2026年中考数学二轮复习 专题17 二次函数的综合压轴题(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题17 二次函数的综合压轴题(高频考点专练)，共8页。试卷主要包含了二次函数与线段的综合问题，二次函数与相似三角形，二次函数与几何变换综合题题型九，二次函数新情景综合问题等内容，欢迎下载使用。
高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（9 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 二次函数与线段的综合问题
题型二 二次函数与线段和最值综合问题题型三二次函数与面积的综合问题
题型四二次函数与角度的综合问题
题型五二次函数与特殊三角形的综合问题题型六二次函数与特殊四边形的综合问题题型七 二次函数与相似三角形
题型八 二次函数与几何变换综合题题型九 二次函数新情境问题
实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升）
二次函数综合题是中考数学压轴核心考点，分值约 10～15 分，固定出现在试卷最后 1～2 道解答题，属于高区分度题型，侧重考查数形结合、分类讨论、方程与函数、转化化归四大数学思想，是冲刺高分与满分的关键板块。
基础知识必备：
熟练掌握二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式），能快速求解析式、顶点坐标、对称轴、最值；
精准分析二次函数与一次函数、反比例函数的图象交点，结合方程（组）求解；
掌握二次函数与几何图形（三角形、四边形、圆）的综合应用，会处理线段、面积、最值、相似、全等、动点问题；
具备分类讨论意识，能处理动点位置、函数图象位置、角度与线段关系的多情况分析。
2026 中考预测：
题型固定：以 “二次函数 + 几何动点”“二次函数 + 面积最值”“二次函数 + 存在性问题”
为核心考法，必考解析式求解 + 综合探究；
难度分层：第 1 问基础求解析式，全员得分；第 2 问中档几何计算，中等生突破；第 3 问高阶探究，尖子生拉分；
命题趋势：融合动点、折叠、旋转、相似、特殊图形判定，弱化纯计算，强化几何直观与逻辑推理，设问更具开放性与探究性。
重难知识汇总：
二次函数核心性质：对称轴、顶点坐标、开口方向、增减性、与坐标轴交点；
函数交点问题：联立解析式→解方程组→得交点坐标，结合判别式判断交点个数；
几何综合核心：线段长度、图形面积、相似三角形、特殊三角形 / 四边形判定、动点轨迹；
存在性问题：等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形存在性。
常用技巧方法：
设点坐标法：设二次函数图象上动点坐标，用坐标表示线段长度与面积；
铅垂法：快速求解二次函数背景下三角形、四边形面积最值；
分类讨论法：按角、边、位置关系分类，不重不漏；
转化法：将几何最值转化为函数最值，将几何存在性转化为方程求解。
易错避坑提效：
求解析式时忽略二次项系数不为 0；
动点问题未考虑自变量取值范围，导致增根；
分类讨论遗漏情况，如等腰三角形未分三边两两相等；
几何图形与函数图象结合时，坐标与线段长度符号混淆。
题型一二次函数与线段的综合问题
【典例 01】（2024 浙江·模拟）如图，抛物线? = ??2
8
+ 3? + ?
与 x 轴交于点 A 和点?(3.0)，与 y 轴交于点
?(0,4)，点 P 为第一象限内抛物线上的动点过点 P 作?? ⊥ ?轴于点 E，交??于点 F．
求抛物线的解析式；
当 △ ???的周长是线段??长度的 2 倍时，求点 P 的坐标；
当点 P 运动到抛物线顶点时，点 Q 是 y 轴上的动点，连接??，过点 B 作直线? ⊥ ??，连接??并延长交直线?于点 M．当?? = ??时，请直接写出点 Q 的坐标．
【答案】(1)? = −4?2
3
8
+ 3? + 4
(2)? 3 ,5
2
1
(3)? 0, 2 +
1
46
3
46
3
或 0, 2 −
【分析】（1）利用待定系数法求解；
根据直角三角形三角函数值可得
3，5
，进而可得 △ ???的周长 = ?? + ?? + ?? = 3??，
?? = 4?? ?? = 4??
4 2844
结合已知条件可得2?? = 3??，设? ?,− 3 ? + 3 ? + 4 ，则? ?,− 3 ? + 4 ，?(?,0)，从而可得方程3 × − 3 ? + 4
2
4
= 2 × − 3 ?
+ 4? ，解方程即可；
8
3
8
3
先求出? 1,
，? 1,
，设?(0,?)，过点 M 作?? ⊥ ?轴于点 N，通过证明△ ??? △ ≌??? (AAS)，
16
3
求出?(3 + ?,3)，再求出直线??的解析式为? = 3−?
，将点? 1,
代入解析式求出 n 的值即可．
8
3+?? + ?
【详解】（1）解：将?(3.0)，?(0,4)代入? = ??2
+ 3? + ?，
32 ⋅ ? + 8 × 3 + ? = 0
可得3，
? = 4
? = − 4
解得 ? = 43 ，
∴ 抛物线的解析式为
4?28；
? = −
3
+ 3? + 4
（2）解： ∵ ?(3.0)，?(0,4)，
∴ ?? = 3，?? = 4，
4
∴ tan∠??? = 3，
∴ ?? =
3??，?? =
4
5??，
4
∴ △ ???的周长 = ?? + ?? + ?? = 3??，
∵ △ ???的周长是线段??长度的 2 倍，
∴ 2?? = 3??，
设直线??的解析式为? = ?? + ?，
将?(3.0)，?(0,4)代入可得
? = − 4
3? + ? = 0
? = 4，
解得3 ，
? = 4
4
∴ 直线??的解析式为? = −? + 4，
3
4 284
设? ?,− 3 ? + 3 ? + 4 ，则? ?,− 3 ? + 4 ，?(?,0)，
44?2844 2
∴ ?? = −? + 4，?? = −+ ? + 4− − ? + 4 = −? +4?，
33333
44 2
∴ 3 × − 3 ? + 4= 2 × − 3 ? + 4? ，
3
2
2
解得?1 = ，? = 3（舍），
∴ −
4?2
3
84
+ ? + 4 = −
33
×
28
3
2
3
2
+ 3 ×
+4 = 5，
2
∴ ? 3 ,5；
（3）解： ∵ ? = −4?2 + 8? + 4 = −4(?−1)2 + 16
3333 ，
16
∴ 当? = 1时，y 取最大值 3 ，
16
3
∴ ? 1,，
4
∵ 直线??的解析式为? = −? + 4，
3
4
∴ 当? = 1时，? = −
3
8
× 1 + 4 = 3，
8
3
∴ ? 1,，
设?(0,?)，过点 M 作?? ⊥ ?轴于点 N，
由题意知∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
又∵ ∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ △ ??? △ ≌??? (AAS)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?(3 + ?,3)，
设直线??的解析式为? = ?′? + ?，则?′(3 + ?) +? = 3，
3+?，
解得?′ = 3−?
∴ 直线??的解析式为? =
3−?
，
? + ?
3+?
8
3
将点? 1,
3−?8
代入，得3+? +? = 3，
46
3
46
3
解得11
? = 3 +
或? = −，
3
1
∴ ? 0, 3 +
1
46
3
46
3
或 0, 3 −．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三
角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式 01】（20245•揭东区一模）如图，Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半
轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线 y = 2?2 + bx+c 经过 B 点，
3
且顶点在直线 x = 5上．
2
求抛物线对应的函数关系式；
若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；
在（2）的前提下，若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N．设点 M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l．求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M的坐标．
【分析】（1）已知了抛物线上 A、B 点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
首先求出 AB 的长，将 A、B 的坐标向右平移 AB 个单位，即可得出 C、D 的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
根据 C、D 的坐标，易求得直线 CD 的解析式；那么线段 MN 的长实际是直线 BC 与抛物线的函数值的差，可将 x＝t 代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为 l 的表达式，由此可求出 l、t 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出 l 取最大值时，点 M 的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线 y = 2?2 + bx+c 的顶点在直线 x = 5上，
32
25 2
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为 y = 3(?− 2 ) + m
∵点 B（0，4）在此抛物线上，
25 2
∴4 = 3 × (− 2 ) + m
∴m = −1
6
25 2 1
2 2 10
∴所求函数关系式为：y = 3(?− 2 )
− = ?
63
−x+4
3
在 Rt△ABO 中，OA＝3，OB＝4，
??2 + ??2
∴AB == 5
∵四边形 ABCD 是菱形
∴BC＝CD＝DA＝AB＝5
∴C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；
当 x＝5 时，y = 2 × 52 10 × 5+4＝4
−
33
当 x＝2 时，y = 2 × 22 10 × 2+4＝0
−
33
∴点 C 和点 D 在所求抛物线上；
设直线 CD 对应的函数关系式为 y＝kx+b′，
5? + ?′ = 4
则 2? + ?′ = 0；
3
? = 4
解得：
∴y = 4
3
?′ = − 8；
3
x−
8
3
∵MN∥y 轴，M 点的横坐标为 t，
∴N 点的横坐标也为 t；
则 y = 2?2 1048
M3 − 3
t+4，yN =
t−，
33
482 2 10
2 21420
27 23
∴l＝yN﹣yM = t−
33
−（?
3
−t+4） = −?
33
+t−
33
= −(?− ) +
2
32
∵ 2
−＜0，
3
∴当 t = 7时，l
3
= ，y
= 2?2 10= 1．
2
此时点 M
最大2M
71
−t+4
332
的坐标为（
，）．
22
【点睛】此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识．
【变式 02】（2025·天津·模拟）抛物线 ? = −?² + ?? + ?与 x 轴负半轴交于点 A，且过点?(2,3)，对称轴为直线? = 1．
求抛物线的解析式；
如图 1，?是?轴上方的对称轴上一点，?? ⊥ ??交对称轴右侧的抛物线于点?．若?? = 2??，求点?的坐标；
如图 2，直线? = ??−2? + 1交抛物线于?，?两点（点?在点?的左侧），过点?作?轴的平行线，与??
??
的延长线交于点?，连接??，交抛物线于另一点?，求??的最大值．
【答案】(1)? = −?2 +2? + 3
(2)( 6,2 6−3)
11
(3) 9
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明△ ??? ∽△ ???，得到?? = ?? = ?? = 1，进而求解；
??????2
??
??
??
（3）过点?作?? ∥ ?? 交?轴于点?，则?? = ??，当直线??与抛物线有唯一公共点时，??最大，此时??取得
最大值，进而求解．
【详解】（1）解： ∵ 对称轴为?，
? = 2 = 1
∴ ? = 2，
∴ −4 + 4 + ? = 3，
∴ ? = 3，
∴ 抛物线的解析式为? = −?2 +2? + 3；
（2）解：设对称轴交?轴于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∴∠??? = ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°
∵?? ⊥ ??
∴∠??? + ∠??? = 90°
∴∠??? = ∠???
则△ ??? ∽△ ???，
??????1
∴ ?? = ?? = ?? = 2，
设?(1,?)，
由−?2 +2? + 3 = 0，解得：?1 = −1，?2 = 3，
∴ ?(−1,0)，
∴ ?? = 2．
1?
则
?? = 2?? = 2，
?? =
1?? = 1，
2
∴ ?? = ?−1，
∴ 点?的坐标为(1 +
?,?−1)，
2
∴ ?−1 = −(1 +
? )2
2
+2(1 +
?) + 3，
2
解得：? = 2 6−2或−2 6−2（舍去），
∴ 点?的坐标为( 6,2 6−3)；
（3）解：设点?，?的横坐标分别为?，?，
联立? = ??−2? + 1和抛物线的表达式并整理得：?2 +(?−2)?−2?−2 = 0，
∴ ? + ? = −? + 2，?? = −2?−2，
∴ −?? = −2(? + ?) + 6，
由?(2,3)，?(?,−?2 +2? + 3)，得??:? = −?? + 2? + 3，
∴ 当? = ? 时，?? = −?? + 2? + 3 = −2(? + ?) + 6 + 2? + 3 = −2? + 9，
∴ ?(?,−2? + 9)，
∴ 点?在直线?:? = −2? + 9上，
设直线?交?轴于点?，则 9，
?(2,0)
过点?作?? ∥ ?? 交?轴于点?，
????
则?? = ??，
??
当直线??与抛物线有唯一公共点时，??最大，此时??取得最大值，
设??的表达式为：? = −2? + ?，
联立上式和抛物线的表达式并整理得：?2−4? + ?−3 = 0，由Δ = 16−4(?−3) = 0，
解得? = 7，此时 7，
??
∴ ??
?(2,0)
1+79
=
的最大值为 2．
1+911
2
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．一次函数的解析式与性质、相似三角形的判定与性质，公式法解方程，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
【变式 03】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系???中，抛物线?1:? = ??2−6? + ?与 x 轴交于点?(1,0)和点?，与?轴交于点?(0,5)，点?是抛物线?1:? = ??2−6? + ?在?轴下方的一个动点，?? ⊥ ?轴于点?，?? ⊥ ?轴于点?，得到矩形????．
求抛物线?1:? = ??2−6? + ?的函数表达式；
设点?的横坐标为?，
①求?的取值范围；
②当矩形????是正方形时，求?的值；
将抛物线?1:? = ??2−6? + ?向右平移ℎ（ℎ > 0）个单位长度后，得到新抛物线?2，新抛物线?2与抛物线
?1的对称轴交于点?，直线??与直线??交于点?，当?? = 4??时，求ℎ的值．
【答案】(1)? = ?2−6? + 5
(2)①1 < ? < 5；②? = 5+ 5，?2 = 5− 5
122
的值为或
(3)ℎ 29 19
22
【分析】（1）把?(1,0)、?(0,5)代入? = ??2−6? + ?，解方程组求出?、?的值即可得答案；
①求出抛物线于?轴的交点坐标，即可求出?的取值范围；
②设?(?,?2−6? + 5)，根据正方形的性质得出? = −?2 +6?−5，解方程求出?值即可；
利用待定系数法求出直线??的解析式，得出?(3,2)，?(3,ℎ2−4)，分点?在点?上方和下方两种情况，证明△ ??? ∽△ ???，根据?? = 4??，分别列方程求出ℎ的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线?1:? = ??2−6? + ?与 x 轴交于点?(1,0)和点?，与?轴交于点?(0,5)，
?−6 + ? = 0
∴? = 5，
? = 1
解得： ? = 5 ，
∴抛物线?1的函数表达式为? = ?2−6? + 5．
（2）解：①∵抛物线?1的函数表达式为? = ?2−6? + 5，
∴? = 0时，?2−6? + 5 = 0，解得：?1 = 1，?2 = 5，
∴?(1,0)，?(5,0)，
∵点?是抛物线? = ?2−6? + 5在?轴下方的一个动点，点?的横坐标为?，
∴1 < ? < 5．
②设?(?,?2−6? + 5)，
∵?? ⊥ ?轴于点?，?? ⊥ ?轴于点?，
∴?? = ?，?? = −?2 +6?−5，
∵矩形????是正方形，
∴?? = ??，即? = −?2 +6?−5．
解得：?1 = 5+ 5，?2 = 5− 5．
22
（3）解：设??与抛物线?1的对称轴交于点?，直线??的解析式为? = ?? + ?，
∵?(5,0)，?(0,5)，
5? + ? = 0
∴? = 5，
解得：
? = −1
? = 5 ，
∴直线??的解析式为? = −? + 5，
∵抛物线?1的函数表达式为? = ?2−6? + 5 = (?−3)2−4，
∴对称轴为直线? = 3，
∵对于直线??，当? = 3时，? = −3 + 5 = 2，
∴?(3,2)，
∵将抛物线? = ?2−6? + 5 = (?−3)2−4向右平移ℎ个单位长度后，得到新抛物线?2，
∴抛物线?2的解析式为? = (?−3−ℎ)2−4，
对于抛物线?2，当? = 3时，? = (3−3−ℎ)2−4 = ℎ2−4，
∴?(3,ℎ2−4)，
①如图，当点?在点?上方时，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∵?? = 4??，
2
∴?? = 4??，即5 = 4(ℎ2−4−2)，解得：ℎ = 29（负值舍去）．
如图，当点?在点?下方时，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 1，
????4
∴4 2−(ℎ2−4) = 5，
2
解得：ℎ = 19（负值舍去）．综上所述：ℎ的值为 29或 19．
22
题型二 二次函数与线段和最值综合问题
【典例 01】（2024·浙江·二模）如图，二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象过?(−1,0)，?(3,0)，?(0,−3)
三点，点?是二次函数图象上一点，点?的横坐标是?，直线
1 与?轴交于点?，且0 < ? < 3．
? = 2?
求二次函数的表达式；
过点?，作?? ⊥ 直线1 于点?，作?? ⊥ ?轴于点?，并交??于点?．
? = 2?
3
①当? = 2时，求??的长；
②是否存在点?，使?? + ??最大？若存在，求出?点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)?=?2−2?−3
55
16
(2)①?? = 9；②存在，?点坐标为 7 ,−
44
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
33
（2）①求得直线??为? = ?−3，由? = ，则?( ，
15 ，?(3，
3 ，即可求得??；
2
2
22− 4 )−)
②表示出?(?,?2−2?−3)，?(?,?−3)， 1 ，?2−2?−3)，即可求得
1 ，?? = ?−3−(?2
?(2?
−2?−3) = −?2 +3?，即可得到?? + ?? = −?27
?? = 2?
7 249
(?− ) +
+ 2? = −416，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）把?(−1,0)，?(3,0)，?(0,−3)代入? = ??2 +?? + ?中得：
?−? + ? = 0
9? + 3? + ? = 0
? = −3
? = 1
解得 ? = −2 ，
? = −3
所以解析式为：?=?2−2?−3；
（2）① ∵ 点?的横坐标是?，
∴ ?的纵坐标是?2−2?−3
由?(3,0)，?(0,−3)求得直线??解析式为? = ?−3
∴ ?的纵坐标是?−3，
∴ ?? = ?−3−(?2−2?−3) = −?2 + 3?
所以当? = 3时，?? = 9
24
②存在，理由如下：
∵ 点?在直线? =
1?上，
2
1
∴ 点?的横坐标是2?
11
∴ ?? = ?− 2 ? = 2 ?
∴ ?? + ?? =
1
? + (−?2 + 3?) = −?2 + 2
7
2 ? = − ?−
249
7
4
+ 16
7
∵ 0 < ? < 3， ∴ 当? = 4时，?? + ??最大
55
16
4
∴ ?点坐标为 7 ,−．
【变式 01】（2024·天津武清·三模）已知抛物线 ? = −?2 +?? + ?（?，?为常数，? > 0）与 x 轴相交于?
(−1,0)， B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C．
若点 C 的坐标为(0,3)，求该抛物线的顶点坐标；
(2)当?? = ??时， 求 b 的值；
若点?(?−2,?)为 x 轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M 为 y 轴正半轴上的一点，过点 M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 N，连接??,??，当?? + ??的最小值为 17 时，求 b 的值．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(1,4)
2
(2)? =
(3)? = 6
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、平行四边形的性质等，确定?? + ??的最小值是解题的关键．
由待定系数法即可求解；
（2）表示出点?(0,? + 1)，令? = 0，则? = −1或? + 1，即点?(? + 1,0)，即可求解；
（3）通过作辅助线证明四边形???′?为平行四边形，得到?? + ?? = ?′? + ??′ ≥ ?′?′，即可求解．
【详解】（1）解：将点?的坐标代入抛物线表达式得：−1−? + ? = 0，则：? = ? + 1，
∴抛物线的表达式为：? = −?2 +?? + ? + 1，
把(0,3)代入? = −?2 +?? + ? + 1，得：? + 1 = 3，解得：? = 2，则抛物线的表达式为：? = −?2 +2? + 3；
抛物线的对称轴为：? = − ?
2?
2
= −
2×(−1)
= 1，
当? = 1时，? = −12 +2 × 1 + 3 = 4；则抛物线的顶点坐标为(1,4)；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：? = −?2 +?? + ? + 1，则点?(0,? + 1)，令? = 0，则? = −1或? + 1，即点?(? + 1,0)，
∵?? = ??，
则 2(? + 1) = ? + 1 + 1，
解得：? = 2；
（3）解：由（2）知，点?(? + 1,0)，点?(0,? + 1)，抛物线的表达式为：? = −?2 +?? + ? + 1，
则抛物线的对称轴为：1 ，
? = 2?
当? = ?−2时，? = −?2 +?? + ? + 1 = 3?−3，即点?(?−2,3?−3)，
作点?关于抛物线对称轴的对称点?′(2,3?−3)，将点?向右平移??
1
?，
2
则点?′ 3 ? + 1,0，
连接?′?，则四边形???′?为平行四边形，
的长度2
则?? = ?′?，
连接?′?′交抛物线对称轴于点?′、连接?′?，则?? + ?? = ?′? + ??′ ≥ ?′?′，
当?′、?、?′共线时（此时?在?′处），上式等式成立，即?? + ??的最小值为：?′?′ = 17，
即
3 ? + 1−2
2
2
+ (3?−3)2
= 172，
62
解得：? = −15（舍去）或6，
即? = 6．
【变式 02】（2024•潮南区二模）如图在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于点 A
（﹣4，0）和点 B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，经过点 A 的直线与抛物线交于点 D（﹣1，
，与 y 轴交于点 E．
求抛物线的表达式和顶点 P 的坐标；
，求点
点 F 是 x 轴下方抛物线上的一个动点，使△ADF 的面积为27
F 的坐标．
2
点 M 是线段 OA 上一动点，点 N 是线段 AE 上一动点，且 AM＝EN，请直接写出 EM+ON 的最小值为．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
由△ADF 的面积＝△GAD 的面积 = 1 × AG×y = 1 × AG×3 = 27
G（5，0），进而求解；
2D2
，得到点
2
证明△EHN≌△AEM（SAS），得到 EM+ON＝HN+ON，即可求解．
3 = ?−? + 2
【详解】解：（1）由题意得： 0 = 16?−4? + 2，
? = − 1
解得：
2
? = − 3
2
则抛物线的表达式为：y
1 2 3，
= −x −x+2
22
325
则点 P（
− ， ）；
28
由点 A、D 的坐标得，直线 AD 的表达式为：y＝x+4，则点 E（0，4），则 AE＝4 2，
过点 F 作 FG∥AD 交 x 轴于点 G，
则△ADF 的面积＝△GAD 的面积 = 1 × AG×y = 1 × AG×3 = 27
2D22 ，
解得：AG＝9， 即点 G（5，0），
直线 AD 的表达式为：y＝x+4，
∵则直线 FG 的表达式为：y＝x﹣5，
联立上式和抛物线的表达式得：x﹣5
1 2 3，
= −x −x+2
22
解得：x＝﹣7 或 2，
即点 F（﹣7，﹣12）或（2，﹣3）；
过点 E 作 EH∥x 轴且使 EH＝AE＝4 2，
则∠HEA＝∠EAB，
∵AM＝EN，
则△EHN≌△AEM（SAS），则 HN＝EM，
则 EM+ON＝HN+ON，
(4 2 )2 + 42
故当 O、N、H 共线时，EM+ON＝HN+ON＝OH 最小，
??2 + ??2
则 ON =
=
= 4 3，
故答案为：4 3．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
【变式 03】（2026·重庆巴南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2 +?? + 2(? ≠ 0)与?轴分
3
别交于?，?两点，与?轴交于点?，点?的坐标是(−4,0)，抛物线的对称轴是直线．
? = −2
求该抛物线的解析式；
若点?是位于第二象限抛物线上的一动点，过点?作?? ⊥ ?轴，垂足为?，线段??与直线??相交于点?．连
??
接??，线段??与直线??相交于点?．求当??取得最大值时点?的坐标，当线段??在?轴上滑动（线段??长
度保持不变），连接??，??，求?? + ?? + ??的最小值；
若点?是?轴左侧抛物线上的一动点，过点?作?? ⊥ ?轴，垂足为?．若∠??? = 2∠???，请直接写出所有符合条件的点?的横坐标，并写出求解点?的横坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)? = −1?2
2
3
−? + 2
2
10
??
??最大值时，点?的坐标为(−2,3)；?? + ?? + ??的最小值为2 +
点?的横坐标为−3− 73或−9− 145，见解析
44
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线??的解析式，设点?
1
?,− ?2
2
3
− ? + 2
2
(−4 < ? < 0)
1
，进而得到?(?,0)，? ?, 2 ? + 2 ，
??1 2
求出?? = −1?2−2?，证明 △ ??? ∽△ ???，得到
= ?? = − 2 ? −2? = −1?2
1(? + 2)2 +1，求
2??
??2
−? == −
44
最值即可，设滑动后?,?的对应点分别为?′,?′，将点 B 向上平移 2 个单位到点?(1,2)，进而得到四边形?′??
?′是平行四边形，推出?? + ?? + ?? = ??′ + ?′?′ + ?′? = ??′ + ?′? + 2 ≥ ?? + 2，进行求解即可；
（3）在?轴负半轴上取点?，使得?? = ??，连接??，设点?的坐标为(?,0)，在Rt △ ???中，勾股定理
41 23
(? < 0)
求出?点坐标，证明∠??? = ∠???，进而得到tan∠??? = tan∠??? = 3，设? ?,− 2 ?
− ? + 2，
2
??
根据tan∠??? = ??，列式计算即可．
3
【详解】（1）解： ∵ 点?的坐标是(−4,0)，对称轴是直线，
? = −2
∴ ?(1,0)
∵ 将点?(−4,0)，?(1,0)代入抛物线中，得
0 = 16?−4? + 2
∴0 = ? + ? + 2 ，
? = − 1
2
解得 ? = − 3 ．
2
∴ 该抛物线的解析式为
1?2 3．
? = −
2
−? + 2
2
（2）∵? = −1?2−3? + 2，当? = 0时，? = 2．
22
∴ ?(0,2)，
∴ ?? = 2，
设直线??的解析式为? = ?1? + ?1，
∵ 直线??经过点?(−4,0)，?(0,2)，
0 = −4?1 + ?1
∴
解得 ?1
2 = ?1，
= 1
2 ，
?1 = 2
∴ 直线??的解析式为? =
1? + 2，
2
1
2
设点??,− 2 ?
3
− ? + 2
2
(−4 < ? < 0)，
1
∴ ?(?,0)，? ?, 2 ? + 2 ，
∴ ?? = −1?2−2?，
2
∵ ??∥?轴，
∴ △ ??? ∽△ ???，
1 2
∴ ?? = ?? = − 2 ? −2?
1?2
1(? + 2)2 +1；
2
??
??
= −−? == −
44
1
∵ −4
< 0，
∴当? = −2
??
?的坐标为(−2,3)；
时，??有最大值；此时，点
设滑动后?,?的对应点分别为?′,?′，
将点 B 向上平移 2 个单位到点?(1,2)
∵?′? ∥ ?′?,?′? = ?′?，
∴四边形?′???′是平行四边形，
∴?? + ?? + ?? = ??′ + ?′?′ + ?′? = ??′ + ?′? + 2 ≥ ?? + 2，当且仅当?,?′,?三点共线时，?? + ?? + ??取得最小值．
∵?(−2,3)，
(1 + 2)2 + (2−3)2
∴??′ + ?′? = ?? =
= 10，
∴?? + ?? + ??的最小值为2 + 10；
（3）解：点?的横坐标为−3− 73或−9− 145，理由如下：
44
如图，在?轴负半轴上取点?，使得?? = ??，连接??，
设点?的坐标为(?,0)，则?? = −?，?? = ?? = ? + 4．在Rt △ ???中，
∵ ??2 +??2 = ??2，
∴ (−?)2 + 22 = (? + 4)2，
3
解得? = −2，
3
∴ ? − 2 ,0 ，
3
∴ ?? = 2．
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠???，
∵ ∠??? = 2∠???，
∴ ∠??? = ∠???．
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? = 4，
??3
4
∴ tan∠??? = tan∠??? = 3，
1
2
设??,− 2 ?
3
− ? + 2
2
(? < 0)，
??
在Rt △ ???中， ∵ tan∠??? = ??，
−?4
∴ |−
1 ?2−
2
3 ?+2
|
2
= 3，
解得? = −3− 73或−9− 145．
−9− 145
4
44
−3− 73
4
∴ 点?的横坐标为
或
时，∠??? = 2∠???．
题型三二次函数与面积的综合问题
【典例 01】（2024•香洲区二模）如图，抛物线
1
?2
? = −
2
3
+ ? + ?
2
与坐标轴分别交于点 A，B，C 三点，OC
＝2．点 D 为抛物线上一动点，直线 DB 与 y 轴交于点 E．
填空：c＝；
当点 D 在第一象限的抛物线上，且三角形 BCD 的面积最大时，证明：D 是 BE 的中点；
（3）当?△??? = 2时，求出所有满足条件的点 D 的坐标．
?△???
【分析】（1）OC＝2，则 c＝2，即可求解；
（2）由三角形 BCD 的面积 = 1 × OB×DH = 1 × 4×（
−
x
x+2
1 2 + 3
+ 1 ﹣2）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4
22
≤4，得到点 D（2，3），即可求解；
222
x
D
（3）当?△??? = 2时，则|x
?△???
|＝2xB＝8，即可求解．
【详解】（1）解：∵OC＝2，则 c＝2，
故答案为：2；
x+2
（2）证明：由（1）知，抛物线的表达式为：y = −1x2 + 3，
22
则点 B、C 的坐标分别为：（4，0）、（0，2），
x+2
则直线 BC 的表达式为：y = −1，
2
过点 D 作 DH∥y 轴于点 H，
x+2
−
x+2
设点 D（x，−1x2 + 3），则点 H（x， 1），
222
−
则三角形 BCD 的面积 = 1 × OB×DH = 1 × 4×（
1 2 + 3
+ 1 ﹣2）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，
x
x+2
x
22222
故当 x＝2 时，三角形 BCD 的面积最大， 此时点 D 的横坐标 x＝2，即点 D（2，3），
由点 B、D 的坐标得，直线 BD 的表达式为：y = −3（x﹣4），
2
则点 E（0，6），而点 B（4，0）， D 是 BE 的中点；
（3?△???
）解：当
?△???
= 2时，则|xD|＝2xB＝8，
即 xD＝±8，
当 x＝±8 时，y = −1 2 + 3
＝﹣18 或﹣42，
xx+2
22
即点 D（8，﹣18）或（﹣8，﹣42）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形的面积计算、二次函数的性质等，难度适中．
【变式 01】（2026·甘肃庆阳·一模）已知抛物线? = ?(? + 1)(?−4)与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点?
(0,2)．P 为第一象限抛物线上的点，连接??，??，??，??．
求抛物线的表达式；
如图 1 所示，当∠??? = 2∠???时，求点 P 的坐标；
如图 2 所示，点 D 在 y 轴负半轴上，?? = ??，点 Q 为抛物线上一点，∠??? = 90°．点 E，F 分别为△ ???
的边??，??上的动点，且?? = ??，记?? + ??的最小值为 m．
①求 m 的值；
②设△ ???的面积为 S，若? = 1?2−?，请直接写出 k 的取值范围．
4
3
【答案】(1)? = −1?2
2
+ 2? + 2；
点 P 的坐标为 2，3
①m 的值为2 17；②13 ≤ ? < 17
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
1
（2）过点 C 作?? ∥ ?轴，交 BP 于点 D，过点 P 作?? ∥ ?轴，交 y 轴于点 E，由tan∠??? = tan∠??? = 2，
????
即∠??? = ∠???，再由∠??? = 2∠???，可得∠??? = ???，证明 △ ??? ∽△ ???，可得?? = ??，设点 P
1 2 3
?
1 23
− ? + ?
22
坐标为 ?,− 2 ?
+ 2 ? + 2 ，可得4 =
2，再进行求解即可；
①作?? ⊥ ??，且使?? = ??，连接??．根据???证明 △ ???≅ △ ???，可得?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，
即 Q，F，H 共线时，?? + ??的值最小．作?? ⊥ ??于点 G，设?(? )则? ?,− 1 ?2 + 3 ? + 2 ，根据?? = ??
222
求出点 Q 的坐标，然后利用勾股定理求解即可；
11 23
②作?? ∥ ?轴，交 BC 于点 T，求出 BC 解析式，设? ?,− 2 ? + 2 ，? ?,− 2 ? + 2 ? + 2 ，利用三角形面积
公式表示出 S，利用二次函数的性质求出 S 的取值范围，结合①中结论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线? = ?(? + 1)(?−4)经过点?(0,2)，
∴2 = ?(0 + 1)(0−4)，
1
解得? = −2，
∴抛物线解析式为：
1
?2
? = −
2
+ 2? + 2；
3
（2）解：过点 C 作?? ∥ ?轴，交??于点 D，过点 P 作?? ∥ ?轴，交 y 轴于点 E，
∵?? = 1，?? = 2，?? = 4，
??1
∴tan∠??? = ?? = 2，
1
由（1）可得，tan∠??? = 2，即tan∠??? = tan∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = 2∠???，
∴∠??? = 2∠???，
∵?? ∥ ?轴，?? ∥ ?轴，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
1 23
1 23
1 23
设点 P 坐标为 ?,− 2 ?
+ ? + 2 ，则?? = ?，?? = −?
2
2
+ ? + 2−2 = −?
22
+ ?，
2
解得：? = 0（舍去），? = 2，
∴点 P 坐标为(2,3)；
（3）解：①如图 2，作?? ⊥ ??，且使?? = ??，连接??，
∵∠??? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，
∴Q，F，H 共线时，?? + ??的值最小，作?? ⊥ ??于点 G，
∵?? = ??，∠??? = 90°，
∴∠??? = 45°，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = 45°，
∴?? = ??．
设?(?,0)，则? ?,− 1 ?2 + 3 ? + 2 ，
∴−
1?2
2
22
+ 3? + 2 = 4−?，
2
解得? = 1或? = 4（舍去），
∴?(1,3)，
∴?? = ?? = 4−1 = 3，
∴?? = ?? = 3 2?? = 5 2，
∴? = ?? = 3
2
2
2
+ 5
2
= 2 17；
②如图 3，作?? ∥ ?轴，交??于点 T，
1
∵BC 解析式为? = −? + 2，
2
11 23
设? ?,− 2 ? + 2 ，? ?,− 2 ? + 2 ? + 2 ，
则? =
− 1 ?2
1
2
2
+ 3 ? + 2 +
2
1
2
2 ?−2 × 4 = −(?−2)
+4，
∵点 P 在第一象限，
∴0 < ? ≤ 4，
∴0 < 1?2−? ≤ 4，
4
∴13 ≤ ? < 17．
【变式 02】（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数? = −?2 +?? + ?的图像与?轴交于?(−1,0)、?(3,0)两点
（点?在点?的左边），与?轴交于点?．
求这个二次函数的表达式；
如图 1，设抛物线的顶点为?点，连接??，点?是线段??上的动点，点?为抛物线对称轴上一动点，连接
??、??，求?? + ??的最小值；
如图 2，连接??，点?为直线??上方抛物线上一动点，连接??、??，??交??于点?．设点?的横坐标为
?，?
= ? ，?
= ? ，? = ?1．
△???
1△???2
?2
①求?与?的函数关系式，并写出?的取值范围；
②当?的值取最大时，求点?的坐标．
【答案】(1)? = −?2 +2? + 3
5
(2)8 5
3
2
3
2
15
4
2
3(0 < ? < 3)
1
3
(3)①? = −
?−+ 4
；②?,
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键．
将点 A、B 的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点?的坐标，对称轴，由点?(3,0)，?(−1,0)关于抛物线对称轴? = 1
对称，连接??，则?? = ??，则?? + ?? = ?? + ??，过?作?? ⊥ ??于?，此时线段??的长就是?? + ??的
最小值，利用sin∠??? = ?? = ?? 即可求解；
????
（3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得? = ?1 = ?△??? = ??，过点?作?? ∥ ?轴交直线??于点?，可
?2
?△???
??
????3
得?? = ??，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当?取值最大时，? = 2，进而可求点?坐标.
−1−? + ? = 0
【详解】（1）解：依题意得 −9 + 3? + ? = 0
? = 2
解得 ? = 3
∴ 这个二次函数的表达式为? = −?2 +2? + 3
解： ∵ ? = −?2 +2? + 3 = −(?−1)2 +4，
∴ ?(1,4)，
(3−1)2 + 42
∴?? == 2 5，
∵ 点?(3,0)，?(−1,0)关于抛物线对称轴? = 1对称，连接??，则?? = ??，
∴ ?? + ?? = ?? + ??
要使?? + ??的值最小，则?? + ??值最小，当点?、?、?在同一直线上满足条件．过?作?? ⊥ ??于?，
∵ 点?、?均为动点
∴ 此时线段??的长就是?? + ??的最小值．
????
∵sin∠??? = ?? = ??，
??4
2 5
∴ 4 =，
8
5 5
∴?? =
解：① ∵ ?1 = ?△??? = ??，
?2
?△???
??
??
∴? = ??，
令? = 0，则? = −?2 +2? + 3 = 3，
∴ 点?(0,3)，
设直线??的解析式为? = ?? + ?，
3? + ? = 0
则? = 3，解得
? = −1
? = 3 ，
∴ 直线??的解析式为? = −? + 3，
过点?作?? ∥ ?轴交直线??于点?，如图，
设??,−?2 + 2? + 3，则??2−2?,−?2 + 2? + 3，(0 < ? < 3)
∴ ?? = ?−(?2−2?) = −?2 +3?，又?? = 3，
∵ ?? ∥ ?轴， ∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
??
−?2+3?
123
∴ ?? =
3= −3 ?−
+ 4，
3
2
∵ ? = ?1 = ??，
?2??
1
3
∴ ? = −?−
23
3
2
+ 4 (0 < ? < 3)
1
② ∵ −3
< 0，
3
∴ 当?取值最大时，? = 2，
?3 2315
? = −( 2 ) +2 × 2 +3 = 4 ，
15
4
2
∴? 3 ,.
【变式 03】（2026·河北廊坊·一模）抛物线?1：? = −??2−2?? + 3?（m 为常数，? > 0）交 x 轴于 A，B
两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，顶点为点 P．
如图 1，若点 C 的坐标为(0,3)．
①求抛物线?1的函数解析式及点 P 的坐标；
②过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，与直线??交于点 M，求??的长；
设点 B 到直线??的距离为? ，点 P 到直线??的距离为? ，ℎ = ?1，判断 h 是否为定值，如果是，求出 h
12?2
的值；如果不是，说明理由；
如图 2，将抛物线?1绕点?(0,0)旋转180°，得到抛物线?2，抛物线?2与 y 轴交于点 F，抛物线?1，?2相交于 D，E 两点，若四边形????的面积为18 3，直．接．写出 m 的值．
【答案】(1)①? = −?2−2? + 3，?(−1,4)；②?? = 2
h 为定值，2
m 的值为 3
【分析】（1）①将(0,3)代入? = −??2−2?? + 3?求出? = 1，即可得到抛物线?1的解析式；然后配方成顶点式即可求出点 P 的坐标；
②首先求出?(−3,0)，然后利用待定系数法求出直线??的函数解析式为? = ? + 3，然后求出?(−1,2)，进而求解即可；
（2）首先求出?? = 3，?? = 1，?? = 4，?? = 3?，直线??的函数解析式为? = ?? + 3?，然后求出
sin∠??? = ?? = ?，然后得到?? = 2?，分别过点 P，B 作??的垂线，垂足为 G，H，则?? = ?1，?? =
cs∠?????
? ，解直角三角形表示出? ，? ，然后代入ℎ = ?1求解即可；
212
?2
（3）作直线??，得到抛物线?1和抛物线?2关于原点对称，推出?? = ?? = 3?，?? = ??，四边形????为平行四边形，设点??,−??2−2?? + 3?，则点?−?,−??2 + 2?? + 3?，联立求出?? = 3，进而求解即可．
【详解】（1）解：①∵点 C 的坐标为(0,3)，
∴代入? = −??2−2?? + 3?得，3? = 3，解得? = 1，
∴抛物线?1的解析式为? = −?2−2? + 3；
∴? = −?2−2? + 3 = −(? + 1)2 +4，
∴点?(−1,4)；
②∵抛物线?1的解析式为? = −?2−2? + 3
∴当? = 0时，0 = −?2−2? + 3
解得?1 = −3，?2 = 1，
∴?(−3,0)．
设直线??的函数解析式为? = ?? + ?，
将?(−3,0)，?(0,3)代入解析式得，
−3? + ? = 0
? = 3
? = 1
解得 ? = 3 ，
∴直线??的函数解析式为? = ? + 3，当? = −1时，? = 2，
∴?(−1,2)，
∴?? = 4−2 = 2；
解：h 为定值 2；
∵抛物线?1：? = −??2−2?? + 3?
∴当? = 0时，−??2−2?? + 3? = 0，解得?1 = −3，?2 = 1，
∴?(−3,0)，?(1,0)．
∴?? = 3，?? = 1，?? = 4
又∵?(0,3?)，
∴?? = 3?
∴直线??的函数解析式为? = ?? + 3?．
????
在Rt △ ???中，cs∠??? = ??，sin∠??? = ??，
∴sin∠??? = ?? = ?．
cs∠?????
∵抛物线?1的对称轴为直线? = −1，
∴?(−1,4?)，?(−1,2?)，
∴?? = 2?．
如图 1，分别过点 P，B 作??的垂线，垂足为 G，H，则?? = ?1，?? = ?2．
在Rt △ ???和Rt △ ???中，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???．
在Rt △ ???中，?1 = ?? ⋅ sin∠??? = 4sin∠???，
在Rt △ ???中，?2 = ?? ⋅ cs∠??? = 2? ⋅ cs∠???，
∴ℎ = ?1 = 2 ⋅ sin∠??? = 2，为定值；
?2? cs∠???
解：如图 2，作直线??，
∵将抛物线?1绕点?(0,0)旋转180°，得到抛物线?2
∴抛物线?1和抛物线?2关于原点对称
∴?? = ?? = 3?，?? = ??，
∴四边形????为平行四边形．
设点??,−??2−2?? + 3?，则点?−?,−??2 + 2?? + 3?，
∴可得直线??的解析式为? = −2??，
3
联立直线??和抛物线的?1解析式，得−??2−2?? + 3? = −2??，解得?? = 3（负值舍去）．
∴?
△???
= 1 ⋅ (3? + 3?) ⋅
2
= 3 3?，
∴四边形????的面积为6 3?，即6 3? = 18 3，解得? = 3．
题型四二次函数与角度的综合问题
【典例 01】（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线? = −1?2 +?? + ?
2
与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴的正半轴交于 C 点，且?(4,0)，?? = 4 2．
求抛物线的解析式；
如图 1，点 P 是抛物线在第一象限内的一点，连接??,??，过点 P 作?? ⊥ ?轴于点 D，交??于点 K．记
△ ???， △ ???的面积分别为?1，?2，求?1−?2的最大值；
如图 2，连接??，点 E 为线段??的中点，过点 E 作?? ⊥ ??交 x 轴于点 F．抛物线上是否存在点 Q，使
∠??? = 2∠???？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)? = −1?2 +? + 4
2
3
(2)8
2
(3)存在，?1 1−3 5 ,
−5−3 5
4
−77+11 69
4
或?2 13− 69 ,
2
【分析】（1）先求?点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
2
1
（2）求出??的解析式，设? ?,− 2 ?
+ ? + 4 ，则：?(?,−? + 4),?(?,0)，将?1−?2转化为二次函数求
最值即可；
（3）易得??垂直平分??，设?? = ?，勾股定理求出?点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出
∠??? = ∠??? = ∠???，分别作点?关于?轴和直线??的对称点?1,?2，直线??1，??2与抛物线的交点即为
所求，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵?(4,0)，
∴?? = 4，
∵∠??? = 90°,?? = 4 2，
??2−??2
∴?? == 4，
∴?(0,4)，
把?(4,0)，?(0,4)，代入函数解析式得：
? = 4
? = 4
∴ − 1 × 42 + 4? + ? = 0 ，解得： ? = 1 ；
2
1
∴? = −?2
2
+? + 4；
（2）∵?(4,0)，?(0,4)，
∴设直线??的解析式为：? = ?? + 4(? ≠ 0)，把?(4,0)，代入，得：? = −1，
∴? = −? + 4，
2
1
设? ?,− 2 ?
+ ? + 4 ，则：?(?,−? + 4),?(?,0)，
1
∴?? = −?2
2
1
?
+? + 4 + ?−4 = −
2
2 +2?，?? = −? + 4，?? = 4−?，
11
∴? = ?? ⋅ ?? = −?2 +4?,?
1(−? + 4)(4−?) = 1(4−?)2，
12
∴?1−?2
2 = 2?? ⋅ ?? = 22
= −?2 +4?−1(4−?)2
2
3?2
= − 2 + 8?−8
= −3 ?−
2
8
∴当? =
28
8
3
+ 3，
8
? −?
3时， 12的最大值为3；
（3）存在：
令? = −1?2 +? + 4 = 0，
2
解得：?1 = −2,?2 = 4，
∴?(−2,0)，
∵?(0,4)，点?为??的中点，
∴?(−1,2)，
(−1 + 2)2 + 22
∵?? ⊥ ??，?? = ?? == 5，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
设?? = ?，则：?? = ?? = ? + 2，
在Rt △ ???中，由勾股定理，得：?2 + 42 = (? + 2)2，
∴? = 3，
∴?(3,0)，?? = 5，
∵?? ⊥ ??，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
①取点?关于?轴的对称点?1，连接??1，交抛物线与点?1，则：∠?1?? = 2∠??? = 2∠???，?1(−1,−2)，设??1的解析式为：? = ?1? + ?，
3?1 + ? = 0
?1 = 2
1
则： −?1 + ? = −2 ，解得： ? = − 3 ，
2
13
∴? = 2?−2，
? = 1 ?− 3
? = 3 5+1
1−3 5
? =
2222
−5−3 5
联立 ? = − 1 ?2 + ? + 4 ，解得：
2
? = 3 5−5 （舍去）或
4
? =
，
4
∴?1
1−3 5 ,
−5−3 5
4
；
2
②取?关于??的对称点?2，连接??2交??于点?，连接??2交抛物线于点?2，则：∠?2?? = 2∠??? = 2∠???，?? ⊥ ??，
∵?? = 5,?? = 5，
??2−??2
∴?? == 2 5，
11
∵?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??，
5
∴5?? = 2× 5，
∴?? = 2，
??2−??2
∴?? == 4，
过点?作?? ⊥ ?轴，则：
416
312
?? = ?? ⋅ sin∠??? = 4 × 5 = 5 ，?? = ?? ⋅ cs∠??? = 4 × 5 = 5 ，
3
∴?? = ??−?? = 5，
16
5
5
∴? 3 ,，
∴?2
11 ,
22
5
，
5
设直线?2?的解析式为：? = ?2? + ?1，
3?
+ ? = 0
? = − 11
2
212
1122
5
则： ?2 + ?1 =
，解得：
5
?1
= 33 ，
2
1133
∴? = − 2 ? + 2 ，
? = − 11 ? + 33
? = 69+13
? =
13− 69
222 2
−11 69−77
联立 ? = − 1 ?2 + ? + 4 ，解得：
2
? =
4
（舍去）或
? = −77+11 69 ， 4
∴?2
13− 69 ,
−77+11 69
4
；
2
−5−3 5
4
−77+11 69
4
2
2
综上：?1 1−3 5 ,或?2 13− 69 ,．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
【变式 01】（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线? = ??2 +?? + ?与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中?(−1,0)，?(3,0)，?(0,−3)．
求抛物线的解析式；
若点 P 是抛物线上异于点 A 的点，且△ ???的面积与△ ???的面积相等，求出点 P 的坐标；
若点 Q 在抛物线上，且满足∠??? = ∠???，请直接写出点 Q 的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为? = ?2−2?−3
点 P 的坐标为(4,5)
7
4
2
点 Q 的坐标为(4,5)或 5 ,−
【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设直线 ?? 为 ? = ?? + ? ，代入 ?(3,0) ，?(0,−3) ，求得直线 ?? 的解析式为 ? = ?−3 ，要使
?△??? = ?△??? ，点 ? 必在过点 ? 且平行于 ?? 的直线 ?1 上，或者在与 ?1 关于 ?? 对称的直线 ?2
上，分两种情况讨论即可；
（3）设??,?2−2?−3，∠??? = ?，由题意可知tan∠??? = ?? = 1，作?? ⊥ ?轴于 M 则?? = |?|，?? =
|(?2−2?−3)−(−3)| = |?2−2?|， △ ???
??
= 2
??
3
??1
= ，分两种情况讨论即可．
中直角边满足??
或，??2
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)，由题意知抛物线经过?(−1,0)，?(3,0)，?(0,−3)，
0 = ?−?−3? = 1
则 0 = 9? + 3?−3 解得 ? = −2 ，
∴抛物线的解析式为? = ?2−2?−3；
（2）解：设直线 ?? 为 ? = ?? + ? ，
代入 ?(3,0) ，?(0,−3) ，解得 ? = 1,? = −3 ，
∴ 直线 ?? 的解析式为 ? = ?−3 ，
要使 ?△??? = ?△??? ，点 ? 必在过点 ? 且平行于 ?? 的直线 ?1 上，或者在与 ?1 关于 ?? 对称的直线
?2 上，
情况一：点 ? 必在过点 ? 且平行于 ?? 的直线 ?1 上，过点 ?(−1,0) 作 ?? ∥ ??
设直线 ?? 为 ? = ? + ?1
代入 ?(−1,0) 得 0 = −1 + ?1⇒?1 = 1
∴ 直线 ?? 的解析式为 ? = ? + 1
? = ? + 1
联立直线 ?? 与抛物线： ? = ?2−2?−3
解得? = −1或 4，当? = 4时，? = 5，则?(4,5)，
情况二：在与 ?1 关于 ?? 对称的直线 ?2 上，
则直线 ?2的解析式为 ? = ?−3− 1−(−3) = ?−7，
2
? = ?−7
联立直线 ?2抛物线： ? = ?2−2?−3 ，即?
−3? + 4 = 0，
Δ = (−3)2−4 × 1 × 4 = −7 < 0，方程无解，
∴点 ? 的坐标为 (4,5)；
（3）解：设??,?2−2?−3，∠??? = ?，
由题意可知tan∠??? = ?? = 1，
??3
作?? ⊥ ?轴于 M 则
?? = |?|，?? = |(?2−2?−3)−(−3)| = |?2−2?|
∵∠??? = ∠???，
且∠??? = 45°，∠?1??1 = 45° + ?，∠?2??2 = 45°−?，
∴ △ ???中直角边满足
?1?1?2?21
tan∠? ?? == 2或，tan∠? ?? == ；
11??122??22
①
?1?1 = 2
??1
?5
?2−2? = 2，解得? = 0(舍) 或? = 2，
代入得
? =
2
5
2
−2 ×
5−3 = −，
7
24
57
?1 2 ,− 4
② ?2?2 = 1
??22
?1
?2−2? = 2解得? = 4，
? = 42−2 × 4−3 = 5，
?2(4,5)，
7
4
2
∴点 Q 的坐标为(4,5)或 5 ,−．
【变式 02】（2026·辽宁沈阳·一模）如图1，在平面直角坐标系???中，一次函数? = −? + 3的图象与?轴交于点?，与?轴交于点?，经过?、?两点的二次函数? = −?2 +?? + ?的图象交?轴于另一点?．
求二次函数的表达式；
(2)点?、?在直线? = −? + 3上，点?是第二象限位于抛物线上一点，点?在?轴上若四边形????是正方形，求点?的坐标；
(3)连接??、??，抛物线上是否存在点?，使得∠??? + ∠??? = 45°，若存在，求出点?的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)? = −?2 +2? + 3
11
9
? − 2 ,
3
11
9
2
存在，? − 3 ,
或(2,3)
【分析】（1）先求出?,?的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）连接??，??，设?(?.−?2 + 2? + 3)，根据?? = 2??求解即可；
（3）作?? ∥ ??,?? ∥ ??，根据?在??上方或下方两种情况讨求解即可.
【详解】（1）解：∵当? = 0时，? = 3，
∴?(0,3)，
∵当? = 0时，0 = −? + 3，? = 3，
∴?(3,0)，
∵二次函数? = −?2 +?? + ?的图象过?,?两点，
? = 3? = 2
∴ 0 = −32 + 3? + ? ，解得： ? = 3 ，
即：? = −?2 +2? + 3；
（2）解：∵?(3,0),?(0,3)，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵四边形????是正方形，
∴∠??? = 90°,?? = ??，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 45°，
∵∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = ??，连接??，??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = 90°即：?? ⊥ ??，
∵四边形????是正方形，
∴?? ⊥ ??，即：?? ∥ ??，
∴??,??互相垂直平分，?? = 2??，
∵点?是第二象限位于抛物线上一点，
∴设?(?.−?2 + 2? + 3)，
−?2 +2? + 3 = −?? +3，解得：?? = ?2−2?，
∴?? = ??−?? = ?2−2?−? = ?2−3?，
∴?2−3? = 2(−?2 + 2? + 3)，
= − ,
2
解得：?12 ?
3
= 3（舍），
11
9
2
∴? − 3 ,；
11
9
2
（3）答：存在，? − 3 ,
或(2,3)，理由如下：
过点?作?? ∥ ??，过点 B 作?? ∥ ??
∴四边形????是平行四边形，
∵∠??? = 90°,?? = ??，
∴四边形????是正方形，
当? = 0时，0 = −?2 +2? + 3，
∴?1 = −1,?2 = 3，
∴?(−1,0)即：?? = 1，
如图：当?在??下方时，过点?作射线??′使∠???′ = ∠???交??于点?′交抛物线于点?，此时
∠??? + ∠??? = 45°，
∵∠??? = ∠?′??,?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ?′??(ASA)，
∴??′ = ?? = 1，即：?′(0,1)，
设直线?′?的解析式为：? = ?? + ?，
? = 11
3
∴ 3? + ? = 0 解得：? = −,? = 1，
即：1，
? = −3? + 1
? = − 1 ? + 1
+ 2? + 3
∵ ? = −?2 3，
? = 3
∴ ? = 0 （舍）或
? = − 2
3
? = 11 ，
9
11
9
2
∴? − 3 ,；
当?在??上方时，
作点?′关于??的对称点?，
∵四边形????是正方形，
∴点?在??上，?? = ??′ = 1，?? = ??，
∴?(2,3)，
∵? = 2时，? = −22 +2 × 2 + 3 = 3，
∴?在抛物线上，
∵ △ ???≌ △ ?′??(HL)，
∴∠??? = ∠?′?? = ∠???，
当?与?重合时，∠??? + ∠??? = 45°，此时，?(2,3)，
11
9
2
综上：存在，? − 3 ,
或(2,3).
【变式 03】（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2 +?? + 2与 x 轴交于点?
(−4,0)，?(1,0)两点，与 y 轴交于点 C．
求抛物线的解析式；
过点 B 作?? ∥ ??交抛物线于点 D，点 P 是射线??上方抛物线上的一动点，连接??与射线??交于点 E，连接??、??，当 △ ???面积最大时，求点 P 的坐标；
在（2）中 △ ???面积取得最大值时，将抛物线? = ??2 +?? + 2沿射线??方向平移 5个单位长度得到新抛物线?′，点?′为点 P 的对应点，点 Q 为新抛物线上的一个动点，当∠??? = ∠???′−∠???时，直接写出
所有符合条件的点 Q 的坐标．
【答案】(1)? = −1?2
2
3
−? + 2
2
(2)?(−2,3)
3
(3)点 Q 的坐标为(−1,3)或−1−2 3,−3−3
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）过 P 作?? ∥ ?轴，交??于 F，求出?(0,2)，从而可得直线??解析式为1
，进而得出直线??的
? = 2? + 2
1
2
? = − 1 ?2− 3 ? + 2
2
解析式为11
2 12 1(−5,−3)
13
?,− ? − ? + 2
1
?, ?−
? = 2?−2，联立
? =
?−
22
，可得?
， 设?22
，则?
2，
?? = −1?2−2? + 5，表示出?
1(?
−? )
3(? + 2)2 + 27
? = −2时，
22△??? = 2?? ?
? = −
2 ，结合二次函数的性质可得当
2
?△???最大，由?△???是定值，且?△??? = ?△??? + ?△???，可得?△???最大，即可得出结果；
（3）设??与??交于点 L，由勾股定理可得?? = 2 5，结合二次函数图象平移的性质可得?′ = −1?2 + 1
22
333
? + 4，先证明∠??? = ∠???，从而可得?? ∥ ??，求出??解析式为? = −2?，??解析式为? = −2? + 2，当
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
?′ = ?时，联立
2
? = −
2
3 ? + 3
22
，计算即可得出?1(−1,3)；设?1关于 x 轴对称点为?1′(−1,−3)，求出
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
? ′332 32
直线?
1 解析式为? = 2?−2，联立
? =
?− 3
22
，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线? = ??2 +?? + 2与 x 轴交于点?(−4,0)，?(1,0)两点，
16?−4? + 2 = 0
∴? + ? + 2 = 0 ，
? = − 1
2
解得： ? = − 3 ，
2
∴抛物线为
1
?2
? = −
2
−? + 2；
3
2
（2）解：如图，过 P 作?? ∥ ?轴，交??于 F，
在? = −1?2
2
3
−? + 2
2
中，令? = 0，则? = 2．
∴?(0,2)．
设直线??解析式为? = ?? + 2(? ≠ 0)，把?(−4,0)代入，得−4? + 2 = 0，
1
解得? = 2，
∴直线??解析式为? =
1? + 2，
2
∵?? ∥ ??，
∴设直线??的解析式为? =
1? + ?，
2
∴把?(1,0)
1
代入，得2 +? = 0，
1
解得? = −2，
11
∴直线??的解析式为? = 2?−2，
? = − 1 ?2− 3 ? + 2
22
联立? = 1 ?− 1，
22
? = −5? = 1
解得 ? = −3 或 ? = 0 ，
∴?(−5,−3)，
1
2
1 231
设? ?,− 2 ? − 2 ? + 2 ，则? ?, 2 ?−，
1
∴?? = −?2
1
2
2
3
1
2
−? + 2−
2
?−
=1 2
1
2
?
−
2
5
−2? + 2，
1(?
−?
)
1 2
3227
∴?△??? = 2?? ?
∵−1 < 0，
? =
− ?
2
−2? +
1−(−5) = −(? + 2)
5
2
2
+ 2 ，
∴当? = −2时，?△???最大，
∵?△???是定值，?△??? = ?△??? + ?△???，
∴?△???最大，
∴当△ ???面积最大时，?(−2,3)；
（3）解：设??与??交于点 L，
∵?(−4,0)，?(0,2)，
??2 + ??2
∴?? =
，
= 2 5，
∵将抛物线? = ??2 +?? + 2沿射线??方向平移 5个单位长度得到新抛物线?′，
? = −
∴抛物线1?2 2
3
1
2
−? + 2 = −
2
? +
225
3
2
+ 8 ，向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到新抛
物线?′
，为?′
= −
? +
3 −2
1
2
225
+ 8
+1 = −
?−
233
1
2
+ 8 ，
1
2
1
2
即?′ = −1?2
2
+ 2? + 4，
∵点?′为点 P 的对应点，
∴??′ ∥ ??，
∴∠???′ = ∠???，
∵∠??? = ∠???−∠???，且∠??? = ∠???′−∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
设??解析式为? = ??，
把?(−2,3)代入，得−2? = 3，
3
∴? = −2，
3
∴??解析式为? = −?，
2
设??解析式为3，
? = −? + ?
2
−
把?(1,0)代入，得 3
2
+? = 0，
3
∴? = 2，
33
2
∴??解析式为? = −? + ，
2
2
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
当?′ = ?时，联立
2
? = −
3 ? + 3，
22
? = −1? = 5
解得 ? = 3 或 ? = −6 （舍去），
∴?1(−1,3)；
设?1关于 x 轴对称点为?1′(−1,−3)，直线??1′解析式为? = ?? + ?，
把?(1,0)，? ′(−1,−3)代入，得 ? + ? = 0，
1
? = 3
2
−? + ? = −3
解得 ? = − 3 ，
2
∴直线?? ′解析式为33，
1? = 2?−2
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
22
∴联立
? = 3 ?− 3，
22
3
3
? = −1 + 2
解得 ? = −3 + 3
? = −1−2
3
3
（舍去）或 ? = −3−3，
3
∴?1′ −1−2 3,−3−3．
3
综上所述，点 Q 的坐标为(−1,3)或−1−2 3,−3−3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
题型五二次函数与特殊三角形的综合问题
【典例 01】（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数? = ??2(? > 0)的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左
侧），?? = 1，经过点 A 的一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象与 y 轴正半轴交于点 C，且与抛物线的另一个交点为 D， △ ???的面积为 5．
求抛物线和一次函数的解析式；
抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求△ ???面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标；
若点 P 在 x 轴上且使△ ???为等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标．
【答案】(1)? = 1?2−?−3；11
22? = 2? + 2
△ ???
25?点坐标为 3 ,−
15
8
的面积的最大值是16，此时2
−1− 5 5 ,0 或 −1 + 5 5 ,0 或 17 ,0 或(9,0)
228
【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点 A 的坐标，再把点 A 的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得?的值，由△ ???的面积为 5 可求出点?的纵坐标，进而求出点 D 的坐标，由?、?的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）作?? ∥ ?轴交??于?，由?△??? = ?△???−?△???构建关于 E 点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；
22
（3）利用两点间的距离公式得到?? = 5 5；再分三种情况：?? = ?? = 5 5，?? = ??，?? = ??，讨论求解即可．
【详解】（1）解：将二次函数? = ??2(? > 0)的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛
物线解析式为? = ?(?−1)2−2，
∵?? = 1，
∴点?的坐标为(−1,0)，
把点 A 的坐标代入? = ?(?−1)2−2得，? ⋅ (−1−1)2−2 = 0，
1
∴? = 2，
∴平移后的抛物线的解析式为? = 1(?−1)2−2，即? = 1?2−?−3；
在? = 1?2−?−3中，当? = 0
2
1?2
22
3，解得? = −1，?
= 3，
22
∴?(3,0)，
时，2
−?−2 = 012
∴?? = ?? + ?? = 4，
∵ △ ???的面积为 5，
?
∴?
1
= ?? ⋅
= 5，
△???2?
5
∴?? = 2，
在? = 1?2−?−3中，当? = 5
5 = 1?2−?−3，
222时，222
解得?1 = −2，?2 = 4，
5
2
∴? 4,，
4? + ? = 5
∴
2 ，
−? + ? = 0
? = 1
2
解得 ? = 1 ，
2
11
∴直线??的解析式为? = 2? + 2；
（2）解：过点?作?? ∥ ?轴交??于点?，如图，
2
1
设? ?, 2 ?
−?−
1
3
2
1
2
，则? ?, 2 ? +，
1
2
11
∴?? = ? + −
22
?2−?−
= −1?2 + 3? + 2，
3
2
22
∴?△??? = ?△???−?△???
11
= 2 ?? ⋅ ?−(−1) − 2 ?? ⋅ ?
1
= 2 ??
=
1
1
2
− 2 ?2
3
+ 2 ? + 2
1
= − 4 (?
2−3?−4)
= −1 ?−
4
225
3
2
+ 16，
−
∵ 1 < 0，
4
3
∴当? = 时， △ ???
25?点坐标为 3 ,−．
15
8
2的面积有最大值，最大值是16，此时2
5
2
（3）解：由（1）得?(−1,0)，?4,，
2
2
4−(−1)+−0
5
2
5 5
2
∴?? ==；
222
当?? = ?? = 5 5时，则点 P 的横坐标为−1−5 5或−1 + 5 5，
22
∴此时点 P 的坐标为−1− 5 5 ,0或−1 + 5 5 ,0；当?? = ??时，则点 D 在??的垂直平分线上，
∴??的中点的坐标为(4,0)，
∴点 P 的横坐标为2 × 4−(−1) = 9，
∴点 P 的坐标为(9,0)；
当?? = ??时，设?(?,0)，则??2 = ??2，
∴|?−(−1)|2
= (?−4)2
2
5
2
+ 0−，
17
解得? = 8 ，
8
∴点 P 的坐标为 17 ,0；
综上所述，点 P 的坐标为 −1− 5 5 ,0 或 −1 + 5 5 ,0 或 17 ,0 或(9,0)．
228
【变式 01】（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数? = ??2−4?? + 4? + ?(? < 0)与?轴交于?(?1,0)，?(?2,0)
两点，且−2 < ?1 < −1，与?轴交于点?，抛物线顶点为?．
将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴；
(2)若?? = 4，求?的取值范围；
(3)令? = ??，是否存在定值?，无论?(? < 0)，?为何值，都存在△ ???为等边三角形，如果存在，求出?
的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)? = ?(?−2)2 +?；直线? = 2
−
(2) 4
5
1
< ? < −
3
(3)? = −3
【分析】（1）将一般式化为顶点式即可，同时得到抛物线对称轴为直线? = 2．
（2）根据题意知4? + ? = 4，得? = 4−4?，则抛物线解析式为? = ??2−4?? + 4．进一步结合题意可知，
? = −2时，? < 0，以及? = −1时，? > 0，求解即可；
（3）由对称轴对称得?? = ??，连接??和??，对称轴与 x 轴交于点 E，结合等边三角形，则?? = ??，则
有sin∠??? = ?? = sin∠60°，解得?? = ?? = 2? ，结合?? = ? −? 有(? −? )2 =
2
2?
3
= 4?2
? + ? = 4
4?+?
??
?
4?2
3
?
?
4?
212
1
3 ， 12，
?1?2 = ? = 4 + ?，化简得 3 = 16−4 4 += − ? ，则有?? = −3，即可．
【详解】（1）解：? = ??2−4?? + 4? + ? = ?(?−2)2 +?，抛物线对称轴为直线? = 2；
（2）解：由题意可知，4? + ? = 4，
∴? = 4−4?，
故抛物线解析式为? = ??2−4?? + 4．
1
由题意可知，当? = −2时，? < 0，即4? + 8? + 4 < 0，解得? < −3；
4
当? = −1时，? > 0，即? + 4? + 4 > 0，解得? > −5，
41
∴ −5 < ? < −3；
（3）解：当? = −3时， △ ???为等边三角形，证明如下：
∵ ?，?关于对称轴对称，
∴ ?? = ??．
如图，连接??和??，对称轴与 x 轴交于点 E，
若△ ???为等边三角形，则?? = ??，
∵sin∠??? =
??
??
= sin∠60°，?? = ?，
∴?? = ?? =
2?
3
，
又∵?? = ?2−?1，? = ??2−4?? + 4? + ?(? < 0)，
∴(? −? )2 =
2
2?
3
= 4?2
? + ? = 4
? ?
4?+??
== 4 + ，
21
3 ， 12
， 1 2??
∴ 4?2 = 16−4 4 +
3
4?
?
?
= − ? ，
∵ 抛物线与?轴交于?，?两点，故顶点不可能在?轴上，故? ≠ 0，
∴?? = −3，
∵? = ??，
∴? = −3，
∴ 当? = −3时，无论?，?为何值，都存在△ ???为等边三角形．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及二次函数的顶点式、二次函数的性质、解不等式、等
边三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握二次函数的性质．
【变式 02】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数? = ??2−4? + ?的图象经过点?(−1,9)，
?(5,9)，与 y 轴交于点 C，顶点为 P．
求该二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 1)的图象经过点 A，B，且与 y 轴交于点 D，顶点为 Q
??
．求??的值；
(3)在（2）的条件下，当 △ ???是直角三角形时，求tan∠???的值．
【答案】(1)? = ?2−4? + 4；
(2)?? = 5；
??9
99
(3)当 △ ???是直角三角形时，tan∠???的值10或8．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先把抛物线? = ?2−4? + 4的解析式化为顶点式求出点 P 坐标，再求出点 C 坐标；把点 A 和点 B 坐标代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 1)中可得抛物线的解析式为? = ??2−4?? + 9−5?(? ≠ 1)，据此可求出点 Q和点 D 的坐标，再表示出??，??即可得到答案；
（3）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数? = ??2−4? + ?的图象经过点?(−1,9)，?(5,9)，
? + 4 + ? = 9
∴ 25?−20 + ? = 9 ，
? = 1
∴ ? = 4 ，
该二次函数的函数表达式为? = ?2−4? + 4；
（2）解：∵? = ?2−4? + 4 = (?−2)2，
∴点 P 的坐标为(2,0)，
在? = ?2−4? + 4中，当? = 0时，? = 4，
∴点 C 的坐标为(0,4)；
∵抛物线? = ??2 +?? + ?(? ≠ 1)过点?(−1,9)，?(5,9)，
?−? + ? = 9
∴ 25? + 5? + ? = 9 ，
? = −4?
∴ ? = 9−5? ，
∴抛物线? = ??2 +?? + ?(? ≠ 1)的解析式为? = ??2−4?? + 9−5?(? ≠ 1)，
∴抛物线? = ??2−4?? + 9−5?(? ≠ 1)的对称轴为直线
−4?
，
= 2
在? = ??2−4?? + 9−5?(? ≠ 1)中，
当? = 2时，? = 4?−8? + 9−5? = −9? + 9，当? = 0时，? = −5? + 9，
∴?(0,−5? + 9)，?(2,−9? + 9)，
∵点 C 的坐标为(0,4)，点 P 的坐标为(2,0)，
? = − 2?
∴?? = |−5? + 9−4| = |−5? + 5| = 5|?−1|，?? = |−9? + 9−0| = 9|?−1|，
∴?? = 5|?−1| = 5；
??9|?−1|9
（3）解：∵?(2,−9? + 9)，?(2,0)，?(0,4)，
∴??2 = (2−0)2 + (0−4)2 = 4 + 16 = 20，
??2 = (2−2)2 + (9−9?−0)2 = 81(1−?)2，
??2 = (2−0)2 + (9−9?−4)2 = 4 + (5−9?)2，
当∠? = 90°，则??2 +??2 = ??2，即20 + 81(1−?)2 = 4 + (5−9?)2，解得? = 1，不符合题意，舍去；
当∠? = 90°，则??2 +??2 = ??2，即81(1−?)2 +4 + (5−9?)2 = 20，
5
解得? = 1（不符合题意，舍去）或? = 9；
5
9
此时? 2,9−9 ×
，即?(2,4)，? 0,9−5 ×
，即? 0,，
5
9
56
9
5620
5620
∴?? =
9 −4 =
9 ，?、?水平距离为2，垂直距离为 9 −4 = 9 ，
29
∴tan∠??? = 20 = 10；
9
当∠? = 90°，则??2 +??2 = ??2，即20 + 4 + (5−9?)2 = 81(1−?)2，
4
9
9
解得? = 4；此时? 2,9−9 ×
，即?(2,5)，? 0,9−5 ×
，即? 0,，
4
9
61
9
6125
6116
∴?? =
9 −4 =
9 ，?、?水平距离为2，垂直距离为 9 −5 = 9 ，
29
∴tan∠??? = 16 = 8；
9
99
综上所述，当△ ???是直角三角形时，tan∠???的值10或8．
【变式 03】（2026·宁夏银川·一模）二次函数图象经过?(1,0)，?(−3,0)，?(0,3)三点．
如图①，求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；
若点 P 为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结??、??、??，??分别与??、y 轴交于点 M、N，记△ ???的面积为 S， △ ???的面积为 T，求?−?的最大值；
若点 Q 为抛物线上另一动点（如图③），连结??，以??为斜边作等腰直角 △ ???若其直角顶点 G 恰好落在抛物线的对称轴上，求点 G 的坐标（请直接写出结果）．
【答案】(1)? = −?2−2? + 3
32
81
(3)(−1,2)或(−1,−2)或(−1,−3)或(−1,1)
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）求出直线??的解析式，得到?0，? + 3，连接??，??，根据?−? = (?△???−?△???)−(?△???−?△???)
求出答案；
（3）抛物线的对称轴为直线? = −−2 = −1，设? −1，? ，分情况画出图形分别求出点?的坐标．
−2
【详解】（1）解： 设抛物线的解析式为? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)，将点?(1,0),?(−3,0),?(0,3)代入得
9?−3? + ? = 0
? + ? + ? = 0 ，
? = 3
? = −1
解得 ? = −2 ,
? = 3
∴经过?、?、?三点的抛物线的解析式为? = −?2−2? + 3；
解：∵点?为抛物线上第二象限一动点，
∴??,−?2−2? + 3，
设直线??的解析式为? = ?? + ?，
? + ? = 0
得 ?? + ? = −?2−2? + 3 ，
? = −(? + 3)
解得? = ? + 3，
∴? = −(? + 3)? + ? + 3，当? = 0时，? = ? + 3， 故?(0,? + 3)，
连接??，??，
= −3?2
2
−?，
9
2
?△???
= ?
△???
+ ?
△???
−?
1
△??? = 2 × 3
(−?2−2? + 3)
3
+ 2 ×
(−?) 1
−
2
× 3 × 3
?= 1 × (−?) × 3−(? + 3) = 1?2
△???22
∵?−? = (?△???−?△???)−(?△???−?△???)
= ?△???−?△???
32912
= − 2 ?
= −2?2
− 2 ?− 2 ?
9
− 2 ?
= −2 ? +
281
9
8
+ 32
981
∴当? = −8时，?−?有最大值32；
（3）解：抛物线的对称轴为直线? = −−2 = −1，
−2
设?(−1,?)，
①如图： △ ???是等腰直角三角形，过点 G 作 x 轴的平行线??，作?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴∠? = ∠? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠???，又∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ?? = 2,?? = ?? = −?，
∴?(−1 + ?,2 + ?)，
代入抛物线解析式得−(−1 + ?)2−2(−1 + ?) +3 = 2 + ?，解得?1 = −2,?2 = 1（舍去），
∴?(−1,−2)；
②如图， △ ???是等腰直角三角形，过点 Q 作?? ⊥ ??，
同理得?? = ?? = −?,?? = ?? = 2，
∴?(−1−?,?−2)，
代入抛物线解析式得−(−1−?)2−2(−1−?) +3 = ?−2，解得?1 = −3,?2 = 2（舍去），
∴?(−1,−3)；
③当点 Q 与点 B 重合时，点 A 与点 Q 对称，此时?? = ?? = 4，
∴当△ ???是等腰直角三角形时，? =
1?? = 2，
2
∴?(−1,2)；
如图，当△ ???是等腰直角三角形，过点 Q 作?? ⊥ ??，
同理得?? = ?? = ?,?? = ?? = 2，
∴?(−1 + ?,? + 2)，
代入抛物线解析式得−(−1 + ?)2−2(−1 + ?) +3 = ? + 2，解得?1 = 1,?2 = −2（舍去），
∴?(−1,1)；
综上，点 G 的坐标为(−1,2)或(−1,−2)或(−1,−3)或(−1,1)．
题型六二次函数与特殊四边形的综合问题
【典例 01】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与?轴相交于?,?两点（点?在点?的左边），与?轴相交于点?(0,−3)，且抛物线的顶点坐标为(1,−4)．
求抛物线的表达式；
?是抛物线上位于第四象限的一点，点?(0,−1)，连接??,??相交于点?，连接??．若 △ ???与△ ???的面积相等，求点?的坐标；
?,?是抛物线上的两个动点，分别过点?,?作直线??的垂线段，垂足分别为?,?．是否存在点?,?，使得以?,?,?,?为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)?=?2−2?−3
20
9
? 7 ,−
3
2
存在，正方形的边长为9 2或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作?? ⊥ ?轴，垂足为点?，设??,?2−2?−3，则：?? = ?,?? = −?2 +2? + 3，?? = 3−?，根据
△ ???与△ ???的面积相等，推出?△??? = ????? = ?△??? + ?????，列出方程进行求解即可；
存在点?，?使四边形????为正方形，如图所示，过?作?? ∥ ?轴，过?作?? ∥ ?轴，过?作?? ∥ ?轴，则有△ ???与△ ???都为等腰直角三角形，设?(?1,?1),?(?2,?2)，设直线??解析式为? = −? + ?，与二次函数解析式联立，消去?得到关于?的一元二次方程，利用根与系数关系表示出??2，由△ ???为等腰直角三角形，得到??2 = 2??2，若四边形????为正方形，得到??2 = ??2，求出?的值，进而确定出??的长，即为正方形边长．
【详解】（1）解：∵抛物线与?轴相交于点?(0,−3)，且抛物线的顶点坐标为(1,−4)．
∴设抛物线的解析式为：? = ?(?−1)2−4，把?(0,−3)代入，得：?(0−1)2−4 = −3，
∴? = 1，
∴? = (?−1)2−4 = ?2−2?−3；
（2）当? = ?2−2?−3 = 0时，解得：?1 = 3,?2 = −1，
∴?(3,0)，
∵?(0,−3)，
∴设直线??的解析式为：? = ??−3，把?(3,0)代入，得：? = 1，
∴? = ?−3，
作?? ⊥ ?轴，垂足为点?，设??,?2−2?−3，则：?? = ?,?? = −?2 +2? + 3，
∴?? = 3−?，
∵ △ ???与△ ???的面积相等，
∴?△??? + ????? = ?△??? + ?????，即：?△??? = ????? = ?△??? + ?????，
∵?(0,−1)，
∴?? = 1，
∴1 × 3 × 3 = 1 × (−?2 + 2? + 3)(3−?) + 1 × (−?2 + 2? + 3 + 1)?，
222
7
解得：? = 3或? = 0（舍去）；
20
9
3
∴? 7 ,−；
（3）存在点?，?使四边形????为正方形，
如图所示，过?作?? ∥ ?轴，过?作?? ∥ ?轴，过?作?? ∥ ?轴，则有 △ ???与△ ???都为等腰直角三角形，
?? ∥ ??，
由（2）可知，直线??的解析式为? = ?−3，
设?(?1,?1),?(?2,?2)，直线??解析式为? = ?−?，
? = ?−?
联立得： ? = ?2−2?−3 ，
消去?得：?2−3? + ?−3 = 0，
∴ ??2 = |?1−?2|2 = (?1 + ?2)2−4?1?2 = 21−4?，
∵△ ???为等腰直角三角形，
∴ ??2 = 2??2 = 42−8?，
∵ ?(?2,?2−3)，
2222
∴ ??2 = ? −(? −3)2 = (? −?−? + 3)2 = (?−3)2，
∴ ??2
=
??
2
= 1(?−3)2， 2
2 2
∵四边形????为正方形，
∴??2 = ??2，
∴ 42−8? = 1(?2−6? + 9)，
2
整理得：?2 +10?−75 = 0，解得：? = −15或? = 5，
∵ 正方形边长为?? = 42−8?，
∴ ?? = 9 2或 2．即正方形的边长为9 2或 2．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式 01】（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线? = ??2 +2?−3?经过?(1,0),?(?,0),?(0,?)三点，交?轴于点?．
(1)求 a，b 的值；
(2)在抛物线对称轴上找一点?，使?? + ??的值最小时，求△ ???的面积；
(3)点?为?轴上一动点，抛物线上是否存在一点?，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点?的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)? = 1,? = −3
3
(2) △ ???的面积为2
(3)存在，点?的坐标为(−2,−3)或(−1 + 7,3)或(−1− 7,3)
【分析】（1）将?(1,0)代入? = ??2 +2?−3?，求出? = 1，得到抛物线的解析式，将?(?,0)代入解析式，即可求出 b 的值；
（2）连接??，求出直线??的解析式为? = −?−3，使?? + ??的值最小，即点?为直线??与对称轴的交点，得到?(−1,−2)，即可求出三角形的面积；
（3）当点?在?轴下方时和当点?在?轴上方时进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：将?(1,0)代入? = ??2 +2?−3?，得到0 = ? + 2−3?，
解得? = 1，
故抛物线解析式为? = ?2 +2?−3，
将? = 0代入解析式，得0 = ?2 +2?−3，解得?1 = 1,?2 = −3；
∴ ? = −3；
（2）解： ∵ 抛物线解析式为? = ?2 +2?−3，
∴ ? = −3，
对称轴为直线? = − ?
2?
= −1，
连接??，?(−3,0),?(0,−3)，
设直线??的解析式为? = ??−3，
∴ −3?−3 = 0，解得? = −1，
直线??的解析式为? = −?−3，
使?? + ??的值最小，即点?为直线??与对称轴的交点，当? = −1时，? = 1−3 = −2，
∴ ?(−1,−2)，
∴ ?
1|? |13；
△??? = 2?? ⋅? = 2 × 3 × 1 = 2
（3）解：①当点?在?轴下方时，如图，
∴?? ∥ ??
∵ 抛物线的对称轴为直线? = −1，?(0,−3)，
∴?点纵坐标为−3，
将?=−3代入? = ?2 +2?−3，解得? = −2或? = 0（舍去），
∴ ?(−2,−3);
②当点?在?轴上方时，
过点?′作?′? ⊥ ?轴于点?，在△ ??′?和△ ?′??中，
∠?′?? = ∠???′
∠??′? = ∠?′??
??′ = ??′
∴△ ??′?≌ △ ?′??(AAS)，
∴ ?′? = ?? = 3，即?′点的纵坐标为3，
∴ 3 = ?2 +2?−3，
7
解得? = −1 + 7或? = −1−
∴ ?(−1 + 7,3)或?(−1− 7,3)，
综上所述，符合条件的坐标为(−2,−3)或(−1 + 7,3)或(−1− 7,3)．
【变式02】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系???中，已知抛物线? = ??2 +?? + 8经过点?(4,0)，与 y 轴交于点 B，且关于直线? = 1对称．
(1)则抛物线解析式中? = ，? = ；
(2)当3? + 2 ≤ ? ≤ 4时，y 的取值范围是0 ≤ ? ≤ 6? + 3，求 t 的值；
(3)点 C 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 C 作 x 轴的垂线交直线??于点 D，在 y 轴上是否存在点
E，使得以 B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)−1，2
3
(2)1
55
(3)4 5−5或16
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出抛物线? = −?2 +2? + 8图象与?轴的另一个交点的坐标为(−2,0)，分−2 ≤ 3? + 2 < 1， 1 ≤ 3? + 2 ≤ 4，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分??为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线? = ??2 +?? + 8经过点?(4,0)，与 y 轴交于点 B，且关于直线? = 1对称，
− ? = 1
∴2?，
16? + 4? + 8 = 0
? = −1
解得 ? = 2 ；
（2）解：由（1）知该抛物线的解析式为? = −?2 +2? + 8，
∵? = −?2 +2? + 8 = −(?−1)2 +9，
∴该抛物线的顶点坐标为(1,9)，令? = −?2 +2? + 8 = 0，
解得? = 4或? = −2，
∴抛物线? = −?2 +2? + 8图象与?轴的另一个交点的坐标为(−2,0)，
当−2 ≤ 3? + 2 < 1时，即 4
1
，此时，?随?的增大先增大到最大值9再减小，
3
− ≤ ? < −
3
1
此时，6? + 3 = 9，解得? = 1 > −3（舍去）；
当1 ≤ 3? + 2 ≤ 4时，即 1
2
，此时，?随?的增大而减小，
3
− ≤ ? ≤
3
此时，? = − (3? + 2)−12 +9 = 6? + 3，即9?2 +12?−5 = 0，
1
解得? = 或
51
（舍去）；
3? = −3 < −3
1
综上，当3? + 2 ≤ ? ≤ 4时，y 的取值范围是0 ≤ ? ≤ 6? + 3，t 的值为3；
（3）解：存在；
将? = 0代入? = −?2 +2? + 8 = 0，则? = 8，
∴?(0,8)，
设直线??的解析式为? = ?? + 8，把?(4,0)代入，得4? + 8 = 0，解得? = −2
∴? = −2? + 8，
设??,−?2 + 2? + 8(0 < ? < 4)，则?(?,−2? + 8)，
?2 + (−2? + 8−8)2
∴?? = −?2 +2? + 8−(−2? + 8) = −?2 +4?，?? =
= 5?，?? =
?2 + (−?2 + 2?)2，
当 B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当??为边时，则?? = ??，即−?2 +4? = 5?，
解得? = 0（舍去）或? = 4− 5，此时菱形的边长为 5? = 4 5−5；
②当??为对角线时，则?? = ??，即?2 + (−?2 + 2?)2 = (−?2 + 4?)2，
解得? =
11
4 或? = 0（舍去），
11
4
21155
此时菱形的边长为−
+4 × 4 = 16；
55
综上：存在以 B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形，边长为4 5−5或16．
【变式 03】（2026·甘肃天水·二模）如图，抛物线? = −?2 +?? + ?与 x 轴的负半轴交于点 A，与 x 轴的正半轴交于点?(1,0)，与 y 轴交于点?(0,3)，抛物线的顶点为 D．过点 D 向 x 轴作垂线，交 x 轴于点 E，以??和??为邻边在第二象限内作矩形????．动点 M 从点 D 出发，沿??向点 E 运动，运动的速度为每秒 1 个单位长度．设点 M 的运动时间为 t 秒，过点 M 作?? ⊥ ??，交??于点 G，过点 G 作?? ⊥ ??于点 H，交抛物线于点 Q．
求该抛物线的函数表达式．
当 M 为??的中点时，求??的长．
如图 1，连接??，??，当 △ ???的面积最大时，求 t 的值．
如图 2，点 M 运动的同时，点 P 从点 A 出发沿??向点 F 运动，运动的速度为每秒 1 个单位长度，K 为矩形????内一点，且点 K 在点 G 的正下方．当四边形????为菱形时，求 t 的值．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为? = −?2−2? + 3
(2)?? = 1
(3)t 的值为 2
(4)? = 20
13
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可解答此题；
利用相似三角形的判定和相似比即可解答此题；
分析当三角形的底边固定，高最大时三角形的面积最大，利用直线平行和直线与抛物线相切求得?点坐标，进而根据题意求得?点、?点坐标，求得??长可求?值；
根据题意可表示出涉及到的点?、点?、点?坐标，假设出点?坐标，根据菱形的性质对边相等表示出点?坐标，在利用菱形的性质邻边相等，列出方程，解方程即可求得?值．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点?(0,3)和点?(1,0)，
∴? = 3，
∴ 0 = −1 + ? + 3，解得：? = −2，
所以抛物线的函数解析式为? = −?2−2? + 3．
解：根据顶点坐标公式可求顶点?的坐标为(−1,4)，
∵点?和点?关于直线??对称，且?(1,0)，
∴?点坐标为(−3,0)，
∴ ?? = 2，
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，又∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∵M 为??的中点，
????1
∴ ?? = ?? = 2，
∴ ?? = 1．
解：当△ ???边??上的高最大时， △ ???的面积最大，即平行于直线??且与抛物线相切时， △ ???的面积最大，
设直线??的解析式为??? = ?? + ?，且?点坐标为(−3,0)，点?的坐标为(−1,4)，
∴
−3? + ? = 0
−? + ? = 4
解得：? = 2，? = 6，
∴ ??? = 2? + 6
设平行于直线??且与抛物线相切的直线为?? = ?1? + ?1，
∵两直线平行，
∴ ?1 = ? = 2，
∴ ?? = 2? + ?1，
∵直线与抛物线相切，
∴ −?2−2? + 3 = 2? + ?1，
1
整理，得：?2 +4? + (? −3) = 0，
∴ Δ = 42−4 × 1 × (?1−3) = 0，
解得：?1 = 7，
∴ ?? = 2? + 7，
?? = 2? + 7
抛物线和直线解析式联立得， ? = −?2−2? + 3 ，
? = −2
解得： ? = 3 ，
即：?(−2,3)，
此时，?点横坐标为−2，代入??? = 2? + 6得：
??? = 2，
即：?(−2,2)，
∴ ?(−1,2)，
∴ ?? = ??−?? = 4−2 = 2，
∴ ? = 2 ÷ 1 = 2（秒）．
解： ∵ ?(−1,4)，
∴ ?(−1,4−?)，
根据题意可知点?和点?的纵坐标相等，
∴将? = 4−?代入??? = 2? + 6得：
，
?
? = −−1
2
?
∴ ? − 2 −1,4−? ，
∵?(−3,0)，
∴ ?(−3,?)，
∴ ?? = ?，
?
可设?点坐标为 − 2 −1,? ，
则?? = 4−?−?，
当四边形????为菱形时，?? = ??，即：? = 4−?−?，
整理，得：? = 4−2?，
?
∴?点坐标为 − 2 −1,4−2? ，
根据题意，由勾股定理可得：
(4−2?) + − −1 + 3
2
?
2
2
?? =
∴ ?? = ??，
(4−2?) + − + 2
2
?
2
2
即：? =
=，
(4−2?) + − + 2
2
?
2
2
，
整理，得：13?2−72? + 80 = 0，
解得：?1
= 4（舍去），?2
20
= 13，
20
∴ ? = 13（秒）．
题型七 二次函数与相似三角形
【典例 01】（2023·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数? = ??2−4? + ?的图象与 x 轴交于点?(−1,0)、点 C，与 y 轴交于点?(0,−5)．
求该二次函数的解析式；
已知该函数图象的对称轴上存在一点 P，使得△ ???的周长最小．请求出点 P 的坐标，并求 出△ ???
周长的最小值；
在（2）的条件下，线段??上是否存在点 E，使以 C、P、E 为顶点的三角形与三角形???相似？若存在写出所有点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)? = ?2−4?−5
26
2
(2)(2,−3)，+5
5
(3)存在以 C、P、E 为顶点的三角形与三角形 ABC 相似，点 E 的坐标为：(0,0)， 7 ,0
【分析】（1）将?、?的坐标代入解析求解即可；
??2 + ??2
（2）连接??，由勾股定理得?? == 26，要使△ ???的周长最小，只要?? + ??最小，则
?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，当且仅当 P，B，C 三点共线时等号成立，即可求解；
（3）分类讨论：当△ ??? ∽△ ???时，当 △ ??? ∽△ ???时，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得
0 = ? + 4 + ?
−5 = ?，
? = 1
解得 ? = −5 ，
故二次函数的解析式为? = ?2−4?−5；
（2）解：令? = 0，即?2−4?−5 = 0，解得? = −1或? = 5，
则二次函数的图象与 x 轴的另一个交点坐标?5，0．连接??，
??2 + ??2
则?? == 26，
要使△ ???的周长最小，只要?? + ??最小．
∵ ?是对称轴? = 2上一点，且点 A 与点 C 关于对称轴? = 2对称，则?? = ??，
则?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，当且仅当 P，B，C 三点共线时等号成立，因而??与对称轴? = 2的交点 P 就是所求的点．
设直线??的解析式为? = ?? + ?，
? = −5
根据题意，可得： 0 = 5? + ? ，
? = 1
解得 ? = −5 ，
所以直线??的解析式为? = ?−5；
? = 2? = 2
联立 ? = ?−5 ，解得 ? = −3 ，
故所求的点 P 的坐标为(2,−3)，
26
此时△ ???的周长即为?? + ?? =
+
=
+5 2；
52 + 52
26
（3）解：存在．
∵ ?(−1,0)，?(5,0)，
∴ ?? = 6，
∵ ?(2,−3)，?(5,0)，
32 + 32
∴ ?? == 3 2，
∵ ?(0,−5)，?(5,0)，
∴ ?? = 5 2，
当△ ??? ∽△ ???时，
????
∴ ?? = ??，
??
5 2
∴
=，
3 2
6
解得：?? = 5，
∴ ?(0,0)；
当△ ??? ∽△ ???时，
????
∴ ?? = ??，
??
∴ 6
=，
3 2
5 2
18
解得：?? = 5 ，
187
∴ ?? = 5− 5 = 5，
5
故 E 点坐标为： 7 ，0，
5
综上所述：存在以 C、P、E 为顶点的三角形与三角形???相似，点 E 的坐标为：(0,0)， 7 ,0 ．
3
【变式 01】（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线? = −?2 +?? + ?与?轴交于?(−3,0)，? 4 ,0 两点，与?轴
交于点?，?为抛物线上一点，??平分∠???，??与?轴交于点?．
(1)求抛物线的函数解析式； (2)求点?坐标；
(3)在直线??上取?、?两点（?在?点上方），连接??,??，使得 △ ??? ∽△ ???，求?、?坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为：? = −?2
5
−? + 4
3
(2)
(3)
5 23

?( , )
6 12
15 3
9 14
21 33
9 23
?(− , ),?(− , ) 或 ?(− , ),?( , )．
8 210 5
40 10
20 5
3
【分析】（1）根据?(−3,0)，? 4 ,0两点，利用待定系数法求解即可得；
先由抛物线解析式求出与?轴交点?的坐标，再在Rt △ ???中用勾股定理求出??的长度；根据角平分 线定理得到??与??的比例关系，结合??的长度求出??，从而确定?的坐标；接着求出直线??的解析式，联立直线??与抛物线的方程，舍去点?对应的解，得到点?的坐标；
先求出直线??的解析式，再利用角平分线的性质得到点?到直线??的距离等于??的长度；结合 △
??? ∽ △ ???，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出??与??的长度；设出点?的坐标，由??的长度列方程求解得到?的坐标，再根据??的长度和直线??的斜率求出对应点?的坐标，最终得到两组符合条件的?、?坐标．
3
【详解】（1）解：∵抛物线? = −?2 +?? + ?与?轴交于?(−3,0)，? 4 ,0 两点，
0 = −(−3)2−3? + ?
∴代入两点坐标得方程组：
? = 4
0 = −(
4 )2 + 4 ? + ? ，
33
解得 ? = − 5 ，
3
∴抛物线解析式为：? = −?2
−? + 4；
5
3
（2）解：∵抛物线解析式? = −?2
−? + 4；
5
3
令? = 0，得? = 4，
即：抛物线与?轴交点?(0,4)，
在Rt △ ???中，?? = 3，?? = 4，
??2 + ??2
由勾股定理得?? =
=
= 5，
32 + 42
∵??平分∠???，
根据角平分线定理：?? = ?? = 3，且?? + ?? = ?? = 4，
??3
即：4−?? = 5
??
??5
33
解得：?? = ，即 ，
2?(0,2)
设直线??解析式为? = ?? + ?，
代入?(−3,0)、
3 得：13，
?(0,2)? = 2? + 2
联立直线??
13?2 5，
与抛物线方程：2? + 2 = −
整理得：6?2 +13?−15 = 0，
−? + 4
3
解得：?
= −3（对应点?，舍去），?
5
= ，代入直线得
15323
126
? = 2 × 6 + 2 = 12，
5 23
∴?点坐标为：?( , )；
6 12
（3）解：设直线??的解析式为? = ?? + ?，
代入?(−3,0)、?(0,4)得
? = 4
−3? + ? = 0
? = 4，
解得：
3 ，
? = 4
∴直线??的解析式为? =
4? + 4，
3
作?? ⊥ ??，垂足为?，
3
∵??平分∠???，?? ⊥ ??，?(0,)
2
3
∴?? = ?? = 2
∵点?、?在直线??上，
33
∴??在直线??上，点?(0,2)到直线??的距离为定值：2，
3
即： △ ???中，??边上的高为?? = 2，
在△ ???中，??在?轴上，??边上的高为?? = 4，
∵ △ ??? ∽ △ ???，
3
∴∠M?? = ∠???，?? = ?? = ?? = 2，即?? = ?? = 3
13
由?? =
??
??
??
3
4??
313
??8
133
315
3 ，?? = 5，得?? = 8 ⋅ ?? = 8 × 3 = 8 ，?? = 8 ⋅ ?? = 8 × 5 = 8 ，
415
?24
3 2( 15 )2
设?(?,? + 4)，由?? =
3
8 得：
+ ( 3 ? + 4− 2 ) =8，
1521
整理解得? = − 8 或? = −40，
154
① 当? = −
4−
3
15
8
+4 = ，
8 时，3? + 4 = 3 ×2
15 3
1513
9 14
?(− , )，?? =
8 2
8 ，?? =
，计算得?(− , )；
8
10 5
214
② 当? = −
4−
33
21
40
+4 =
40时，3? + 4 = 3 ×
10，
21 33
1513
9 23
?(− , )，?? =
40 10
8 ，?? =
，计算得?( , )；
8
20 5
因此?、?坐标为：?(−15,3),?(− 9 ,14) 或 ?(−21,33),?( 9 ,23)．
8 210 5
40 10
20 5
【变式 02】（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系???中，一次函数1与?轴交于点?，与?轴
? = 2? + 2
交于点?，?是直线??上一点（不与点?重合），且?? = ??，抛物线? = ??2 +??−2经过?、?两点．
求抛物线的表达式；
点?在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形????是梯形，求梯形????的面积；
点?、?都在第三象限，其中点?在抛物线上，点?在抛物线的对称轴上，如果 △ ???与 △ ???相似，且边??与边??对应，求点?的坐标．
【答案】(1)? = 1?2
4
1
+ 2?−2
2
(2)4 + 2
19
(3)?(−1,−1)，?−1,8−2
【分析】（1）根据一次函数可知?，?的坐标，进而根据?? = ??可得点?是线段??的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式；
根据????是梯形，可知??的直线解析式，进而联立方程可知点?的坐标，根据割补法即可求解；
①过点?作?? ⊥ ??,过点?作?? ⊥ ??，进而可知 △ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质即可求解；
②过点?作?? ⊥ ??交对称轴于?,过点?作?? ⊥ ??交对称轴于?，证明 △ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题可知，一次函数? = 1? + 2与?轴交于点?，与?轴交于点?，
2
则点?(−4,0)，?(0,2)，
∵?是直线??上一点，且?? = ??，
∴点?是线段??的中点，
设点?(?,?)，
?+0
2
?+(−4)
∴点?2,，
∴? = 4，? = 4，
∴点?(4,4)，
将点?，点?代入抛物线? = ??2 +??−2
16? + 4?−2 = 4
得 16?−4?−2 = 0
? = 1
4
解得： ? = 1
2
则抛物线的表达式为：? = 1?21，
4+ 2?−2
解：由题可得图，
∵四边形????是梯形，
∴?? ∥ ??,
∵?为原点，
则??的直线解析式为：1 ，
? = 2?
2
? = 1 ?
则联立函数得 ? = 1 ?2 + 1 ?−2 ，
42
? = 2 2
解得 ? = 2 或
? = −2 2
? = − 2 ，
∵点?在抛物线上，且位于第一象限，
2, 2
∴?2,
过点?作?? ⊥ ?轴，过点?作?? ⊥ ?轴，
?= ?
−?
−?
= 1(2 + 4) × 4−1
1，
梯形????
梯形????
梯形????
△???2
22 + 4 × 4−2
− × 2
2
2
2
2
2
×
= 4 + 2
解：①由题可得，过点?作?? ⊥ ??,过点?作?? ⊥ ??
当∠??? = 90°, △ ???与 △ ???相似, 且边??与边??对应
则?? = ??4
??
= = 2,
??2
抛物线? = 1?21，
4+ 2?−2
∵ ∠??? = ∠??? = 90°,
∴ ∠??? + ∠??? = 90°,∠??? + ∠??? = 90°,
∴∠??? = ∠???,
∴ △ ??? ∽△ ???,
∴?? = ?? = ?? = 2
??????
则抛物线的对称轴为：? = −1，
设点?
(−1,ℎ)
，点? ?, 1
4
?2
+ 1 ?−2
2
∴?? = ℎ−
?2
1
1
4
+ 2 ?−2 ，?? = −1−?，?? = 0−
?2
1
+ ?−2
2
1
4
，?? = ?−(−4)，
??
则
0− 1 2 1
? + ?−2
=42 = 2，
??
=
?−(−4)
ℎ− 1 ?2+1 ?−2
42
= 2，
??
−1−?
??
解得：? = 8或? = −2，
∵点?、?都在第三象限，
∴? = −2,
∴ℎ = −1，
∴?(−1,−1)．
②由题可得，抛物线的对称轴为? = −1，
过点?作?? ⊥ ??交对称轴于?,过点?作?? ⊥ ??交对称轴于?，
当∠??? = 90°, △ ???与 △ ???相似, 且边??与边??对应
????4
则?? = ?? = 2 = 2,
抛物线? = 1?21，
4+ 2?−2
∵ ∠??? = ∠??? = 90°,
∴ ∠??? + ∠??? = 90°,∠??? + ∠??? = 90°,
∴∠??? = ∠???,
∴ △ ??? ∽△ ???,
∴?? = ?? = ?? = 2
??????
则抛物线的对称轴为：? = −1，
设点?
(−1,ℎ)
，? ?, 1
4
?2
+ 1 ?−2
2
∴?? = 3,?? = 0−ℎ，
?? = ℎ−
?2
1
+ 2 ?−2 ，?? = −1−?。
1
4
??3
ℎ− 4 ?2 + 2 ?−2
1
1
?? == 2
??0−ℎ
?? = −1−? = 2
解得：ℎ = 8−2 19或ℎ = 8 + 2 19（舍去），
19
则∴?−1,8−2．
19
综上所述，?(−1,−1)，?−1,8−2．
【变式 03】（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线? = 3? + 3与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线
4
? = −3?2 +?? + ?经过 A、B 两点．
4
求抛物线的表达式；
点 D 是抛物线在第二象限内的点，过点 D 作 x 轴的平行线与直线??交于点 C，求??的长的最大值；
点 Q 是线段??上的动点，点 P 是抛物线在第一象限内的动点，连结??交 y 轴于点 N．是否存在点 P，使
△ ???与 △ ???相似，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)? = −3?2
4
9
−? + 3
4
(2)当?=−2时，??的长的最大值为 4
6 23+3
16
2
(3)点 P 的坐标为 23−4 ,
−11+ 229 ,
229−2
12
6
或
【分析】（1）首先求得 A、B 点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
2
3
（2）设? ?，− 4 ?
9
− 4 ? + 3 ，则? −?
2−3?− 3 ?2
，
4
9
− 4 ? + 3 ，进而表示出 CD 的长；接下来用含 m
的二次函数表示 S，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）分两种情况：①当△???∽ △ ???时，②当 △ ???∽ △ ???时，分别求解即可．
【详解】（1） ∵ 直线3
与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，
? = 4? + 3
∴ ?(−4，0)，?(0，3)，
∵ 抛物线
3?2 +?? + ?经过 A、B 两点．
? = −
4
−12−4? + ? = 0
∴? = 3，
? = − 9
解得 ? = 34 ，
∴ ? = −3?2
4
−? + 3；
9
4
2
3
（2）设? ?,− 4 ?
9
− 4 ? + 3 ，
∵ ??∥作 x 轴，与直线??交于点 C，
∴ 33?2 9
?2
4
? + 3 = −
4
−? + 3，解得? = −
4
−3?，
∴ ? −?
−3?,−3 ?2
2
5
4
9
− 4 ? + 3 ，
∴ ?? = −?2−3?−? = −?2−4? = −(? + 2)2 +4
∴ 当? = −2时，??的长的最大值为 4；
（3）设?(0,?)，
∵ ?(−4，0)，?(0，3)，
32 + 42
∴ ?? == 5，
分两种情况：
①当△ ???∽ △ ???时，
∵ △ ???∽ △ ???，
????
∴ ∠???=∠???，?? = ??，
∴ ?? ∥ ??，
∴ △ ???∽ △ ???，
??????
∴ ?? = ?? = ??，
?
∴ 3 =
??
4 =
??
5 ，
∴ .?? =
??2 + ??2
∴ ?? =
4?， ?? =
3
5?，
=
16
9
?2 + 9，
3
16 ?2+9
9
5
5 ?
16 ?2+9
∴ 9 = 9，
27
∴ ? = 16或 3（舍去），
49
∴ ?? = 3? = 4，
27
16
9
∴ ? − 4 ,0 ，? 0,，
设直线??的解析式为?=?? + ?，
4
9 ? + ? = 0
∴? = 27 16
? = 3
4
解得 ? = 27 ，
16
327
∴ 直线 PQ 的解析式为? = 4? + 16，
联立? = −3?2
4
−? + 3解得? =
9
4
或? =
（不合题意，舍去）
23−4
2
− 23−4
2
6 23+3
16
2
∴ 点 P 的坐标为 23−4 ,；
②当△ ???∽ △ ???时，过点 Q 作?? ⊥ ??于 H，
∵ △ ???∽ △ ???，
∴ ∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ Rt △ ???≌Rt △ ???，
∴?? = ?? = 3，
∴?? = ??−?? = 2，
设?? = ?，则?? = 4−?，?? = ?，
2
∴ 22 + ?2 = (4−?)2，解得? = 3，
3
∴ ? − 2 ,0 ，
∵ ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ???∽ △ ???，
????
∴ ?? = ??，
3
∴ ? = 2，
33
3
∴ ? = 4，
3
4
3
∴ ? − 2 ,0 ，? 0,，
同理得直线??的解析式为13，
? = 2? + 4
−11+ 229
6
4−
联立? = −3?2 9? + 3解得? =
4
或
（不合题意，舍去）
−11− 229
6
229−2
12
6
∴ 点 P 的坐标为−11+ 229 ,
2
综上，点 P 的坐标为 23−4 ,
；
6 23+3
16
229−2
12
或
．
−11+ 229 ,
6
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，利用相似三角形的判定得出关于 m 的方程是解题关键，解（3）的关键是分和两种情况讨论求解．
题型八 二次函数与几何变换综合题
【典例 01】（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线? = ??2−4?2?−5?（? ≠ 0）与?轴交于?，?两点（点?
在点?的左侧），与?轴交于点?，顶点为点?．
(1)抛物线的对称轴为直线（用含有?的式子表示）；
(2)若−2 < ? < 1，函数值?随着?的增大而减小，求?的取值范围；
(3)如图，当? = 1时．
①将抛物线向左平移?个单位长度后，当−3 ≤ ? ≤ 0时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为 6，请求出?的值；
②点?(?,?)为第四象限内抛物线上的一点，过点?作?? ∥ ?轴与抛物线另外一个交点为点?．以??所在直线为对称轴将抛物线位于??下方的部分翻折，若翻折后所得部分与?轴有交点，且交点都位于?轴正半轴，请直接写出?的取值范围．
【答案】(1)? = 2?
1
(2)?的取值范围为? ≥ 2或? ≤ −1
(3)①?的值为2 + 6或5− 6；95
②− ≤ ? < −
22
【分析】（1）直接根据抛物线对称轴公式求解即可；
（2）分两种情况：若? < 0，若? > 0，运用二次函数的性质分别求得 a 的取值范围即可；
（３）①求出平移后抛物线解析式，得对称轴为? = 2−?，再分2−? ≤ −3、−3 < 2−? < 0和2−? ≥ 0三种情况讨论求解即可；
②根据图象折叠的对称性，得点?′(2,2? + 9)，根据翻折后所得部分与 x 轴有交点，且交点都位于 x 轴的正
2? + 9
半轴，可得2−> 0且2? + 9 ≥ 0，即可求得答案．
【详解】（1）解：? = ??2−4?2?−5?的对称轴为：? = −−4?2 = 2?，
2?
所以，对称轴为直线? = 2?；
（2）解：抛物线的对称轴为? = 2?，开口方向由?决定：
当? > 0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧 y 随?增大而减小；
1
要使−2