等式两边同乘2?得−? ≤ 2?，整理得 ? ≥ −2?，
∵? < 0，
∴−2? > 0，可得? > 0，故 D 错误；
该函数的判别式Δ = ?2−4 × ? × 4 = ?2−16?，
∵?2 ≥ 0，? < 0，
∴ −16? > 0，
∴ ? = ?2−16? > 0，
∴函数图象与?轴有两个交点，故 B 错误；二次函数的最大值为顶点纵坐标，即
?
?
4??−?2
4?
=
16?−?2
4?
?2
= 4−4?，
∵? < 0，? > 0，
∴−4? > 0，
?2
∴4−4? > 4，即最大值一定大于4，不可能是4，故 C 正确．
?2
3．（2O26·河南周口·模拟预测）已知抛物线? = ?2−??−3与?轴交于?，?两点，且?? = 4，则?的值为
（ ）．
A． ± 2B．−2C．4D． ± 4
【答案】A
【分析】设 A、B 两点的横坐标分别为?1，?2，利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形，用?的关系式表示出??，从而求出?的值．
【详解】解：设 A、B 两点的横坐标分别为?1，?2，当? = 0时，得方程?2−??−3 = 0，
判别式Δ = (−?)2−4 × 1 × (−3) = ?2 +12 > 0，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，?1 + ?2 = − 1 = ?，?1?2 = −3，
∴(?1−?2)2 = (?1 + ?2) −4?1?2 = ? +12，
∵?? = |?1−?2| = 4，
∴?2 +12 = 16，解得? =± 2．
−?
2
2
4．（2O26·安徽合肥·一模）已知二次函数? = −?2 +?? + ?的图象与?轴一个交点横坐标为?(? ≠ 0)．
（1）?−? = ；
若抛物线顶点纵坐标大于4，则?的取值范围是．
?
?
∴2 +1 > 2或2 +1 < −2，
解得? > 2或? < −6，由（1）得?−? = 1，
∴? = ?−1，
∴?−1 > 2或?−1 < −6，
∴? > 3或? < −5．
> 4，
?
由题意得： 2 + 1
2
，
?
2 + 1
2
?2
= 4 +? + 1 =
−4(?+1)−?
−4
2
（2）抛物线? = −? +?? + ? + 1顶点纵坐标为
2
> 4，然后代入求不等式即可．
【详解】解：（1）代入? = ?可得−?2 +?? + ? = 0，即−?(?−?−1) = 0，
∵? ≠ 0，
∴?−?−1 = 0，
∴?−? = 1；
2
?
2 + 1
?2
= 4 +? + 1 =
−4(?+1)−?2
（2）求出顶点纵坐标−4
【分析】（1）代入? = ?可得−?2 +?? + ? = 0，即−?(?−?−1) = 0，然后两边同时除以?即可；
? > 3或? < −5
1
【答案】
5．（2O26·江苏无锡·模拟预测）二次函数? = ?2−(2? + 1)? + ? + 7与?轴交于?，?两点，且点?(1,0)在线段??上，则?的取值范围为．
【答案】? ≥ 7
【分析】根据二次函数与?轴的交点，得4?2−27 > 0，根据点?(1,0)在线段??上，即?1 ≤ 1 ≤ ?2，则
(?1−1)(?2−1) ≤ 0，展开整理可得7−? ≤ 0，解出?，即可．
【详解】解：∵二次函数? = ?2−(2? + 1)? + ? + 7与?轴交于?，?两点，
2
∴? > 0，即 −(2? + 1) −4 × 1 × (? + 7) > 0，
整理得：4?2−27 > 0，
设?(?1,0)、?(?2,0)且?1 < ?2，
由韦达定理得：?1 + ?2 = −? = 2? + 1，?1?2 = ? = ? + 7；
∵点?(1,0)在线段??上，即?1 ≤ 1 ≤ ?2，
∴(?1−1)(?2−1) ≤ 0，
展开可得：?1?2−(?1 + ?2) +1 ≤ 0，
∴? + 7−(2? + 1) +1 ≤ 0，
∴7−? ≤ 0，
∴? ≥ 7，
当? ≥ 7时，?2 ≥ 49，
∴4?2 ≥ 196，
∴4?2−27 ≥ 196−27 = 169 > 0，? > 0恒成立，
∴?的取值为：? ≥ 7，故答案为：? ≥ 7．
?
?
6．（2O26·江苏连云港·模拟预测）已知二次函数? = ?2 +2(? + 1)? + 3?2−2? + 3，a 为常数．
若该二次函数的图像顶点在 x 轴上，求 a 的值；
求证：无论 a 为何值，该函数的顶点在函数? = 2?2 +8? + 8的图像上；
当0 < ? < 3时，求该函数图像的顶点纵坐标 y 的取值范围是．
【答案】(1)? = 1
见解析
0 ≤ ? < 8
【分析】（1）该二次函数的图像顶点在 x 轴上，则方程?2 +2(? + 1)? + 3?2−2? + 3 = 0与?轴只有一个交点，利用判别式为 O 解答即可；
（2）先配方求出原二次函数的顶点坐标，将顶点横坐标代入给定函数，计算得到的纵坐标与顶点纵坐标比较，即可证明结论；
（3）由（2）可知，该函数图像的顶点纵坐标? = 2?2−4? + 2 = 2(?−1)2，根据二次函数的性质解答即
可．
【详解】（1）解： 令? = 0得：?2 +2(? + 1)? + 3?2−2? + 3 = 0，
判别式Δ = 2(? + 1) −4 × 1 × (3?2−2? + 3) = 4?2 +8? + 4−12?2 +8?−12 = −8?2 +16?−8，
∵ 该二次函数的图像顶点在 x 轴上，
∴ −8?2 +16?−8 = 0，解得? = 1；
（2）证明：由题意得：? = ?2 +2(? + 1)? + 3?2−2? + 3 = (? + ? + 1)2 +2?2−4? + 2，
∴ 该二次函数的顶点坐标为(−?−1,2?2−4? + 2)，
将顶点横坐标? = −?−1代入函数? = 2?2 +8? + 8得：
? = 2(−?−1)2 +8(−?−1) +8 = 2(?2 + 2? + 1)−8?−8 + 8 = 2?2−4? + 2，因此，无论 a 为何值，该函数的顶点都在函数? = 2?2 +8? + 8的图像上；
（3）解：由（2）可知，该函数图像的顶点纵坐标? = 2?2−4? + 2 = 2(?−1)2，
∴ 函数? = 2(?−1)2的顶点坐标为(1,0)，
∴ 在0 < ? ≤ 1上，?随?的增大而减小，在1 < ? < 3上，?随?的增大而增大，
∴ ? = 1时，?有最小值，最小值为? = 0，当? = 0时，? = 2，
当? = 3时，? = 2 × (3−1)2 = 8，
∴ 函数? = ?2 +2(? + 1)? + 3?2−2? + 3图像的顶点纵坐标 y 的取值范围是0 ≤ ? < 8．
2
7．（2O26·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2 +??−5?（a，b 为常数，? < 0）的对称轴是直线? = 2，与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左边），与 y 轴交于点 C．
(1)求证：该抛物线的顶点在第一象限； (2)若该抛物线经过点?(2,9)．
①求此抛物线的表述式；
②点?(?1,?)，?(?2,?)为抛物线图象上的两个动点，若|?1−?2| ≥ 8，求 t 的取值范围．
(3)在抛物线上有两点(?−2,?1)和(?,?2)，若?1 > ?2，求 m 的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)①? = −?2 +4? + 5；②? ≤ −7
(3)? > 3
【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线? = 2，可得? = −4?，可得? = ?(?−2)2−9?，由抛物线顶点为 (2,−9?)，即可得到抛物线的顶点在第一象限；
（2）①把?(2,9)代入? = ?(?−2)2−9?即可得到解析式；②由交点的含义可得?2−4? + ?−5 = 0，可得?1
+ ?2 = 4，?1?2 = ?−5，进一步计算|?1−?2|，再进一步建立不等式解题即可；
（3）由离对称轴直线? = 2越近，值越大，离对称轴直线? = 2越远，值越小．结合抛物线上有两点
(?−2,?1)和(?,?2)，且?1 > ?2，再建立不等式解题即可．
【详解】（1）解：∵抛物线? = ??2 +??−5?（a，b，c 为常数，? < 0）的对称轴是直线? = 2，
?
∴−2? = 2，
∴? = −4?，
∴? = ??2−4??−5?，
∴? = ?(?−2)2−9?
∴抛物线的顶点为(2,−9?)，
∵? < 0，
∴−9? > 0，
∴该抛物线的顶点在第一象限．
（2）解：①将(2,9)代入? = ?(?−2)2−9?，得−9? = 9，
∴? = −1，
∴此抛物线的表达式为? = −(?−2)2 +9 = −?2 +4? + 5．
②根据题意，得−?2 +4? + 5 = ?，
∴?2−4? + ?−5 = 0，
∴?1 + ?2 = 4，?1?2 = ?−5
∴|?1−?2| =(?1−?2)2 =(?1 + ?2)2−4?1?2 =42−4(?−5) ≥ 8，
∴? ≤ −7．
解：∵? < 0，
∴抛物线开口向下．
∵抛物线的对称轴是直线? = 2，
∴离对称轴直线? = 2越近，值越大，离对称轴直线? = 2越远，值越小．
∵抛物线上有两点(?−2,?1)和(?,?2)，且?1 > ?2，
∴|2−? + 2| < |2−?|，
∴(4−?)2 < (2−?)2，解得：? > 3．
题型 6 二次函数与不等式
1、数形结合：ax²+bx+c＞0（或＜0），对应抛物线在 x 轴上方（或下方）的 x 取值范围，结合开口方向和
交点坐标求解；
2、边界处理：不等号含“=”时，需包含交点横坐标；不含“=”时，排除交点横坐标；
3、与一次函数结合：解 ax²+bx+c＞kx+b（或＜0），即求抛物线在直线上方（或下方）的 x 取值范围。
1．（2O25·云南·模拟预测）若关于?的一元二次方程??2−6?? + 3 = 0有两个实数根，则?的取值范围为
（ ）
1111
A．? < 3B．0 < ? ≤ 3C．0 ≤ ? ≤ 3D．? < 0或? ≥ 3
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的定义，一元二次方程??2 +?? + ? = 0(? ≠ 0)的根与Δ =
?2−4??有如下关系：当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当
Δ < 0时，方程无实数根．
若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ = ?2−4?? ≥ 0，建立关于?的不等式，求出?的取值范围．由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为0这个隐含条件．
【详解】解： ∵ 关于?的一元二次方程??2−6?? + 3 = 0有两个实数根，
∴ Δ = ?2−4?? = 36?2−12? ≥ 0，
1
解得：? ≤ 0或? ≥ 3，
又∵ ? ≠ 0，
1
∴ ? < 0或? ≥ 3．
故选：D．
2．（2O25·浙江·二模）关于?的函数?1 = −?2 +2? + 3，?2 = ??−? + 4，?3 = −?? + ? + 4，当? < ? < 1
时，?2 < ?1．若?3 < ?1，则（）
A．−? + 2 < ? < 1B．? + 2 < ? < 1C．1 < ? < −? + 2D．1 < ? < ? + 2
【答案】C
【分析】本题考查抛物线的图象性质，一次函数图象性质，根据交点确定不等式的解集，数形结合思想的应用是解题的关键．
先根据解析式得抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线? = 1，再得出直线?2 = ??−? + 4、
?3 = (?−1)? + 5−?都经过定点(1,4)根据当? < ? < 1时，?2 < ?1，求得? = 1−?，从而得出?3 = (?−1)? + 5−?，抛物线与直线?2 = ??−? + 4的交点坐标为(?,??−? + 4)，求得抛物线与直线?3 = (?−1)? + 5−?的另一交点横坐标为2−?，根据?3 < ?1，利用数形结合思想即可求解．
【详解】解：∵?1 = −? +2? + 3 = −(?−1) +4
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线? = 1，把? = 1代入?2 = ??−? + 4，得?2 = 4，
2
2
∴直线?2 = ??−? + 4经过定点(1,4)，
∵当? < ? < 1时，?2 < ?1．
∴抛物线与直线?2 = ??−? + 4的交点横坐标为 m，
设抛物线与直线?2 = ??−? + 4的交点坐标为(?,??−? + 4)，把(?,??−? + 4)代入?1 = −?2 +2? + 3，得
??−? + 4 = −?2 + 2? + 3
解得：? = 1−?或? = 1（舍去），
∴? = 1−?
∴?3 = −?? + ? + 4 = −(1−?)? + 1−? + 4 = (?−1)? + 5−?
把? = 1代入，得?3 = 4
∴?3 = (?−1)? + 5−?经过定点(1,4)，
设抛物线与直线?3 = (?−1)? + 5−?的交点坐标为(?,(?−1)? + 5−?)，把(?,(?−1)? + 5−?)代入?1 = −?2 +2? + 3，得
(?−1)? + 5−? = −?2 + 2? + 3
化简得：?2 + (?−3)? + 2−? = 0，解得：? = 2−?或? = 1
∴抛物线与直线?3 = (?−1)? + 5−?的另一交点横坐标为2−?，
∵?3 < ?1，
∴1 < ? < 2−?．故选：C．
3．（2O25·浙江台州·二模）已知二次函数? = ?2 +?? + ?过点?(?1,?1)，?(?1 + ?,?2)，?(?1 + 2?,?3)三点．记? = ?2−?1，? = ?3−?2，则下列判断正确的是（ ）
A．若?−? > 2，则? < −1B．若?−? < 2，则? > 1
C．若? > 1，则?−? > 2D．若? < 1，则?−? < 2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图像上的点的特征，不等式，解题的关键是将对应点代入，计算并化简得到
?−? = 2?2．根据题意求出 m 和 n，再计算?−?，再分别分析各选项即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：
? = ?2−?1
= [(?1 + ?)2 + ?(?1 + ?) + ?]−(?12 + ??1 + ?)
= (?1 + ?)2 + ?(?1 + ?)−?12−??1
= ?2 +2??1 +??，
? = ?3−?2
= [(?1 + 2?)2 + ?(?1 + 2?) + ?]−[(?1 + ?)2 + ?(?1 + ?) + ?]
= (?1 + 2?)2 + ?(?1 + 2?) + ?−(?1 + ?)2−?(?1 + ?)−?
= 3?2 +2??1 +??，
∴ ?−? = (3?2 + 2??1 + ??)−(?2 + 2??1 + ??) = 2? ，若?−? > 2，即2?2 > 2，
∴? > 1或? < −1，
故 A 错误；
若?−? < 2，则2?2 < 2，
∴−1 < ? < 1；故 B 错误；
若? > 1，则?−? = 2?2 > 2，故 C 正确；
若? < 1时，例如? = −1时，即?−? = 2?2 = 2，故 D 错误；故选：Ｃ．
2
4．（2O26·安徽阜阳·一模）已知抛物线? = ??2−2?? + ?(? < 0)过点(3,0)，则当? > 0时，自变量?的取值范围是（ ）
A．? < −1B．−1 < ? < 3C．1 < ? < 3D．? < −1或? > 3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点(3,0)，利用对称性确定另一交点(−1,0)，结合开口向下判断? > 0时?的取值范围．
【详解】∵抛物线? = ??2−2?? + ?(? < 0)的对称轴为? =
∴ 由对称性，抛物线过点(−1,0)，
∵ ? < 0，
∴ 抛物线开口向下，
∴ 当? > 0时，?的取值范围是−1 < ? < 3，
− 2?
−2?
= 1，且过点(3,0)，
故选：B．
【答案】? < 0或? > 2
【分析】先求得?,?的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的?的取值范围．
【详解】解：令? = 0，可得?=−3，
3
∴ ?(0,−3)，
3
令? = 0，可得0 = 2?−3，解得? = 2，
∴ ? 2 ,0 ，
3
由图可得关于 x 的不等式??2 +?? + ? > 2?−3即??2 + (?−2)? + ? + 3 > 0的解集为? < 0或? > ．
3
2
5．（2O26·四川广安·二模）如图，一次函数? = 2?−3的图象与二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象交于点?、?，且点?在?轴上，点?在?轴上，则关于?的不等式??2 + (?−2)? + ? + 3 > 0的解集为．
6．（2O25·湖北武汉·三模）已知抛物线? = ??2 +?? + ?经过(−1,?)，(0,3)，(2,?)三点(0 < ? < 3)．下列
四个结论：①? + ? = 0；②若不同两点?(?,?1)，?
1
2 −?,?2 在此抛物线上，则?1 = ?2；③若(−3,?)是抛
【答案】①③④
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系等知识．根据相关知识逐项进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线? = ??2 +?? + ?经过(−1,?)，(0,3)，(2,?)三点(0 < ? < 3)．
1
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为? = −2? =
∴? + ? = 0；故①正确；
?
−1+2
2
= 2，? = 3
∵不同两点?(?,?1)，? 2 −?,?2 在此抛物线上，且不关于直线? = 2对称，
∴?1 ≠ ?2；故②错误，
∵(−3,?)是抛物线上的一点，
11
物线上的一点，则关于?的方程?(? + 1)2 +?(? + 1) +3−? = 0的两根为?1 = 3，?2 = −4；④关于?的不等式??2 +?? < (3−?)?的解集是? < −1或? > 0．其中正确结论的序号是．
∴? = 9?−3? + 3，
∵? = −?，
∴? = 12? + 3
∴关于?的方程?(? + 1)2 +?(? + 1) +3−? = 0为?(? + 1)2−?(? + 1)−12? = 0
∴(? + 1)2−(? + 1)−12 = 0，
解得两根为?1 = 3，?2 = −4；故③正确；
∵抛物线? = ??2 +?? + ?经过(−1,?)，
∴?−? + 3−? = 0
即??2 + (?−3 + ?)? = ?(?? + ?−3 + ?) = 0的两根为?1 = −1，?2 = 0；
∵抛物线? = ??2 + (?−3 + ?)? = ?(?? + ?−3 + ?)开口向下，
∴? = ??2 + (?−3 + ?)? < 0即关于?的不等式??2 +?? < (3−?)?的解集是? < −1或? > 0．故④正确，故答案为：①③④
2
7．（2O26·江西鹰潭·一模）如图，抛物线? = 1?2 +?? + ?交 x 轴于?(−2,0)、B 两点，交 y 轴于点?(0,−4)，
直线? = ?? + ?经过点 B， C．
求抛物线和直线??的解析式；
2
直接写出不等式1?2 +?? + ? > ?? + ?的解集；
? = −1
解得： ? = −4 ，
，
−4 = ?
2
0 = 1 × (−2)2−2? + ?
2
【详解】（1）解：∵抛物线? = ?2 +?? + ?经过?(−2,0)、?(0,−4)两点，
（2）根据直线与抛物线交于?(4,0)、?(0,−4)两点，得出结论即可．
1
法求出直线表达式即可；
1
2
【分析】（1）把?(−2,0)、?(0,−4)代入? = ?2 +?? + ?，求出抛物线表达式，再求出?(4,0)，用待定系数
(2)? < 0或? > 4
1
2
【答案】(1)直线??的解析式为? = ?−4；抛物线的解析式为? = ?2−?−4
2
2?
1
∴不等式+?? + ? > ?? + ?的解集是? < 0或? > 4．
? = 1
解得： ? = −4 ，
∴直线??的解析式为? = ?−4；
（2）解：由（1）可知，直线与抛物线交于?(4,0)、?(0,−4)两点，
，
−4 = ?
∴
解得：?1 = −2,?2 = 4，
∴ ?(4,0)，
∵直线? = ?? + ?经过点 B， C，
0 = 4? + ?
1
2
当? = 0时，0 = ?2−?−4，
1
2
∴抛物线的解析式为? = ?2−?−4；
8．（2O26·浙江衢州·一模）已知二次函数? = ??2 + (2? + 1)? + 2（常数? ≠ 0）．
(1)当? = 1时，求该二次函数图像的顶点坐标．
(2)是否存在实数?，使得对于任意实数?，当?取2 + ?和2−?时，对应的函数值始终相等？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．
当1 < ? < 2时，若? > ?始终成立，求?的取值范围．
2?+1
∴− 2? = 2，
1
解得? = −6；
= 2，
2+?+2−?
2
∴对称轴为直线? =
2?
∵对于任意实数?，当?取2 + ?和2−?时，对应的函数值始终相等，
2?+1
二次函数? = ??2 + (2? + 1)? + 2的对称轴为直线? = −，
31
∴顶点坐标为 − 2 ,− 4 ；
1
（2）解：存在，? = −6，理由如下：
1
−4，
3 2
? + 2
2
【详解】（1）解：当? = 1时，? = ? +3? + 2 =
，然后利用二次函数的性质以及不等式进行求
?2+2?
−2
（3）根据题意列出??2 + (2? + 1)? + 2 > ?，得出? >
解．
1
(2)存在，? = −6
1
(3)? ≥ −4，且? ≠ 0
【分析】（1）利用顶点解析式求顶点坐标即可；
（2）利用二次函数的对称轴进行求解；
24
31
【答案】(1) − ,−
（3）解：根据题意得，??2 + (2? + 1)? + 2 > ?，
?(?2 + 2?) > −2，
当1 < ? < 2时，?2 +2? > 0恒成立，
−2
故? > ?2+2?，
当1 < ? < 2时，?2 +2?随?的增大而增大，
∴3 < ?2 +2? < 8，
1
∴−3 < ?2+2? < −4，
∵当1 < ? < 2时，若? > ?始终成立，
1
∴? ≥ −4，且? ≠ 0．
2−2
考向 04二次函数综合应用
题型 7 二次函数的简单应用
1、常见应用场景：利润最值、拱桥/隧道模型、高度与距离、生长规律等；
2、解题步骤：①建立平面直角坐标系，设出合适的二次函数解析式；②根据题意找出已知点，代入求解析式；③根据解析式求最值、指定自变量对应的函数值，结合实际意义取舍；
3、注意：自变量的取值范围需符合实际场景（如时间、长度不能为负）。
1．（2O26·山东枣庄·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度ℎ（单位：m）与小球运动时间?（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出 3 秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③当? = 5时，ℎ = 20；④当ℎ = 35时，? = 2．其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．①②④
【答案】A
【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为(3,40)，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然后分别将? = 5和ℎ = 35代入即可判断③④．
【详解】解：①由图象得，抛物线顶点坐标为(3,40)
3 2
解得：? = 3 ± 4 ，故④错误．
综上所述，其中正确的有①②．
)2 +40，
9 (?−3
40
当ℎ = 35时，35 = −
④
9
9
200
40
当? = 5时，ℎ = −× (5−3)2 +40 =，故③错误；
)2 +40，
9 (?−3
40
∴ 函数解析式为ℎ = −
9
把?(0,0)代入得0 = ?(0−3)2 +40，解得? = − ，
∴小球抛出 3 秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故40 × 2 = 80m，故②正确；
③设函数解析式为：ℎ = ?(?−3)2 +40，
40
【答案】? = −12?2 +184?−480
【分析】先表示出租出的车辆数为18−2(?−3)辆，然后再表示每辆车的利润为(6?−20)元，再由总利润 =
车辆数× 每辆车的利润建立函数关系式即可．
【详解】解：由题意得，? = 18−2(?−3) × (6?−20)，整理得? = −12?2 +184?−480．
2．（2O26·山东青岛·一模）某无人驾驶出租汽车公司试运营，市场调研显示，当每辆车每公里租金?（元）为 3 元时，每天能租出 18 辆；每辆车每公里租金每提高 1 元，每天将少租出 2 辆．已知每辆车每天平均行驶里程为 6 公里，每辆车每天公司需支付固定成本 2O 元，则该公司每天出租汽车总利润?（元）与?的函数关系式为 ．
3．（2O26·山东青岛·一模）学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图 1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口 A 点喷出（如图 2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为 y 轴，建立如图 3 所示的平面直角坐标系，已知喷口 A 点到台面高度??为18cm，??为4cm，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为
? = ??2 +?? + 15，这滴洗手液在水平方向喷出3cm时，到台面高度为15cm．
求这滴洗手液轨迹的函数关系式；
当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口 A 点的水平距离是多少？
小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心??约为4cm，现在点 M 到喷口 A 点的水平距离为
3cm．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心??到台面的高度 h 的取值范围．
4
7
4
当洗手液恰好落到手心右端 N 时：
令? = 11，得? = − × 112 + × 11 + 15 = 4，
1
7
4
4
7
1?
∵? = − < 0，抛物线开口向下；−=
4
2?
1
2× −
− 4= 7
2
4
∴在? > 2时，y 随 x 增大而减小．
∴手心??离台面的高度 h 的范围是4 ≤ ℎ ≤ 15．
17
【答案】(1)? = − ?2 + ? + 15
17
44
8cm
4 ≤ ℎ ≤ 15
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令? = 0，解一元二次方程即可；
（3）分当洗手液恰好落到手心左端 M 和洗手液恰好落到手心右端 N 两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：由题意，抛物线过(4,18)、(7,15)两点．把(4,18)、(7,15)代入? = ??2 +?? + 15，
16? + 4? + 15 = 18
得： 49? + 7? + 15 = 15
? = − 1
解得：
? =
74
4
所以洗手液轨迹的函数关系式为? = − ?2 + ? + 15．
7
44
（2）解：令? = 0，得− ?2 + ? + 15 = 0．
17
44
解得? = 12或? = −5（舍去）．
与喷口水平距离为12−4 = 8cm．
故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离8cm的位置．
（3）解：由题意得，点 M 横坐标为? = 4 + 3 = 7，点 N 横坐标为? = 7 + 4 = 11．当洗手液恰好落到手心左端 M 时：
令? = 7，得? = − × 72 + × 7 + 15 = 15，
1
4．（2O26·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为?轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为?1 ，?2．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为32cm ，锅深为16cm，锅盖高为8cm．
【建立模型】
请求出抛物线 ?2的解析式；
求出圆弧 ?1所在圆的半径；
【应用模型】
将一个底面直径为 24cm，高度为10cm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
由题意可知，?? = 32，?? = 8，
（2）解：如图，设圆弧??的中点为点?，所在圆的圆心为点?，连接??交??于点?，连接??，设圆?的
半径为?cm，
(?−16)2−16(0 ≤ ? ≤ 32)；
16
∴抛物线?2的解析式为? =
1
?? = 32，?? = 8，则?? = ??−8，由垂径定理可得，?? ⊥ ??，?? = 2?? = 16，在Rt △ ???中，使
用勾股定理构造方程，解出圆?的半径；
（3）作组合图形的内接矩形????，且?? = ?? = 24，?? ∥ ?轴，设??交??于点?，连接??，根据垂径定理和勾股定理容易计算出?? = 16，则点?(16,4)，点?(4,4)．将? = 4代入抛物线解析式求出点? (4,−7)，因此?? = 11，由?? > 10可判断锅盖能盖上．
【详解】（1）解：根据题意，点?的坐标为(32,0)，抛物线?2的顶点坐标为(16,−16)，设抛物线?2的解析式为? = ?(?−16)2−16，
将?(32,0)代入，得，
0 = 256?−16，
1
解得? = 16，
1
圆弧 ?1所在圆的半径为20cm
锅盖能正常盖上
【分析】（1）根据题意可知，抛物线?2的顶点坐标为(16,−16)，且过点?(32,0)，使用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设圆弧??的中点为点?，所在圆的圆心为点?，连接??交??于点?，连接??，由题意可知，
16
1
【答案】(1)? =(?−16)2−16 (0 ≤ ? ≤ 32)
∴?? = ??−?? = ?−8，
∵点?为圆弧??的中点，
∴?? ⊥ ??，
1
∴?? = ?? = 2?? = 16，
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴162 + (?−8)2 = ?2，解得? = 20，
∴圆弧 ?1所在圆的半径为20cm；
（3）解：如图，矩形????是组合图形的内接矩形，且?? = ?? = 24，?? ∥ ?轴，设??交??于点?，连接??，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线? = 16对称，
∴结合图形可知，当矩形????关于直线? = 16对称时，??最大，
∵点?为圆弧??的中点，
∴?? ⊥ ??，
1
∴?? = 2?? = 12，
由（2）可知，?? = 20，?? = 8，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =202−122 = 16，
∴?? = ??−?? = 4，
∴?? = ??−?? = 4，
∴点?的坐标为(16,4)，
∵?? ∥ ?轴，?? = 12，
∴点?的坐标为(4,4)，
16
将? = 4代入? = 1 (?−16)2−16，得? = −7，
∴点?的坐标为(4,−7)，
∴?? = 4−(−7) = 11，
∵11 > 10，
∴锅盖能正常盖上．
5．（2O26·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了 5A 级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处
近似看作是由抛物线的一部分和长方形????构成，长方形的长??为12m，宽??为2m，以??所在直线为
2
5
x 轴，以??所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用? = −72? +?? + 2表示．
求抛物线的表达式和最高点 P 的坐标；
汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个AI黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为3.6m，求这两个AI摄像头之间的水平距离；
(3)直线? = ? + ?与隧道??上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点 b 的取值范围．
9
726
故最高点 P 的坐标为 6, 2 ．
2
72
72
9
5
5
由? = − (?2−12?) +2 = − (?−6)2 + ，
（2）解：根据题意，得? = − (?−6)2 + = 3.6，
5
9
72
2
整理，得(?−6)
2
9×36
= 25 ，
解得?1 = 5 ,?2 = 5 ，
故?2−?1 = 5 − 5 = 5 = 7.2(m)．
12
48
48 1236
72
【答案】(1)? = − ?2 + ? + 2，
5 5
726
6,
9
2
；
7.2m
−10