2026年中考数学二轮复习 高频考点07 二次函数的综合专练24大题型专练

这是一份2026年中考数学二轮复习 高频考点07 二次函数的综合专练24大题型专练，共7页。试卷主要包含了二次函数的定义，二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数与方程组或不等式组综合，二次函数与几何综合等内容，欢迎下载使用。
命题探源·考向解密（分析近 3 年中考考向与命题特征）
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高频考点·妙法指津（5 大命题点+15 道中考预测题，中考必考·（3-12）分）
每个考点中考预测题3 道
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考点一 二次函数的定义
考点二 二次函数的图象与性质
命题 1 列二次函数关系式
命题 2 判断是否为二次函数
命题 3 根据二次函数的定义求参数
命题 1 二次函数的性质综合判断
命题 2 利用二次函数的性质比较大小
命题 3 画二次函数的图象
命题 4 二次函数中平移问题
命题 5 已知二次函数对称的两点求对称轴
命题 6 根据二次函数的对称轴求函数值
命题 7 待定系数法求二次函数解析式
考点三 二次函数的图象与系数的关系
考点四 二次函数与方程组或不等式组综合
命题 1 二次函数图象与系数关系（压轴）
命题 2 函数图象综合判断
命题 3 二次函数中最值问题
命题 4 利用二次函数的对称性求最短路径
命题 1 图象法解不等式
命题 2 根据交点确定不等式的解集
考点五 二次函数与几何综合（压轴题）
命题 1 二次函数综合之线段周长问题
命题 2 二次函数综合之面积问题
命题 3 二次函数综合之角度问题
命题 4 二次函数综合之特殊三角形问题
命题 5 二次函数综合之特殊四边形问题
命题 6 二次函数综合之相似三角形问题
命题 7 二次函数综合之定值定点定线段问题
命题 8 二次函数综合之交点个数问题
考点
考向
命题特征
二次函数图象基础性质辨析
已知解析式，判断图象开口方向、对称轴、顶点坐标、所在象限、与坐标轴的交点特征；
已知图象特征（开口、对称轴、顶点位置、分布位置），求参数 a、b、c的取值范围；
二次函数图象的平移、对称变换，求变换后函数解析式；
图象与解析式的对应关系辨析，区分二次函数与其他函数图象；
含参数二次函数图象位置的综合判
断。
中考基础/中档核心考点，选择题、填空题为主，分值 3~6 分，属必拿分基础题；
侧重考查 a、b、c 的符号与图象特征的对应关系，数形结合思想渗透；
常结合一次函数、反比例函数图象进行辨析，考查函数图象的识别与判断；
命题难度低，侧重基础概念与图象性质的识记、辨析。
二次函数增减性与最值问题
已知解析式，判断函数单调增减区间、确定函数最高点/最低点；
结合自变量取值范围，求解二次函数定区间最值；
根据函数最值、极值条件，反求解析式中参数的取值；
含参数二次函数动轴定区间、定轴动区间最值综合分析；
结合函数图象比较不同自变量对应
的函数值大小。
中考基础/中档高频考点，选择、填空、解答小题均会考查，分值 3~6 分；
侧重考查对称轴与区间位置关系，深度渗透分类讨论、数形结合思想；
常结合函数解析式、参数范围综合命题，是函数大题的基础核心考向；
命题梯度分明，基础题侧重公式识记，中档题侧重区间最值综合分析。
二次函数 系数 a、b、 c 综合符号判断
由函数图象，判断 a、b、c 及 abc、 2a+b、a+b+c 等代数式符号；
由系数及代数式符号，反向推理图象结论、正误选项辨析；
结合对称轴、交点信息，求解参数大小关系与取值范围；
结合判别式Δ，判断函数与 x 轴交点个数综合问题；
多结论组合选择题的正误综合判
断。
中考经典中档选择压轴考点，固定选择题考查，
单题分值 3 分；
全面考查图象与系数的互推逻辑，是数形结合思想的核心载体；
题目陷阱多、综合性强，是基础分向中档分跨越的分水岭考点；
命题侧重多结论综合辨析，注重图象细节推导与逻辑严谨性。
待定系数法求二次函数解析式
已知图象上点的坐标，选用一般式、顶点式、交点式求解解析式；
结合顶点、最值、对称轴、坐标轴交点等条件，求函数表达式；
结合一次函数交点、几何条件，综合求解二次函数解析式；
根据图象变换前后特征，反推原函
数解析式；
结合二次函数图象，求解线段长度、三角形、四边形面积相关计算；
探究图象上动点、定点问题，存在性（直角、等腰、平行四边形）综合分析；
结合点坐标、线段最值、面积最值，求解相关参数与点坐标；
结合几何图形性质，进行函数背景下的几何证明
与综合计算；
5. 结合实际问题背景，求解二次函数模型解析式。
5. 函数背景下几何图形分类讨论、多情况综合探究。
二次函数与方程、不等式综合
根据函数图象与 x 轴交点，求解对应一元二次方程的实数根；
结合函数图象，直接读取一元二次不等式的解集范围；
二次函数与一次函数图象交点问题，比较函数值大小；
结合判别式，探究方程根的个数、参数取值范围问题；
函数、方程、不等式三者综合转化
与应用辨析。
中考中档核心综合考点，选择、填空、解答全题型覆盖，分值 3~8 分；
打通函数、方程、不等式三大模块，全面渗透数形结合解题思想；
常跨模块结合命题，侧重图象读图能力与代数转化能力考查；
命题综合性强，是衔接基础小题与压轴大题的核心过渡考点。
二次函数与几何综合问题
结合二次函数图象，求解线段长度、三角形、四边形面积相关计算；
探究图象上动点、定点问题，存在性（直角、等腰、平行四边形）综合分析；
结合点坐标、线段最值、面积最值，求解相关参数与点坐标；
结合几何图形性质，进行函数背景下的几何证明与综合计算；
函数背景下几何图形分类讨论、多
情况综合探究。
中考代数压轴重难点核心考点，固定解答大题压轴小题考查，分值 6~10 分；
侧重函数与几何融合综合分析，深度渗透数形结合、分类讨论思想；
综合性极强，跨函数、平面几何多模块融合，试卷高分拉开差距核心考点；
命题梯度跨度大，注重综合计算、几何分析与解题逻辑完整度。
【答案】? = −10?2 +200?−360
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为(?−2)元，销售量为
50 + 10(13−?) 件，据此列出对应的函数关系式即可．
【详解】解：由题意得，? = (?−2) 50 + 10(13−?)
= (?−2) (180−10?)
考点一 二次函数的定义
《解题指南》
一、二次函数的定义
形如? = ??2 +?? + ?的函数叫二次函数，必须同时满足：
①最高次数是 2；②二次项系数 a≠0；③是整式函数(分母、根号里不能有 x)
二、判断一个函数是不是二次函数只看三点：
①化简后是不??2 +?? + ?形式；②a≠0；③没有 x 在分母、根号里
命题点 01 列二次函数关系式
【典例】（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是?，宽是长的一半，面积是?，那么?关于?的解析式是
．（不要求写定义域）．
2
2
故答案为? = ? ．
22
2
即? = ? × ? = ? ．
?
因此宽为2．长方形的面积?等于长乘以宽，
2
【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解．
【详解】解：∵长方形的长是 ?，宽是长的一半，
2
【答案】? = ?
【变式 1】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为 2 元，据市场调查，销售单价是 13 元时，平均每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，平均每天就可以多售出 10 件．若设降价后售价为?元，每天利润为?元，则?与?之间的函数关系为．
= −10?2 +200?−360，
故答案为：? = −10?2 +200?−360．
【答案】? = −?2 +1（答案不唯一）
【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键.
根据抛物线的最高点在 y 轴上，可知? < 0，? = 0，抛物线与 x 轴有两个交点，可知? ≠ 0，据此写出答案即可.
【详解】解：∵抛物线的最高点在 y 轴上，
∴−= 0，? < 0，? = 0，
?
2?
∵抛物线与 x 轴有两个交点，
∴? ≠ 0，
∴这条抛物线的表达式可以是：? = −?2 +1.
故答案是：? = −?2 +1（答案不唯一）
【变式 2】（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在 y 轴上，且与 x 轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是．
【答案】? = −?2 +20?
【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解．
【详解】解：原正方形面积为10 × 10 = 100（平方厘米），
边长减少?厘米后，新正方形边长为(10−?)厘米，面积为(10−?)2平方厘米，则? = 100−(10−?)2 = −?2 +20?，
故答案为：? = −?2 +20?．
【变式 3】（2025·上海奉贤·一模）一个边长为 10 厘米的正方形，如果它的边长减少 x 厘米(0 < ? < 10)，则正方形的面积随之减少 y 平方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式是．
命题点 02 判断是否为二次函数
【典例】（2026·河南周口·一模）下列各式中，?是关于?的二次函数的是（ ）
A．? = 1
?2
B．?2−? + 2 = 0C．? = 2? + 1D．?2 = ?2−1
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如? = ??2 +?? + ?（? ≠ 0，?,?,?为常数）的整式函数，
据此逐一判断即可．
【详解】解：A、? = ?2是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意；
B、整理?2−? + 2 = 0得? = ?2 +2，符合? = ??2 +?? + ?(? = 1 ≠ 0)，符合二次函数定义，该选项符合题意；
1
C、? = 2? + 1中 x 的最高次数为 1，是一次函数，该选项不符合题意；
D、?2 = ?2−1中，一个 x 对应两个不同的 y 值，y 不是 x 的函数，该选项不符合题意．
3
【变式 1】（2025·河南开封·一模）下列?关于?的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．? = 2?2−5?B．? = 6? + 1C．? = 1
?
D．? = 4?
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如? = ??2 +?? + ?（?、?、?为常数，且? ≠ 0）的函数叫做二次函数”进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：A、? = 2?2−5?是二次函数，符合题意；
B、? = 6? + 1是一次函数，不合题意；
C、? = ?是反比例函数，不合题意；
1
D、? = ?是正比例函数，不合题意；
3
4
故选：A．
【变式 2】（2025·上海嘉定·一模）下列?关于?的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．? = ??2 +?? + ?B．? = (?−5)2−?2
C．? = ?2 +1D．? = 2
?2
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．
【详解】解：A、当? = 0时，? = ??2 +?? + ?不是二次函数，不符合题意；
B、? = (?−5)2−?2 = −10? + 25，不是二次函数，不符合题意；
C、? = ?2 +1，是二次函数，符合题意；
D、? = ?2，不是二次函数，不符合题意；
故选 C．
2
【变式 3】（2025·上海金山·一模）下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．? = 3? + ?2（其中?是常数）B．? = ??2 +?? + ?（其中?、?、?是常数）
4
C．? = (2?−1)?D．? = (? + 4)2−?2
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、当? = 0时，不是二次函数，不符合题意；
C、? = (2?−1)? = 2?2−?，是二次函数，符合题意；
D、? = (? + 4)2−?2 = 8? + 16，不含二次项，不是二次函数，不符合题意．故选 C．
命题点 03 根据二次函数的定义求参数
【典例】（2026·上海虹口·一模）已知? = (?−3)?|?−1|（?为常数）是二次函数，那么?的值是（ ）
B．−1C．−3D．3 或−1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x 的指数必须为 2，且系数不为零，进行分析，即可作答．
【详解】解：∵? = (?−3)?|?−1|（?为常数）是二次函数，
∴?−3 ≠ 0,|?−1| = 2，
∴? ≠ 3,?−1 =± 2，解得? = −1，
故选：B．
【变式 1】（2026·甘肃白银·模拟预测）若? = (?−3)??2−2?−1−2是二次函数，则? = ．
【答案】−1
【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为 0，且自变量的最高次数为 2，
?−3 ≠ 0
即 ?2−2?−1 = 2 ，
整理，得?2−2?−1 = 2，
∴?2−2?−3 = 0，
∴(?−3)(? + 1) = 0，
解得? = 3或? = −1，结合? ≠ 3，
可得? = −1．
【变式 2】（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线? = (2−?)?2 +?−1的开口向下，那么?的取值范围是．
【答案】? > 2
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线开口向下可得出? > 2，再结合二次函数的定义即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知：2−? < 0且2−? ≠ 0，解得：? > 2，
故答案为：? > 2
中考预测题
1．已知二次函数? = ??2−2?−1的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ）
A．? > −1B．? < 1
C．? ≥ −1且? ≠ 0D．? ≤ 1且? ≠ 0
【答案】C
【分析】根据二次函数要求二次项系数不为 0，二次函数图象与 x 轴有交点时对应一元二次方程的判别式
? ≥ 0，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次函数? = ??2−2?−1，
∴二次项系数? ≠ 0，
又∵该函数图象和?轴有交点，即方程??2−2?−1 = 0有实根，
∴? = ?2−4?? = (−2)2−4 ⋅ ? ⋅ (−1) ≥ 0，化简得4 + 4? ≥ 0，解得? ≥ −1，
综上?的取值范围是? ≥ −1且? ≠ 0．
2．已知二次函数? = ??2−3?−2与一次函数? = −? + 1的图象有交点，则 k 的取值范围是（ ）
A．? ≥ −1
1
1
B．且? ≠ 0C．
1
3
D．? > −且? ≠ 0
3? ≥ −3
? > −
3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的定义，学会联立函数解析式是解题的关键．根据二次函数定义可知? ≠ 0，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用Δ ≥ 0即可得出答案．
【详解】解： ∵ 二次函数? = ??2−3?−2，
∴ ? ≠ 0，
联立
? = ??2−3?−2
? = −? + 1
，
整理得：??2−2?−3 = 0，
∵ 二次函数? = ??2−3?−2与一次函数? = −? + 1的图象有交点，
∴ Δ = 4−4? ⋅ (−3) ≥ 0，
解得：? ≥ −3，
1
∴ k 的取值范围是? ≥ −3且? ≠ 0．
故选：B．
1
3．天气瓶是生活中常见的装饰品，它的结晶状态会随温度发生改变．制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵．这两种物质在水中的溶解度?g与温度?(℃)的函数图象如图所示．
信息窗
在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．
在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
下列说法正确的是（ ）
A．硝酸钾和氯化铵的溶解度?g与温度?(℃)分别满足二次函数和一次函数关系 B．当0℃ < ? < 60℃时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大 C．硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度始终不一样
D．?℃时，将20g氯化铵加到100g水中可得到饱和溶液
【答案】B
【分析】此题考查了从函数图象获取信息，读懂题意，从图象获取正确信息是关键．根据图象分析即可．
【详解】解：根据题图，无法判断硝酸钾的溶解度? g 与温度?(℃)满足二次函数，根据题意可知，氯化铵
的溶解度? g 与温度?(℃)之间的函数图象不是直线，故氯化铵的溶解度? g 与温度?(℃)一定不满足一次函数关系，故选项 A 错误；
观察图可知，当0℃ < ? < 60℃时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大，故选项 B 正确，
符合题意；
由图可知，?℃时硝酸钾和氯化铵在水中的溶解一样，故选项 C 错误，不符合题意；由题意可知，?℃时，氯化铵的溶解度大于20g，
∴将氯化铵加到100g水中可得到不饱和溶液，故选项 D 错误，不符合题意；
故选：B．
考点二 二次函数的图象与性质
《解题指南》
一、核心解题总策略：3 步通关法
第 1 步：快速预处理(把函数变成“看得懂”的形式)
拿到函数式，先做这两步，所有性质一眼就能看出来：
化成顶点式(首选)
对一般式? = ??2 +?? + ?，用配方法化为：? = ?(?−ℎ)2 +?
直接读出：①对称轴：? = ℎ；②顶点坐标：(h,k)；③开口方向：由 a 的正负决定
提取关键参数
不用配方也能快速得到核心信息：
?2
①开口方向：看?(? > 0上,? < 0下)；②对称轴：公式? = − ；顶点纵坐标(最值)：公式? = 4??−?
2?4?
第 2 步：按固定顺序，逐项核对选项
按这个顺序检查，不会漏项、不会搞混逻辑：
检查顺序
检查内容
核心判断依据
①
开口方向
二次项系数 a 的正负
②
对称轴/顶点坐标
b
顶点式或公式x = −
2a
③
增减性（单调性）
开口方向 + 对称轴位置，分左右两侧判断
④
最值情况
开口方向 + 顶点纵坐标，区分最大 / 最小值
命题点 01 二次函数的性质综合判断
【典例】（2026·陕西榆林·一模）已知二次函数? = ?2−2?? + ?2 +1（?为常数）的对称轴为? = 2，下列说法中正确的是（ ）
A．图象与?轴的交点可能在?轴负半轴上 B．该二次函数的最小值为5
C．图象与?轴有一个交点
D．若点?(−2,?1)，?(3,?2)在该函数图象上，则?1 > ?2
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的性质，灵活运用二次函数的对称轴公式、顶点坐标公式、与坐标轴的交
点判定方法以及函数的增减性是解题的关键．根据二次函数对称轴公式? = −2?，先由对称轴为? = 2求出参
数?的值，确定函数解析式；再分别分析函数与?轴、?轴的交点情况、函数的最小值，以及抛物线上点到对
?
称轴的距离与函数值大小的关系，从而对各选项进行判断．
【详解】解： ∵ 二次函数? = ?2−2?? + ?2 +1的对称轴为? = 2，
∴ −= ? = 2，
−2?
2
∴ ? = ?2−2?? + ?2 +1 = ?2−4? + 5 = (?−2)2 +1，令? = 0，? = 5 > 0，
∴ 图象与?轴的交点在?轴正半轴上，A错误；
函数? = (?−2)2 +1开口向上，当? = 2时，?min = 1 ≠ 5，B错误；
∵ ?min = 1 > 0，Δ = (−4)2−4 × 5 = −4 < 0，
∴ 图象与?轴没有交点，C错误；
开口向上的抛物线，离对称轴越远，函数值越大，对称轴为? = 2：
点?(−2,?1)到对称轴的距离：|−2−2| = 4，
点?(3,?2)到对称轴的距离：|3−2| = 1，
∵ 4 > 1，
?1 > ?2，D正确．故选：D．
⑤
与坐标轴交点
与 y 轴：x = 0时的 y 值；与 x 轴：判别式 Δ=b2−4ac
⑥
特殊点/平移变换
代入坐标验证，或对比顶点式判断平移
【变式 1】（2026·陕西渭南·一模）将二次函数? = ?(? + 1)2 +ℎ（a、h 为常数，? ≠ 0）的图象向右平移 2
个单位长度，得到的新二次函数中部分 x 与 y 的对应值如下表：
则关于新二次函数的说法不．正．确．的是（）
A．其图象开口向下B．其图象的对称轴为? = 1
C．当? < 2时，y 的值随 x 值的增大而减小D．当? = −1时，? < 0
【答案】C
【分析】根据二次函数图象的平移可得新二次函数为? = ?(?−1)2 +ℎ，由表可得，当? = 1时，? = 7；当? = 2时，? = 4，代入解析式求解即可得到 a，h 的值，从而得到新二次函数的解析式，根据二次函数的图象及性质即可判断各个选项．
【详解】解∶将二次函数? = ?(? + 1)2 +ℎ的图象向右平移 2 个单位长度，得到新二次函数为? = ?(? + 1−2)2
+ℎ，即? = ?(?−1)2 +ℎ，
由表可得，当? = 1时，? = 7；当? = 2时，? = 4，
?(1−1)2 + ℎ = 7? = −3
∴ ?(2−1)2 + ℎ = 4 ，解得 ℎ = 7 ，
∴新二次函数为? = −3(?−1)2 +7．
∴其图象开口向下，对称轴为直线? = 1，当? < 1时，y 随 x 的增大而增大，
当? = −1时，? = −3 × (−1−1)2 +7 = −5 < 0．
综上所述，选项 A、B、D 正确，选项 C 错误．
【变式 2】（2026·广东珠海·一模）已知二次函数?=?2−2?−3，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上B．对称轴为直线? = 1
C．顶点坐标为(1,−4)D．当? > 1时，?随?的增大而减小
【答案】D
【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得出答案．
【详解】解：∵ ? = ?2−2?−3 = (?−1)2−4，? = 1 > 0，
∴ 抛物线开口向上，A 选项说法正确，
抛物线对称轴为直线? = 1，顶点坐标为(1,−4)，B、C 选项说法正确，
x
…
1
2
3
4
…
y
…
7
4
−5
−20
…
∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线? = 1，
∴ 当? > 1时，?随?的增大而增大，因此 D 选项说法错误．综上，只有 D 选项符合题意．
【变式 3】（2026·江苏连云港·模拟预测）关于二次函数? = −2(? + 5)2−3，下列说法正确的是 （ ）
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；根据二次函数的顶点形式，分析对称轴、顶点、最值及与?轴的交点情况．
【详解】解：∵ 二次函数为 ? = −2(? + 5)2−3，
∴ 对称轴为直线 ? = −5，在?轴左侧，选项 A 不符合题意；顶点坐标为 (−5,−3)，选项 B 不符合题意；
∵ ? = −2 < 0，
∴ 函数有最大值，最大值为 −3，无最小值，选项 C 不符合题意；
令 ? = 0，得 −2(? + 5)2−3 = 0，即 (? + 5)2 = −3 < 0，无实数根，
2
∴ 图象与?轴没有交点，选项 D 符合题意．
故选 D．
A．图像的对称轴在?轴的右侧B．图像的顶点坐标为(5,−3) C．?的最小值为−3D．图像与?轴没有交点
命题点 02 利用二次函数的性质比较大小
【典例】（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线? = ??2−2?? + ?−2的图象经过?(?−2,?1)，?(3−?,?2)，其中? > 4，且当? < 0时，y 值随 x 值的增大而增大，下列说法正确的是（ ）
A．?1 < ?2 < −2B．−2 < ?2 < ?1
C．−2 < ?1 < ?2D．?2 < ?1 < −2
【答案】D
【分析】先对抛物线配方得到对称轴和顶点坐标，根据已知增减性判断开口方向，再计算两点到对称轴的距离，结合开口向下抛物线的性质比较函数值大小即可．
【详解】解：∵? = ??2−2?? + ?−2 = ?(?−1)2−2，
∴抛物线对称轴为直线? = 1，顶点坐标为(1,−2)，顶点纵坐标为−2，
∵当? < 0时，?随?的增大而增大，? < 0在对称轴? = 1左侧，
∴抛物线开口向下，? < 0，
∵开口向下时抛物线顶点为最高点，
∴抛物线上所有非顶点的点纵坐标都小于−2，
设点 A，B 到对称轴的距离分别为?1和?2，
∵? > 4，
∴?1 = |(?−2)−1| = |?−3| = ?−3，?2 = |(3−?)−1| = |2−?| = ?−2，
∵?2−?1 = (?−2)−(?−3) = 1 > 0，
∴?2 > ?1，即?点离对称轴更远，
∵抛物线开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小，
∴?2 < ?1 < −2．
【变式 1】（2026·福建三明·一模）已知点?(−2,?1)，?(−1,?2)和?(2,?3)都在关于?的二次函数? = −(?−1)2
+?的图象上，则?1，?2，?3的大小关系是（ ）
A．?3 < ?1 < ?2 B．?2 < ?3 < ?1C．?1 < ?3 < ?2D．?1 < ?2 < ?3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得抛物线开口向下，对称轴为直线? = 1，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数? = −(?−1)2 +?，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线? = 1，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，
∵2−1 < 1−(−1) < 1−(−2)，
∴?1 < ?2 < ?3．
【变式 2】（2025·浙江杭州·一模）设函数?1 = −(?−?1)2，?2 = −(?−?2)2，直线? = 1的图象与函数?1，?2
的图象分别交于点?(1,?1)，?(1,?2)，得（ ）
A．若1 < ?1 < ?2，则?1 < ?2B．若?1 < 1 < ?2，则?1 < ?2
C．若?1 < ?2 < 1，则?1 < ?2D．若?1 < ?2 < 1，则?2 < ?1
【答案】C
【分析】将? = 1代入两个函数得到?1和?2的表达式，再结合各选项中?1，?2的大小关系，比较?1和?2的大小即可得到答案．
【详解】解：依题意，?1 = −(1−?1)2，?2 = −(1−?2)2，
∴?1−?2 = −(1−?1)2 + (1−?2)2 = (1−?2)−(1−?1) (1−?2) +(1−?1) = (?1−?2)(2−?1−?2).
若?1 < ?2 < 1，
∵?1 < ?2，∴?1−?2 < 0，
∵?1 < 1，?2 < 1，∴?1 + ?2 < 2，即2−?1−?2 > 0，
∴?1−?2 = (?1−?2)(2−?1−?2) < 0，即?1 < ?2，C 正确，D 错误．
若1 < ?1 < ?2，?1−?2 < 0，?1 + ?2 > 2，2−?1−?2 < 0，得?1−?2 > 0，?1 > ?2，A 错误．若?1 < 1 < ?2，?1−?2 < 0，无法确定2−?1−?2的正负，无法得到?1 < ?2，B 错误．
命题点 03 画二次函数的图象
【典例】（2026·河南周口·一模）已知关于 x 的二次函数? = ??2 +4? + ?，x 与 y 的几组对应值如表所示．
求 a，c 的值．
求二次函数的对称轴，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
【答案】(1)? = −2，? = 1
(2)? = 1，画图见解析
(3)0 ≤ ? ≤ 2
【分析】（1）根据表格中的对应数据列方程组求解即可；
（2）根据二次函数对称轴为直线? = −2?求解，根据二次函数特征画图；
（3）根据二次函数图象得知抛物线开口向下，根据题意结合图象，?−1 ≥ −1，? + 1 ≤ 3，满足条件，计算
?
解得 t 的取值范围．
【详解】（1）解：由题意，得 4? + 8 + ? = 1 ，解得
?−4 + ? = −5
? = −2
? = 1 ，
若抛物线上有两点(?1,?1)，(?2,?2)，当?−1 ≤ ?1 ≤ ? + 1，?2 = 3时，均满足?1 ≥ ?2，直接写出 t 的取值范围．
x
…
−1
2
…
y
…
−5
1
…
∴? = −2，? = 1；
（2）解：由（1）得? = −2?2 +4? + 1，
∴二次函数的对称轴为直线? = −= 1，
?
2?
作图如下，
（3）解：0 ≤ ? ≤ 2，
∵−2 < 0，对称轴为直线? = 1，
∴当? ≤ 1时，y 随 x 的增大而增大；当? > 1时，y 随 x 的增大而减小，且? = −1和? = 3时的函数值相等，
∵当?−1 ≤ ?1 ≤ ? + 1，?2 = 3时，均满足?1 ≥ ?2，
∴?−1 ≥ −1，? + 1 ≤ 3，
∴0 ≤ ? ≤ 2．
【变式 1】（2026·广东茂名·一模）在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为? = |?2−2?−3|（单位：米），其中?表示距桥面基准线的垂直高度．小组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究：
(1)列表（完成以下表格）：
(2)描点并画出该桥拱截面轮廓线? = |?2−2?−3|的图象；
(3)根据图象完成以下问题：
（i）数学小组探究发现直线? = 5与函数? = |?2−2?−3|的图象交于点?、?，?(−2,5),?(4,5)，则不等式
|?2−2?−3| > 5的解集是；
?
．．．
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
．．．
?1 = ?2−2
．．．
12
5
−3
−4
0
5
12
．．．
? = |?2−2
．．．
12
5
3
4
0
5
12
．．．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)（i）? < −2或? > 4（ii）①直线??的解析式为? = −? + 3；②? = 9
4
【分析】（1）把? = −1分别代入?1 = ?2−2?−3和? = |?2−2?−3|，求出?1和?的值，再填表即可；
（2）根据表格中的数据描点，连线可得函数的图象；
（3）（i）根据函数图象可得出不等式|?2−2?−3| > 5的解集；
（ii）①运用待定系数法求出??的解析式即可；
②画出函数图象，当直线平移时发现，直线与二次函数有三个交点时，直线与? = −?2 +2? + 3相切时可得结论．
【详解】（1）解：当? = −1时，?1 = (−1)2−2 × (−1)−3 = 1 + 2−3 = 0；所以，? = |0| = 0．
当? = 2时，?1 = 22−2 × 2−3 = 4−4−3 = −3
所以，? = |−3| = 3．补全表格如下：
（ii）设函数? = |?2−2?−3|的图象与?轴交于?、?两点（?位于?的右侧），与?轴交于点?．
①求直线??的解析式；
②探究应用：将直线??沿?轴平移?个单位后与函数? = |?2−2?−3|的图象恰好有 3 个交点，求此时?的值．
?
．
．．
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
．
．．
?1 = ?2−2
．
12
5
０
−3
−4
−3
0
5
12
．
解：描点，连线如图：
解：（i）由图象得：
不等式|?2−2?−3| > 5的解集为：? < −2或? > 4；
（ii）①根据题意得?(3,0)，?(0,3)，
设直线??的解析式为? = ?? + ?，
．．
．．
? = |?2−2
．
．．
12
5
０
3
4
3
0
5
12
．
．．
把?(3,0)，?(0,3)代入解析式得
? = −1
3? + ? = 0
? = 3，
解得 ? = 3 ，
所以，直线??的解析式为? = −? + 3；
②当−1 < ? < 3时，函数解析式为? = −?2 +2? + 3，
当直线??沿?轴平移?个单位后与函数? = −?2 +2? + 3图象相切时，与函数? = |?2−2?−3|的图象恰好有 3
个交点，
平移后的直线解析式为? = −? + 3 + ?，联立方程得−? + 3 + ? = −?2 +2? + 3，整理得?2−3? + ? = 0，
∵平移后的直线与函数? = −?2 +2? + 3图象相切，
∴方程?2−3? + ? = 0有相等的实数根，
∴Δ = (−3)2−4? = 0，
解得：? = 4．
9
【变式 2】（2026·河南周口·模拟预测）新考向 通过实验研究发现：当音量 x（单位：dB）满足40 ≤ ? ≤ 70
时，听觉舒适度 y 与音量 x 之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示．
音量 x/dB
40
45
50
55
60
65
70
听觉舒适度 y
1
6
9
10
9
6
1
求该二次函数的解析式；
在图 1 的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
【答案】(1)? = −
1
25
(?−55)
2
+10(40 ≤ ? ≤ 70)
见解析
0.6 ≤ ? ≤ 7.0
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象获取信息等知识．
利用待定系数法求出二次函数解析式，
根据表格数据和（1）中解析式画出二次函数的图象即可；
（3）由表格数据，当? = 6时，? = 45或 65，由图 2 可得，当? = 45时，? ≈ 7.0，当? = 65时，? ≈ 0.6，即可得到答案．
【详解】（1）解：由二次函数点的坐标对称性质可设该二次函数的解析式为：? = ?(?−55)2 +10，
∵经过点(45,6)，
∴ 6 = ?(45−55)2 +10，
解得：? = −25，
1
∴该二次函数的解析式为：? = − (?−55)2 +10(40 ≤ ? ≤ 70)，
1
25
（2）解：依据题意，得函数图象如下：
在家听音乐时，王林听到的音量 x 与所坐位置到音箱的距离 d（单位：m）的关系如图 2 所示．若他希望听觉舒适度不小于 6，根据此实验研究结果，求出王林所坐位置到音箱的距离 d 的取值范围（结果保留小数点后一位）．
（3）解：由（1）知函数解析式为? = − (?−55)2 +10，
1
25
根据表格或图像可知：当? = 6时，? = 45或 65，
∵ 若王林希望听觉舒适度不小于 6，
∴ 根据数形结合可知：45 ≤ ? ≤ 65，
由图 2 知，当? = 45dB时，对应的距离 d 约为7.0m；当? = 65dB时，对应的距离 d 约为0.6m；
∴ 0.6 ≤ ? ≤ 7.0．（注：本题答案不唯一，答案在合理区间即可，d 的最小值在 0.5～0.8 之间，d 的最大值
在 6.5～7.2 之间）
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
a
0
…
【变式 3】（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数? = −?2 +?? + ?部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表所示：
(1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标：，? =
(3)当−?2 +?? + ? = 4时，写出方程−?2 +?? + ? = 4的解．
【答案】(1)见解析
(2)(1,4)，3
(3)?1 = ?2 = 1
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式的性质是关键．
根据描点、连线，画二次函数图象即可；
根据二次函数的顶点式进行解答即可；
根据图象和顶点坐标进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：∵当? = −1和? = 3时，? = 0，
∴抛物线的对称轴为直线? =
−1+3
2
= 1，
∵当? = 1时，? = 4，
∴顶点坐标为(1,4)，
∵当? = 0和? = 2时，函数值相等，
∴? = 3，
故答案为：(1,4)，3；
（3）解：根据图象? = −?2 +?? + ?的顶点坐标为(1,4)，可知二次函数方程−?2 +?? + ? = 4的解为?1 = ?2
= 1．
命题点 04 二次函数中平移问题
【典例】（2026·四川达州·一模）如图，将函数? = 2(?−3)2 +1的图象沿 y 轴向上平移得到一条新函数的图
3
象，其中点?(2,?)，?(7,?)平移后的对应点分别为点?′，?′．若曲线段??扫过的面积为 20（图中的阴影部
分），则新图象的函数表达式是（ ）
A．? = 2(? + 2)2 +1B．? = 2(?−3)2−3
33
C．? = 2(?−3)2 +5D．? = 2(?−3)2 +7
33
【答案】C
【分析】连接??,?′?′,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形?′?′??的面积，由题意易得点?、?的水平距离即为该平行四边形?′?′??的高，然后可得??′ = 4，进而问题可求解．
【详解】解：连接??,?′?′,
∴阴影部分的面积为平行四边形?′?′??，
∵?(2,?)，?(7,?)，
∴点?,?的水平距离为7−2 = 5，
∴5??′ = 20,
∴??′ = 4，
∴抛物线向上平移 4 个单位长度，则平移后的抛物线解析式为? = 2(?−3)2 +5．
3
【变式 1】（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数? = (?−1)2 +2的图象平移后经过点(1,5)，下列平移方式正确的是（ ）．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，求出各选项平移后的解析式，代入点(1,5)验证即可得到结果．
【详解】解：对于选项 A：平移后解析式为? = (?−1−1)2 +2−1 = (?−2)2 +1，当? = 1时，? = 2，不符合题意；
对于选项 B：平移后解析式为? = (?−1−1)2 +2−2 = (?−2)2，当? = 1时，? = 1，不符合题意；
对于选项 C：平移后解析式为? = (?−1 + 1)2 +2 + 2 = ?2 +4，当? = 1时，? = 5，符合题意；
对于选项 D：平移后解析式为? = (?−1 + 2)2 +2 + 1 = (? + 1)2 +3，当? = 1时，? = 7，不符合题意．
A．向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位B．向右平移 1 个单位，向下平移 2 个单位 C．向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位D．向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位
【变式 2】（2026·陕西西安·三模）已知二次函数? = ??2 +??−3?，当−4 ≤ ? ≤ 0时函数值 y 有最大值 1，且函数图象向右平移 3 个单位后经过坐标原点，则 b 的值为（ ）
1
2
−
A．B．
124
C． D． 或 1
52−2或5−5
2
解得? = 5；
2
5
2 ?−4? = ? = 1，
2
将? = 1?代入得：16?−3?−4? = 13?−4? = 13
2?2?
∴二次函数? = ??2 +??−3?的对称轴为直线? = −1，
①当? > 0时，
∵当−4 ≤ ? ≤ 0时，函数值 y 有最大值 1，−1−(−4) > 0−(−1)，
∴当? = −4时，?最大 = 1，
∴16?−4?−3? = 1，
?2?
∵? = −= −= −1，
2
解得? = 1?，
轴为直线? = −1，①当? > 0时，②当? < 0时，由二次函数的最值即可求解．
【详解】解：二次函数向右平移 3 个单位长度后，得? = ?(?−3)2 +?(?−3)−3?，
∵平移后的二次函数经过原点，
∴?(0−3)2 +?(0−3)−3? = 0，
2
【分析】由二次函数图象平移的规律得? = ?(?−3)2 +?(?−3)−3?，由经过原点得? = 1?，由抛物线的对称
【答案】C
②当? < 0时，
∵当−4 ≤ ? ≤ 0时，函数值 y 有最大值 1，
∴当? = −1时，?最大 = 1，
∴?−?−3? = 1，
将? = 1?代入得：?−3?−? = −2?−? = −?−? = −2? = 1，
2
解得? = −2，
1
综上，b 的值为−2或5．
12
【变式 3】（2025·广西·一模）把抛物线? = ??2−2?? + 3(? > 0)沿直线
1
? = 3? + 1
方向平移 10个单位后，
其顶点在原抛物线上，则?是（ ）
1111
A．10B．9C．7D．5
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线? = 1? + 1方向的平移分解为水平方向和竖直方
3
向的平移．
先求原抛物线的顶点，再根据平移方向和距离确定平移方式，平移后顶点在原抛物线上，代入方程求解．
【详解】原抛物线? = ??2−2?? + 3可化为? = ?(?−1)2 + (3−?)，顶点为(1,3−?)，
已知直线? = 1? + 1，当? = 0时，? = 1；当? = 0时，? = −3，
3
∴ 一次函数过点(0,1)，(−3,0)，
∵12 + 32 = 10，
∴ 平移方式为向右平移3个单位，向上平移1个单位或向左平移3个单位，向下平移1个单位，新的顶点为(4,4−?)或(−2,2−?)，
当顶点为(4,4−?)时，
∴ 4−? = ? ⋅ 42−2? ⋅ 4 + 3 = 16?−8? + 3 = 8? + 3，
∴ 4−? = 8? + 3，
4−3 = 8? + ?，
1 = 9?，
? = 9；
当顶点为(−2,2−?)时，
1
2−? = ? ⋅ (−2)2−2? ⋅ (−2) +3 = 4? + 4? + 3 = 8? + 3，
∴ 2−? = 8? + 3，
2−3 = 8? + ?，
−1 = 9?，
? = −9，与 ? > 0 矛盾；
1
故? = 9．
故选：B．
1
命题点 05 已知二次函数对称的两点求对称轴
【典例】（2026·陕西西安·一模）二次函数? = ??2 +?? + ?（a，b，c 为常数，a ≠ 0）的图象经过?(−1,?)
，?(0,−1)，?(3,?)三点，则4? + 2?−?的值为（ ）
A．−2B．2C．1D．−1
【答案】C
【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，则可求出对称轴，得到 a 与 b 的关系，再由 B 点坐标得到 c 的值，最后代入式子计算即可．
【详解】解：∵二次函数? = ??2 +?? + ?经过?(−1,?)，?(3,?)，
∴二次函数的对称轴为直线? =
−1+3
2
= 1，
∴−= 1，
?
2?
∴? = −2?
∵二次函数的图象经过?(0,−1)，
∴将? = 0,? = −1代入解析式得? = −1，
∴4? + 2?−? = 4? + 2(−2?)−(−1) = 4?−4? + 1 = 1．
【变式 1】（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线? = ? ?−
2
1
2
+?(? > 0)交 x 轴于点?(?,0),?(?,0)，若
−1 < ? < 0，则 n 的取值范围是（ ）
A．
31
− < ? < −
11
B．
− < ? 0)的对称轴为直线? = ，
1 2
1
22
而抛物线交?轴于点?(?,0),?(?,0)，
∴点?与点?关于直线? = 2对称，
∵−1 < ? < 0，
1
即点?在(−1,0)与(0,0)之间，
∴ 点?在(1,0)与(2,0)之间，
∴ 1 < ? < 2，故选：C．
【变式 2】（2025·广东深圳·三模）已知二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象如图所示，则图象与 x 轴正半轴交点 M 的横坐标是（ ）
A．4B．2C．3D．−4
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点，由图象可知，抛物线的对称轴为直线? = 1，与 x 轴负半轴的交点横坐标是−1，根据抛物线的对称性可得图象与 x 轴正半轴交点 M 的横坐标是2 × 1−(−1) = 3．
【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线? = 1，与 x 轴负半轴的交点横坐标是−1，
∴ 图象与 x 轴正半轴交点 M 的横坐标是2 × 1−(−1) = 3．故选：C．
命题点 06 根据二次函数的对称轴求函数值
【典例】（2026·陕西西安·三模）已知二次函数? = ??2 +4?? + ?(? > 0)的函数图像经过?(1,4?)，?
?,?2 + 5两点，则?的值可能是（ ）
A．0B．−2C．2D．−3
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称性得到抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，根据完全平方公式判断出?2 +5 > 4?，则|?−(−2)| > |1−(−2)|，求解即可．
【详解】解：∵二次函数? = ??2 +4?? + ?(? > 0)，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线? = −= −2，
4?
2?
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∵?2 +5−4? = (?−2)2 +1 > 0，
∴?2 +5 > 4?，
∵二次函数? = ??2 +4?? + ?(? > 0)的函数图像经过?(1,4?)，? ?,?2 + 5 两点，
∴|?−(−2)| > |1−(−2)|，解得：? < −5或? > 1．只有 2 在范围内，
即?的值可能是 2．
【变式 1】（2025·河南濮阳·一模）如图，抛物线? = ??2 +?? + ?经过点?(−3,0)，且其对称轴是直线
? = 1，则一元二次方程??2 +?? + ? = 0的根是．
【答案】?1 = −3，?2 = 5
【分析】此题主要考查了抛物线与?轴的交点，正确得出抛物线与?轴的交点坐标是解题关键．先通过对称轴? = 1得出?(−3,0)的对称点，即为抛物线与?轴的交点，再求出一元二次方程??2 +?? + ? = 0的根即可．
【详解】解：∵抛物线? = ??2 +?? + ?与?轴的一个交点是?(−3,0)，对称轴为直线? = 1，
设另一个交点的坐标为(?,0)，
∴?−3 = 1，解得? = 5，
2
∴抛物线? = ??2 +?? + ?与?轴的另一个交点是(5,0)，
∴一元二次方程??2 +?? + ? = 0的解是：?1 = −3，?2 = 5．
故答案为：?1 = −3，?2 = 5．
?
…
−2
−0.8
1
2
3
…
?
…
2
?
−1
?
2 5
…
5
【变式 2】（2025·江苏扬州·二模）二次函数? = ??2 +?? + ?（?，?，?是常数，? ≠ 0）的自变量?与函数值?的部分对应值如下表：则??．（填“>”“ ．
∴? > ?．
1
2
∵ 2− < 1.3，
1
点 2,? 距离对称轴 2−2个单位，
1
∴点(−0.8,?)距离对称轴2−(−0.8) = 1.3个单位，
2
2
根据抛物线的对称性得对称轴为? = −2+3 = 1，
1
距离对称轴 2− 2 个单位，结合函数图像即可得到? > ?．
【详解】解：如图，根据点 −2,2 5 ，(1,−1)， 3,2 5 画出二次函数大致图像，
2,?
1
画出二次函数大致图像，即可得到抛物线对称轴为? = 2，再求出点(−0.8,?)距离对称轴1.3个单位，点
【答案】 >
【分析】本题考查了二次函数的性质等知识，综合性较强，难度较大．先根据点 −2,2 5 ，(1,−1)， 3,2 5
命题点 07 待定系数法求二次函数解析式
【答案】? = −?2 +2? + 3
【分析】利用待定系数法将?(−1,0)，?(3,0)，?(0,3)代入? = ??2 +?? + ?求解即可．
【详解】解：将?(−1,0)，?(3,0)，?(0,3)代入? = ??2 +?? + ?得，
?−? + ? = 0
9? + 3? + ? = 0
? = 3
解得
? = −1
? = 2
? = 3
∴该二次函数的解析式为? = −?2 +2? + 3．
【典例】（2026·河南周口·一模）已知二次函数? = ??2 +?? + ?的图象与 x 轴交于?(−1,0)、?(3,0)两点，与 y 轴交于点?(0,3)，则该二次函数的解析式为．
【变式 1】（2026·安徽安庆·一模）新定义：对于给定的二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)，我们把形如
??2−?? + ?(? ≥ 0)
? = −??2−?? + ?(? < 0) 的函数称为二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的“友好关联函数”，运用此定义解决
下列问题：
已知二次函数? = ?2 +2? + 3．
请写出这个二次函数的“友好关联函数”的表达式；
【答案】
?2−2? + 3(? ≥ 0)
? = −?2−2? + 3(? < 0)
− ,
2 4
3 15
【分析】（1）充分理解“友好关联函数”的定义，再结合二次函数? = ?2 +2? + 3，进行分析，即可作答；
（2）理解题意，再进行分类讨论，确定?(−1,4)；同理确定?(3,6)，再由待定系数法确定直线??的函数解
析式为? = 1? + 9，再分两种情况分析：当? ≥ 0时，当? < 0时，联立两个函数求解即可．
2
2
【详解】解：（1）∵? = −??2−?? + ?(? < 0) 的函数称为二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的“友好关联函
数”．且二次函数? = ?2 +2? + 3．
?2−2? + 3(? ≥ 0)
??2−?? + ?(? ≥ 0)
∴这个二次函数的“友好关联函数”的表达式? =
−?2−2? + 3(? < 0) ；
（2）∵−1 < 0，
∴点?(−1,?)在函数? = −?2−2? + 3上，
∴? = −(−1)2−2 × (−1) + 3 = 4，
∴点?(−1,4)；
若点?(−1,?)和点?(?,6)在这个二次函数的“友好关联函数”的图象上，请写出直线??与该“友好关联函数”图象的交点坐标（除了?、?两点）．
2
= 17
4
? = −?2−2? + 3
当? < 0时，联立得：
? = 1 ? + 9
22
解得： 1 = −1 （与点 A 重合，舍去）或
?
?
2
?1 = 4
?
= − 3
2 ，
2
= 15
4
∴直线??与该“友好关联函数”图象的交点坐标为 − 2 , 4 ．
3 15
? = 1 ? + 9
代入得： 4 = −? + ? ，解得： ? = 9 ，
6 = 3? + ?
? = 1
2
2
∴? = 2? + 2，
1
9
? = ?2−2? + 3
当? ≥ 0时，联立得：
当? ≥ 0时，把?(?,6)代入? = ?2−2? + 3，得6 = ?2−2? + 3，
解得? = 3或? = −1 < 0（舍去）；
当? < 0时，把?(?,6)代入? = −?2−2? + 3，得6 = −?2−2? + 3，整理得：?2 +2? + 3 = 0，
Δ = 22−4 × 1 × 3 = −8 < 0，
∴方程无解；
∴?(3,6)；
设直线??的函数解析式为? = ?? + ?，
22
解得： 1 = 3 （与点 B 重合，舍去）或
?
?
2
?1 = 6
?
= − 1
2 （不符合题意，舍去）；
【变式 2】（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系???中，点(2,?)，(3,?)在抛物线? = ??2 +?? + ?(? > 0)
上，抛物线的对称轴是直线? = ?，若? < ? < ?，则 t 的取值范围是（ ）
A．? > 5
3
5
B < ? <
C．1 < ? < 3D．1 < ? < 3
2．2222
【答案】B
【分析】首先判断出抛物线开口向上，当? > ?时，y 随 x 的增大而增大；当? < ?时，y 随 x 的增大而减小，抛物线与 y 轴交于点(0,?)，然后分情况讨论求解即可．
【详解】解：∵? > 0
∴抛物线开口向上
∵抛物线的对称轴是直线? = ?，
∴当? > ?时，y 随 x 的增大而增大；当? < ?时，y 随 x 的增大而减小
5
3
综上所述，t 的取值范围是2 < ? < 2．
∵0 < 2 < 3
∴? < ? < ?，不符合题意；
5
∴2 < ? < 2
当对称轴在点(3,?)右边时，即当? ≥ 3时，
5
2
∴?−2 < 3−?，即? 2；
∵当? = 0时，? = ?
∴抛物线与 y 轴交于点(0,?)当? ≤ 0时，
∵0 < 2 < 3
∴? < ? < ?，不符合题意；当当0 < ? ≤ 2时，
∵? < ? < ?
∴对称轴到(3,?)的距离小于对称轴到(0,?)的距离
中考预测题
如图 1，在菱形????中，∠??? = 120°，点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度沿??向终点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿折线?−?−?向终点 D 匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为 x 秒，??2
为 y．如图 2，y 关于 x 的函数图象经过最低点?(2,?)．下列说法不正确的是（ ）
A．? = 7B．? = 25
C．? = 147
4
D．点(4,28)在该函数图象上
【答案】B
【分析】连接??，交??于点 0，过点 Q 作?? ⊥ ??于点 H，结合菱形的性质得?? = ?? = ??，
??????
∠??? = 60°，?? ⊥ ??，进一步判定 △ ??? ∽△ ???，有?? = ?? = ??，根据题意可知点 Q 以每秒 2 个单
位的速度沿折线?−?−?向终点 D 匀速运动，图 2 的对称性可知，当点 Q 运动至点 C、点 P 运动至点 0 时，
77
? = ?? = 3.5，则?? = 2?? = 7，则?? = 2 3和?? = 2，结合图 2 可知点? = 7，此时点 P 与点 B 重合，
点 Q 与点 D 重合，进而分：点 Q 在线段??运动时，解得?? = ?、?? = 3?和?? = ??−??，利用勾股定理求得??2为7(?−2)2 +21，即可得到点 E 的信息；当点 Q 在线段??运动时，同理可得?? = ?，
?? = 7−?，?? = 14−2?，?? = 7−?和?? = 7 3− 3?，则?? = 2?−7，利用勾股定理求得??2 = 7?2
−70? + 196，代入点即可．
【详解】解：连接??，交??于点 0，过点 Q 作?? ⊥ ??于点 H，如图，
∵菱形????中，∠??? = 120°，
∴∠??? = ∠??? = 60°，?? = ??，?? ⊥ ??，?? = ??，
∴ △ ???为等边三角形．
则?? = ?? = ??，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ??，
??
??
??
则点 Q 以每秒 2 个单位的速度沿折线?−?−?向终点 D 匀速运动，
由图 2 的对称性可知，当点 Q 运动至点 C、点 P 运动至点 0 时，? = ?? = 3.5，则?? = 2?? = 3.5 × 2 = 7，
那么，?? = 7
2
7
3，?? = 2，由图 2 可知点? = 7，此时点 P 与点 B 重合，点 Q 与点 D 重合，
当点 Q 在线段??运动时，
∴?? = ?，?? = 7−?，?? = 2?，
∴ ?? = 2? = ??，解得?? = ?，?? = 3?，
7 37
2
3.5
则?? = ??−?? = 7−?−? = 7−2?，那么，??2为? = ??2 +??2
2
2
= (7−2?) + ( 3?)
= 7?2−28? + 49
= 7(?−2)2 +21，
当? = 2时即为图 2 的点 E，? = ? = 21，
当? = 3.5时，? = ? =
147
4 ，
当点 Q 在线段??运动时，
同理可得?? = ?，?? = 7−?，?? = 14−2?，
∴?? = 1(14−2?) = 7−?，?? = 3?? = 3(14−2?) = 7 3− 3?，
222
则?? = ??−?? = ?−(7−?) = 2?−7，那么，??2为? = ??2 +??2
= (7−2?)2 + (7 3− 3?)2
= 7?2−70? + 196，
当? = 4时，? = 28，
故选∶B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题的关键是应用动态的思想找到菱形的边长．
已知点?(−3,?1)，?(1,?2)在抛物线? = 2?2 +?? + 2上，若4 < ? < 5，则下列判断正确的是（ ）
A．2 < ?1 < ?2B．?1 < ?2 < 2C．?2 < 2 < ?1D．2 < ?2 < ?1
【答案】A
【分析】将 A，B 两点坐标代入抛物线解析式，得到?1,?2关于?的表达式，再根据4 < ? < 5确定?1,?2的范围并比较大小即可．
【详解】解：∵ 点?(−3,?1)，?(1,?2)在抛物线? = 2?2 +?? + 2上，
∴ 将? = −3代入解析式得?1 = 2 × (−3)2 +? × (−3) +2 = 20−3?，将? = 1代入解析式得?2 = 2 × 12 +? × 1 + 2 = 4 + ?，
∵ 4 < ? < 5，
∴ 对?1，不等式同乘−3得−15 < −3? < −12，三边加20得5 < ?1 < 8；对?2，三边加4得8 < ?2 < 9，
∴2 < ?1 < 8 < ?2，即2 < ?1 < ?2．
3．已知二次函数? = ?2−?? + ?(? ≠ 0)的图象经过? ? ,?，?(2?,? )两点，则下列判断正确的是（ ）
312
无论实数 a 取什么值，都有?1 > ?B．无论实数 a 取什么值，都有?1 > ?2
C．可以找到实数 a，使得?2 < 0D．可以找到实数 a，使得?2 = ?1
9
∴?1−? = ?− ?2−? = − ?2 < 0，
2
2
9
9
即?1 < ?，故 A 错误，不符合题意；
当? = 2?时，?2 = 4?2−2?2 +? = 2?2 +?，
2
∴? −? = ?− ?2 −(2?2 + ?) = − ?
9
12
9
20 2 < 0，
即?1 < ?2，故 B、D 错误，不符合题意；
当?2 = 2?2 +? < 0时，此时−
1
< ? < 0，
2
即可以找到实数 a，使得?2 < 0，故 C 正确符合题意．
93
3
22
?
【详解】解：当? = 时，?1 = ? −? +? = ?−2?2，
1
2
− < ? < 0，可判断 C 选项．
?
9
9
=
2
而得到?1−??− 2 ?2 −(2?2 + ?) = −20 2 < 0，可判断 B、D 选项；再由当?2 = 2?2 +? < 0时，此时
9
?
3
【分析】把? = 代入解析式可得?1 = ?−2?2，可判断 A 选项；把? = 2?代入解析式可得?2 = 2?2 +?，从
【答案】C
考点三 二次函数的图象与系数的关系
《解题指南》
高频考点专项突破
考点 1：判断 abc 的符号
先看?（开口）和?（对称轴位置），确定??的符号；
再看?（与 y 轴交点），???的符号就是??与?符号的乘积。
例：开口向(? > 0)，对称轴在 y 轴右侧（a，b 异号→? < 0），交 y 轴正半轴(? > 0)，则
??? = ( + )(−)( + ) = −,即??? < 0.
考点 2：判断??−???的符号
直接看抛物线与 x 轴的交点个数：
①2 个交点：Δ＞0；②1 个交点：Δ = 0；③无交点：Δ < 0
拓展：?2＞4??等价于Δ＞0，?2 = 4??等价于：Δ = 0，?2＜4??等价于Δ < 0。
考点 3：判断? + ? + ?,?−? + ?等的符号直接用特殊点代入法：
①? = 1时，? = ? + ? + ?，看图象上? = 1处的点在 x 轴上方还是下方；
②? = −1时，? = ?−? + ?，看图象上? = 1处的点在 x 轴上方还是下方；同理,? = 2对应 4? + 2? + ?,? = −2对应 4?−2? + ?.
考点 4：判断 2a+b、2a-b 的符号
利用对称轴公式? = −2?变形：
?
2? + ?：由? = −2?移项得2?? + ? = 0，当? = 1时，2? × 1 + ? = 2? + ?，所以看对称轴和 1 的关系；
2?−?：当? = −1时，2? × (−1) + ? = −2? + ?，变形为2?−? = −(−2? + ?)，看对称轴和-1 的关系。
?
命题点 01 二次函数图象与系数关系（压轴）
【典例】（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线? = ??2 +?? + ?经过点(1,1)，(?,0)，(3,0)，给出下列四个结论：①??? > 0；②4??−?2 < 4?；③5? + 2? + ? < 0；④? + ? + ? > 0．其中正确的结论是
（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二次函数的系数与图象的关系，逐一分析四个结论的正误．
【详解】解： ∵ 抛物线开口向下，
∴ ? < 0，
∵ 抛物线与?轴交于负半轴，
∴ ? < 0，
∵ 抛物线对称轴在?轴右侧，对称轴为直线? = −2?，
?
∴ −> 0，
?
2?
又∵ ? < 0，
∴ ? > 0，
∴ ??? > 0，故结论①正确，符合题意．由图可得抛物线顶点的纵坐标大于1，
∴ 顶点纵坐标公式得
4??−?2
4?
> 1，
又∵ ? < 0，不等式两边同时乘4?（负数），不等号方向改变，
∴ 4??−?2 < 4?，故结论②正确，符合题意．
∵ 抛物线过点(1,1)、(3,0)
∴ ? + ? + ? = 1，9? + 3? + ? = 0，
(? + ? + ?) + (9? + 3? + ?) = 1即10? + 4? + 2? = 1，
∴ 5? + 2? + ? = 0.5 > 0，故结论③错误，不符合题意．
∵ 抛物线经过点(1,1)，
∴ 当? = 1时，? = ? + ? + ? = 1 > 0，故结论④正确，符合题意．故正确的结论是①②④．
【变式 1】（2026·江西新余·一模）二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象如图所示，顶点坐标为(1,?)；与 x 轴的交点为?(−1,0)和点 B；与 y 轴的交点在(0,2)与(0,3)之间（包括端点）．①?2−4?? > 0；
②3? + ? < 0；③点(−2,? )， 1 ,?，(5,? )都在抛物线上，则?
> ? > ? ；④方程??2 +?? + ?−?−1 = 0
1223
132
无实根； 8
．其中正确结论是．
⑤ ≤ ? ≤ 4
3
【答案】①④⑤
−
【分析】根据二次函数的图象与?轴有两个交点，得Δ = ?2−4?? > 0，可判断①；根据对称轴为 ?
2?
= 1，
得? = −2?，根据二次函数图象交x 轴于点?(−1,0)，得?−? + ? = 0，得3? + ? = 0，可判断②；根据点(−2,?1)，
1 ,?
，(5,? )都在抛物线上，且(5,? )的对称点为(−3,? )，当? < 1时，y 随 x 的增大而增大， −3 < −2 0，
∴①正确；
∵顶点坐标为(1,?)，
∴对称轴为直线? = 1，
?
∵对称轴为? = −2?，
∴− ? = 1，
2?
∴? = −2?，
把?(−1,0)代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)，
得?−? + ? = 0，
∴3? + ? = 0，
∴②不正确；
∵二次函数对称轴为? = 1，开口向下，
∴当? < 1时，y 随 x 的增大而增大，
∵点(−2,? )， 1 ,?
，(5,? )都在抛物线上，(5,? )的对称点为(−3,? )，且−3 < −2 < 1，
1223332
∴?3 < ?1 < ?2，
∴③不正确；
∵直线? = ? + 1在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，
∴方程??2 +?? + ?−?−1 = 0无实根，
∴④正确；
对? = ??2 +?? + ?，令? = 0，则? = ?，
∴二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象交 y 轴于点(0,?)，
∴2 ≤ ? ≤ 3，
∵3? + ? = 0，
∴? = −3?
2
−1 ≤ ? ≤ − 3
把(1,?)代入? = ??2 +?? + ?，得? = −4?．
∴8 ≤ −4? ≤ 4，
3
即3 ≤ ? ≤ 4．
∴⑤正确．
8
∴正确的有①④⑤．
【变式 2】（2026·四川内江·一模）二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的部分图象如图所示，图象过点 (−1,0)，对称轴为直线? = 2，下列结论：①??? < 0；②4? + ? = 0；③9? + ? < 3?；④若点?(−3,?1)、
1
23132
点? − 2 ,?2 、点?
7 ,?在该函数图象上，则? < ? < ? ；⑤4? + 2? ≤ ?(?? + ?)；其中结论正确的是
（填写序号）
【答案】①②③
【分析】①根据二次函数图象的开口方向，与?轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象对称轴得
? = −4?来求解；③利用当? = −3时，? < 0来求解；④利用?,?,?到对称轴的距离进行判定求解；⑤当? = 2
2 2
∴?1 < ?2 < ?3，故结论④错误．
∵当? = 2时，?取得最大值，
∴当? = ?时，??2 +?? + ? ≤ 4? + 2? + ?，
∴4? + 2? ≥ ?(?? + ?)，故⑤错误，综上所述，正确的结论是①②③．
5 3
∴?,?,?到对称轴的距离分别为5, , ，
7
1
∵点?(−3,?1)、点? − 2 ,?2 、点? 2 ,?3 在该函数图象上，对称轴为直线? = 2，
2?
∴4? + ? = 0，故结论②正确；
∵图象过点(−1,0)，对称轴为直线? = 2，
∴当? = −3时，? < 0，
∴? = ? × (−3)2−3? + ? < 0，即9? + ? < 3?，故结论③正确；
?
∴ ? = −= 2，即? = −4?，
2?
∴? > 0，
∴??? < 0，故结论①正确；
∵对称轴为直线? = 2，
?
∴ ? = −= 2，
时，?取得最大值求解．
【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与?轴交于正半轴，
∴ ? < 0,? > 0，
∵对称轴为直线? = 2，
【变式 3】（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图像如图所示，对称轴为? = 1，
与 x 轴负半轴交于(−0.5,0)，下列结论①??? > 0；②3? + ? > 0；③??2
实数根；④4? + 5? > 0；其中正确的个数为．
1
+?? + ? + 2 = 0
有两个不相等的
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．正确读图，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
根据二次函数的图像和性质，逐一分析即可．
【详解】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为? = 1，与 y 轴交于正半轴
∴? < 0，? = −2? > 0，? > 0，
∴??? < 0，故①错误；
②∵二次函数与 x 轴交于(−0.5,0)，且对称轴为? = 1，
∴与 x 轴另一个交点为(2.5,0)，
将? = 3代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)
得：? = 9? + 3? + ?
将? = −2?代入，得? = 3? + ?，
由图像可知，3? + ? < 0，故②错误；
③将??2
1
+?? + ? + 2 = 0
变形得：??2
1
+?? + ? = −2，
1
由图像可知，二次函数与直线? = −2一定有两个交点，
∴方程??2
1
+?? + ? = −2一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④将(−0.5,0)代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)
11
得：4?−2? + ? = 0
整理得：?−2? + 4? = 0
将? = −2?代入，得5? + 4? = 0(1)，将? = 1代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)
得：? = ? + ? + ? > 0
将? = −2?代入，得? = −? + ? > 0(2)，
（1）+（2）得：4? + 5? > 0，故④正确；
所以正确的个数为 2 个，
故答案为：2．
命题点 02 函数图象综合判断
【典例】（2026·湖北襄阳·一模）二次函数? = ??2 +?? + ?的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则
?
一次函数? = ?? + ?与反比例函数? = ?在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象得到? < 0,? > 0,? > 0，再判断一次函数? = ?? + ?与反比例函数? = ?在同一平
面直角坐标系中的图象即可．
?
【详解】解： ∵ 二次函数? = ??2 +?? + ?的图象开口向下，
∴ ? < 0，
∵ 对称轴在?轴右侧，
∴ −> 0，
?
2?
∴ ? > 0，
∵ 抛物线与?轴的交点在?轴的正半轴，
∴ ? > 0；
∴ 一次函数? = ?? + ?经过第一、二、四象限，
反比例函数? = ?图象在第一、三象限；
?
只有 C 选项同时符合两个函数的位置特点．
?的图象可能是（ ）
【变式 1】（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系???中，已知二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)图象的顶点为(−1,−2)，则一次函数? = ?? + ?与反比例函数? = ?
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的顶点式、一次函数与反比例函数的图象特征；解题的关键是由二次函数顶点坐标确定?、?的符号，进而判断一次函数和反比例函数图象经过的象限．由二次函数? = ??2 +?? + ?的
? = −
顶点为(−1,−2)，得对称轴为直线 ?
2?
= −1，即? = 2?，将顶点坐标代入得?−? + ? = −2；由顶点纵坐
标-2 为最小值，知抛物线开口向上，即? > 0，则? = 2? > 0，一次函数? = ?? + ?中，? > 0,? > 0，图象
?
经过第一、二、三象限；反比例函数? = ?中? > 0，图像在第一、三象限：结合选项图像特征得出正确选项．
【详解】解： ∵ 二次函数? = ??2 +?? + ?图象的顶点为 −1，−2 ，
∴ 可设? = ?(? + 1)2−2，即? = ??2 +2?? + ?−2．
∵ 该二次函数图象的对称轴为? = −1，
?
∴ − 2? = −1，
∴ ? = 2?，
∴ 一次函数为? = ?? + 2?，即? = ?(? + 2)，
∴ 一次函数? = ?? + ?的图象恒经过定点(−2,0)，排除B，C．当? < 0时，? = 2? < 0，排除 D．
故选 A．
【变式 2】（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数? = ?(? ≠ 0)与二次函数? = ??2
?
+??(? ≠ 0)的图象如图，则一次函数? = ??? + ?的图象大致是（ ）
B．
A．
C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到? > 0，?? < 0，然后判断一次函数的图象．
【详解】解：∵反比例函数? = ?(? ≠ 0)图象在第一，三象限
?
∴? > 0
∴一次函数? = ??? + ?的图象与 y 轴交于正半轴，
∵二次函数? = ??2 +??(? ≠ 0)的图象开口向下，顶点在第一象限
∴? < 0，−> 0
?
2?
∴? > 0
∴?? < 0
∴一次函数? = ??? + ?的图象 y 随 x 的增大而减小，
∴一次函数? = ??? + ?的图象大致是：
【变式 3】（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象大致如图
所示，则函数? = ?? + ?(? ≠ 0)和? = −?(? ≠ 0)的大致图象可能是（ ）
?
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线可得，? < 0,− ? = −1,? > 0，则? = 2? < 0，−? < 0，再由一次函数与反比例函数经过
2?
的象限即可判断．
【详解】解：由抛物线可得，? < 0,− ? = −1,? > 0，
2?
∴? = 2? < 0，−? < 0
∴直线? = ?? + ?(? ≠ 0)经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限故 D 选项符合题意．
命题点 03 二次函数中最值问题
【典例】（2026·陕西西安·二模）已知二次函数? = −?2 +2? + ?（a 为常数），当? ≤ ? ≤ 3时，y 有最大值? + 1，最小值?−3，则 m 的取值范围是（ ）
? ≤ −1B．1 ≤ ? ≤ 2C．−1 ≤ ? ≤ 1D．−1 ≤ ? ≤ 2
【答案】C
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和最小值，分析函数在? ≤ ? ≤ 3时的增减性与最值取得的位置，进而确定?的取值范围．
【详解】解：二次函数解析式为? = −?2 +2? + ?，将其化为顶点式：
? = −(?2−2? + 1) + 1 + ? = −(?−1)2 +(? + 1)．
∵二次项系数−1 < 0，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,? + 1)，当? = 1时，函数取得最大值? + 1．
∵?的最大值为? + 1，
∴? = 1必须在取值范围? ≤ ? ≤ 3内，即? ≤ 1．
抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，? = 3到对称轴? = 1的距离为3−1 = 2．函数的最小值为?−3，
将? = 3代入解析式得?(3) = −32 +2 × 3 + ? = ?−3，
∴函数在? = 3处取得最小值，
要保证?(3)在? ≤ ? ≤ 3时的最小值，则需满足?(?) ≥ ?(3)，即? = ?到对称轴? = 1的距离不大于? = 3到对称轴的距离，
∴|?−1| ≤ |3−1|，解得−1 ≤ ? ≤ 3，
综上，?的取值范围为−1 ≤ ? ≤ 1．
【变式 1】（2026·陕西宝鸡·一模）已知抛物线? = −?2−4? + ?（?为常数，−5 ≤ ? ≤ ?−5），当? = −5时，
?取得最小值，当? = −2时，?取得最大值，则?的取值范围是（）
A．3 ≤ ? ≤ 6B．−5 ≤ ? ≤ 0C．−3 ≤ ? ≤ 0D．? ≥ 6
【答案】A
【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据最值位置确定区间端点的范围，解不等式得到 m 的取值范围．
【详解】对抛物线配方得：? = −?2−4? + ? = −(? + 2)2 + (? + 4)，
∵ ? = −1 < 0，
∴抛物线开口向下，对称轴为? = −2，在? = −2处取得最大值，
∵−5 ≤ ? ≤ ?−5，且? = −2时?取得最大值，
∴−2 ≤ ?−5，解得 ? ≥ 3，
又∵ ? = −5时?取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，? = −5到对称轴
? = −2的距离为|−5−(−2)| = 3，因此区间右端点?−5到对称轴的距离不超过 3，即：
|(?−5)−(−2)| ≤ 3化简得|?−3| ≤ 3，解得 0 ≤ ? ≤ 6，
取两个不等式的交集得3 ≤ ? ≤ 6，
故选：A．
【变式 2】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，若点?(0,4)，?(?,0)，?(? + 3,0)，则??2 +2??2
的最小值为．
【答案】
54
【分析】利用平面直角坐标系内两点间距离公式表示出??2和??2，代入所求式子整理为关于?的二次函数，再用配方法求出二次函数的最小值即可．
【详解】解：根据两点间距离公式，得
??2 = (?−0)2 + (0−4)2 = ?2 + 16
??2 = (? + 3−0)2 + (0−4)2 = (? + 3)2 + 16
则??2 +2??2
= ?2 + 16 + 2[(? + 3)2 + 16]
= ?2 + 16 + 2(?2 + 6? + 25)
= 3?2 + 12? + 66
= 3(?2 + 4?) + 66
= 3(? + 2)2 +54；
∵ (? + 2)2 ≥ 0
∴3(? + 2)2 +54 ≥ 54，
∴??2 +2??2的最小值为 54．
命题点 04 利用二次函数的对称性求最短路径
【典例】（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线? = −?2 +?? + ?的对称轴为直线? = −3，过其顶点 M 的一 条直线? = ?? + ?与该抛物线的另一个交点为?(−1,1)，要在坐标轴上找一点 P，使得△ ???的周长最小，
则点 P 的坐标为（ ）
44
− 3 ,0B．(2,0)C．(0,2)D． − 3 ,0 或(0,2)
【答案】C
【分析】根据题意可得抛物线的解析式为? = −?2−6?−4 = −(? + 3)2 +5，分析可知当?? + ??最小时，
△ ???的周长最小，利用轴对称分别作出点 M 关于 x 轴和 y 轴的对应点?′，分别求解出直线?′?的解析式，找到最短路线，分别求出?? + ??的值，比较两种情况取值更小的结果即可．
【详解】∵抛物线? = −?2 +?? + ?的对称轴为直线? = −3，?（−1，1）是抛物线上的一点，
− ? = −3
∴
−2
1 = −1−?
+ ? ，解得 ? = −4 ，
? = −6
∴该抛物线的解析式为? = −?2−6?−4 = −(? + 3)2 +5，
∴?（−3，5），
∵△ ???的周长为?? + ?? + ??，且??是定值，所以只需?? + ??最小；
如图，过点?（−3，5）作关于 y 轴对称的点?′（3，5）连接?′?，?′?与 y 轴的交点即为所求的点 P，设直线?′?的解析式为? = ?? + ?(? ≠ 0)，
由点? （3，5和点?
′
）
（−1
，1可得
）
5 = 3? + ?
1 = −? + ?
，
? = 1
解得： ? = 2 ，
∴直线?′?的解析式为? = ? + 2，当? = 0时，? = 2，即?（0，2）；
∵ ?? + ?? = ?′?，?′（3，5），?（−1，1），
∴?′? =
3−(−1)+ (5−1)2 = 4 2，
2
该找 x 轴和 y 轴上符合条件的点 P，要分类讨论比较后再判断．
−3−(−1)+ (−5−1)2 = 2 10，
此时△PMN 的周长为2 10 +??；
∵ 4 2 = 32，2 10 = 40，
∴4 2 +?? < 2 10 +??，
∴点 P 在 y 轴上时， △ ???的周长最小，此时点 P 的坐标是（0，2）．故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称－－最短路线问题、二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平面
直角坐标系中两点距离公式，在求点 P 的坐标时，一定要注意题目要求是要在坐标轴上找一点 P，所以应
2
∴?′? =
∵ ?? + ?? = ?′?，?′（−3，−5），?（−1，1），
3
3
4
4
∴直线?′?的解析式为? = 3? + 4，当? = 0时，? = − ，即?（− ，0），
? = 3
解得： ? = 4 ，
，
−5 = −3? + ?
1 = −? + ?
）
，1可得
（−1
）
，−5和点?
′
由点? （−3
设直线?′?的解析式为? = ?? + ?(? ≠ 0)，
此时△ ???的周长为4 2 +??；
同理，如图，过点?（−3，5）作关于 x 轴对称的点?′（−3，−5），连接?′?，?′?与 x 轴的交点即为所求的点 P，
【变式 1】（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线? = −1?2 +? + 4与 x 轴交于 A，B 两点，P 为抛物线上一
2
4
点，其横坐标为−3，C 为抛物线对称轴上一动点，连接??，??，当?? + ??取得最小值时，tan∠???的值
为（ ）
1
3
A．3
3
1
C．2
D． 2
4
33
39
4? + ? = 0 ，
∴? − 3 , 9
4 16
，
由? = −1?2 +? + 4可知：对称轴为直线? = 1，当? = 0时，则有
2
−
1?2 +? + 4 = 0，
2
解得：?1 = −2,?2 = 4，
∴?(−2,0),?(4,0)，
连接??，??，如图所示：
由轴对称可知：?? = ??，所以?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，
∴当 P、B、C 三点共线时，?? + ??取得最小值，设直线??的解析式为? = ?? + ?，则有，
− 4 ? + ? = 16
2
16
4
4 2
1
4
【详解】解：当? = −3时，则有? = − × −− +4 = 9 ，
3
3
线??的解析式为? = −1? + 4，进而根据三角函数可进行求解．
，?(−2,0),?(4,0)，连接??，??，当 P、B、C 三点共线时，?? + ??取得最小值，然后求得直
4 16
得? − 3 , 9
【答案】A
【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易
解得：
? = − 1
3 ，
? = 4
3
∴直线??的解析式为? = − ? + 3，
1
4
3
∴当? = 1时，则有? = − + = 1，
1
4
33
∴?(1,1)，即?? = 1，
∵?? = ?? + ?? = 3，
∴tan∠??? = ?? = 3；
故选 A．
??
1
【变式 2】（2026·四川绵阳·二模）如图，?(2,2)， ⊙ ?与?轴，?轴均相切，将一次函数? = 3? + ?的图象平移，当图象与⊙ ?有公共点时，则实数?的取值范围是（ ）
A．−56 5 ≤ ? ≤ 4 5
B．−4−2
≤ ? ≤ −4 + 2
1515
10
10
C．? ≤ 2 10−2D．−14 10−20 ≤ ? ≤ 6 10−20
55
【答案】B
【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为(?,?)，由半径? = 2得，
(?−2)2 + (?−2)2 = 2，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 (?−2)2 + (?−2)2 = 4，再联立? = 3? + ?与(?−2)2 + (?−2)2 = 4得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 Δ ≥ 0建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可．
【详解】解： ∵ 圆心 ?(2,2)，
∴圆心到?轴，?轴的距离为2
∵ ⊙ ?与?轴，?轴均相切，
∴ ⊙ ?的半径? = 2，
设圆上任意一点坐标为(?,?)，
由半径? = 2得， (?−2)2 + (?−2)2 = 2
∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程(?−2)2 + (?−2)2 = 4，
当图象与⊙ ?有公共点时，
联立? = 3? + ?与(?−2)2 + (?−2)2 = 4，得： (?−2)2 + (3? + ?−2)2 = 4，
整理得：10?2 + (6?−16)? + (?−2)2 = 0，
∴ 关于 ? 的一元二次方程有实数根，
∴ Δ = (6?−16)2−4 × 10 × (?−2)2 ≥ 0，
整理得，?2 +8?−24 ≤ 0.
令?2 +8?−24 = 0，
解得? = −8± 64+96 = −4 ± 2 10，
2
令? = ?2 +8?−24，
∴不等式?2 +8?−24 ≤ 0的解集，即为抛物线? = ?2 +8?−24在?轴下方时，对应于?轴交点横坐标的取值范围，
∵1 > 0，抛物线开口方向向上，
∴ 不等式的解集为−4−2 10 ≤ ? ≤ −4 + 2 10．
【变式 3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，其中∠? = 45°，?? = 8，若点 M
是??边上的动点，连接??，以??为斜边作等腰直角 △ ???，连接??．则 △ ???面积的最大值是
．
【答案】4
【分析】通过证明△ ??? ∽△ ???，可得?? = 2,∠??? = ∠??? = 45°，可求??的长，由三角形的面积
公式和二次函数的相知可求解最大值．
??
【详解】解：过点?作?? ⊥ 直线??于?，
∴当?? = 4时， △ ???面积的最大值为4，
4
2
2
2
∴ △ ???面积 = 1 × ?? ⋅ ?? = 1 × ?? ⋅ 1(8−??) = −1(??−4)2 +4，
2
2
∴?? = 2?? = 1??，
∴?? = 2??,∠??? = 135°，
∴∠??? = 45°，
2,∠??? = ∠??? = 45°，
??
∴?? =
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
又∵?? = ?? = 2，
在?? △ ???中，∠??? = 90°,∠? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = 2??,∠??? = 45°，
∵ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = 2??,∠??? = 45° = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
【答案】 4
15
【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出?的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的?的值，
最后计算二次函数的最小值即可．
【详解】解：二次函数? = ?2 +?? + ?2−?中，? = 1 > 0，因此二次函数开口向上，有最小值．
∵ 二次函数图象经过点(0,6)，
∴ 将? = 0,? = 6代入解析式得：?2−? = 6，整理得?2−?−6 = 0，
解得? = 3或? = −2．
【变式 4】（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数? = ?2 +?? + ?2−?（?为常数）的图象经过点(0,6)，其对称轴在?轴左侧，则该二次函数的最小值为．
∵ 对称轴在?轴左侧，二次函数对称轴公式为? = −2?，
?
∴ ? = − < 0，
?
2
解得? > 0，
因此? = −2舍去，得? = 3．
将? = 3代入二次函数解析式得：? = ?2 +3? + 32−3 = ?2 +3? + 6，
2
配方得? = (? + ) + 4 ，
3
15
2
因此该二次函数的最小值为 4 ．
15
【变式 5】（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点?(3,0)中，点?是?轴上一动点，以点?为旋转中心，将线段??
逆时针旋转 90°，得到线段??，连接??，则线段??的最小值为．
2
故答案为：3 2．
93 2
3
∴ ? = 2时，??取得最小值 2 = 2 ．
2
9
+ ，
2
2
∵ 2?2−6? + 9 = 2 ?− 3
【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键．
设?(?,0)，则?(?,−?)，根据勾股定理得?? =2?2−6? + 9，结合配方法求最值即可求解．
【详解】设?(?,0)，则?(?,−?)，
由题知?? ⊥ ??，?? = |3−?|,?? = |−?|，
∴ ?? =??2 + ??2 =|3−?|2 + |−?|2 =2?2−6? + 9，
2 2
【答案】3 2/3 2
中考预测题
1．如图，抛物线? = ??2 +?? + ?的对称轴是直线? = 1，其中抛物线图像与x 轴负半轴交点横坐标−1 < ? < 0，则以下五个结论中，正确的有（ ）
①??? > 0；②2? + ? = 0；③?2 > 4??；④4? + 2? + ? > 0；⑤3? + ? > 0．
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】由图象可知：抛物线? = ??2 +?? + ?的开口向下，则? < 0，与 y 轴交于正半轴，即? > 0，对称轴
为直线? = − ? = 1，则有? = −2? > 0，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
2?
【详解】解：由图象可知：抛物线? = ??2 +?? + ?的开口向下，则? < 0，与 y 轴交于正半轴，即? > 0，对
称轴为直线? = − ? = 1，则有? = −2? > 0，
2?
∴??? < 0，故①错误；2? + ? = 0，故②正确；
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴?2−4?? > 0，即?2 > 4??，故③正确；
由图象可知当? = 0时，则有? = ? > 0；当? = −1时，则? = ?−? + ? < 0，由? = −2?可得? = ?−(−2?)
+? = 3? + ? < 0，故⑤错误；
∴根据二次函数的对称性可知：当? = 0和? = 2时，其对应的函数值相等，
∴当? = 2时，? = 4? + 2? + ? > 0，故④正确；综上所述：正确的结论有②③④共 3 个．
2．已知二次函数? = ??2 +?? + ?的图象开口向上，与?轴交于(−2,0)和(3,0)，则下列关系正确的是（ ）
A．? > 0，? > 0，? > 0B．? > 0，? < 0，? < 0
C．? > 0，? > 0，? < 0D．? > 0，? < 0，? > 0
【答案】B
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】解： ∵ 二次函数? = ??2 +?? + ?的图象开口向上，与?轴交于(−2,0)和(3,0)，
∴ ? > 0，对称轴为直线? = −=
?−2+3
2?22
=> 0，关于?的一元二次方程??2 +?? + ? = 0的两根为?1 = −2，
1
?2 = 3，
∴ ? < 0，?1?2
?
== (−2) × 3 = −6 < 0，
?
∵ ? > 0，
∴ ? < 0．
1
3．在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数? = ?2−2|?|+2的性质，小勤同学用描点法
画它的图象，列出了如下表格：
1
10
以下五个结论：①点 −4,在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直
的图象
1
线? = 1对称；④点?(?,? )，?(?,? )，若? > ? > 1，则? < ? ；⑤若直线? = ?与函数? =
?
⋯
−3
−2
−1
0
1
2
3
⋯
? =
1
⋯
1
5
1
2
1
1
2
1
1
2
1
5
⋯
?2−2|?| + 2
1212
?2−2|?|+2
1
有2个公共点，则0 < ? < 2．其中正确的结论是．（填写序号）
当? < 0时，? =
1
1
?2+2?+2(?+1)2+1
=
≥ 0，
即不管?取何值，始终有? ≥ 0，
∴函数的图象一定不经过第四象限，故②正确；
由表知，函数的图像关于直线? = 0对称，即关于?轴对称，故③错误；
∵当? ≥ 0时，? =
1
?2−2?+2
=
1
(?−1)2+1
，?随?的增大而减小，
∴点?(?,?1)，?(?,?2)，若? > ? > 1，则?1 < ?2，故④正确；
由②可知，0 < ? ≤ 1，画函数图象如下：
≥ 0，
1
=
?2−2?+2(?−1)2+1
1
当? ≥ 0时，? =
1
∴点 −4, 10 在函数的图象上，故①正确；
，
10
1
=
1
(−4)2−2|−4|+2
【详解】解：当? = −4时，? =
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把? = −4代入函数解析式求出?的值即可判断①；由绝对值的性质可得即不管?取何值，始终有? ≥ 0，即可判断②；根据表格对应的数值可判断③；根据二次函数的性质可判断④；画出图象可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
当? = 0时，? = 2，
1
由图象可知，当直线? = ?与函数? = ?2−2|?|+2的图象有2个公共点时，2 ≤ ? < 1，故⑤错误；
综上，正确的结论是①②④，
1
1
故答案为：①②④．
考点四 二次函数与方程组或不等式组综合
《解题指南》
题型 1：二次函数与方程组综合(求交点/求解析式)
1.求两个函数的交点坐标解题步骤：
1.联立：将两个函数解析式联立成方程组。
例：求? = ?? +?? + ?与? = ?? + ?的交点。联立∶ ? = ?? + ?
消元：代入消元，转化为一元二次方程(或一元一次)。
2
? = ??2 + ?? + ?
即：??2 +?? + ? = ?? + ?
3.求解：解方程求出?，再代回求?。结果(?1,?1),(?2,?2)即为交点坐标。
利用交点求二次函数解析式(待定系数法进阶)
解题技巧：
若已知抛物线与 x 轴的两个交点(?1,0),(?2,0)，直接设交点式：? = ?(?−?1)(?−?2)(
若已知抛物线与直线的交点，通常先联立求?，再代点求?。题型 2：二次函数与不等式组综合(求范围/比大小)
利用图象解不等式(数形结合)核心口诀：
?1 > ?2：找图象上方的部分，对应?的范围。
?1 < ?2：找图象下方的部分，对应?的范围。 关键点：先求交点横坐标，作为范围的分界点。
命题点 01 图象法解不等式
【典例】（25-26 九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，抛物线? = ??2 +?与直线? = ?? + ?交于?
(−2,−3)，?(3,?)两点，则不等式??2 +? < ?? + ?的解集是 ．
【答案】−2 < ? < 3
【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式??2 +? < ?? + ?的解集即为直线
? = ?? + ?图象在抛物线? = ??2 +?图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．根据不等式??2
+? < ?? + ?的解集即为直线? = ?? + ?图象在抛物线? = ??2 +?图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线? = ??2 +?与直线? = ?? + ?交于?(−2,−3)，?(3,?)两点， 观察函数图象可知：当−2 < ? < 3时，直线? = ?? + ?在抛物线? = ??2 +?的上方，
∴不等式??2 +? < ?? + ?的解集为−2 < ? < 3，
故答案为：−2 < ? < 3．
【变式 1】（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线? = ??2 +?? + ?与直线? = ?? + ℎ相交于(−2,?),(2,?)
两点，则不等式??2 +??−ℎ > ??−?成立时，?的取值范围是．
【答案】−2 < ? < 2
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得??2 +??−ℎ > ??−?的解集，即可获得答
案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题．
【详解】解：∵抛物线 ? = ??2 +?? + ?与直线? = ?? + ℎ相交于(−2,?),(2,?)两点，
∴由图可知，当??2 +?? + ? > ?? + ℎ时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时−2 < ? < 2，
∴??2 +??−ℎ > ??−?的解集为−2 < ? < 2，
∴不等式??2 +??−ℎ > ??−?的解集为−2 < ? < 2．故答案为：−2 < ? < 2．
【变式 2】（2025·辽宁·一模）已知函数? =
?2 + ?? + 3?2−1,? ≥ ?
−2?2 + 8? + 5,? < ?，其中?为常数．若该函数的图像显
示?随着?的增大而增大，则?的取值范围为．
?
7
当? = ?时，左段函数值要小于等于右段函数，
即−2?2 +8? + 5 ≤ ?2 + ?2 +3?2−1，整理可得7?2−8?−6 ≥ 0，
令7?2−8?−6 = 0，
解得?1 = 4+ 58，?2 = 4− 58，
7
7
根据二次函数的图象可得7?2−8?−6 ≥ 0的解集为? ≥ 4+ 58或? ≤ 4− 58（舍去），
7
7
综上，4+ 58 ≤ ? ≤ 2，
7
故答案为：4+ 58 ≤ ? ≤ 2．
则? ≥ − 2 ，解得? ≥ 0，
要使该函数的图像显示?随着?的增大而增大，
?
该函数开口向上，对称轴为直线? = − 2 ，
要使该函数的图像显示?随着?的增大而增大，
则? ≤ 2，
右段函数为? = ?2 +?? + 3?2−1(? ≥ ?)，
= 2，
2?−2×(−2)
8
该函数开口向下，对称轴为直线? = − ? =
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数解不等式，将原函数分左右两端，根据二次函数的性
质解答即可，熟练利用二次函数解不等式是解题的关键．
【详解】解：左段函数为? = −2?2 +8? + 5(? < ?)，
7
【答案】4+ 58 ≤ ? ≤ 2
命题点 02 根据交点确定不等式的解集
【典例】（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线? = ??2 +?与直线? = ?? + ?交于?(−3,?)，?(1,?)两点，则不等式??2 +?? + ? < ?的解集是．
?
∴m、n 可以看作是关于 x 的一元二次方程?2−2?−3 = 0的两个实数根，
解方程?2−2?−3 = 0得? = −1或? = 3，
∴关于 x 的一元二次方程??2 +?? + ?−? = 0的两个实数根分别为?1 = −1，?2 = 3，
∴抛物线? = ??2 +?与直线? = −?? + ?的两个交点的横坐标分别为−1，3，
∴不等式??2 +? < −?? + ?的解集为−1 < ? < 3，
∴不等式??2 +?? + ? < ?的解集是−1 < ? < 3．
?−?
??
?
∴? + ? = − = 2，?? == −3，
设方程??2 +?? + ?−? = 0的两个实数根分别为?、?，
2
+? = −?? + ?，即?? +?? + ?−? = 0，
2
? = ??2 + ?
联立 ? = −?? + ? 得??
?
【答案】−1 < ? < 3
∴? = −2，?−? = −3；
?−?
−?
∴−3 + 1 = − ? ，−3 × 1 = ? ，
2
2
? = ??2 + ?
【详解】解：联立 ? = ?? + ? 得?? +? = ?? + ?，即?? −?? + ?−? = 0，
∵抛物线? = ??2 +?与直线? = ?? + ?交于?(−3,?)，?(1,?)两点，
， ?
推出抛物线? = ??2 +?与直线? = −?? + ?的两个交点的横坐标分别为−1，3，求出不等式??2 +? < −?? + ?
的解集即可得到答案．
?
【分析】联立两函数解析式得到??2−?? + ?−? = 0，根据 A、B 两点的坐标可得? = −2?−? = −3，则可
【变式 1】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数? = 2?−3的图象与二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的
图象交于点?、?，且点?在?轴上，点?在?轴上，则关于?的不等式??2 + (?−2)? + ? + 3 > 0的解集为．
【答案】? < 0或? > 3
2
【分析】先求得?,?的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的?的取值范围．
【详解】解：令? = 0，可得?=−3，
∴ ?(0,−3)，
令? = 0，可得0 = 2?−3，解得? = 2，
3
∴ ? 2 ,0 ，
3
由图可得关于 x 的不等式??2 +?? + ? > 2?−3即??2 + (?−2)? + ? + 3 > 0的解集为? < 0或? > 3．
2
【变式 2】（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线? = 1?2 +?? + ?交 x 轴于?(−2,0)、B 两点，交 y 轴于点?
2
(0,−4)，直线? = ?? + ?经过点 B， C．
求抛物线和直线??的解析式；
2
直接写出不等式1?2 +?? + ? > ?? + ?的解集；
【答案】(1)直线??的解析式为? = ?−4；抛物线的解析式为? = 1?2−?−4
2
(2)? < 0或? > 4
【分析】（1）把?(−2,0)、?(0,−4)代入? = 1?2 +?? + ?，求出抛物线表达式，再求出?(4,0)，用待定系数
2
法求出直线表达式即可；
2
1
∴不等式2? +?? + ? > ?? + ?的解集是? < 0或? > 4．
? = 1
解得： ? = −4 ，
∴直线??的解析式为? = ?−4；
（2）解：由（1）可知，直线与抛物线交于?(4,0)、?(0,−4)两点，
，
0 = 4? + ?
−4 = ?
∴
解得：?1 = −2,?2 = 4，
∴ ?(4,0)，
∵直线? = ?? + ?经过点 B， C，
2
当? = 0时，0 = 1?2−?−4，
2
∴抛物线的解析式为? = 1?2−?−4；
? = −1
解得： ? = −4 ，
，
−4 = ?
2
0 = 1 × (−2)2−2? + ?
2
【详解】（1）解：∵抛物线? = 1?2 +?? + ?经过?(−2,0)、?(0,−4)两点，
（2）根据直线与抛物线交于?(4,0)、?(0,−4)两点，得出结论即可．
中考预测题
在直角坐标系中，当1 < ? < ?时，抛物线? = 1?2
4
1
−?? +
2
1?2的图象总在直线? = ?的下方，则 t 的最大
4
值为（ ）
B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】先对含参数的抛物线配方，根据抛物线在直线下方的条件得到一元二次不等式?2−2(? + 2)? + ?2
< 0，求出?2−2(? + 2)? + ?2 < 0的解集为(? + 2)−2 ? + 1 < ? < (? + 2) +2 ? + 1，要使得任意
1 < ? < ?，?2−2(? + 2)? + ?2 < 0恒成立，则(? + 2)−2 ? + 1 ≤ 1，且? ≤ (? + 2) +2 ? + 1，故为求
?的最大值，则? = (? + 2) +2 ? + 1，再由换元法求解即可．
【详解】解：首先对抛物线配方：? = 1?2−
42
1112，
?? + ?2 = (?−?)
4
4
抛物线在直线? = ?下方，即对任意1 < ? < ?，满足 (?−?)2 < ?，
1
4
整理得?2−2(? + 2)? + ?2 < 0，令ℎ = ?2−2(? + 2)? + ?2 = 0，
解得? = (? + 2) ± 2 ? + 1，其中? ≥ −1
∴?2−2(? + 2)? + ?2 < 0的解集为(? + 2)−2 ? + 1 < ? < (? + 2) +2 ? + 1
要使得任意1 < ? < ?，?2−2(? + 2)? + ?2 < 0恒成立，则(? + 2)−2 ? + 1 ≤ 1，且? ≤ (? + 2) +2 ? + 1，
∴为求?的最大值，则? = (? + 2) +2 ? + 1
(? + 2)−2 ? + 1 ≤ 1
? + 1 ≤ 2 ? + 1，
令? = ? + 1 ≥ 0，则?2 = ? + 1
∴?2 ≤ 2?
?(?−2) ≤ 0，则?−2 ≤ 0，
∴0 ≤ ? ≤ 2，
∵(? + 2) +2 ? + 1 = ?2−1 + 2 + 2? = (? + 1)2
∴? = (? + 2) +2 ? + 1 = (?2−1 + 2) +2? = (? + 1)2 ≤ (2 + 1)2 = 9．
2．已知二次函数? = (?−?)2 +?的图象顶点为 M，图象上有一点?(?1,?1)满足?1−? = 3(?1−?) ≠ 0，若? (?2,?2)是函数图象（??段）上的一点（不与 P，M 重合），令? = ?2−?，则?的范围是（ ）
A．? < 3B．? > 9C．0 < ? < 3D．0 < ? < 9
【答案】D
【分析】根据二次函数顶点式得到?(?,?)，由点 P 在函数图象上得到 ?1−? = (?1−?) ，结合题意得到
?1−? = 3，则?1 = ? + 3，由此确定?点坐标为 (? + 3,? + 9)，根据点 ?(?2,?2) 是??段上不与 P、M 重合的点，得到? < ?2 < ? + 3，即0 < ?2−? < 3，结合题意即可求解．
【详解】解：∵函数? = (?−?)2 +? 的顶点为?(?,?)，且点?(?1,?1) 在函数图象上，
∴ ?1−? = (?1−?) ，
又∵ ?1−? = 3(?1−?) ≠ 0，
∴ (?1−?)2 = 3(?1−?)，
∵ ?1−? ≠ 0，两边同除以 (?1−?) 得：?1−? = 3，则?1 = ? + 3，
2
2
代入得 ?1−? = 3 × 3 = 9，则?1 = ? + 9，
∴?点坐标为 (? + 3,? + 9)，且?(?,?)，
∵ ?(?2,?2) 是??段上不与 P、M 重合的点，
∴ ? < ?2 < ? + 3，即0 < ?2−? < 3，
又∵?在函数图象上，? = ?2−? = (?2−?) ，
∴ 0 < (?2−?)2 < 9，即0 < ? < 9，故选：D．
2
3．已知二次函数? = (?2 + 1)?2 +?? + ?的图象与 x 轴交于(?1,0)、(?2,0)两点，且?1 < ?2．若点?(?,?)在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当? < 0时，? < 0B．当? > 0时，? > ?2
C．当? > 0时，? < ?1D．当? < 0时，?1 < ? < ?2
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与 x 轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性．
【详解】解：∵ 对任意实数 a，?2 ≥ 0，
∴ ?2 +1 > 0，即该二次函数抛物线开口向上，
∵ 抛物线与 x 轴交于(?1,0)、(?2,0)，且?1 < ?2，
∴ 根据开口向上抛物线的性质，可得：
当? < 0时，?1 < ? < ?2；当? > 0时，? < ?1或? > ?2，
∵ 点?(?,?)在抛物线上，即? = ?，
∴ 当? < 0时，?1 < ? < ?2，当? > 0时，? < ?1或? > ?2．
对于选项 A：当? < 0时，?1 < ? < ?2，而? < 0不一定成立，故该选项错误，不符合题意；对于选项 B：当? > 0时，? < ?1或? > ?2，故该选项错误，不符合题意；
对于选项 C：当? > 0时，? < ?1或? > ?2，故该选项错误，不符合题意；对于选项 D：当? < 0时，?1 < ? < ?2，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
考点五 二次函数与几何综合
《解题指南》
必备基础工具(所有大题必考公式)
1.点坐标基础
设抛物线上任意一点 P(x,y)
点到 x 轴距离：|y|
点到 y 轴距离：|x|
两点距离公式：?(?1,?1),?(?2,?2)
?? =(?2−?1)2 + (?2−?1)2
中点坐标公式:??中点
?1 + ?2 ?1 + ?2
2
,
2
铅垂高面积公式(中考万能，90%面积题必考)抛物线与直线围成三角形面积设直线与抛物线交点：A，B，抛物线上动点 P
水平宽：? = |??−??|
铅垂高：h=动点纵坐标一直线纵坐标(上下作差)
1
? = 2 ⋅水平宽⋅铅垂高
优点：不用勾股、不用复杂距离公式，直接用坐标算面积，最快。
平行、垂直坐标关系
①水平线段：纵坐标相等，长度=横坐标之差的绝对值
②竖直线段：横坐标相等，长度=纵坐标之差的绝对值
③两直线垂直：斜率乘积=—1（初中记：横差比=纵差比倒数相反数）
命题点 01 二次函数综合之线段周长问题
【典例】（2026·山东潍坊·一模）已知二次函数? = ?2−2?? + ?−1，其中 k 为常数．
证明：不论 k 取何值，该二次函数的图象与 x 轴始终有两个不同的交点；
1
将该函数的图象沿 y 轴向上平移2个单位长度，再沿 x 轴向右平移 1 个单位长度，得到的新二次函数的图
象与 x 轴的交点分别为?(?1,0)，?(?2,0)，且?1 < ?2，记线段??的长度为 d，求 d 的最小值；
【答案】(1)见解析
4
(3)该二次函数与一次函数? = (1−2?)? + ?−5的图象交于点 M，过点(2,0)作 x 轴的垂线，分别交二次函数和一次函数的图象于点 P、Q，若?? = ??，求 k 的值．
(2)1
2+ 5或2− 5
44
【分析】（1）证明判别式大于 0，即可得出结论；
（2）根据二次函数的平移规律得到新的二次函数解析式，令? = 0，由韦达定理可得?1 + ?2 = 2? + 2，?1?2
= 3? + 1，从而得出(? −? )2 = (2?−1)2 +1 ≥ 1，即可得解．
221
（3）先表示出点?、?的坐标，从而得出?? = 9，联立二次函数与一次函数，求出交点坐标? 1 ,− 3
，从而
424
93 2
得出?? =
+ −3? +
42
，再根据?? = ??，得到关于?的一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解： ∵ ? = ?2−2?? + ?−1，
∴ Δ = (−2?)2−4(?−1) = 4?2
1
−4? + 4 = 4 ?− 2
2
+3，
∵ ?−
2
1≥ 0，
2
1 2
∴ 4 ?− 2
1
∴ 4 ?− 2
≥ 0，
2
+3 > 0，即Δ > 0，
∴ 不论 k 取何值，该二次函数的图象与 x 轴始终有两个不同的交点；
（2）解：? = ?2−2?? + ?−1 = (?−?)2−?2 +?−1，
1
将该函数的图象沿 y 轴向上平移2个单位长度，再沿 x 轴向右平移 1 个单位长度，
得到的新二次函数为? = (?−?−1)2−?2
1
+?−1 + 2 =
(?−?−1)2−?2
1
+?−2 =
?2−(2? + 2)? + 3? + 1，
2
1
令? = 0，则?2−(2? + 2)? + 3? + = 0，
2
∵新二次函数的图象与 x 轴的交点分别为?(?1,0)，?(?2,0)，
∴?
+ ?
= 2? + 2，? ?
1
= 3? + ，
121 22
∴ (? −? )2 = (? + ? )2−4? ? = (2? + 2)2−4 3? + 1
= 4?2−4? + 2 = (2?−1)2 +1 ≥ 1，
21121 22
∵记线段??的长度为 d，
∴ ? = ?? = ?2−?1，
∴ ?的最小值为 1；
（3）解：当? = 2时，? = ?2−2?? + ?−1 = 4−4? + ?−1 = −3? + 3，
当? = 2时，? = (1−2?)
5(1−2?)53，
? + ?−4 =× 2 + ?−4 = −3? + 4
3
4
3 2
9
+
4
−3? +
2
3 2
，
∵ ?? = ??，
∴ ??2 = ??2，
∴ 4 + −3? + 2=，
9
3 29 2
4
整理得：?2−?− 1 = 0，
16
解得：?1 = 2+ 5，?2 = 2− 5．
4
4
综上可知，k 的值为2+ 5或2− 5．
4
2
∴ ?(2,−3? + 3)，? 2,−3? + 4 ，
3
∴ ?? = (−3? + 3)− −3? += ，
3
9
44
? = ?2−2?? + ?−1
联立 ? = (1−2?)? + ?− 5 ，
4
整理得：?2−? + 1 = 0，即 ?− 1= 0，
1 2
4
2
∴ ?1 = ?2 = 2，
1
∴ ? 2 ,− 4 ，
13
∴ ?? =
2−+ −3? + +=
244
【变式 1】（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2 + 2 3? + ?与?轴交于点
3
?，与?轴交于?，?两点（点?在点?的左侧），其中点?(− 3,0)，?? = 3．
求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标．
线段??上有一动点?，连接??，当
1的值最小时，请直接写出此时点?的坐标和1的最小
?? + 2???? + 2??
值．
【答案】(1)解析式为? = −1?2 + 2 3? + 3，顶点坐标为 3,4
3
3
(2)点?坐标为( 3,0)，最小值为3 3．
【分析】（1）将点 A，C 的坐标代入抛物线，组成方程组，即可求解；
（2）令? = 0，可得点 B 的坐标，由此可得∠??? = 30°，∠??? = 60°，作点 C 关于 x 轴的对称点?′，过点
?′作?′? ⊥ ??于点?， ?′?与 x 轴的交点即为所求点 P，连接??，可得的坐标及?′?即可．
【详解】（1）解：∵?? = 3，
∴?(0,3)，
把?(− 3,0)，?(0,3)代入? = ??2 + 2 3? + ?，得
3
3?−2 + ? = 0
? = 3，
? = − 1
1
?? + 2??
的最小值为?′?，求出点 P
解得 ? = 33 ，
1?22 3
∴抛物线的解析式为? = −+? + 3，
33
1212
∵? = − (?
3
−2 3? + 3) +4 = − (?− 3)
3
+4，
∴顶点坐标为 3,4 ．
12
（2）解：由? = − (?− 3)
3
+4，
令? = 0，则 1(?− 3)2 +4 = 0，
−
3
解得?1 = − 3，?2 = 3 3，
∴? 3 3,0 ，
∴?? = 3 3，
??33
∴tan∠??? = ?? = 3 3 = 3 ，
∴∠??? = 30°，∠??? = 60°，
作点 C 关于 x 轴的对称点?′，过点?′作?′? ⊥ ??于点?，与 x 轴交于点 P，连接??，
∵?′? ⊥ ??，∠??? = 30°，
2
1
∴当点?的坐标为 3,0 时，?? + ??的最小值3 3．
∴?3,0 ，
3
在Rt △ ???中，?? = ??tan∠??? = 3tan30° = 3 × 3 = 3，
∵?′? = ??，
∴∠?′?? = ∠??′? = 30°，
2
∴在Rt △ ??′?中，?′? = ??′sin∠??? = 6sin60° = 6 × 3 = 3 3，∠??′? = 30°，
∵??′ = ?? = 3，
∴??′ = 6，
∵?′? ⊥ ??，∠??? = 60°，
2
1′
∴?? + ??的最小值为? ?，
1
2
∴?? + ?? = ?′? + ?? = ?′?，
由对称可得，?′? = ??，
1
2
∴?? = ??，
【变式 2】（2026·江苏无锡·一模）抛物线? = ??2 +3? + ?与?轴交于点?和点?(4,0)，与?轴交于点?(0,4)，连接??，??．点?为第一象限内抛物线上的动点，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，交??于点?，连接??．
求抛物线的解析式；
如图，当线段??最短时，求点?的坐标；
当? ≤ ? ≤ ? + 2时，设函数的最大值为?1，最小值为?2，若?1−?2 = 2，直接写出?的值．
【答案】(1)? = −?2 +3? + 4
(2)点 P 的坐标为 2 , 4 ；
3 25
(3)?
31
− 2或
的值为2
− + 2
2
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据点 B 和点 C 的坐标可得直线??的解析式为? = −? + 4，设? ?,−?2 + 3? + 4 (0 < ? < 4)，则?
2
2
(?,−? + 4)，求得?? =2 ?− 3
25
+
2 ，利用二次函数的性质求解即可；
33
（3）求出当? = ?和? = ? + 2时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为? + 2 < 2，? > 2，
? ≤
3 ≤ ? + 2三种情况，利用二次函数的增减性解答即可．
2
【详解】（1）解：把?(4,0)和?(0,4)代入? = ??2 +3? + ?得：
16? + 12 + ? = 0
? = 4，解得
? = −1
? = 4 ，
∴抛物线的解析式为? = −?2 +3? + 4；
（2）解：∵?(4,0)和?(0,4)
∴设直线??的解析式为? = ?? + 4，
∴4? + 4 = 0，
解得? = −1，
∴直线??的解析式为? = −? + 4，设? ?,−?2 + 3? + 4 (0 < ? < 4)，又∵?? ⊥ ?轴，
∴?(?,−? + 4)，
令? = 0，则−?2 +3? + 4 = 0，
解得? = −1或? = 4，
∴?(−1,0)，
∴?? =(? + 1)2 + (−? + 4−0)2 =(? + 1)2 + (−? + 4)2，
整理得?? =2?
∵2 > 0，
2
2
+
2 ，
2−6? + 17 =2 ?− 325
3
∴当? = 2时，??最短，
2
3
∴当? = 2时，−?
3
+3? + 4 = − 2
2325
+3 × 2 +4 = 4 ；
∴点 P 的坐标为 3 , 25 ；
2 4
25
1
2
17
若−? +3? + 4 = 4 ，则
2
17
33
? = − 2或? = + 2（舍去）；
2
2
若−? −? + 6 = 4 ，则
2
17
? = −2或? = −1− 2（舍去）；
1
+
2
2
故?的值为2− 2或− + 2．
3
1
（3）解：当? = ?时，? = −?2 +3? + 4；
当? = ? + 2时，? = −(? + 2)2 +3(? + 2) +4 = −?2−? + 6；
? = −?2 +3? + 4 = − ?− 3+，
4
2
25
2
∴抛物线的对称轴为? = 2；
3
①当? + 2 < 2时，即? < −2，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大，
∴最大值与最小值的差为(−?2−? + 6)−(−?2 + 3? + 4) = 2，解得? = 0，不符合题意舍去；
3
∴最小值为 4 −2 = 4 ，
②当? > 2时，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小，
∴最大值与最小值的差为(−?2 + 3? + 4)−(−?2−? + 6) = 2，解得? = 1，不符合题意舍去；
3
③当? ≤≤ ? + 2时，即− ≤ ? ≤ ，此时最大值为 ，
3
1
3
25
2224
【变式 3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究
如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数? = −?2 +?? + ?的图象与 x 轴交于点?(−1,0),?(3,0)，与 y
轴交于点 C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图②，连接??，过点 C 作?? ⊥ ??与抛物线相交于另一点 D．
①求点 D 的坐标；
②将直线??平移，若直线??与第一象限的抛物线和线段??（不包括点 B 和点 C）分别交于点 M，N，在平移过程中，求出线段??长度的取值范围；
③如图③，E，F 为线段??上两个动点（点 E 在点 F 的右侧），且?? = 2，连接??，??，则?? + ??的最小值是．
【答案】(1)? = −?2 +2? + 3
8
(2)①?(1,4)；②0 < ?? ≤ 9 2；③5
【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式；
①延长??与?轴相交于点?，证明△ ???是等腰直角三角形，从而得到?点坐标，求出直线??的解析式，联立抛物线解析式求解即可；
②如图②，过点?作??∥?轴，交线段??于点?．由①可知∠??? = ∠??? = 45°,∠??? = 90°．由平移，得
??∥??，则∠??? = ∠??? = 90°，结合??∥?轴，得出∠??? = ∠??? = 45°，则?? = ??，在Rt △ ???
中，?? = 2??．设点?的横坐标为?(0 < ? < 3)．则? ?,−?2 + 2? + 3 ，求出直线??的解析式，根据
2
??∥?轴，点?在线段??上，得出?
解；
(?,−? + 3)
．表示出?? = − ?− 3
2
29
+ 4，再根据二次函数的性质即可求
③过点?作??∥??，且?? = ?? = 2，连接??,??，设??交?轴为点?，然后证明四边形????是平行四边形，根据?? + ?? ≥ ??，得出?? + ?? = ??时，?? + ??最小，进一步求出??即可；
【详解】（1）解：∵?(−1,0),?(3,0)在二次函数? = −?2 +?? + ?的图象上，设该二次函数为? = −(?−?1)(?−?2)，
∴ ? = −(? + 1)(?−3)，
∴ ? = −?2 +2? + 3．
（2）解：①把? = 0代入? = −?2 +2? + 3，
得? = 3，
∴ ?(0,3)，
如图，延长??与?轴相交于点?．
∵ ?(3,0),?(0,3)，
∴ ?? = ?? = 3，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 45°，
∵ ∠??? = 90° = ∠???，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 90°−45° = 45°，
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−90°−45° = 45°，
∴ ?? = ?? = 3，
∴ ?(−3,0)，
设直线??的解析式为：? = ?? + ?(? ≠ 0)，
3 = ?
把?(0,3),?(−3,0)代入，得 0 = −3? + ? ，
? = 1
解得 ? = 3 ，
∴直线??的解析式为：? = ? + 3，
∵点?是直线??与二次函数的交点，
? = ? + 3
∴联立解析式 ? = −?2 + 2? + 3 ，
? = 0? = 1
解得 ? = 3 或 ? = 4 ，
∴ ?(1,4)．
②如图②，过点?作??∥?轴，交线段??于点?．
由①可知∠??? = ∠??? = 45°,∠??? = 90°．
由平移，得??∥??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵??∥?轴，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ?? = ??，
∴在Rt △ ???中，?? = 2??．
2
设点?的横坐标为?(0 < ? < 3)．
∴ ? ?,−?2 + 2? + 3 ，
设直线??的解析式为? = ?1? + ?1(?1 ≠ 0)．
3 = ?
把点?(3,0),?(0,3)代入，得 0 = 3?1 + ?1 ，
1
解得，
?1 = −1
?1 = 3
∴直线??的解析式为? = −? + 3．
∵??∥?轴，点?在线段??上，
∴?(?,−? + 3)．
22
3 29
∴?? = (−? + 2? + 3)−(−? + 3) = −? +3? = − ?− 2+ 4．
39
∴当? = 2时，??有最大值，最大值为4．
∴?? = 2?? = 299 2．
22 × 4 = 8
9 2
∴??的最大值为 8 ．
∵?? > 0，
．
9 2
∴0 < ?? ≤ 8
③如图，过点?作??∥??，且?? = ?? = 2，连接??,??，
设??交?轴为点?．
∵ ??∥??，且?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 45°，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ?? = 2,??2 +??2 = ??2，
∴ ?? = ?? = 1，
∴ ?(1,−1)，
∵ ?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，
∴ 当?? + ?? = ??时，?? + ??最小，即?? + ??最小，
∵ ?(1,4),?(1,−1)，
∴ ?? = 5，
此时?,?,?三点共线且?? ⊥ ?轴，
∴点?的坐标为(0,3)与点?重合，满足??在线段??上．
∴?? + ??的最小值为 5．
命题点 02 二次函数综合之面积问题
【典例】（2026·河北廊坊·一模）抛物线?1：? = −??2−2?? + 3?（m 为常数，? > 0）交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，顶点为点 P．
如图 1，若点 C 的坐标为(0,3)．
①求抛物线?1的函数解析式及点 P 的坐标；
②过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，与直线??交于点 M，求??的长；
设点 B 到直线??的距离为? ，点 P 到直线??的距离为? ，ℎ = ?1，判断 h 是否为定值，如果是，求出 h
12?2
的值；如果不是，说明理由；
如图 2，将抛物线?1绕点?(0,0)旋转180°，得到抛物线?2，抛物线?2与 y 轴交于点 F，抛物线?1，?2相交于 D，E 两点，若四边形????的面积为18 3，直．接．写出 m 的值．
【答案】(1)①? = −?2−2? + 3，?(−1,4)；②?? = 2
h 为定值，2
m 的值为 3
【分析】（1）①将(0,3)代入? = −??2−2?? + 3?求出? = 1，即可得到抛物线?1的解析式；然后配方成顶点式即可求出点 P 的坐标；
②首先求出?(−3,0)，然后利用待定系数法求出直线??的函数解析式为? = ? + 3，然后求出?(−1,2)，进而求解即可；
（2）首先求出?? = 3，?? = 1，?? = 4，?? = 3?，直线??的函数解析式为? = ?? + 3?，然后求出
sin∠??? cs∠??? =
??
??
= ?，然后得到?? = 2?，分别过点 P，B 作??的垂线，垂足为 G，H，则?? = ?1，?? =
? ，解直角三角形表示出? ，? ，然后代入ℎ = ?1求解即可；
212
?2
作直线??，得到抛物线?1和抛物线?2关于原点对称，推出?? = ?? = 3?，?? = ??，四边形????为平行四边形，设点? ?,−??2−2?? + 3? ，则点? −?,−??2 + 2?? + 3? ，联立求出?? = 3，进而求解即可．
【详解】（1）解：①∵点 C 的坐标为(0,3)，
∴代入? = −??2−2?? + 3?得，3? = 3，
解得? = 1，
∴抛物线?1的解析式为? = −?2−2? + 3；
∴? = −?2−2? + 3 = −(? + 1)2 +4，
∴点?(−1,4)；
②∵抛物线?1的解析式为? = −?2−2? + 3
∴当? = 0时，0 = −?2−2? + 3
解得?1 = −3，?2 = 1，
∴?(−3,0)．
设直线??的函数解析式为? = ?? + ?，
将?(−3,0)，?(0,3)代入解析式得，
? = 1
解得 ? = 3 ，
−3? + ? = 0
? = 3
∴直线??的函数解析式为? = ? + 3，
当? = −1时，? = 2，
∴?(−1,2)，
∴?? = 4−2 = 2；
解：h 为定值 2；
∵抛物线?1：? = −??2−2?? + 3?
∴当? = 0时，−??2−2?? + 3? = 0，解得?1 = −3，?2 = 1，
∴?(−3,0)，?(1,0)．
∴?? = 3，?? = 1，?? = 4
又∵?(0,3?)，
∴?? = 3?
∴直线??的函数解析式为? = ?? + 3?．
????
在Rt △ ???中，cs∠??? = ??，sin∠??? = ??，
∴sin∠??? = ?? = ?．
cs∠?????
∵抛物线?1的对称轴为直线? = −1，
∴?(−1,4?)，?(−1,2?)，
∴?? = 2?．
如图 1，分别过点 P，B 作??的垂线，垂足为 G，H，则?? = ?1，?? = ?2．
在Rt △ ???和Rt △ ???中，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???．
在Rt △ ???中，?1 = ?? ⋅ sin∠??? = 4sin∠???，
在Rt △ ???中，?2 = ?? ⋅ cs∠??? = 2? ⋅ cs∠???，
∴ℎ ==⋅
?1
2 sin∠???
?2? cs∠???
= 2，为定值；
（3）解：如图 2，作直线??，
∵将抛物线?1绕点?(0,0)旋转180°，得到抛物线?2
∴抛物线?1和抛物线?2关于原点对称
∴?? = ?? = 3?，?? = ??，
∴四边形????为平行四边形．
设点? ?,−??2−2?? + 3? ，则点? −?,−??2 + 2?? + 3? ，
∴可得直线??的解析式为? = −2??，
联立直线??和抛物线的?1解析式，得−??2−2?? + 3? = −2??，解得?? = 3（负值舍去）．
∴?△??? = 2 ⋅ (3? + 3?) ⋅ 3 = 3 3?，
∴四边形????的面积为6 3?，即6 3? = 18 3，
1
解得? = 3．
【变式 1】（2026·湖北襄阳·一模）如图，抛物线? = −?2 +?? + 3与 x 轴交于?(−3,0)，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点．
求 b 的值和点 D 坐标；
如图，点 E 是第二象限抛物线上的点，∠??? = ∠???，求点 E 的横坐标；
将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为 L，L 与 y 轴交于点 P，设点 P 的纵坐标为 n，点 Q 在 L 的对称轴上，点 Q 的纵坐标为?−1，当点 Q 与点 D 不重合时，将点 Q 绕点 D 顺时针旋转90°得到点 M，当 P、M、D 三点不在同一直线上时，设△ ???的面积为 S．
①求 S 关于 n 的函数解析式；
②当 L 与线段??没有公共点，且 S 随 n 的增大而增大时，请直接写出 n 的取值范围．
|?2−9? + 20|；②求出当 L 与线段??没有公共点时 n 的取值范围，再根据（3）①所求求出 S 随 n 的增大
而增大时 n 的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线? = −?2 +?? + 3与 x 轴交于?(−3,0)，
∴0 = −(−3)2−3? + 3，
解得? = −2，
∴抛物线的解析式为? = −?2−2? + 3 = −(? + 1)2 +4，
∴点 D 的坐标为(−1,4)；
（2）解：如图所示，过点 E 作?? ⊥ ??于点 F，
2
??
2
|?−5|，由旋转的性质可得?? = ?? = |?−5|，∠??? = 90°，则可得到? = 1?? ⋅ |? −? | = 1
答案；
（3）①可求出抛物线 L 的解析式为? = −(? + 1)2 +? + 1，则?(−1,?−1)，可得到?? = |?−1−4| =
= 3，−? −2? + 3，解方程即可得到
1−?
2
−?2−2?+31
2
2
?,−? −2? + 3 ，则?? = 1−?，?? = −? −2? + 3，可得方程
1??1
（2）过点 E 作?? ⊥ ??于点 F，求出点 B 的坐标，进而求出tan∠??? = tan∠??? = 3，则?? = 3；设?
2
【分析】（1）利用待定系数法求出 b 的值，进而得到抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式求出点 D 的坐标即可；
2
(3)①? = 1|?2−9? + 20|；②4 < ? ≤ 9或5 < ? < 7
8
3
(2)−
【答案】(1)? = −2；(−1,4)
由（1）得抛物线的解析式为? = −?2−2? + 3，
在? = −?2−2? + 3中，当? = 0时，? = 3，则?(0,3)，当? = 0时，则−?2−2? + 3 = 0，
解得? = 1或? = −3，则?(1,0)，
∴?? = 3，?? = 1，
??1
∴tan∠??? = ?? = 3；
∵∠??? = ∠???，
1
∴tan∠??? = tan∠??? = 3，
∴?? = 1；
??3
设? ?,−?2−2? + 3 ，则?? = 1−?，?? = −?2−2? + 3，
∴−?2−2?+3 = 1，−?2−2? + 3
1−?3
8
解得? = −3（已检验）或? = 1（舍去），
8
∴点 E 的横坐标为−
3
解：①设抛物线 L 的解析式为? = −?2−2? + 3 + ?，在? = −?2−2? + 3 + ?中，当? = 0时，? = 3 + ?，
∴?(0,3 + ?)，
∵点 P 的纵坐标为 n，
∴3 + ? = ?，
∴? = ?−3，
∴抛物线 L 的解析式为? = −?2−2? + 3 + ?−3 = −(? + 1)2 +? + 1，
∴抛物线 L 的对称轴为直线? = −1，顶点坐标为(−1,? + 1)，
∴?(−1,?−1)，
由（1）得点 D 的坐标为(−1,4)，
∴?? = |?−1−4| = |?−5|，
由旋转的性质可得?? = ?? = |?−5|，∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??，即?? ∥ ?轴，
|?
111 2
∴? = ?? ⋅−? | = ⋅ |?−5||?−4| = |? −9? + 20|；
2??22
②如图 3-1 所示，当抛物线 L 的顶点恰好是点 D 时，则? + 1 = 4，
解得? = 3；
如图所示，当抛物线 L 的顶点在点 D 下方时，则? + 1 < 4，
解得? < 3，
由函数图象可知，此时一定满足抛物线 L 与线段??没有公共点；
如图 3-3 所对，当抛物线 L 的顶点在点 D 上方，且点 M 恰好在抛物线 L 上，且在抛物线 L 的对称轴左侧时，
由旋转的性质可得?? = ?? = 4−(?−1) = 5−?，
∴?(−1−5 + ?,4)，
∴4 = −(−1−5 + ? + 1)2 +? + 1，
解得? = 4或? = 7（舍去），
此时点 P 的坐标为(0,4)，即此时 D、P、M 三点共线；
如图 3-4 所示，当抛物线 L 的顶点在点 D 上方，且点 Q 在点 D 下方，点 P 在点 D 上方时，则
?−1 < 4
? > 4 ，
解得4 < ? < 5，
由函数图象可知，此时一定满足抛物线 L 与线段??没有公共点；
如图 3-5 所示，当抛物线 L 的顶点在点 D 上方，点 Q 在点 D 上方，且点 M 恰好在抛物线 L 上时，
由旋转的性质可得?? = ?? = (?−1)−4 = ?−5，
∴?(−1 + ?−5,4)，
∴4 = −(−1 + ?−5 + 1)2 +? + 1，
解得? = 7或? = 4（舍去）；
如图 3-6 所示，当抛物线 L 的顶点在点 D 上方，点 Q 在点 D 上方时，
由函数图象可知当点 M 的横坐标小于−1 + 7−5 = 1时，满足抛物线 L 与线段??没有公共点，
∴−1 + ?−5 < 1，
∴? < 7，
综上所述，当抛物线 L 与线段??没有公共点时，? < 3或4 < ? < 5或5 < ? < 7；
∵? = 1|?2−9? + 20| = 1|(?−4)(?−5)|，
22
∴当? < 4时，?−4 < 0，?−5 < 0，则(?−4)(?−5) > 0，
∴? = 1|?2−9? + 20|
2
1
= 2 |(?−4) (?−5)|
= 1 (?2−9? + 20)
2
19 2 1
= 2 ?− 2−8，
∵1 < 0，
2
9
∴当? ≥ 2时，S 随 n 的增大而增大，此时不满足题意；
当4 < ? < 5时 ，?−4 > 0，?−5 < 0，则(?−4)(?−5) < 0，
∴? = 1|?2−9? + 20|
2
1
= 2 |(?−4) (?−5)|
12
= − 2 (?
−9? + 20)
19 21
= −2 ?− 2+ 8，
−
∵ 1 < 0，
2
9
∴当? ≤ 2时，S 随 n 的增大而增大，
9
∴当4 < ? ≤ 2时，S 随 n 的增大而增大；
当? > 5时 ，?−4 > 0，?−5 > 0，则(?−4)(?−5) > 0，
∴? = 1|?2−9? + 20|
2
1
= 2 |(?−4) (?−5)|
1
=(?2−9? + 20)
2
= 2 ?− 2−8，
1
9 2
1
∵1 > 0，
2
∴当? ≥ 2时，S 随 n 的增大而增大，
∴当? > 5时，S 随 n 的增大而增大；
9
综上所述，当4 < ? ≤ 2或? > 5时，S 随 n 的增大而增大，
9
∴当4 < ? ≤ 2或5 < ? < 7时，抛物线 L 与线段??没有公共点，且 S 随 n 的增大而增大．
9
【变式 2】（2026·四川南充·一模）如图，经过?(2,0)，? 5,−
，? 7,
的抛物线与 y 轴交于 D，点 E 在
3
2
5
2
第四象限抛物线上，点 F 在线段??上．
求抛物线的解析式；
当??与 y 轴平行且取最大值时，求点 E 的坐标；
四边形????的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点 E，F 的坐标？若不存在，请说明理由．
【答案】(1)? = 1?2−4? + 6
2
(2) 7 ,− 15
28
(3)四边形????的面积存在最大值，此时? 2 ,− 8 ，此时 F 为??上任意一点．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
715
求出直线??的解析式，设出点 E 的坐标，则可表示出点 F 的坐标，再表示出??的长，利用二次函数
的性质求解即可；
可证明?? ∥ ??，则?△???为定值，则可证明当?△???有最大值时，?四边形????有最大值；根据?△??? =
?△???
+ ?△???，推出?△???
3
= 2??
，仿照（2）求出??取得最大值时点 E 的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)，
4? + 2? + ? = 0
25? + 5? + ? = − 3
由题意得，
? = 1
2
2 ，
49? + 7? + ? = 5
2
解得 ? = −4 ，
? = 6
∴抛物线的解析式为? = 1?2−4? + 6；
2
（2）解：在? = 1?2−4? + 6中，当? = 0时，? = 6，
2
∴?(0,6)；
7? + ?′ = 5
，
设直线??的解析式为? = ?? + ?′，则
? = − 1
2
?′ = 6
6
解得 ?′ = 2 ，
1
∴直线??的解析式为? = − ? + 6；
2
2
1
设? ?, 2 ?
−4? + 6 ，则? ?,− 1 ? + 6 ，
2
1
∴?? = −2? + 6−
1 ?2−4? + 6
2
1 2
= − 2 ?
7
+ 2 ?
17 249
= −2 ?− 2+ 8 ，
−
∵ 1 < 0，
2
7
∴当? = 2时，??有最大值，
1 217 2715
此时2? −4? + 6 = 2 × 2−4 × 2 +6 = − 8 ，
∴? 7 ,− 15 ；
28
（3）解：如图所示，连接??，过点 E 作?? ∥ ?轴交??于点 H，
同理可得直线??的解析式为1，
? = −2? + 1
由（2）得直线??的解析式为1，
? = − ? + 6
2
∴?? ∥ ??，
∴点 F 到??的距离为定值，
∴?△???为定值，
∵?四边形???? = ?△??? + ?△???，
∴当?△???有最大值时，?四边形????有最大值；
2
1
设? ?, 2 ?
1
−4? + 6 ，则? ?,− 1 ? + 1 ，
2
1 ?2−4? + 6
∴?? = −2? + 1− 2
12
= − 2 ?
7
+ 2 ?−5
17 29
= −2 ?− 2+ 8，
∴?△??? = ?△??? + ?△???
11
= 2 ?? ⋅ (??−??) + 2 ?? ⋅ (??−??)
1
= 2 ?? ⋅ (??−??)
3
= 2 ??
37 227
= −4 ?− 2+ 16，
3
∵− < 0
4
7
∴当? = 2时，?
△???
有最大值，即此时?
四边形????
有最大值，
由（2）可知，此时? 7 ,− 15 ，
28
∴四边形????的面积存在最大值，此时? 7 ,− 15
，此时 F 为??上任意一点．
28
【变式 3】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，直线? = ? ? + ?与双曲线?
?2
=在第一象限内交于??
11
两点，已知?(2,?)，?(3,2)．
分别求出直线和双曲线的函数表达式；
2?、
【答案】(1)?1
= −? + 5，?2 = 6
?
(2)? 5 , 5
2 2
【分析】（1）将?(3,2)代入?2 = ? 求出反比例函数解析式，再将?(2,?)代入反比例函数解析式求出 n 的值，
进而可求直线的函数表达式；
?2
（2）设?(?,−? + 5)，先求出 m 的取值范围，再根据题意得到△ ???的面积的函数表达式，根据二次函
数的性质作答即可．
【详解】（1）解：将?(3,2)代入?2 = ? 得2 = 3 ，
解得：?2 = 6，
?2
?2
∴?2 = ?，
6
将?(2,?)代入?2 = ?得? = 2 = 3，
∴?(2,3)，
6
6
将?(2,3)、?(3,2)代入?1 = ?1? + ?得： 2 = 3?1 + ?
3 = 2?1 + ?
解得： ?1 = −1 ，
? = 5
∴?1 = −? + 5；
（2）解：设?(?,−? + 5)，
∵点?是线段??上的一个动点，
设点?是线段??上的一个动点，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，?是?轴上一点，当△ ???的面积最大时，请求出此时?点的坐标．
5 5
∴当△ ???的面积最大时，? 2 , 2 ．
5
2
5
2
5
∵? = 2在2 ≤ ? ≤ 3的范围内，− +5 =
5
∴当? = 2时， △ ???的面积最大，
1
2
∵− < 0，
25
+ 8 ，
22
2
2
1(?2−5?) = −1 ?− 5
2
∴ △ ???的面积 = 1 × ? × (−? + 5) = −
∴2 ≤ ? ≤ 3，
∵过点?作?? ⊥ ?轴于点?，?是?轴上一点，
∴?? = −? + 5，?到??的距离为 m，
【变式 4】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：抛物线? = −?2 +?? + ?与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，其中?(3,0)，?(0,3)
求抛物线的解析式；
点 G 是抛物线上的一点，且满足?△??? = ?△???，请直接写出点 G 的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为? = −?2 +2? + 3
(2)存在；(4,−5)或(−4,−21)
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设 G 的横坐标为 m，根据?△??? = ?△???列出关于 m 的方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线? = −?2 +?? + ?经过?(3,0)，?(0,3)，
−9 + 3? + ? = 0
∴
? = 3
，
? = 2
解得 ? = 3 ，
∴? = −?2 +2? + 3；
（2）解：当? = −?2 +2? + 3 = 0时，解得?1 = −1，?2 = 3，
∴?(−1,0)，
又?(3,0)，?(0,3)，
∴?△??? = 2 × (3 + 1) × 3 = 6，
设点 G 的横坐标为 m，
1
∵?△??? = ?△???，
∴1 × 3 ⋅ |?| = 6，
2
∴? =± 4，
当? = 4时，? = −42 +2 × 4 + 3 = −5；
当? = −4时，? = −(−4)2 +2 × (−4) +3 = −21；
∴点 G 的坐标为(4,−5)或(−4,−21)．
【变式 5】（2026·广东广州·一模）已知抛物线? = ??2(? > 0)，点? 0,
，纵坐标为2的点?在抛物线上，
1
4?
且?? = 3，过点?作直线??交抛物线于点?(?1,?1)，?(?2,?2)．
求该抛物线的函数表达式．
已知点?(0,2)，直线??，??分别交抛物线于?，?两点．
①求证：直线??过定点；
②求△ ???与 △ ???面积和的最小值．
【答案】(1)? = 1?2
4
(2)①证明见解析；②10
【分析】（1）设?(?,2)，则?2 = 2，然后利用两点距离公式得到关于 a 的一元二次方程，解方程即可；
?
11
（2）①设? ?, ?2 ，? ?, ?2 ，利用待定系数法表示出直线??的函数表达式为?
?+???
4
4
??
=?− 4 ，
4
设直线??
的函数表达式为??? = ?? + 1(? ≠ 0)，直线??的函数表达式为??? = ?? + 2(? ≠ 0)，分别与抛物线联立，
然后根据一元二次方程根与系数的关系得到?1?2 = −4，?1·? = −8，?2·? = −8，从而求得??，即可解答；
②根据①中所求，可得?1 + ?2 = 4?，? + ? = 8?，然后利用完全平方公式的变形求得?2−?1，?−?，接着根据面积公式可求得面积和，即可利用二次根式的性质求得最小值．
【详解】（1）解：根据题意，设?(?,2)，则??2 = 2，
∴?2 = 2，
?
∵?? = 3，
∴??2
= (?−0)2
+ 2−
1
4?
2
= 32，
整理得80?2−16?−1 = 0，
11
解得? = 4或−20（不合题意，舍去），
∴该抛物线的函数表达式为? = 1?2；
4
2
1
（2）①证明：根据题意，设? ?, 4 ?
4
?? + ? = 1 ?2
则 ?? + ? = 1 ?2 ，
4
4
? = ?+?
解得 ? = − ?? ，
4
1
2
，? ?, 4 ?
，直线??的函数表达式为??? = ?? + ?(? ≠ 0)，
?+???
∴??? =
4 ?− 4 ，
∵过点?(0,1)作直线??交抛物线于点?(?1,?1)，?(?2,?2)．
∴设直线??的函数表达式为??? = ?? + 1(? ≠ 0)，
??? = ?? + 1
联立? = 1 ?2，得?2
4
−4??−4 = 0，
∴?1?2 = −4；
∵?(0,2)，直线??交抛物线于点?，
∴设直线??的函数表达式为??? = ?? + 2(? ≠ 0)，
??? = ?? + 2
联立? = 1 ?2，得?2
4
−4??−8 = 0，
∴?1·? = −8，
同理可得?2·? = −8，
88
∴? = −? ，? = −? ，
1
8
∴?? = −×
2
− 8 = 64
= 64 = −16，
?1
?2
?1?2−4
∴??? =
?+?
4 ?−
−16
4 =
?+?
，
? + 4
4
∴对于直线??，当? = 0时，??? = 4，
∴直线??过定点(0,4)；
②解：由①可得，?1?2
= −4，?1 + ?2
= 4?；?? = −16，? + ? = − 8 + − 8
8(?1+?2)
，
= −= 8?
直线??过定点(0,4)，如图：
?1
?2
?1?2
∴?2−?1 =(?1 + ?2)2−4?1?2 = 4 ?2 + 1，?−? =(? + ?)2−4?? = 8 ?2 + 1，
∴?△??? =
1
2
(??−??)(?2−?1) = 2
?2 + 1，?△??? =
1
2
(4−??)(?−?) = 8 ?2 + 1，
∴?△??? + ?△??? = 10
?2 + 1，
∵ ?2 + 1 ≥ 1，
∴ △ ???与 △ ???面积和的最小值为 10．
命题点 03 二次函数综合之角度问题
【典例】（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线
1与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于
点 C，与抛物线 L：? = −1?2 +?? + ?交于点?(5,?)和点?(6,1)．
2
? = 2?−2
求证：点 Q 为抛物线 L 的顶点；
将抛物线 L 先向上平移 1 个单位，再向左平移 r（? > 0）个单位，得到抛物线?1，若抛物线?1经过点?
3
2
1,，且点 D 在抛物线? 的对称轴左侧，求抛物线? 的函数表达式；
11
在（2）的条件下，记抛物线?1的对称轴为直线 l，作点?(0,−2)关于直线 l 的对称点 B，连接??，在直线
??上是否存在点 P，满足∠??? = ∠???？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)? = −1?2 +2?
2
(3)存在，点? 4, 2 或 4,− 2
【分析】（1）先求出点?的坐标，再利用待定系数法，求得二次函数解析式即可解答；
3
5
2
表示出平移后的抛物线解析式，将? 1, 3
代入求解，再两种情况讨论即可；
过点?作?? ⊥ ??于点?，作?? ∥ ??交??于点?，可得∠??? = ∠??? = ∠???，求得点?，再将 △ ???
沿??翻折得到 △ ???，延长??交??与点?2，求出另一个点?即可．
【详解】（1）证明：把点?(5,?)代入
1，得11，
2
∴ ? 5, 1 ，
? = 2?−2? = 2 × 5−2 = 2
2
把? 5, 1
，?(6,1)代入? = −1?2 +?? + ?，得
2
1 = − 1 × 52 + 5? + ?
22
1 = − 1 × 62 + 6? + ? ，
2
? = 6
解得 ? = −17 ，
∴抛物线的解析式为
1
? = −
2
+6?−17 = −1(?−6)2 +1，
?2
2
∴抛物线的顶点为(6,1)，即点 Q 为抛物线 L 的顶点；
解：∵将抛物线 L 先向上平移 1 个单位，再向左平移 r（? > 0）个单位，得到抛物线?1，
∴抛物线?1的解析式为
1(?−6 + ?)2 +1 + 1，
把? 1, 3 代入
? = −
2
1(?−6 + ?)2 +1 + 1
3 = −1(?−5)2 +2，
2
? = −
2
，得22
解得?1 = 4或?2 = 6，
当?1 = 4时，抛物线?1的解析式为
1(?−2)2 +2，对称轴为直线? = 2，
? = −
2
则点 D 在抛物线?1的对称轴左侧，符合题意；
当?2 = 6时，抛物线?1的解析式为
1?2 +2，对称轴为直线? = 0，
? = −
2
则点 D 在抛物线?1的对称轴右侧，不符合题意；
∴抛物线?1的解析式为
1(?−2)2
1?2 +2?；
解：存在，
? = −
2
+2 = −
2
令0 =
1?−2，
2
解得? = 4，
∴ ?(4,0)，
∵ ? = −1(?−2)2 +2，
2
∴直线 l 为直线? = 2，
∵ 作点?(0,−2)关于直线 l 的对称点 B，
∴ ?(4,−2)，
如图，当点?在?轴上方时，过点?作?? ⊥ ??于点?，作?? ∥ ??交??于点?，
∵ ?? = 2,?? = 4,?? =
3,?? = 4−1 = 3，
2
????
∴ ?? = ??，
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
2
此时? 4, 3 ，
如图，当点?在?轴下方时，将△ ???沿??翻折得到 △ ???，延长??交??与点?2，根据翻折可得∠??? = ∠???2 = ∠???，
过点?作?? ⊥ ??于点?，延长??交??于点?，
3
根据翻折可得?? = ?? = 2，?? = ?? = 3，∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
? = − 4
5
− 9 = 14 ? + ?
2
1
105
1
，解得 ? = 17 ，
3
1
6
∴ 直线??的解析式为? = − ? +，
4
10
33
当? = 4时，? = −4 × 4 + 17 = −
2
3
6
5
，
∴ ?2 4,− 2 ，
5
综上，点? 4, 2 或 4,− 2 时，∠??? = ∠???．
3
? = − 9
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = ?? = ?? = 2，
∴ 2?? = ??，2?? = ??，
??????
1
设?(?,?)，则?? = 4−?，?? = ?−1，?? = 3−?，?? = −?，
2
−2? = ?−1
可得 2(4−?) = 3 −? ，
2
? = 14
解得
3 = ? + ?
5
，
10
∴ ?
149
,−，
510
设直线??的解析式为? = ?? + ?1，
把? 1, 2 ，? 5 ,− 10 代入可得
3
149
【变式 1】（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2 +?? + 2与 x 轴交于点?
(−4,0)，?(1,0)两点，与 y 轴交于点 C．
求抛物线的解析式；
过点 B 作?? ∥ ??交抛物线于点 D，点 P 是射线??上方抛物线上的一动点，连接??与射线??交于点 E，连接??、??，当 △ ???面积最大时，求点 P 的坐标；
在（2）中 △ ???面积取得最大值时，将抛物线? = ??2 +?? + 2沿射线??方向平移 5个单位长度得到新抛物线?′，点?′为点 P 的对应点，点 Q 为新抛物线上的一个动点，当∠??? = ∠???′−∠???时，直接写出
所有符合条件的点 Q 的坐标．
【答案】(1)? = −1?2
2
(2)?(−2,3)
3
− ? + 2
2
(3)点 Q 的坐标为(−1,3)或 −1−2 3,−3−3 3
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）过 P 作?? ∥ ?轴，交??于 F，求出?(0,2)，从而可得直线??解析式为1
，进而得出直线??的
? = 2? + 2
? = − 1 ?2− 3 ? + 2
2
解析式为11
2 12 1(−5,−3)
13
?,− ? − ? + 2
11
?, ?−
? = 2?−2，联立
? =
?−
22
，可得?
， 设?22
，则?22 ，
?? = −1?2−2? + 5，表示出?
1(?
−? )
3(? + 2)2 + 27
? = −2时，
22△??? = 2?? ?
? = −
2 ，结合二次函数的性质可得当
2
?△???最大，由?△???是定值，且?△??? = ?△??? + ?△???，可得?△???最大，即可得出结果；
设??与??交于点 L，由勾股定理可得?? = 2 5，结合二次函数图象平移的性质可得?′ = −1?2 + 1
22
333
? + 4，先证明∠??? = ∠???，从而可得?? ∥ ??，求出??解析式为? = − ?，??解析式为? = − ? + 2，当
22
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
?′ = ?时，联立
2
? = −
2
3 ? + 3
22
，计算即可得出?1(−1,3)；设?1关于 x 轴对称点为?1′(−1,−3)，求出
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
? ′332 32
直线?
1 解析式为? = 2?−2，联立
? =
?− 3
22
，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线? = ??2 +?? + 2与 x 轴交于点?(−4,0)，?(1,0)两点，
16?−4? + 2 = 0
∴? + ? + 2 = 0 ，
? = − 1
2
解得： ? = − 3 ，
2
∴抛物线为
1
? = −
2
− ? + 2；
?2
3
2
（2）解：如图，过 P 作?? ∥ ?轴，交??于 F，
在? = −1?2
2
∴?(0,2)．
3
− ? + 2
2
中，令? = 0，则? = 2．
设直线??解析式为? = ?? + 2(? ≠ 0)，把?(−4,0)代入，得−4? + 2 = 0，
1
解得? = 2，
∴直线??解析式为? =
1? + 2，
2
∵?? ∥ ??，
∴设直线??的解析式为? =
1? + ?，
2
∴把?(1,0)
1
代入，得2 +? = 0，
1
解得? = −2，
11
∴直线??的解析式为? = 2?−2，
? = − 1 ?2− 3 ? + 2
22
联立? = 1 ?− 1，
22
? = −5? = 1
解得 ? = −3 或 ? = 0 ，
∴?(−5,−3)，
1 2311
设? ?,− 2 ? − 2 ? + 2 ，则? ?, 2 ?− 2 ，
1
∴?? = − ?2
2
3
− ? + 2−
2
1 ?− 1
22
=1 2
?
−
2
5
−2? + 2，
1(?
−? )11 25
3227
2
∴?△??? = 2?? ?
∵−1 < 0，
? = 2 − 2 ?
−2? +1−(−5) = − (? + 2)
2
+ 2 ，
∴当? = −2时，?△???最大，
∵?△???是定值，?△??? = ?△??? + ?△???，
∴?△???最大，
∴当△ ???面积最大时，?(−2,3)；
（3）解：设??与??交于点 L，
，
∵?(−4,0)，?(0,2)，
∴?? =??2 + ??2 = 2 5，
∵将抛物线? = ??2 +?? + 2沿射线??方向平移 5个单位长度得到新抛物线?′，
1 2 3
13 225
∴抛物线? = − ? − ? + 2 = − ? ++ 8 ，向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到新抛
?′
22
?′13
22
225
11 233
物线 ，为
= − ? + −2
1
22
++1 = −
82
?−
2
+ 8 ，
即?′ = −1?2
2
+ 2? + 4，
∵点?′为点 P 的对应点，
∴??′ ∥ ??，
∴∠???′ = ∠???，
∵∠??? = ∠???−∠???，且∠??? = ∠???′−∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
设??解析式为? = ??，
把?(−2,3)代入，得−2? = 3，
3
∴? = −2，
3
∴??解析式为? = − ?，
2
设??解析式为3，
? = − ? + ?
2
1
? = − 3
3
3
′
?
∴直线?解析式为? = ?− ，
2
，
2
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问
题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
2
2
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
∴联立
? = 3 ?− 3
22
，
22
解得 ? = −3 + 3 3 （舍去）或 ? = −3−3 3 ，
∴?1′ −1−2 3,−3−3 3 ．
综上所述，点 Q 的坐标为(−1,3)或 −1−2 3,−3−3 3 ．
? = −1 + 2 3
? = −1−2 3
2
把?(1,0)代入，得−
3
+? = 0，
2
∴? = 2，
3
∴??解析式为? = − ? + 2，
3
3
2
当?′ = ?时，联立
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
解得
? = − ? +
3
2
3
，
22
? = −1? = 5
解得 ? = 3 或 ? = −6 （舍去），
∴?1(−1,3)；
设?1关于 x 轴对称点为?1′(−1,−3)，直线??1′解析式为? = ?? + ?，
把?(1,0)，? ′(−1,−3)代入，得
1
? + ? = 0
−? + ? = −3
，
? = 3
【变式 2】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2−? + ?(? ≠ 0)与?轴分别交于? (−4,0)、?(2,0)，与?轴交于点?．
求抛物线的解析式；
如图 1，点?是直线??上方抛物线上的一动点，过?作?? ∥ ?轴交??于点?，过?作??∥??交?轴于点?，
线段??在直线??上移动且?? = 2 2，当??−2 5??取得最大值时，求此时点?的坐标及△ ???的周长的
5
最小值；
如图 2，将抛物线沿射线??方向平移3 2个单位得到新抛物线?′，点?的对应点为点?，平移后的新抛物
2 5
9
2 5
设点? ?,− 1 ?2−? + 4 (−4 < ? < 0)，则?(?,? + 4)，?(?,0)，?? = −1?2−2?，?? = ? + 4，易得
2
2
??−?? = − (? + 3)2 +；再根据二次函数的性质可确定点 p 的值，进而确定点 P 的坐标；如图：过 P 作
1
1
2
2
?? ∥ ??，在??上截取??1 = ?? = 2 2，此时四边形????1是平行四边形可得?? = ?1?，则求出
?? + ?? = ?1? + ??最小值即可；点?1是 P 向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即
?1 −1, 2 ；如图：作点 P 关于直线??的对称点?2，连接?2?，?2?1，易得当?1、?、?2共线时，?1? + ?2
2 5
sin∠??? = sin∠??? = 5 ，进而得到?? = 5 ??，即??− 5 ?? = ??−??；再求出直线??的函数解析式
为? = ? + 4，
【分析】（1）将?(−4,0)、?(2,0)代入? = ??2−? + ?(? ≠ 0)得到关于 a、c 的二元一次方程组求解即可解
答；
（2）利用坐标与图形以及勾股定理可得?? = 2 5，易得∠??? = ∠???，如图：过 D 作?? ⊥ ??于 F，则
．
5 67
(3)(7,−5)或 3 , 9
，9 2
22
5
(2)? −3,
2
【答案】(1)? = −1?2−? + 4
线?′的对称轴上有一点??，−2，点?为新抛物线?′上一动点，若∠??? = ∠???，请直接写出点?的坐标，并写出求?的坐标的其中一种情况的过程．
?有最小值?1?2，即?? + ??的最小值为?1?2；再求出?2的坐标，最后运用两点间距离公式求出?1?2的长，进而求出△ ???的周长的最小值；
（3）先说明将抛物线向右平移 3 个单位长度、向上平移 3 个单位长度得到新抛物线?′，即新抛物线?′ = −
1(?−2)2 + 15
2−2
(3,7)
(2,0)
22 ；易得?，
、?
；再说明∠??? = ∠???，如图：过 F 作?? ⊥ ?轴于 L，则?，易
21
得
tan∠??? = 6 = 3；再分当点 G 在??右侧和左侧两种情况作答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线? = ??2−? + ?(? ≠ 0)与?轴分别交于?(−4,0)、?(2,0)，
0 = 16? + 4 + ?
∴ 0 = 4?−2 + ? ，解得：
? = − 1
? = 42 ，
∴抛物线的解析式为：
解：∵抛物线
? = −−? + 4．
1?2
2
1?2−? + 4与?轴交于点?，
? = −
2
∴?(0,4)，即?? = 4，
∵?(−4,0)、?(2,0)，
∴?? = 2，
∴?? =??2 + ??2 = 2 5，
??42 5
∴sin∠??? = ?? = 2 5 = 5 ，
∵??∥??，
∴∠??? = ∠???，
5
如图：过 D 作?? ⊥ ??于 F，则sin∠??? = sin∠??? = 2 5，
∴?? = 2 5，即?? = 2 5??，
??55
∴??−255?? = ??−??，
设直线??的函数解析式为? = ?? + ?，
0 = −4? + ?? = 1
则4 = ?，解得： ? = 4 ，
∴直线??的函数解析式为? = ? + 4，
设点? ?,− 1
2
?2
−? + 4
(−4 < ? < 0)
，则?(?,? + 4)
，?
(?,0)，
∴?? = −1?2−? + 4−(? + 4)
2
= −−2?，?? = ? + 4−0 = ? + 4，
1?2
2
∴??−2 5
1?2−2?−(? + 4)1(? + 3)2 + 1 ，
5
2
?? = ??−?? = −= −
22
∴当? = −3时，??−2 5??最小，此时? −3, 5 ，?(−3,1)；
52
要求△ ???的周长的最小值，即求?? + ?? + ??的最小值，即求出?? + ??的最小值，如图：过 P 作?? ∥ ??，在??上截取??1 = ?? = 2 2，此时四边形????1是平行四边形，
∴?? = ?1?，
∴?? + ?? = ?1? + ??的最小值，
∵?(−4,0)、?(0,4)，
∴?? = ?? = 4，即∠??? = 45°，
如图：过 P 作??∥?轴，过?1作?1?∥?轴，
∵?? ∥ ??，
∴∠?1?? = 45°，
2
∴?? = ?1? = ??1 ⋅ sin∠?1?? = 2 2 × 2 = 2，
∴点? 是 P 向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即?
−1, 9 ；
112
如图：作点 P 关于直线??的对称点?2，连接?2?，?2?1，
∴?? = ?2?，
∵?1? + ?2? ≥ ?1?2，
∴当?1、?、?2共线时，?1? + ?2?有最小值?1?2，即?? + ??的最小值为?1?2，
∵点 P 与点?2关于直线??对称，
∴∠?1??2 = 90°，即∠???2 = 90°−∠???1 = 45°，
∴∠???2 = 90°−∠???2 = 45°，
∴?? = ??2，
2
∵? −3, 5 ，?(−3,1)，
53
∴??，
2 = ?? = 2−1 = 2
∴?2 −3 +
3 , 5 − 3
2 22
，即?2 −
3
9
2 ,1 ，?1 −1, 2
?
3
∴?1 2 =− 2 −(−1)
2
+ 1− 9
2
25 2
，
= 2
5 2
∴?? + ??的最小值为 2 ，
5 29 2
∴?? + ?? + ??的最小值为 2 +2 2 = 2 ，
9 2
∴ △ ???的周长的最小值为 2 ．
解：∵?(−4,0)、?(0,4)，
∴?? = ?? = 4，即∠??? = 45°，
∵将抛物线沿射线??方向平移3 2个单位得到新抛物线?′，
∴将抛物线向右平移 3 个单位长度、向上平移 3 个单位长度得到新抛物线?′，
∴新抛物线?′
1(?−3)2−(?−3)
1(?−2)2 + 15
2
= −+4 + 3 = −，
22
∴平移后的对称轴为? = 2，即? 2，−2
∵点?的对应点为点?，
∴?(3,7)，
如图：过 H 作?? ⊥ ?轴于 I，则?(3,0)，?? = 7，
∵?(−4,0)
∴?? = 3−(−4) = 7，
∴?? = ?? = 7，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = 2,?? = 2−(−4) = 6，
21
∴tan∠??? = 6 = 3；
如图：当点 G 在??右侧时，
∵∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
1
∴tan∠??? = tan∠??? = 3，
2
设? ?,− 1
?−2 2 + 15
2
? > 3 ，如图：过 G 作?? ⊥ ??于 K，则? 3,− 1
?−2 2 + 15
，
2
∴?? = 7− − 1
2
2
15
?−2+
2
= 1 ?−2 2
2
1
2
−2，?? = ?−3，
??1
∴tan∠??? = ?? = 3，
?−3
∴12
?−2 −
2
1
1 = 3，解得：? = 7，
2
∴?(7,−5)；
如图：当点 G 在??左侧时，如图：过 H 作对称轴的垂线??交对称轴于 J，则?(2,7)，在对称轴上取一点，使得∠??? = ∠???，连接??交新抛物线于?1，
1
∴tan∠??? = tan∠??? = 3，?? = 3−2 = 1，
??1
??11
∴tan∠??? = ?? = 3，即 1 = 3，解得：?? = 3，
3
∴? 2,7 1 ，
设直线??的函数解析式为? = ?1? + ?1，
7 1 = 2?
+ ?
? = − 1
则311 ，解得： 13 ，
7 = 3?1 + ?1
?1 = 8
1
∴直线??的函数解析式为? = − ? + 8，
3
? = − 1 ? + 8
3
? = 5
3
? = 3
联立 ? = − 1 (?−2)2 + 15 ，解得： ? = 67 或 ? = 7 （不合题意舍弃），
∴?
229
5 , 67 ．
1 3 9
综上，点 G 的坐标为(7,−5)或 3 , 9 ．
5 67
【变式 3】（2026·天津和平·一模）已知抛物线? = ??2 +??−3（a，b 是常数，? > 0）与 x 轴相交于点?(−1,0)和点 B，与 y 轴相交于点 C，将点 C 水平向右平移 2 个单位长度得到点 D，连接??．
当点 D 落在该抛物线上时，
①求抛物线的解析式；
②抛物线上的点 E 的横坐标为 m，且−1 < ? < 0，若∠??? + ∠??? = 45°，求点 E 的坐标；
点 M 是线段??上一动点，连接??，点 N 是射线??上一动点，且满足?? = ??，连接??．当?? + ??
的最小值为 34时，求 a 的值．
?2
211
【答案】(1)①? =
(2)? = 3
4
−2?−3②? − 3 ,− 9
【分析】 （1）①先根据平移得?(2,−3)，再把?(2,−3)，?(−1,0)分别代入? = ??2 +??−3，解得
? = 1
? = −2
，即?=?2−2?−3；
②算出?(3,0)，则∠??? = ∠??? = 45°，证明△ ???≌ △ ???(ASA)，再求出直线??的解析式为1，
? = ?2−2?−3
? = 3?−1
2
7+117−11
依题意得? = 1 ?−1，解得?1 == 3，?1 == − ，又因为抛物线上的点 E 的横坐标为 m，且
3663
−1 < ? < 0，故? ?,?2−2?−3 ，故把
2代入?2−2?−3，得? − 2 ,− 11 ；
? = ? = −339
?
（2）根据二次函数的图象性质，得? 3 ,0 ，?(0,−3)，?? = 3，过点?作射线?? ⊥ ??交抛物线于点?，在射线??上取一点 G，使?? = ??．连接??，??，再证明 △ ???≌ △ ???(SAS)，则
?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，又因为?? + ??的最小值为 34，即?? = 34，再结合勾股定理列式??2 = ?
?2 +??2计算，得16 = 9 ，解得? = 3．
?24
【详解】（1）解：①依题意，抛物线? = ??2 +??−3与 y 轴相交于点 C，
∴?(0,−3)，
∵将点 C 水平向右平移 2 个单位长度得到点 D，点 D 落在该抛物线上，
∴?(2,−3)，
把?(2,−3)，?(−1,0)分别代入? = ??2 +??−3，
−3 = 4? + 2?−3
得0 = ?−?−3，
? = 1
解得 ? = −2 ，
∴?=?2−2?−3，
②由①得?=?2−2?−3，?(0,−3)，?(−1,0)，
∴?? = 3,?? = 1，
连接??，与 y 轴相交于点?，如图所示：
当? = 0时，则?2−2?−3 = 0，即(? + 1)(?−3) = 0，
解得?1 = −1,?2 = 3，
∴?(3,0)，
∴?? = 3
∴?? = ?? = 3，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 45°
即∠??? + ∠??? = 45°
∵∠??? + ∠??? = 45°
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 90°，?? = ?? = 3
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)
∴?? = ?? = 1
∴?(0,−1)
设直线??的解析式为? = ?? + ?(? ≠ 0)
把?(0,−1)，?(3,0)代入? = ?? + ?，
−1 = 0 + ?
得 0 = 3? + ? ，
? = −1
解得 ? = 1 ，
3
∴? =
1?−1，
3
? = ?2−2?−3
依题意得
? = 1 ?−1，
3
21
∴? −2?−3 = ?−1，
3
整理得3?2−7?−6 = 0，
∴Δ = ?2−4?? = (−7)2−4 × 3 × (−6) = 121，
∴? =
−(−7)± 121
，
6
解得?
= 7+11 = 3，?
7−112
== − ，
16163
∵抛物线上的点 E 的横坐标为 m，且−1 < ? < 0，
∴? ?,?2−2?−3 ，
2
222
211
故把? = ? = −3代入? −2?−3，得 − 3
−2 × − 3 −3 = − 9 ，
211
即? − 3 ,− 9 ；
（2）解：∵抛物线? = ??2 +??−3（a，b 是常数，? > 0）与 x 轴相交于点?(−1,0)，
∴0 = ?−?−3，
∴? = ?−3，
令? = 0，则0 = ??2 +??−3 = (??−3)(? + 1)，
12?
解得? = −1,? = 3；
∵抛物线? = ??2 +??−3（a，b 是常数，? > 0）与 x 轴相交于点?(−1,0)和点 B，与 y 轴相交于点 C，
?
∴?
3 ,0 ，?(0,−3)，?? = 3
∵将点 C 水平向右平移 2 个单位长度得到点 D，
∴射线??的解析式为? = −3
过点?作射线?? ⊥ ??交抛物线于点?，在射线??上取一点 G，使?? = ??．连接??，??，
∵?? ∥ ?轴，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，
即∠??? = ∠???，
∵?? = ?? = 3，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??．
∵?? + ??的最小值为 34
∴?? = 34
?
∵? 3 ,0 ，?(0,−3)，
∴??2
= ??2
+??2
= (−3)2 +
3 29
?= 9 + ?2,
∵∠??? = 90°，?? = 34，?? = 3
∴??2 = ??2 +??2
9
∴34 = 9 + ?2 +9
9
∴16 = ?2
3?3
∴?1 = 4 > 0，
2 = − < 0（舍去）
4
【变式 4】（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线? = ??2 +?? + ?与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中?(−1,0)，?(3,0)，?(0,−3)．
求抛物线的解析式；
若点 P 是抛物线上异于点 A 的点，且△ ???的面积与△ ???的面积相等，求出点 P 的坐标；
若点 Q 在抛物线上，且满足∠??? = ∠???，请直接写出点 Q 的坐标．
（2）解：设直线 ?? 为 ? = ?? + ? ，
代入 ?(3,0) ，?(0,−3) ，解得 ? = 1,? = −3 ，
∴ 直线 ?? 的解析式为 ? = ?−3 ，
要使 ?△??? = ?△??? ，点 ? 必在过点 ? 且平行于 ?? 的直线 ?1 上，或者在与 ?1 关于 ?? 对称的直线
?2 上，
情况一：点 ? 必在过点 ? 且平行于 ?? 的直线 ?1 上，过点 ?(−1,0) 作 ?? ∥ ??
? = 1
0 = ?−?−3
则 0 = 9? + 3?−3 解得 ? = −2 ，
∴抛物线的解析式为? = ?2−2?−3；
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)，
由题意知抛物线经过?(−1,0)，?(3,0)，?(0,−3)，
??1
2
??
中直角边满足?? = 2或，?? = ，分两种情况讨论即可．
|(?2−2?−3)−(−3)| = |?2−2?|， △ ???
3
??
（3）设? ?,?2−2?−3 ，∠??? = ?，由题意可知tan∠??? = ?? = 1，作?? ⊥ ?轴于 M 则?? = |?|，?? =
（2）设直线 ?? 为 ? = ?? + ? ，代入 ?(3,0) ，?(0,−3) ，求得直线 ?? 的解析式为 ? = ?−3 ，要使
?△??? = ?△??? ，点 ? 必在过点 ? 且平行于 ?? 的直线 ?1 上，或者在与 ?1 关于 ?? 对称的直线 ?2
上，分两种情况讨论即可；
57
(3)点 Q 的坐标为(4,5)或 2 ,− 4
【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可；
【答案】(1)抛物线的解析式为? = ?2−2?−3
(2)点 P 的坐标为(4,5)
设直线 ?? 为 ? = ? + ?1
代入 ?(−1,0) 得 0 = −1 + ?1⇒?1 = 1
∴ 直线 ?? 的解析式为 ? = ? + 1
? = ? + 1
联立直线 ?? 与抛物线： ? = ?2−2?−3
解得? = −1或 4，
当? = 4时，? = 5，则?(4,5)，
情况二：在与 ?1 关于 ?? 对称的直线 ?2 上，
则直线 ?2的解析式为 ? = ?−3− 1−(−3) = ?−7，
2
? = ?−7
联立直线 ?2抛物线： ? = ?2−2?−3 ，即?
−3? + 4 = 0，
Δ = (−3)2−4 × 1 × 4 = −7 < 0，方程无解，
∴点 ? 的坐标为 (4,5)；
（3）解：设? ?,?2−2?−3 ，∠??? = ?，
由题意可知tan∠??? = ?? = 1，
??3
作?? ⊥ ?轴于 M 则
?? = |?|，?? = |(?2−2?−3)−(−3)| = |?2−2?|
∵∠??? = ∠???，
且∠??? = 45°，∠?1??1 = 45° + ?，∠?2??2 = 45°−?，
∴ △ ???中直角边满足
?1?1?2?21
tan∠? ?? == 2或，tan∠? ?? == ；
11??122??22
①
?1?1 = 2
??1
?5
?2−2? = 2，解得? = 0(舍) 或? = 2，
代入得
5
? = 2
5
2
−2 ×
7
5−3 = − ，
7
24
?1
2 ,− 4
② ?2?2 = 1
??22
?1
?2−2? = 2解得? = 4，
? = 42−2 × 4−3 = 5，
?2(4,5)，
∴点 Q 的坐标为(4,5)或 2 ,− 4 ．
57
命题点 04 二次函数综合之特殊三角形问题
【典例】（2026·山西吕梁·一模）综合与实践
如图 1 所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑??与抛物线形建筑组成，且?? = 60?，如图
2，以??的中点?为原点，??所在直线为?轴，??的垂直平分线为?轴建立平面直角坐标系，已知?? = 100m．
求抛物线的解析式．
如图 2，若在抛物线形建筑安装一条过道??，且点?，点?到??的距离均为80?，求过道??的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点?构成以?为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标．
【答案】(1)? = −1?2 +100
9
(2)?? = 12 5m
这两盏路灯的坐标分别为(−9,91),(9,91)
【分析】（1）根据题意，得出点?的坐标为(0,100)，点?的坐标为(30,0)，设抛物线的解析式为? = ??2
+100，将(30,0)代入? = ??2 +100，求出?的值，即可得出结果；
（2）令? = 80，求解对应自变量的值即可；
（3）假设?，?两盏路灯与点?构成等腰直角三角形，且∠??? = 90°，可得??垂直于?轴，垂足为?，且?? = ??，
设点?的横坐标为?，得100− − 1
9
?2
+ 100 = ?，求解出?的值，即可得出最终结果．
【详解】（1）解：据题意，可得?? = 100m，?? = 30m，
∴点?的坐标为(0,100)，点?的坐标为(30,0)，设抛物线的解析式为? = ??2 +100，
将(30,0)代入? = ??2 +100，
得0 = ? × 302 +100，
∴点?的坐标为(−9,91)，点?的坐标为(9,91)，
即这两盏路灯的坐标分别为(−9,91)或(9,91)．
9
1?2 +100 = 91，
当? = 9时，? = −
解?1 = 9，?2 = 0（舍去）．
9
可得100− − 1 ?2 + 100 = ?，
9
1?2 +100，
设点?的横坐标为?，则点?的纵坐标为−
解得? =± 6 5，
∴?? = 12 5?．
（3）解：如图，假设?，?两盏路灯与点?构成等腰直角三角形，且∠??? = 90°，可得??垂直于?轴，垂足为?，且?? = ??，
9
1?2 +100 = 80，
∴令−
（2）解：∵点?，点?到??的距离均为80?，
9
1?2 +100．
∴抛物线的解析式为? = −
1
解得? = −9，
【变式 1】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数? = ??2−4? + ?的图象经过点?(−1,9)，
?(5,9)，与 y 轴交于点 C，顶点为 P．
求该二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 1)的图象经过点 A，B，且与 y 轴交于点 D，顶点为 Q
??
．求??的值；
(3)在（2）的条件下，当 △ ???是直角三角形时，求tan∠???的值．
【答案】(1)? = ?2−4? + 4；
(2)?? = 5；
??
9
(3)当 △ ???是直角三角形时，tan∠???的值10或8．
99
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先把抛物线? = ?2−4? + 4的解析式化为顶点式求出点 P 坐标，再求出点 C 坐标；把点 A 和点 B 坐标代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 1)中可得抛物线的解析式为? = ??2−4?? + 9−5?(? ≠ 1)，据此可求出点 Q和点 D 的坐标，再表示出??，??即可得到答案；
（3）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数? = ??2−4? + ?的图象经过点?(−1,9)，?(5,9)，
? + 4 + ? = 9
∴ 25?−20 + ? = 9 ，
? = 1
∴ ? = 4 ，
该二次函数的函数表达式为? = ?2−4? + 4；
（2）解：∵? = ?2−4? + 4 = (?−2)2，
∴点 P 的坐标为(2,0)，
在? = ?2−4? + 4中，当? = 0时，? = 4，
∴点 C 的坐标为(0,4)；
∵抛物线? = ??2 +?? + ?(? ≠ 1)过点?(−1,9)，?(5,9)，
?−? + ? = 9
∴ 25? + 5? + ? = 9 ，
? = −4?
∴ ? = 9−5? ，
∴抛物线? = ??2 +?? + ?(? ≠ 1)的解析式为? = ??2−4?? + 9−5?(? ≠ 1)，
∴抛物线? = ??2−4?? + 9−5?(? ≠ 1)的对称轴为直线
−4?
，
= 2
? = − 2?
在? = ??2−4?? + 9−5?(? ≠ 1)中，
当? = 2时，? = 4?−8? + 9−5? = −9? + 9，
当? = 0时，? = −5? + 9，
∴?(0,−5? + 9)，?(2,−9? + 9)，
∵点 C 的坐标为(0,4)，点 P 的坐标为(2,0)，
∴?? = |−5? + 9−4| = |−5? + 5| = 5|?−1|，?? = |−9? + 9−0| = 9|?−1|，
∴?? = 5|?−1| = 5；
??9|?−1|9
（3）解：∵?(2,−9? + 9)，?(2,0)，?(0,4)，
∴??2 = (2−0)2 + (0−4)2 = 4 + 16 = 20，
解得? = 9；此时? 2,9−9 × 9 ，即?(2,5)，? 0,9−5 × 9 ，即? 0, 9
99
4
4
4
61
，
∴?? = 9 −4 = 9 ，?、?水平距离为2，垂直距离为 9 −5 = 9 ，
∴tan∠??? = 16 = 8；
9
61
25
61
16
29
综上所述，当△ ???是直角三角形时，tan∠???的值10或8．
当∠? = 90°，则??2 +??2 = ??2，即20 + 4 + (5−9?)2 = 81(1−?)2，
29
20
56
20
56
∴?? = 9 −4 = 9 ，?、?水平距离为2，垂直距离为 9 −4 = 9 ，
∴tan∠??? = 20 = 10；
9
，
56
5
5
此时? 2,9−9 × 9 ，即?(2,4)，? 0,9−5 × 9 ，即? 0, 9
5
解得? = 1（不符合题意，舍去）或? = 9；
??2 = (2−2)2 + (9−9?−0)2 = 81(1−?)2，
??2 = (2−0)2 + (9−9?−4)2 = 4 + (5−9?)2，
当∠? = 90°，则??2 +??2 = ??2，即20 + 81(1−?)2 = 4 + (5−9?)2，解得? = 1，不符合题意，舍去；
当∠? = 90°，则??2 +??2 = ??2，即81(1−?)2 +4 + (5−9?)2 = 20，
【变式 2】（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数? = ??2(? > 0)的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左 侧），?? = 1，经过点 A 的一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象与 y 轴正半轴交于点 C，且与抛物线的另一个交点为 D， △ ???的面积为 5．
求抛物线和一次函数的解析式；
抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求△ ???面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标；
若点 P 在 x 轴上且使△ ???为等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标．
【答案】(1)? = 1?2−?−3；11
22? = 2? + 2
△ ???
25?点坐标为 3 ,− 15
的面积的最大值是16，此时28
−1− 5 5 ,0 或 −1 + 5 5 ,0 或 17 ,0 或(9,0)
228
【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点 A 的坐标，再把点 A 的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得?的值，由△ ???的面积为 5 可求出点?的纵坐标，进而求出点 D 的坐标，由?、?的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）作?? ∥ ?轴交??于?，由?△??? = ?△???−?△???构建关于 E 点横坐标的二次函数，然后利用二次函数
的性质即可解决问题；
22
（3）利用两点间的距离公式得到?? = 5 5；再分三种情况：?? = ?? = 5 5，?? = ??，?? = ??，讨论求解即可．
【详解】（1）解：将二次函数? = ??2(? > 0)的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛
物线解析式为? = ?(?−1)2−2，
∵?? = 1，
∴点?的坐标为(−1,0)，
把点 A 的坐标代入? = ?(?−1)2−2得，? ⋅ (−1−1)2−2 = 0，
1
∴? = 2，
∴平移后的抛物线的解析式为? = 1(?−1)2−2，即? = 1?2−?−3；
在? = 1?2−?−3中，当? = 0
2
1?2
22
3，解得? = −1，?
= 3，
22
∴?(3,0)，
时，2
−?−2 = 012
∴?? = ?? + ?? = 4，
∵ △ ???的面积为 5，
∴?
1
△??? = 2?? ⋅
??
= 5，
5
∴?? = 2，
在? = 1?2−?−3中，当? = 5
5 = 1?2−?−3，
222时，222
解得?1 = −2，?2 = 4，
2
∴? 4, 5 ，
4? + ? = 5
∴
2 ，
−? + ? = 0
? = 1
2
解得 ? = 1 ，
2
11
∴直线??的解析式为? = 2? + 2；
（2）解：过点?作?? ∥ ?轴交??于点?，如图，
1 2311
设? ?, 2 ? −?− 2 ，则? ?, 2 ? + 2 ，
?2−?−
1113
∴?? = ? + −
= −1?23，
222
22+ 2? + 2
∴?△??? = ?△???−?△???
11
= 2 ?? ⋅ ?−(−1) − 2 ?? ⋅ ?
1
= 2 ??
= 11 23
2 − 2 ? + 2 ? + 2
1
= − 4 (?
2−3?−4)
13 225
= −4 ?− 2+ 16，
−
∵ 1 < 0，
4
3
∴当? = 时， △ ???
25?点坐标为 3 ,− 15 ．
2的面积有最大值，最大值是16，此时28
2
（3）解：由（1）得?(−1,0)，? 4, 5 ，
2
∴?? =4−(−1)+
5 −0
2
25 5
；
= 2
当?? = ?? = 525时，则点 P 的横坐标为−1−525或−1 + 525，
8
2
2
综上所述，点 P 的坐标为 −1− 5 5 ,0 或 −1 + 5 5 ,0 或 17 ,0 或(9,0)．
,0 ；
8
17
∴点 P 的坐标为
17
解得? = 8 ，
，
2
0− 5
∴|?−(−1)|2 = (?−4)2 +
2
当?? = ??时，则点 D 在??的垂直平分线上，
∴??的中点的坐标为(4,0)，
∴点 P 的横坐标为2 × 4−(−1) = 9，
∴点 P 的坐标为(9,0)；
当?? = ??时，设?(?,0)，则??2 = ??2，
2
2
∴此时点 P 的坐标为 −1− 5 5 ,0 或 −1 + 5 5 ,0 ；
【变式 3】（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线? = ??2 +?? + 4(? ≠ 0)与?轴交于?，?两点，过点?
的直线?与抛物线交于点?．其中点?(−1,0)，点?(3,4)．
求抛物线的表达式．
M 是直线??上方的抛物线上的一个动点，求△ ???面积的最大值以及此时点?的坐标．
【答案】(1)? = −?2 +3? + 4
8，(1,6)
存在，(1,6)或(5,2)或 3 + 2 3,−2 3−4 或 3−2 3,2 3−4
【分析】（1）利用待定系数法，即可求解；
（2）过点?作?? ⊥ ?轴，交??于点?，先利用待定系数法，求直线??的解析式? = ? + 1，设点?
将抛物线向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到抛物线?1，在抛物线?1上是否存在点?，使得△ ???是以??为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点?的坐标；如果不存在，请 说明理由．
?,−?2 + 3? + 4 ，则点? (?,? + 1)，可得?? = −?2 +2? + 3，从而?△??? = −2?2 +4? + 6 = −2
(?−1)2 +8，再根据二次函数的性质，即可求解；
2
?3252
（3）根据二次函数图象平移的规律，可得 1 = − ?− −1++2 = −?
24
+5? + 2，设点?的坐标为
?,−?2 + 5? + 2 ，可得??2 = (3 + 1)2 + 42 = 32，??2 = (? + 1)2 + (−?2 + 5? + 2)2，??2 = (?−3)2 + (−?2 + 5? + 2−4)2 = (? −3)2 + (−?2 + 5?−2)2，再根据题意，分类讨论：当??2−??2 = ??2时，列方程求解即可；当??2−??2 = ??2时，列方程求解即可．
【详解】（1）解： ∵ 点?(−1,0)，点?(3,4)在抛物线? = ??2 +?? + 4(? ≠ 0)上，
?−? + 4 = 0
∴9? + 3? + 4 = 4 ，解得
? = −1
? = 3 ，
∴ 抛物线的表达式为? = −?2 +3? + 4；
（2）解：如图，过点?作?? ⊥ ?轴，交??于点?，
设直线??的解析式为? = ?? + ?，
∵ 过?(−1,0)，?(3,4)，
−? + ? = 0? = 1
∴3? + ? = 4 ，解得 ? = 1 ，
∴ 直线??的解析式为? = ? + 1，
设点? ?,−?2 + 3? + 4 ，则点?(?,? + 1)，
∴ ?? = −?2 +3? + 4−(? + 1) = −?2 +2? + 3，
∴ ?
1
△??? = 2?? ⋅
(??
−??
) = 1(−?2 + 2? + 3) × (3 + 1) = −2?2 +4? + 6 = −2(?−1)2 +8，
2
∵ −2 < 0，
∴ 当? = 1时， △ ???的面积最大，最大值为 8，此时点?的坐标为(1,6)；
（3）解： 在抛物线?1上存在点?，使得△ ???是以??为直角边的直角三角形．
理由如下：
∵ ? = −?2
物线?1，
+3? + 4 = − ?− 3
2
225
+ 4 ，将抛物线向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到抛
∴ ?1 = − ?− 2 −1
3
2
+ 4 +2 = −? +5? + 2，
25
2
设点?的坐标为 ?,−?2 + 5? + 2 ，
∵ 点?(−1,0)，点?(3,4)，
∴ ??2 = (3 + 1)2 + 42 = 32，??2 = (? + 1)2 + (−?2 + 5? + 2)2，??2 = (?−3)2 + (−?2 + 5? + 2−4)2 =
(?−3)2 + (−?2 + 5?−2)2
∵ △ ???是以??为直角边的直角三角形，
∴ ??2−??2 = ??2或??2−??2 = ??2，
当??2−??2 = ??2时，(? + 1)2 + (−?2 + 5? + 2)2− (?−3)2 + (−?2 + 5?−2)2 = 32，解得? = 1或 5，此时点?(1,6)或(5,2)；
当??2−??2 = ??2时，(?−3)2 + (−?2 + 5?−2)2− (? + 1)2 + (−?2 + 5? + 2)2 = 32，
解得? = 3 + 2 3或3−2 3，此时点? 3 + 2 3,−2 3−4 或 3−2 3,2 3−4 ，
综上所述，在抛物线?1上存在点?，使得 △ ???是以??为直角边的直角三角形，符合条件的点?的坐标为(1,6)
或(5,2)或 3 + 2 3,−2 3−4 或 3−2 3,2 3−4 ．
【变式 4】（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数? = ??2−4?? + 4? + ?(? < 0)与?轴交于?(?1,0)，?(?2,0)
两点，且−2 < ?1 < −1，与?轴交于点?，抛物线顶点为?．
(1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴；
(2)若?? = 4，求?的取值范围；
(3)令? = ??，是否存在定值?，无论?(? < 0)，?为何值，都存在△ ???为等边三角形，如果存在，求出?
的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)? = ?(?−2)2 +?；直线? = 2
(2)−
4
< ? < −
1
5
3
(3)? = −3
【分析】（1）将一般式化为顶点式即可，同时得到抛物线对称轴为直线? = 2．
（2）根据题意知4? + ? = 4，得? = 4−4?，则抛物线解析式为? = ??2−4?? + 4．进一步结合题意可知，
? = −2时，? < 0，以及? = −1时，? > 0，求解即可；
（3）由对称轴对称得?? = ??，连接??和??，对称轴与 x 轴交于点 E，结合等边三角形，则?? = ??，则
有sin∠??? = ?? = sin∠60°，解得?? = ?? = 2? ，结合?? = ? −? 有(? −? )2 = 2?
2
= 4?2
? + ? = 4
4?+?
??
?
4?2
3
?4?
2121
33 ， 12，
?1?2 =
? = 4 + ?，化简得 3 = 16−4 4 + ? = − ? ，则有?? = −3，即可．
【详解】（1）解：? = ??2−4?? + 4? + ? = ?(?−2)2 +?，抛物线对称轴为直线? = 2；
（2）解：由题意可知，4? + ? = 4，
∴? = 4−4?，
故抛物线解析式为? = ??2−4?? + 4．
1
由题意可知，当? = −2时，? < 0，即4? + 8? + 4 < 0，解得? < −3；
4
当? = −1时，? > 0，即? + 4? + 4 > 0，解得? > −5，
41
∴ −5 < ? < −3；
（3）解：当? = −3时， △ ???为等边三角形，证明如下：
∵ ?，?关于对称轴对称，
∴ ?? = ??．
如图，连接??和??，对称轴与 x 轴交于点 E，
若△ ???为等边三角形，则?? = ??，
∵sin∠??? =
??
??
= sin∠60°，?? = ?，
∴?? = ?? =
2?
，
3
又∵?? = ?2−?1，? = ??2−4?? + 4? + ?(? < 0)，
2
∴(? −? )2 = 2?
= 4?2
? + ? = 4
? ?
4?+??
== 4 + ，
213
3 ， 12
， 1 2??
∴ 4?2 = 16−4 4 + ?
4?
3? = − ? ，
∵ 抛物线与?轴交于?，?两点，故顶点不可能在?轴上，
故? ≠ 0，
∴?? = −3，
∵? = ??，
∴? = −3，
∴ 当? = −3时，无论?，?为何值，都存在△ ???为等边三角形．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及二次函数的顶点式、二次函数的性质、解不等式、等边三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握二次函数的性质．
命题点 05 二次函数综合之特殊四边形问题
【典例】（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线? = ??2 +2?−3?经过?(1,0),?(?,0),?(0,?)三点，交?轴于点?．
(1)求 a，b 的值；
(2)在抛物线对称轴上找一点?，使?? + ??的值最小时，求△ ???的面积；
【答案】(1)? = 1,? = −3
(2) △ ???的面积为2
3
(3)存在，点?的坐标为(−2,−3)或(−1 + 7,3)或(−1− 7,3)
【分析】（1）将?(1,0)代入? = ??2 +2?−3?，求出? = 1，得到抛物线的解析式，将?(?,0)代入解析式，即可求出 b 的值；
（2）连接??，求出直线??的解析式为? = −?−3，使?? + ??的值最小，即点?为直线??与对称轴的交点，得到?(−1,−2)，即可求出三角形的面积；
（3）当点?在?轴下方时和当点?在?轴上方时进行分类讨论即可．
(3)点?为?轴上一动点，抛物线上是否存在一点?，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点?的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将?(1,0)代入? = ??2 +2?−3?，
得到0 = ? + 2−3?，
解得? = 1，
故抛物线解析式为? = ?2 +2?−3，
将? = 0代入解析式，得0 = ?2 +2?−3，解得?1 = 1,?2 = −3；
∴ ? = −3；
（2）解： ∵ 抛物线解析式为? = ?2 +2?−3，
∴ ? = −3，
对称轴为直线? = − ?
2?
= −1，
连接??，?(−3,0),?(0,−3)，
设直线??的解析式为? = ??−3，
∴ −3?−3 = 0，
解得? = −1，
直线??的解析式为? = −?−3，
使?? + ??的值最小，即点?为直线??与对称轴的交点，
当? = −1时，? = 1−3 = −2，
∴ ?(−1,−2)，
∴ ?
1|? |13；
△??? = 2?? ⋅? = 2 × 3 × 1 = 2
（3）解：①当点?在?轴下方时，如图，
∴?? ∥ ??
∵ 抛物线的对称轴为直线? = −1，?(0,−3)，
∴?点纵坐标为−3，
将?=−3代入? = ?2 +2?−3，
解得? = −2或? = 0（舍去），
∴ ?(−2,−3);
②当点?在?轴上方时，
过点?′作?′? ⊥ ?轴于点?，在△ ??′?和△ ?′??中，
∠?′?? = ∠???′
∠??′? = ∠?′??
??′ = ??′
∴△ ??′?≌ △ ?′??(AAS)，
∴ ?′? = ?? = 3，即?′点的纵坐标为3，
∴ 3 = ?2 +2?−3，
解得? = −1 + 7或? = −1− 7
∴ ?(−1 + 7,3)或?(−1− 7,3)，
综上所述，符合条件的坐标为(−2,−3)或(−1 + 7,3)或(−1− 7,3)．
【变式 1】（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线? = ?−3交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C，抛物线? = −?2 +?? + ?经过 B、C 两点且与 x 轴交于另一点 A．
求抛物线的解析式；
点 D 是直线??下方抛物线上的一点，若∠??? = ∠???，求点 D 的坐标；
若点 H 是抛物线上一动点，且横坐标为 m，?(? + 1,−?)、?(?,−?)为平面内两点，连结??、??，以
??、??为边构造矩形????．
①求点 N 的坐标（用含 m 的式子表示）；
②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值 y 随 x 的增大而变化时，直接写出 m 的取值范围．
可得答案．
【详解】（1）解：当? = 0时，?−3 = 0，解得? = 3；
当? = 0时，? = 0−3 = −3，
∴点?(3,0),?(0,−3)．
2
的增大而增大；当? > 5− 13 > 2时，此时点 H 在对称轴的右侧，矩形内没有函数 y 的图象，综合以上情况
2
当点 M 在点 H 上方时，有两种可能：当? < 5− 13时，此时点 Q 在对称轴左侧，矩形内的抛物线 y 随着 x
矩形区域内的函数 y 随着 x 的增大而减小，可得取值范围；
2
再分两种情况：当点 M 在点 H 下方时，当5− 13 < ? < 1.5时，矩形内没有函数 y 的图象；当? > 1.5时，
．
2
5± 13
②当点 H，M 重合时，求出? =
2
【分析】（1）先求出点?(3,0),?(0,−3)，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可；
（2）分两种情况：当?? ⊥ ?轴时，∠??? = ∠??? = 45°，此时直线??与直线??下方的抛物线没有交点；当?? ∥ ??时，∠??? = ∠???，结合点?(0,−3)，可知点 D 的纵坐标是−3，再代入函数关系式得出答案；
（3）①根据点?(?,−?2 +4?−3)可得答案；
2
(3)①?(? + 1,−?2 +4?−3)；②? < 5− 13或1.5 < ? < 5+ 13
【答案】(1)?=−?2+4?−3
(2)(4,−3)
∵点 B，C 在抛物线? = −?2 +?? + ?上，
−9 + 3? + ? = 0
∴? = −3，
? = 4
解得 ? = −3 ，
∴二次函数关系式?=−?2+4?−3；
（2）解：∵点?(3,0),?(0,−3)，
∴?? = ?? = 3，且∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 45°．
当?? ⊥ ?轴时，∠??? = ∠??? = 45°，此时直线??与直线??下方的抛物线没有交点；
当?? ∥ ??时，∠??? = ∠???，
∵点?(0,−3)，
∴点 D 的纵坐标是−3，
令?=−3，−?2 +4?−3 = −3，解得?1 = 0,?2 = 4，
∴点?(4,−3)；
（3）解：①当? = ?时，?=−?2+4?−3，
∴点?(?,−?2 +4?−3)，则点?(? + 1,−?2 +4?−3)．
②抛物线?=−?2+4?−3=−(?−2)2 +1，顶点坐标为(2,1)．当点 H，M 重合时，则−?2 +4?−3 = −?
2
解得? = 5± 13．
当点 M 在点 H 下方时，如图所示，
即5− 13 < ? < 5+ 13，
22
由题意，得?? = 1．
2
当点 H，N 达到对称轴两侧对称的位置时，则? = 1.5，则当5− 13 < ? < 1.5时，矩形内没有函数 y 的图象；
2
当? > 1.5时，矩形区域内的函数 y 随着 x 的增大而减小，即1.5 < ? < 5+ 13；
当点 M 在点 H 上方时，如图，
即? < 5− 13或? > 5+ 13，
22
当? < 5− 13时，(? + 1)−2 = ?−1 = 5− 13−1 = 3− 13 < 0，即? + 1 < 2，
222
此时点 Q 在对称轴左侧，矩形内的抛物线 y 随着 x 的增大而增大；
当? > 5− 13 > 2时，此时点 H 在对称轴的右侧，矩形内没有函数 y 的图象，则? < 5− 13．
2
2
综上所述，? < 5− 13或1.5 < ? < 5+ 13．
2
2
【变式 2】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系???中，已知抛物线? = ??2 +?? + 8经过点
?(4,0)，与 y 轴交于点 B，且关于直线? = 1对称．
(1)则抛物线解析式中? = ，? = ；
(2)当3? + 2 ≤ ? ≤ 4时，y 的取值范围是0 ≤ ? ≤ 6? + 3，求 t 的值；
(3)点 C 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 C 作 x 轴的垂线交直线??于点 D，在 y 轴上是否存在点
E，使得以 B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)−1，2
(2)1
3
(3)4 5−5或16
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
55
（2）先求出抛物线? = −?2 +2? + 8图象与?轴的另一个交点的坐标为(−2,0)，分−2 ≤ 3? + 2 < 1，
1 ≤ 3? + 2 ≤ 4，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分??为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线? = ??2 +?? + 8经过点?(4,0)，与 y 轴交于点 B，且关于直线? = 1对称，
∴
2?
16? + 4? + 8 = 0
− ? = 1
，
? = −1
解得 ? = 2 ；
（2）解：由（1）知该抛物线的解析式为? = −?2 +2? + 8，
∵? = −?2 +2? + 8 = −(?−1)2 +9，
∴该抛物线的顶点坐标为(1,9)，
令? = −?2 +2? + 8 = 0，
解得? = 4或? = −2，
∴抛物线? = −?2 +2? + 8图象与?轴的另一个交点的坐标为(−2,0)，
当−2 ≤ 3? + 2 < 1时，即 4
1
，此时，?随?的增大先增大到最大值9再减小，
3
− ≤ ? < −
3
1
此时，6? + 3 = 9，解得? = 1 > −3（舍去）；
当1 ≤ 3? + 2 ≤ 4时，即 1
2
，此时，?随?的增大而减小，
3
− ≤ ? ≤
3
此时，? = − (3? + 2)−1 2 +9 = 6? + 3，即9?2 +12?−5 = 0，
1
解得? = 或
51
（舍去）；
3? = −3 < −3
1
综上，当3? + 2 ≤ ? ≤ 4时，y 的取值范围是0 ≤ ? ≤ 6? + 3，t 的值为3；
（3）解：存在；
将? = 0代入? = −?2 +2? + 8 = 0，则? = 8，
∴?(0,8)，
设直线??的解析式为? = ?? + 8，把?(4,0)代入，得4? + 8 = 0，
解得? = −2
∴? = −2? + 8，
设? ?,−?2 + 2? + 8 (0 < ? < 4)，则?(?,−2? + 8)，
∴?? = −?2 +2? + 8−(−2? + 8) = −?2 +4?，?? =?2 + (−2? + 8−8)2 = 5?，?? =
?2 + (−?2 + 2?)2，
当 B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当??为边时，则?? = ??，即−?2 +4? = 5?，
解得? = 0（舍去）或? = 4− 5，
此时菱形的边长为 5? = 4 5−5；
②当??为对角线时，则?? = ??，即?2 + (−?2 + 2?)2 = (−?2 + 4?)2，
解得? =
11
4 或? = 0（舍去），
11 2
1155
此时菱形的边长为−
4
+4 × 4 = 16；
55
综上：存在以 B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形，边长为4 5−5或16．
【变式 3】（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数? = ??2 +?? + 8（其中?，?为常数）的图象经过点
?(6,2)，顶点为点?，过点?作?? ∥ ?轴，交?轴于点?，交该二次函数图象于点?，线段??的长为8．
求该二次函数的解析式；
点?是直线??上方抛物线上的一动点，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ∥ ?轴交??于点?，求?? + ??
的和的最大值及此时点?的坐标；
点?是直线??上的动点，过点?作直线??的垂线?，顶点?关于直线?的对称点为?．当以点?、?、?、?
为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点?的坐标．
（2）解：令? = 0，得? = 8，
∴ ?(0,8)，
2
1?2 +2? + 8 ；
∴ 二次函数的解析式为? = −
，
2
? = 2
? = − 1
解得，
，
2 = 4?−2? + 8
得
将?(6,2)、?(−2,2)代入? = ??2 +?? + 8，
2 = 36? + 6? + 8
（3）分情况讨论四边形????为平行四边形和四边形????为平行四边形时的?点坐标即可.
【详解】（1）解：如图， ∵ ?? ∥ ?，?(6,2)，?? = 8，
∴ ?(−2,2)，
2
1
最大值，设点? ?,− ?2 + 2? + 8 ，求解??的最大值即可；
2
（2）通过论证 △ ???为等腰直角三角形，得到?? + ?? = 2 + 1 ??， 即当??取得最大值时，?? + ??有
2
(3)当以点?、?、?、?为顶点的四边形为平行四边形时，点?的坐标为(2,6)或(−6,14)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
4
(2)?? + ??的和的最大值为9 2+18，点?的坐标为 3, 19
2
【答案】(1)二次函数的解析式为? = −1?2 +2? + 8
∴ 设直线??的解析式为? = ?? + 8，代入?(6,2)，解得? = −1，
∴ 直线??的解析式为? = −? + 8 ，
∵ ?? = ?? = 6，
∴△ ???为等腰直角三角形，
∴ ∠??? = 45°，
∵ ?? ∥ ?，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∴△ ???为等腰直角三角形，
∴ ?? + ?? = 2 + 1 ??，
2
∴ 当??取得最大值时，?? + ??有最大值，
2
1
设点? ?,− 2 ?
+ 2? + 8 ，则?(?,−? + 8)，
?? = −1?2 +2? + 8−(−? + 8)
1?2
1(?−3)2 + 9 ，
2
= −+3? = −
222
−
∵ 1 < 0，0 ≤ ? ≤ 6，
2
9
∴ 当? = 3时，??有最大值2，
∴ ?? + ??的和的最大值为9 2+18，点?的坐标为 3, 19；
42
（3）解：①当四边形????为平行四边形时，?? = ??，
连接??，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，
设??与直线?交于点?，如图，
? = −1?2
2
+2? + 8 = −1(?−2)2 +10 ，
2
∴二次函数顶点为?(2,10)，
∵?(0,8)，
∴ ?? = 2，?? = 10，
∴?? = ??−?? = 10−8 = 2，
∵?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∵?(6,2),?(0,8)，
∴?? = ?? = 6，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 90°，
又∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????为矩形，
∴ ?? = ??，
∵ 点?关于直线?的对称点为?，
∴ ?? =
1
2?? =
1??，
2
过点?作??′ ⊥ ?轴于点?′，
∵ ∠??′? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴△ ??′? ∽△ ???，
??′??1
∴ ?? = ?? = 3，
设?(?,−? + 8)，则??′ = ?，
?1
∴ 6 = 3，
∴ ? = 2，
∴ ?(2,6)；
②当四边形????为平行四边形时，?? = ??，
连接??，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，
设??与直线?交于点?，如图，
∵ 二次函数顶点为?(2,10)，?(0,8)，
∴ ?? = 2，?? = ??−?? = 10−8 = 2，
∴ ∠??? = 45°，
∵ ∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠???′ = 90°，
又∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????为矩形，
∴ ?? = ??，
∵ 点?关于直线?的对称点为?，
∴ ?? =
1
2?? =
1??，
2
?? = ??，
过点?作??′ ⊥ ?轴于点?′，
∵ ∠??′? = ∠??? = 90°，∠???′ = ∠???，
∴△ ??′?≌ △ ???(AAS)，
∴ ??′ = ?? = 6，?′? = ?? = 6，
∴?′? = ?′? + ?? = 6 + 8 = 14，
∴ ?(−6,14)；
综上，当以点?、?、?、?为顶点的四边形为平行四边形时，点?的坐标为(2,6)或(−6,14).
【变式 4】（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数? = ?2 +?? + ?的图象与 x 轴交于点?(−3,0)和点 B，与 y 轴交于点?(0,−3)．
求二次函数的表达式；
点 Q 是抛物线在第三象限上的一点，满足∠??? = ∠???，请求出点 Q 的坐标；
【答案】(1)二次函数解析式为? = ?2 +2?−3
(2)?(−2,−3)
(3)存在，以 A，C，E，F 为顶点的四边形为平行四边形，点?的坐标为(2,5)或(−2,−3)或(−4,5)
【分析】（1）把?(−3,0),?(0,−3)代入，运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到?? = 1,?? = 3，由正切值的计算得到tan∠??? = ?? = 3，结合题意，tan∠??? = tan
??
∠??? = 3，设? ?,?2 + 2?−3 (−3 < ? < 0)，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，代入计算即可求解；
（3）根据题意得到二次函数对称轴直线为? = −1，设?(−1,?)，? ?,?2 + 2?−3 ，且?(−3,0),?(0,−3)，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数? = ?2 +?? + ?的图象与 x 轴交于点?(−3,0)和点 B，与 y 轴交于点?(0,−3)，
9−3? + ? = 0
∴
? = −3
，
? = 2
解得， ? = −3 ，
∴二次函数解析式为? = ?2 +2?−3；
（2）解：二次函数解析式为? = ?2 +2?−3，
∴当? = 0时，?2 +2?−3 = 0， 因式分解得，(?−1)(? + 3) = 0，解得，?1 = 1,?2 = −3，
∴?(1,0)，
∴?? = 1,?? = 3，
点 E 在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点 F，使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
如图所示，连接??，
∵∠??? = 90°，
∴tan∠??? =
??
??
= 3，
∵点 Q 是抛物线在第三象限上的一点，
∴设? ?,?2 + 2?−3 (−3 < ? < 0)，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，
∴?(?,0)，?? = ?−(−3) = ? + 3,?? = −?2−2? + 3，
∵满足∠??? = ∠???，
∴tan∠??? = tan∠??? = 3，
∴?? = 3，
??
∴−?2−2?+3 = 3，
?+3
整理得，?2 +5? + 6 = 0，
因式分解得，(? + 2)(? + 3) = 0， 解得，?1 = −2，?2 = −3（舍去），
∴? = −2，则?2 +2?−3 = (−2)2 +2 × (−2)−3 = −3，
∴?(−2,−3)；
（3）解：二次函数解析式为? = ?2 +2?−3，
2
∴对称轴直线为? = −
2
= −1，
设?(−1,?)，? ?,?2 + 2?−3 ，且?(−3,0),?(0,−3)，
当四边形????是平行四边形时，
∴对角线交点的横坐标相等，即
?−3
2 =
0−1
2 ，
解得，? = 2，
∴?2 +2?−3 = 22 +2 × 2−3 = 5，
∴?(2,5)；
当四边形????是平行四边形时，
∴0−3 = −1+?
22 ，
解得，? = −2，
∴?2 +2?−3 = (−2)2 +2 × (−2)−3 = −3，
∴?(−2,−3)；
当四边形????是平行四边形时，
∴−1−3 = 0+?，
2
2
解得，? = −4，
∴?2 +2?−3 = (−4)2 +2 × (−4)−3 = 5，
∴?(−4,5)；
综上所述，存在以 A，C，E，F 为顶点的四边形为平行四边形，点?的坐标为(2,5)或(−2,−3)或(−4,5)．
命题点 06 二次函数综合之相似三角形问题
【典例】（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系???中，一次函数1与?轴交于点?，与?轴交于
? = 2? + 2
点?，?是直线??上一点（不与点?重合），且?? = ??，抛物线? = ??2 +??−2经过?、?两点．
求抛物线的表达式；
点?在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形????是梯形，求梯形????的面积；
【答案】(1)? = 1?2 + 1?−2
42
(2)4 + 2 2
点?、?都在第三象限，其中点?在抛物线上，点?在抛物线的对称轴上，如果 △ ???与 △ ???相似，且边??与边??对应，求点?的坐标．
(3)?(−1,−1)，? −1,8−2 19
【分析】（1）根据一次函数可知?，?的坐标，进而根据?? = ??可得点?是线段??的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式；
根据????是梯形，可知??的直线解析式，进而联立方程可知点?的坐标，根据割补法即可求解；
①过点?作?? ⊥ ??,过点?作?? ⊥ ??，进而可知 △ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质即可求解；
②过点?作?? ⊥ ??交对称轴于?,过点?作?? ⊥ ??交对称轴于?，证明 △ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题可知，一次函数? = 1? + 2与?轴交于点?，与?轴交于点?，
2
则点?(−4,0)，?(0,2)，
∵?是直线??上一点，且?? = ??，
∴点?是线段??的中点，设点?(?,?)，
∴点? ?+(−4) , ?+0 ，
22
∴? = 4，? = 4，
∴点?(4,4)，
将点?，点?代入抛物线? = ??2 +??−2
16? + 4?−2 = 4
得 16?−4?−2 = 0
? = 1
4
解得： ? = 1
2
则抛物线的表达式为：? = 1?21，
4+ 2?−2
解：由题可得图，
∵四边形????是梯形，
∴?? ∥ ??,
∵?为原点，
则??的直线解析式为：1 ，
? = 2?
2
? = 1 ?
则联立函数得 ? = 1 ?2 + 1 ?−2 ，
42
? = 2 2
解得 ? = 2 或
? = −2 2
? = − 2 ，
∵点?在抛物线上，且位于第一象限，
∴? 2 2, 2 ,
过点?作?? ⊥ ?轴，过点?作?? ⊥ ?轴，
?= ?
−?
−?
= 1(2 + 4) × 4−1
2 + 4 ×
梯形????
梯形????
梯形????
△???22
1
4−2 2 −
2
× 2 2 × 2 = 4 + 2 2，
解：①由题可得，过点?作?? ⊥ ??,过点?作?? ⊥ ??
当∠??? = 90°, △ ???与 △ ???相似, 且边??与边??对应
则?? = ??4
??
== 2,
??2
抛物线? = 1?21，
4+ 2?−2
∵ ∠??? = ∠??? = 90°,
∴ ∠??? + ∠??? = 90°,∠??? + ∠??? = 90°,
∴∠??? = ∠???,
∴ △ ??? ∽△ ???,
∴?? = ?? = ?? = 2
??????
则抛物线的对称轴为：? = −1，
设点?
(−1,ℎ)
，点? ?, 1
4
?2
+ 1 ?−2
2
∴?? = ℎ−
1 ?2
4
1
+ 2 ?−2 ，?? = −1−?，?? = 0−
1 ?2
4
1
+ ?−2
2
，?? = ?−(−4)，
??
则
0− 1 2 1
? + ?−2
=42 = 2，
??
=
?−(−4)
= 2，
??
−1−?
??
ℎ− 1
4
?2+1
2
?−2
解得：? = 8或? = −2，
∵点?、?都在第三象限，
∴? = −2,
∴ℎ = −1，
∴?(−1,−1)．
②由题可得，抛物线的对称轴为? = −1，
过点?作?? ⊥ ??交对称轴于?,过点?作?? ⊥ ??交对称轴于?，
当∠??? = 90°, △ ???与 △ ???相似, 且边??与边??对应
????4
则?? = ?? = 2 = 2,
抛物线? = 1?21，
4+ 2?−2
∵ ∠??? = ∠??? = 90°,
∴ ∠??? + ∠??? = 90°,∠??? + ∠??? = 90°,
∴∠??? = ∠???,
∴ △ ??? ∽△ ???,
∴?? = ?? = ?? = 2
??????
则抛物线的对称轴为：? = −1，
设点?
(−1,ℎ)
，? ?, 1
4
?2
+ 1 ?−2
2
∴?? = 3,?? = 0−ℎ，
11
?? = ℎ−?2 + ?−2 ，?? = −1−?。
4
2
??
?? =
3
ℎ− 4 ?2 + 2 ?−2
1
1
= 2
??0−ℎ
?? = −1−? = 2
解得：ℎ = 8−2 19或ℎ = 8 + 2 19（舍去），
则∴? −1,8−2 19 ．
综上所述，?(−1,−1)，? −1,8−2 19 ．
3
【变式 1】（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线? = −?2 +?? + ?与?轴交于?(−3,0)，? 4 ,0 两点，与?轴
交于点?，?为抛物线上一点，??平分∠???，??与?轴交于点?．
(1)求抛物线的函数解析式； (2)求点?坐标；
(3)在直线??上取?、?两点（?在?点上方），连接??,??，使得 △ ??? ∽△ ???，求?、?坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为：? = −?2−
5
? + 4
3
(2)?(5 23
6, )
12
(3)?(−15 3),?(− 9 14
8 ,
2
10
, 5 )
或 ?(−21 33
40 10
, ),?( , 5 )
20
9 23 ．
【分析】（1）根据?(−3,0)，? 3 ,0 两点，利用待定系数法求解即可得；
（2）先由抛物线解析式求出与?轴交点?的坐标，再在Rt △ ???中用勾股定理求出??的长度；根据角平分
4
线定理得到??与??的比例关系，结合??的长度求出??，从而确定?的坐标；接着求出直线??的解析式，
联立直线??与抛物线的方程，舍去点?对应的解，得到点?的坐标；
（3）先求出直线??的解析式，再利用角平分线的性质得到点?到直线??的距离等于??的长度；结合 △
??? ∽ △ ???，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出??与??的长度；设出点?的坐标，由??的
长度列方程求解得到?的坐标，再根据??的长度和直线??的斜率求出对应点?的坐标，最终得到两组符合条件的?、?坐标．
3
【详解】（1）解：∵抛物线? = −?2 +?? + ?与?轴交于?(−3,0)，? 4 ,0 两点，
0 = −(−3)2−3? + ?
∴代入两点坐标得方程组：
? = 4
0 = −(
4 )2 + 4 ? + ? ，
33
解得 ? = − 5 ，
3
∴抛物线解析式为：? = −?2
− ? + 4；
5
3
（2）解：∵抛物线解析式? = −?2
− ? + 4；
5
3
令? = 0，得? = 4，
即：抛物线与?轴交点?(0,4)，
在Rt △ ???中，?? = 3，?? = 4，
由勾股定理得?? =??2 + ??2 =32 + 42 = 5，
∵??平分∠???，
????3
根据角平分线定理：?? = ?? = 5，且?? + ?? = ?? = 4，
??3
即：4−?? = 5
33
解得：?? = ，即，
2?(0,2)
设直线??解析式为? = ?? + ?，
代入?(−3,0)、
3 得：13，
?(0,2)? = 2? + 2
联立直线??
13?2 5，
与抛物线方程：2? + 2 = −
整理得：6?2 +13?−15 = 0，
− ? + 4
3
解得：?
= −3（对应点?，舍去），?
5
= ，代入直线得
15323
126
? = 2 × 6 + 2 = 12，
5 23
∴?点坐标为：?( , )；
6 12
b = 4
（3）解：设直线??的解析式为? = ?? + ?，代入A(−3,0)、C(0,4)得 −3k + b = 0 ，
解得：
k = 4
3 ，
b = 4
∴直线AC的解析式为y = 4x + 4，
3
作MN ⊥ AC，垂足为N，
∴MN = OM = 3
2
∵点E、F在直线AC上，
∵AD平分∠CAB，MN ⊥ AC，M(0,3)
2
∴EF在直线AC上，点M(0,3)到直线AC3
的距离为定值： ，
22
2
即： △ EFM中，EF边上的高为MN = 3，
在△ ABC中，AB在x轴上，AB边上的高为OC = 4，
∵ △ EFM ∽△ ABC，
3
∴∠MEF = ∠CAB，EF = EM = MN = 2，即EF = EM = 3
由AB = 13
ABAC
OC4
3
ABAC8
313133
315
3 ，AC = 5，得EF = 8 ⋅ AB = 8 × 3 = 8 ，EM = 8 ⋅ AC = 8 × 5 = 8 ，
设E(x,4x + 4)，由EM = 15x2 + ( 4 x + 4− 3 )2 = ( 15 )2，
得：
38328
整理解得1521
x = − 8 或x = − ，
40
3
154
① 当x = −x + 4 = 4 × − 15 + 4 = ，
时，
83382
?(−15,3)，?? = 15，?? = 13，计算得?(− 9 ,14)；
8 288
10 5
② 当? = −21时，4? + 4 = 4 × − 21
33
，
+4 =
403
34010
21 33
1513
9 23
?(− , )，?? = 8 ，?? = 8 ，计算得?( , )；
40 1020 5
因此?、?坐标为：?(−15,3),?(− 9 ,14) 或 ?(−21,33),?( 9 ,23)．
8 210 5
40 10
20 5
【变式 2】（2026·四川内江·一模）如图，抛物线? = ??2 +??−3交?轴于?(−3,0)，?(1,0)，与?轴交于点
?．连接??，??．
求抛物线的解析式；
如图 1，若在线段??上有点 D，使得以点 0、A、D 为顶点的三角形与△ ???相似，求线段??的长；
如图 2，点?为抛物线在第三象限的一个动点，?? ⊥ ?轴于点?．交??于点?，?? ⊥ ??于点?，求线段??
的最大值．
【详解】（1）解：∵抛物线? = ??2 +??−3交?轴于?(−3,0)，?(1,0)，
9?−3?−3 = 0
∴ ? + ?−3 = 0 ，
? = 1
解得 ? = 2 ，
∴抛物线的解析式为? = ?2 +2?−3；
（2）解：在? = ?2 +2?−3中，当? = 0时，? = −3，
∴?(0,−3)，
∵?(−3,0)，?(1,0)，
∴?? = ?? = 3，?? = 1，
∴?? = 4，?? =??2 + ??2 = 3 2；
8
9 2
+，据此可得答案．
2
2 ? + 3
2
2
则?(?,−?−3)，则可得到?? = 2?? = −
2
2
（3）求出直线??的解析式为? = −?−3；证明△ ??? ∽△ ???，可推出?? = 2??；设? ?,?2 + 2?−3 ，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据∠??? = ∠???，可知只存在 △ ??? ∽△ ???和 △ ??? ∽△ ???这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可；
8
(3)9 2
4
(2)9 2或2 2
【答案】(1)? = ?2 +2?−3
∵∠??? = ∠???，
∴只存在△ ??? ∽△ ???和 △ ??? ∽△ ???这两种情况，
????
当△ ??? ∽△ ???时，则?? = ??，
∴ ?? = 3，
3 24
；
9 2
∴?? = 4
????
当△ ??? ∽△ ???时，则?? = ??，
∴?? = 3 ，
43 2
∴?? = 2 2；
4
综上所述，??的长为9 2或2 2；
（3）解：设直线??的解析式为? = ?? + ?′，
−3? + ?′ = 0
∴?′ = −3，
? = −1
∴ ?′ = −3 ，
∴直线??的解析式为? = −?−3；
∵?? ⊥ ?，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
????
=，
??
??，即 33 2
∴?? = 2??；
2
设? ?,?2 + 2?−3 ，则?(?,−?−3)，
∴?? = −?−3− ?2
+ 2?−3 = −?2
−3? = − ? + 3
2
29
+ 4，
2 2
3 29 2
∴?? =
2 ?? = − 2 ? + 2
+ 8 ，
∵− 2 < 0，
2
∴当? = −2时，??有最大值，最大值为 8 ．
3
9 2
【变式 3】（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2 +??−8（?、?为常数，且
? ≠ 0）与?轴交于?(−2,0)、?(8,0)两点，与?轴交于点?，连接??．
求抛物线的函数表达式及点?的坐标；
? = 1
解得： ?1 = −8 ，
∴直线??的解析式为? = ?−8，
，
8? + ?1 = 0
?1 = −8
将?(8,0)，?(0,−8)代入解析式可得
∴?(0,−8)；
（2）解：设直线??的解析式为? = ?? + ?1(? ≠ 0)，
2
在? = 1?2−3?−8中，当? = 0时，? = −8，
2
∴抛物线的函数表达式为? = 1?2−3?−8，
2 ，
−3
解得： ? =
4?−2?−8 = 0
∴ 64? + 8?−8 = 0 ，
? = 1
情况：当△ ??? ∽△ ???时；当△ ??? ∽△ ???时，分别计算即可得出结果
【详解】（1）解：∵抛物线? = ??2 +??−8（?、?为常数，且? ≠ 0）与?轴交于?(−2,0)、?(8,0)两点，
2
（2）求出直线??的解析式为? = ?−8，设? ?, 1 ?2−3?−8 (0 < ? < 8)，则?(?,0)，?(?,?−8)，分两种
(2)点?的坐标为(6,−8)或(4,−12)
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出抛物线的表达式，再令? = 0，求出?的值，即可得出点?的坐标；
2
【答案】(1)抛物线的函数表达式为? = 1?2−3?−8，?(0,−8)
点?为第四象限内抛物线上的动点，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，交线段??于点?，当以?、?、?为顶点的三角形与△ ???相似时，求所有满足条件的点?的坐标．
设? ?, 1
2
?2
−3?−8
(0 < ? < 8)
，则?(?,0)
，?
(?,?−8)，
∵以?、?、?为顶点的三角形与△ ???相似，且∠??? = ∠???，
∴如图，当△ ??? ∽△ ???时，
， 此时∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? ∥ ??，即点?和点?的纵坐标相同，
在? = 1?2−3?−8中，当? = −81?2−3?−8 = −8，
2
解得：?1 = 0，?2 = 6，
∴此时?(6,−8)；
时，2
如图，当△ ??? ∽△ ???时，
，
此时∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∵?? = ?? = 8，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴?? = 2??，
∵?? =(?−0)2 + ?−8−(−8) 2 = 2?，?? = ?−8− 1 ?2−3?−8
2
∴ 2 × 2? = −1?2 +4?，
2
= −+4?，
1?2
2
解得：?1 = 0，?2 = 4，
此时 ?2−3?−8 = −12，即点?的坐标为(4,−12)；
1
2
综上所述，当以?、?、?为顶点的三角形与△ ???相似时，点?的坐标为(6,−8)或(4,−12)．
【点睛】采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【变式 4】（2026·福建·一模）如图，抛物线? = ?2 +?? + ?与?轴交于点?(0,2)，对称轴为直线? = −2，平行于?轴的直线与抛物线交于?、?两点，点?在对称轴左侧，?? = 6．
求此抛物线的解析式；
已知在?轴上存在一点?，使得 △ ???的周长最小，则点?的坐标为；
若点?在直线??上，直线??将 △ ???的面积分成2∶3两部分，求点?坐标．
【答案】(1)? = ?2 +4? + 2
(2) − 10 ,0
9
(3)(−2,4)或(−3,5)
【分析】（1）由对称轴为直线? = −2，以及点?的坐标得出?与?的值，即可求出抛物线解析式；
由抛物线的对称轴及??的长，确定出?与?两点的横坐标，代入抛物线解析式求出?与?两点的纵坐标，得出?与?两点的坐标，再作点?(0,2)关于?轴的对称点为点?′，连接??，?′?，?′?交 x 轴于点 D，则点 D
即为所求，最后利用待定系数法求出直线?′?的解析式，即可解决问题；
先利用待定系数法求出直线??的解析式，再设直线??与??交于点 P，过点 P 作?? ⊥ ?轴，垂足为点
H，设??与 y 轴交于点 S，则?? ∥ ??， △ ??? ∽△ ???，进一步得?? = ??；由已知面积之比求出??的长，
确定出点?的横坐标，代入直线??的解析式求出点?的纵坐标，即可得出点?的坐标．
????
【详解】（1）解：∵? = ?2 +?? + ?与?轴交于点?(0,2)，对称轴为直线? = −2，
∴
，
− ? = −2
2
? = 2
? = 4
解得： ? = 2 ，
∴抛物线的解析式为? = ?2 +4? + 2；
（2）解：∵对称轴为直线? = −2，?? = 6，且?、?两点关于对称轴对称，
∴点?的横坐标为−2−3 = −5，点?的横坐标为−2 + 3 = 1．
把? = 1代入抛物线解析式? = ?2 +4? + 2得：? = 12 +4 × 1 + 2 = 7，
∴?(−5,7)，?(1,7)．
如图，作点?(0,2)关于?轴的对称点为点?′，连接??，?′?，?′?交 x 轴于点 D，
则?? = ?′?，?′(0,−2)，
此时?? + ??取得最小值，则此时 △ ???的周长最小．设直线?′?解析式为? = ??−2，（? ≠ 0），
把?(−5,7)代入得，7 = −5?−2，
9
解得，? = −5，
即直线?′?解析式为9，
令? = 0得，
? = − ?−2
5
9，
0 = − ?−2
5
10
解得，? = − 9 ，
9
即点 D 的坐标为 − 10 ,0 ；
（3）解：由（2）得，?(0,2)，?(−5,7)，
设直线??解析式为? = ?1? + 2，（?1 ≠ 0），将?(−5,7)代入得，7 = −5?1 +2，
解得，?1 = −1，
∴直线??解析式为? = −? + 2．
如图，设直线??与??交于点 P，过点 P 作?? ⊥ ?轴，垂足为点 H，设??与 y 轴交于点 S，
则?? ∥ ??，?? = 5，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??．
??
??
∵直线??将 △ ???的面积分成2∶3两部分，
∴??:?? = 2∶3或??:?? = 3∶2，
∴??:?? = 2∶5或??:?? = 3∶5．
∵?? = 5，
∴?? = 2
??3
= ，
55或 55
∴?? = 2或?? = 3，
∴点 P 的横坐标为−2或−3．
把? = −2代入? = −? + 2得：? = −(−2) + 2 = 4，此时?(−2,4)；
把? = −3代入? = −? + 2得：? = −(−3) + 2 = 5，此时?(−3,5)；
综上所述，点 P 的坐标为(−2,4)或(−3,5)．
命题点 07 二次函数综合之定值定点定线段问题
【典例】（25-26 九年级下·四川成都·月考）抛物线?1 = ?2 +?? + ?与?轴交于?(−1,0)、?(5,0)，与?轴交于
?．
求?、?的值；
如图 1，直线? = ??−2(? < 0)交抛物线于?，?两点，连接??，??，??，若??恰好平分∠???，求?的值；
将抛物线?1向左平移两个单位后得抛物线?2，交?轴于?、?，交?轴于?，直线? = 2?? + 2?−1交抛物线?2
于 E、F 两点，分别过 E、F 且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于?，求证：点?在一条定直线上．
【答案】(1)? = −4，? = −5
(2)? = −1
(3)? = −2?−17
【分析】（1）将交点?(−1,0)、?(5,0)代入抛物线? = ?2 +?? + ?，列方程组
1
1−? + ? = 0
25 + 5? + ? = 0
，进行求解
即可；
（2）先根据题意得出?(0,−5)，则直线??:? = ?−5，由角平分线性质，?关于??的对称点?′在??上．过点
?作水平向右的直线，过点?′作竖直向下的直线，两条直线交于点?，联立直线与抛物线，结合一元二次方程根与系数的关系和对称点坐标关系，进行求解即可；
（3）先根据题意可得抛物线? = ?2−9，求过?,?的解析式，联立得出? ?+? ,??−9 ，再由一元二次方程
2
2
根与系数的关系? + ? = 2?，?? = −2?−8，消去?得?在定直线上．
【详解】（1）解：∵抛物线?1 = ?2 +?? + ?与?轴交于?(−1,0)、?(5,0)，
∴
(−1)2 +(−1)? + ? = 0
52 + 5? + ? = 0
，
? = −4
解得 ? = −5 ；
（2）解：由（1）得，抛物线的解析式为?1 = ?2−4?−5，
当? = 0时，?1 = ?2−4?−5
= 02−4 × 0−5
= −5，即?(0,−5)，
设??的解析式为? = ?? + ?，
将?(5,0)、?(0,−5)代入得
? = 1
解得 ? = −5 ，
∴??的解析式为? = ?−5，
5? + ? = 0
? = −5，
∵直线??过(5,0)和(0,−5)，
∴?? = ?? = 5，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴∠??? = ∠??? = 45°．
∵??平分∠???，
∴将射线??沿??翻折，点?会落在射线??上，记为点?′，设?(?1,?1)，则其关于直线??的对称点为?′(?′,?′)．
∴线段??′的中点?
?1+?′
,
2
?1+?′
2在直线??上，
?1+?′
∴=
2
?1+?′
2 −5
?1 + ?′ = ?1 + ?′−10①，
∵点?和点?′关于直线??对称，
∴??′ ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
过点?作水平向右的直线，过点?′作竖直向下的直线，两条直线交于点?，如图，
∴∠???′ = 90°，??∥?轴，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵∠??? = 90°，
∴∠???′ = 90°−45° = 45°，又∵∠???′ = 90°，
∴ △ ???′是等腰直角三角形，
∴?? = ?′?，
∵??是水平线段，?′?是竖直向下的线段，
1
∴?? = ?′−?1，?′? = ? −?′，
∴?′−?1 = ?1−?′
11
解得?′ = ? + ? −?′②，
将②代入①，?1 + ?′ = ?1 + (?1 + ?1−?′)−10
?1 + ?′ = ?1 + ?1 + ?1−?′−10
2?′ = 2?1−10
1
解得?′ = ? −5，
1111
将?′ = ? −5代入②，得：?′ + (? −5) = ? + ?
?′ + ?1−5 = ?1 + ?1
1
解得?′ = ? +5，
∴点?关于直线??的对称点坐标为?′(?1 + 5, ?1−5)，
∵直线??过点?(5,0)，
∴设直线??的解析式为? = ?(?−5)，
∵?(5,0)、?′(?1 + 5,?1−5)、?(?2,?2)三点共线，
1
将?′(?1 + 5,?1−5)代入直线??得，?1−5 = ? ⋅ (? + 5−5)
?1−5 = ? ⋅ ?1
解得? = ?1−5
?1 ，
将?(?2,?2)代入直线??得，?2 = ? ⋅ (?2−5)③，
将? = ?1−5
③得，? ? = (? −5)(? −5)
?1 代入
1 212
= ?1?2−5?1−5?2 + 25
= ?1?2−5(?1 + ?2) +25，
由题意，联立直线??与抛物线得，??−2 = ?2−4?−5
?2−(4 + ?)?−3 = 0，
∵直线与抛物线交于?(?1,?1)、?(?2,?2)，
∴?1 + ?2 = 4 + ?,?1?2 = −3，
∴?1?2 = ?1?2−5(?1 + ?2) +25
= −3−5(4 + ?) + 25
= −3−20−5? + 25
= 2−5?，
∵?、?在直线? = ??−2上，
∴?1 = ??1−2,?2 = ??2−2，
∴?1?2 = (??1−2)(??2−2)
= ?2?1?2−2??1−2??2 + 4
= ?2?1?2−2?(?1 + ?2) +4，
∵?1 + ?2 = 4 + ?,?1?2 = −3，
∴?1?2 = ?2?1?2−2?(?1 + ?2) +4
= ?2 × (−3)−2?(4 + ?) + 4
= −3?2−8?−2?2 + 4
= −5?2−8? + 4，
∴2−5? = −5?2−8? + 4 5?2 + 3?−2 = 0
(5?−2) (? + 1) = 0
解得?1
= −1,?2
2
= 5（舍去）；
（3）解：∵将抛物线?1向左平移两个单位后得抛物线?2，且?1 = ?2−4?−5 = (?−2)2−9，
∴?2 = (?−2 + 2)2−9 = ?2−9， 分别设?和点?的横坐标为?，?，
∴ ? ?,?2−9 ，? ?,?2−9 ．? = 2?? + 2?−1
令? = 2?? + 2?−1 = ?2−9
?2−2??−2?−8 = 0，
∴ ? + ? = 2?，?? = −2?−8，
设过点?与抛物线只有唯一公共点的直线为：? = ?′(?−?) + ?2−9，
又∵? + ? = 2?，?? = −2?−8，
∴ ?(?,−2?−17)，
? = ?
联立 ? = −2?−17 ，
∴? = −2?−17，即点?在定直线：? = −2?−17上运动．
【点睛】本题核心是角平分线的对称转化、一元二次方程根与系数关系的应用、二次函数的性质，通过对称将角平分线问题转化为共线问题，利用一元二次方程根与系数关系消参得定直线，体现了代数与几何的深度结合．
,??−9 ，
?+?
2
∴ ?
2
此时? = 2? ?+? −? + ?2−9 = ??−9，
?+?
解得? = 2 ，
过点?与抛物线只有唯一公共点的直线为：? = ?″(?−?) + ?2−9，令?′(?−?) + ?2−9 = ?2−9
?2−?′? + ?′?−?2 = 0，
由题意可知，Δ = ?′2−4(?′?−?2) = 0
?′2−4?′? + 4?2 = 0
解得?′ = 2?，
同理可得?″ = 2?，
∴ 过点?与抛物线只有唯一公共点的直线为：? = 2?(?−?) + ?2−9 = 2??−?2−9，过点?与抛物线只有唯一公共点的直线为：? = 2?(?−?) + ?2−9 = 2??−?2−9，
令2??−?2−9 = 2??−?2−9
2??−2?? = ?2−?2
【变式 1】（25-26 九年级下·湖北武汉·期中）已知抛物线? = ??2 +?? + 3交 x 轴于点?(1,0)和 B 点，对称轴为? = 2，抛物线交 y 轴于点 C，点 D 为抛物线上不与??重合的一点．
求抛物线的函数表达式；
如图 1，点 D 为??上方抛物线上一点，?? ⊥ ??于点 E，若?? = 3??，求点 D 的坐标；
；联立??与抛物线，由韦达定理 ? ⋅
【详解】（1）解： ∵ 抛物线? = ??2 +?? + 3的对称轴为? = 2，且过点?(1,0)，
∴ 由对称性，点?的坐标为(3,0)，
将?(1,0)和?(3,0)代入? = ??2 +?? + 3，
?
?? = 3(?−2) +
2(?−1)(?−3)
?−2
，结合 ?
?
= ?，求得?? = 2t-5 代入抛物线得??；再用待定系数法分别求直线??和??的解析式；设?? = ?，令两直线
在? = ?处的横坐标相等，即1−t-2?(?−2) = 3 + ? ，解得? = −2；
?−1
?−1
故?? = −2为定值，?△??? = 1 × ?? × |? | = 1 × 2 × 2 = 2为定值．
2
?
2
2(?−1)(?−3)
?−2
,? = −
?−2
得? = (?−1)(?−3)
7 5
7
?? = 3??得? = 3(?−?)，将两式联立消去?，解得? = 2，进而求得? 2 , 4 ．
（3）由?(1,0),?(3,0)得 M(2,0)，设? ?,?2−4? + 3 ，用待定系数法设直线??为? = ?? + ?，将?、?代入解
（2）过点?作?? ∥ ?轴交?轴于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，由?? ⊥ ??和?? ∥ ?轴，得∠??? = ∠???，又
∠??? = ∠??? = 90°，故△ ??? ∼△ ???，由?? = 3??得相似比为 3，即?? = 3??,?? = 3??，设?
(?,−? + 3),? ?,?2− 4? + 3)，则?? = ?,?? = ?2−4? + 3,?? = ?−?，由?? = 3??得? = 3(?2−4? + 3),由
求得? = 1,? = −4，故抛物线解析式为? = ?2−4? + 3；
? + ? + 3 = 0
9? + 3? + 3 = 0
? = ??2 +?? + 3，解方程组
(3) △ ???的面积是定值，2
【分析】（1）利用抛物线对称轴? = 2和已知点?(1,0)，由对称性确定?(3,0)，再将?、?两点坐标代入
2 4
(2) 7 , 5
【答案】(1)? = ?2−4? + 3
如图 2，点 M 为??的中点，直线??交抛物线于点 E，若直线??,??的交点为点 N，试判断△ ???的面积是否为定值，若是，求出其定值；若不是，请说明理由．
? + ? + 3 = 0
9? + 3? + 3 = 0 ，
? = 1
解得， ? = −4 ，
∴ 抛物线的函数表达式为? = ?2−4? + 3；
（2）解：设直线??的解析式为? = ?? + ?，
将?(3,0)和?(0,3)代入得
3? + ? = 0
? = 3，
∴ 3? + 3 = 0, 解得? = −1,? = 3，
∴ 直线??的解析式为? = −? + 3，
过点?作?? ∥ ?轴交?轴于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵ ?? ∥ ?轴，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∵ ?? = 3??，
??
∴ ?? =
??
?? =
??
??
= 3，
?? = 3??
∴ ?? = 3?? ，
设?(?,−? + 3),? ?,?2−4? + 3 ，
?(0,−? + 3)，
∴ ?? = ?,?? = ?，
?(?,−? + 3)，
∴ ?? = ?−?,?? = ?2−4? + 3−(−? + 3) = ?2−4? + ?，
? = 3(?2−4? + ?)
∴? = 3(?−?)，
7
消去? ?，得? = 2，
∴ ?2
−4? + 3 =
7 2
2−4 ×
75
2 +3 = 4，
7 5
；
∴ 点?的坐标为 2 , 4
（3）解： ∵ ?(1,0),?(3,0),?是??的中点，
∴ ?(2,0)，
设? ?,?2−4? + 3 ,? ≠ 1且? ≠ 3，
设? = ?? + ?，将? ?,?2−4? + 3 和?(2,0)代入得
?? + ? = ?2−4? + 3
2? + ? = 0，
解关于?,?的方程组，
? = (?−1)(?−3)
，
?−2
? = − 2(?−1)(?−3)
?−2
∴ 直线??的解析式为? =
(?−1)(?−3)
?−2?−
2(?−1)(?−3)
?−2，
联立直线??与抛物线? = ?2−4? + 3，消去?得，
(?−1) (?−3)
?−2
整理，得
?−
2(?−1) (?−3)
?−2
= ?2−4? + 3
(?−2)?2− 4(?−2) +(?−1)(?−3) ? + 3(?−2) +2(?−1)(?−3) = 0，
22
由韦达定理?? ⋅ ?
= 3(?−2)+2(?−1)(?−3) = 3?−6+2? −8?+6 = 2? −5? = ? ⋅ 2?−5
?
∵ ?? = ?，
?−2
?−2
?−2
?−2
∴ ?? =
2?−5
?−2 ，
?−2
将?? =
2?−5代入? = ?2−4? + 3 = (?−1)(?−3)，得
(?−1)(?−3)
?? = (??−1)(??−3) = −
(?−2)2 ，
设? = ?? + ?，将?(1,0)和?代入得，
? + ? = 0
2?−5 ? + ? = − (?−1)(?−3) ，
?−2
?−3
(?−2)2
(?−1)(?−3)
整理，得?−2? = −
(?−2)2 ，
∵ ? ≠ 3，
?−1
?−1
∴ ? = −
,? = ?−2，
?−2
?−1
?−1
∴ 直线??为? = −? + ?−2，
?−2
设? = ?? + ?，将?(3,0)和? ?,?2−4? + 3 代入得，
3? + ? = 0
?? + ? = (?−1)(?−3) ，
∴ ? = ?−1,? = −3(?−1)，
∴ 直线??为? = (?−1)?−3(?−1)； 设?? = ?，将? = ?代入直线??，得
?−1
?−1
? = −
? +，
?−2
?−2
∴ ? = 1−
?(?−2)
?−1 ，
将? = ?代入直线??，得
? = (?−1)?−3(?−1)，
?
∴ ? = 3 + ?−1
?(?−2)?
∴ 1− ?−1 = 3 + ?−1，
整理，得? = −2，
1
∴ ?? = −2，
∴ ?
1
△??? = 2 × ?? ×
|??|
= 2 × 2 × 2 = 2，
∴△ ???的面积为定值 2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、韦达定理的应用；解题的关键是第（2）问构造相似三角形实现线段比到坐标关系的转化，第（3）问通过待定系数法、韦达定理以及设? = ?使横坐标相等的方法完成定值的一般性证明，体现了数形结合思想和代数运算能力．
【变式 2】（25-26 九年级下·四川成都·期中）如图，直线? = ?? + 1与抛物线? :? = 1?2 +?? + ?交于?、?
212
1
2
两点，与抛物线的对称轴交于点?，抛物线?1的顶点为? 1,．
(1)求抛物线的解析式；
1
(2)若? = 2，点?为抛物线上一点，过点?作?? ∥ ??，与直线??相交于点?，当以?、?、?、?为顶点的四边
形是平行四边形时，求点 P 的横坐标．
【答案】(1)? = 1?2−? + 1
2
(2)点?的横坐标为0或 2 或3
(3)点?的横坐标为定值2
1
【分析】（1）设抛物线? 的解析式为? = ?(?−1) + ，整理可得：? = ?? −2?? + ? + 与解析式? =
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
?
+?? + ?比较求出?和?的值，即可得到抛物线的解析式；
11111
（2）当? = 时，直线的解析式为? = 1? + ，设点?的坐标为 ?, ?2−? + 1 ，则点?的坐标为 ?, ? +，
2
22
2
22
所以?? =
| ? − ? + |
1
2
3
1
222
，根据点?、?的坐标可以求出?? = 1，根据平行四边形的性质可知?? = ??，可
得方程
|
1
2
? − ? +
2
3
1
2
2
| = 1，解方程求出?的值即为点?的横坐标；
（3）设点?的坐标为 ?1,??1 + 2 ，点?的坐标为 ?2,??2 + 2 ，因为点?是抛物线?1的对称轴与?轴交点，所
以点?的坐标是(1,0)，把点?和点?的横坐标表示出来，根据平面直角坐标系中的中点坐标公式求出点?的横
1
1
坐标即可．
【详解】（1）解： ∵ 抛物线?1的顶点? 1, 2 ，
1
设抛物线? 的解析式为? = ?(?−1) + ，
1
2
1
2
整理得：? = ??2−2?? + ? + 1，
2
∵ 抛物线?1的解析式为? = 1?2 +?? + ?，
2
(3)设抛物线?1的对称轴与?轴交于点?，直线??、??分别交抛物线?1于点?、?，连接??，?为??的中点，试探究?的横坐标是否为定值？若是，请求出?的横坐标；若不是，请说明理由．
11
∴ ? = 2，? = −2? = −1，? = ? + 2 = 1，
∴ 抛物线的解析式为? = 1?2−? + 1；
2
1
11
（2）解：当? = 时，直线的解析式为，
2
当? = 1时，可得：1
? = 2? + 2
1，
? = 2 × 1 + 2 = 1
∴ 点?的坐标为(1,1)，
2
∵ 点? 1, 1 ，
11
∴ ?? = 1−2 = 2，
1 211
设点?的坐标为 ?, 2 ? −? + 1 ，则点?的坐标为 ?, 2 ? + 2 ，
∴ ?? = |1 ?2−? + 1− 1 ? + 1 | = |1 ?2− 3 ? + 1|，
222
222
∵ ?? ∥ ??，以?、?、?、?为顶点的四边形是平行四边形，
∴ ?? = ??，
∴ |1 ?2− 3 ? + 1| = 1，
2222
1
∴ ?2
2
31
− ? +
22
1
=± 2，
当2
1?2
31
− ? +
22
1
= 2时，
整理可得：?2−3? = 0，解得：?1 = 0，?2 = 3，
当2
1?2
31
− ? +
22
1
= −2时，
解得：?1 = 2，?2 = 1（此时?、?重合，舍去），综上所述，点?的横坐标为0或 2 或3；
1
（3）解：点?的横坐标为定值2，
设点?的坐标为 ? ,??
11
+，点?的坐标为 ? ,?? +，
112222
则? 、? 是方程1?2−? + 1 = ?? + 1的解，
1222
整理可得：?2−2(? + 1)? + 1 = 0，
∴ ?1
?
+ ?2 = −
= 2(? + 1)，?1?2
= 1，
?
2
∵ 点?的坐标为 1, 1 ，
∴ 点?的坐标为(1,0)，
设??的解析式为? = ?? + ?，
则有 ??1
+ ? = ??1 + 2
1
? + ? = 0，
解得：
? = 2??1+1
2(?1−1)
? = − 2??1+1 ，
2(?1−1)
∴ 直线??的解析式为? = 2??1+1 ?− 2??1+1 ，
2(?1−1)2(?1−1)
解方程?−=−? + 1
2??1+1 2??1+11?2
2(?1−1)2(?1−1)2
整理得：?2− 2??1+1 + 2 ? + 2??1+1 +2 = 0，
?1−1?1−1
方程的解应是点?和点?的横坐标，
∴ ??
+ ??
= 2??1+1 +2，
?1−1
∵ ?? = ?1，
∴ ??
= 2??1+1 +2−?1，
?1−1
同理可得：?? = 2??2+1 +2−?2，
?2−1
∴ 点?
1
(?
+ ?
) = 1
2??1+1 + 2−?
+ 2??2+1 + 2−?，
的横坐标为2 ??
2 ?1−1
1?2−12
1
整理可得： (?
+ ?
) = 1 2??1?2+?2−2??1−1+2??1?2+?1−2??2−1 + 4−(?
+ ? )
2 ??2
(?1−1)(?2−1)12
1 4? + (?1 + ?2)−2?(?1 + ?2)−2
= 2?1?2−(?1 + ?2) + 1+ 4−(?1 + ?2)
1 4? + (2? + 2)−2?(2? + 2)−2
= 21−(2? + 2) + 1+ 4−(2? + 22)
1 4? + (2? + 2)−2?(2? + 2)−2
= 21−(2? + 2) + 1+ 4−(2? + 2)
1 2?−4?2
= 2−2?+ 4−2?−2
1
= 2 (−1 + 2? + 4−2?−2)
1
= 2，
∴ 点?的横坐标为定值2．
1
命题点 08 二次函数综合之交点个数问题
【典例】（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数? = −? + 3的图象分别与 x 轴、y轴交于点 A，B．
(1)如图，若抛物线? = ??2−2?? + ? + 4经过点 A，且与 x 轴的另一个交点为点 C．
①求出这个二次函数的表达式；
②在抛物线上存在点 P，使得??平分∠???，求点 P 的坐标；
【答案】(1)①? = −?2 +2? + 3；②?(5,−12)
(2)−1 < ? ≤ −
1
4
【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点?代入抛物线表达式求解?即可；
②先求出?(−1,0)，设直线??交?轴于点?，证明 △ ???≌ △ ???(ASA)，求出?(1,0)，再求出直线??的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点?；
（2）找出两个临界位置求解即可．
【详解】（1）解：①对于? = −? + 3，当? = 0时，? = 3；当? = 0时，−? + 3 = 0，解得? = 3
∴?(3,0)，?(0,3)
∵抛物线? = ??2−2?? + ? + 4经过点 A，
∴9?−6? + ? + 4 = 0
解得? = −1
∴二次函数表达式为? = −?2 +2? + 3；
②令? = −?2 +2? + 3 = 0，
(2)把点 B 向右平移 3 个单位长度得到点 D，若抛物线? = ??2−2?? + ? + 4与线段??只有一个公共点，求实数 a 的取值范围．
解得?1 = −1，?2 = 3
∴?(−1,0)
如图，设直线??交?轴于点?，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??,∠??? = ∠??? = 90°
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)
∴?? = ?? = 1
∴?(1,0)
设直线??:? = ?? + ?，
? + ? = 0
则? = 3，
? = −3
解得 ? = 3
∴直线??:? = −3? + 3
与抛物线? = −?2 +2? + 3联立得，−?2 +2? + 3 = −3? + 3
解得? = 0或? = 5
∴?(5,−12)；
（2）解：? = ??2−2?? + ? + 4 = ?(?−1)2 +4，
∴抛物线顶点为(1,4)，
∵点?(0,3)向右平移 3 个单位长度得到点 D，
∴?(3,3)，
∴顶点在线段??上方，
∴当? > 0时，抛物线开口向上，抛物线与线段??没有交点；当? < 0时，抛物线经过点?(3,3)时，如图：
则9?−6? + ? + 4 = 3，
解得? = −1
4
此时抛物线与?轴交点为 0,− 4 + 4 ，即 0, 4 ，在点?上方；
当抛物线经过点?(0,3)时，如图：
1
15
此时? + 4 = 3，
解得? = −1，
∴要使得抛物线? = ??2−2?? + ? + 4与线段??只有一个公共点，实数 a 的取值范围为−1 < ? ≤ −
4
1
．
【变式 1】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，二次函数?1 = ??2−2? + ?图象的顶点在?轴上，与?轴交于点
?(0,1)，二次函数?
= −2?2 +?? + ?与? 的对称轴相同，且经过点?和点?，点?
5
? = ?
21的横坐标为2，直线
与?轴交于点?．
(1)求二次函数?2 = −2?2 +?? + ?的解析式：
(2)当1 < ? < 3时，直线? = ?与二次函数?1,?2的图象从左到右依次交于点?，?,?,?．若?? = 2??，求?的
值：
5
2
(3)二次函数?1 = ??2−2? + ?(? ≤ 0)与二次函数?2 = −2?2 +?? + ? 0 < ? ≤组成新函数?3．
1
①已知点? − 2 ,? ，点?(2,?)，线段??与?3有 2 个交点时，请直接写出?的值或取值范围：
②当? ≤ ? ≤ 5时，函数?
9
−3?，最大值为1 + ?，求?的取值范围．
23的最小值为2
【答案】(1)?2 = −2?2 +4? + 1
9
(2)25
9
(3)①? = 1或4 < ? < 3；②1− 3 ≤ ? ≤ 1
【分析】（1）由点?(0,1)，得? = 1．顶点在?轴上，得? = 1， 即可确定对称轴为? = 1 ．即可确定?2；
（2）推导出?? = ??．设点? ?,−2?2 + 4? + 1 ，则点? −?,?2 + 2? + 1 ，
25
9 ．
3
得−2?2 +4? + 1 = ?2 +2? + 1，解得?1 = 0（舍），?2 = 2 ．得? = ?2 +2? + 1 =
（3）由图可知，当? = 5时，? 有最小值 39
3
，解得? = 2．
23−2，得2−3? = −2
得最大值1 + ? = 3 ．当?1 = 3时，?2−2? + 1 = 3，解得：?1 = 1− 3或?2 = 1 + 3（舍）．即得1− 3 ≤ ? ≤ 1．
【详解】（1） ∵ ?1 = ??2−2? + ?图象与?轴交于点?(0,1)，
∴ ? = 1．
∵ 顶点在?轴上，
∴ (−2)2−4?? = 0，
∴ ? = 1，
1
∴ ? = ?2−2? + 1 = (?−1)2．
∴ 对称轴为? = 1 ．
∵ ?2 = −2?2 +?? + ?与?1的对称轴相同，且经过点?，
∴ ?2 = −2(?−1)2 +?．
把点?(0,1)代入得：? = 3，
∴ ?2 = −2(?−1)2 +3，
∴ ?2 = −2?2 +4? + 1 ．
解：设直线??与抛物线的对称轴交于点?，
由题可知：?? = ??,?? = ??，
∴ ?? = ??．
∵ ?? = 2??，
∴ ?? = 2??，
∴ ?? = ??．
设点? ?,−2?2 + 4? + 1 ，则点? −?,?2 + 2? + 1 ，
∴ −2?2 +4? + 1 = ?2 +2? + 1，
3
解得?1 = 0（舍），?2 = 2 ．
9 ．
∴ ? = ?2 +2? + 1 = 25
解：①?3定义为：
?2−2? + 1(? ≤ 0)
?3 =
−2?2 + 4? + 1(0 < ? ≤ 2.5)
1
1 2119
① ? − 2 ,? 在? ≤ 0部分，代入?1得? = − 2
−2 × −+1 = +1 + 1 = ；
244
?(2,?)在0 < ? ≤ 2.5部分，代入?2得? = −2 × 22 +4 × 2 + 1 = −8 + 8 + 1 = 1；在? ≤ 0时，?1随 x 的增大而减小；
在0 < ? ≤ 1时?2随 x 的增大而增大，在1 < ? ≤ 2.5时随 x 的增大而减小，最大值为 3（? = 1时），? = 2.5
时? = −3。
2
当? < 1时，线段??与?3无交点。
当? = 1时，? = 0是公共点，线段??与?3交于(0,1)和(2,1)，共 2 个交点；
当1 < ? ≤ 9时，线段??与?1（? ≤ 0）交于 1 点，与?2（0 < ? ≤ 2）交于 2 点，共 3 个交点；
4
9??
当4 < ? < 3时，线段??与 1（? ≤ 0） 无交点，与 2（0 < ? ≤ 2）交于 2 点，共 2 个交点；
当? = 3时，线段??与?2交于(1,3)，与?1无交点，仅 1 个交点；当? > 3时，线段??与?3（? ≤ 0） 无交点。
9
故 n 的取值为：? = 1或4 < ? < 3 ，
5?
5 253
②当? = 2时，
3 = −2 × 2+4 × 2 +1 = −2，
由图可知，当? = 2时，?3有最小值−2，
5
3
∴ −3? = −2，
9
3
2
∴ ? = 2．
∴ 最大值为1 + ? = 3 ．
在?1 = ?2−2? + 1中，当?1 = 3时，?2−2? + 1 = 3，解得：?1 = 1− 3或?2 = 1 + 3（舍）．
∴ 1− 3 ≤ ? ≤ 1．
【变式 2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线? = −?2 +??−3的对称轴为直线? = 2，与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C．
求抛物线和直线??的解析式；
点 P 是直线??上方的抛物线上一点，连接??,??，求 △ ???面积的最大值；
2
将抛物线向上平移 3 个单位得新抛物线，新抛物线中? ≤ 4的部分记为“图形 W”．在新抛物线对称轴上取两点?(2,?)和?(2,1−?)，其中? ≠ 1，将线段??绕点 M 顺时针旋转90°，点 N 的对应点为 H，以??、??为边构造正方形????．
①直接写出点 Q 和点 H 的坐标（用含 m 的式子表示）；
②当矩形????的四边与“图形 W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的 m 的取值范围．
【答案】(1)?=−?2+4?−3；? = ?−3
(2) △ ???面积的最大值为 8
27
(3)①H 点的坐标为(3−2?,?)，Q 点的坐标为(3−2?,1−?)；②? = 3+ 57或? = 5− 57或? < −
1
8
8
2
【分析】（1）利用待定系数法求解即可求出抛物线的解析式；令? = −?2 +4?−3 = 0，求出?1 = 1,?2 = 3，
可得?(1,0)，?(3,0)，将? = 0代入? = −?2 +4?−3，可得?(0,−3)，再利用待定系数法即可求出直线??的解析式；
（2）过点 P 作?? ⊥ ?轴交直线??于点 D，设点? ?,−?2 + 4?−3 ，则?(?,?−3)，求出?? = −?2 +3?，
?33 227
根据 △??? = −2(?− 2 ) + 8 ，利用二次函数的性质即可求解；
（3）平移后的抛物线为? = −?2 +4?，对称轴是? = 2．
①当? > 1−?，? < 1−?两种情况讨论，利用旋转的性质结合正方形的性质即可分别求出点?，点?的坐标；
②分点 H 在对称轴左侧和右侧两种情况讨论．
【详解】（1）解：抛物线? = −?2 +??−3的对称轴为直线? = − ?
−2
= 2，解得? = 4，
∴ 抛物线的解析式为?=−?2+4?−3；
令? = −?2 +4?−3 = 0，则−(?−1)(?−3) = 0，解得?1 = 1,?2 = 3，
∴ ?(1,0)，?(3,0)，
将? = 0代入? = −?2 +4?−3，则? = −3，
∴?(0,−3)，
设直线??的解析式为? = ??−3，将 B 点坐标代入得3?−3 = 0，解得? = 1．
∴ 直线??的解析式为? = ?−3．
（2）解：如图 1，过点 P 作?? ⊥ ?轴交直线??于点 D，
设点? ?,−?2 + 4?−3 ，则?(?,?−3)，
∴ ?? = −?2 +4?−3−(?−3) = −?2 +3?．
∴ ?
1(? −? ) = 1(−?2 + 3?)
33 227
(?− ) +
△??? = 2?? ⋅??2
× 3 = −．
8
22
3
∵ −2
< 0，
∴ 抛物线的开口向下，函数有最大值，
327
∴ 当? = 2时， △ ???面积的最大值为 8 ．
（3）解：平移后的抛物线为? = −?2 +4?，对称轴是直线? = 2．
8
2
∵ ? < 2，
1
∴ ? =
5− 57
8
．
若点 H 在直线? = 4的右侧，3−2? > 4，解得? < −2；
1
综上可知：? = 3+ 57或? = 5− 57或? < −1．
8
8
化简得4?2−5?−2 = 0，解得? = 5± 57．
．
当点 H 在对称轴的右侧，当矩形????的四边与“图形 W”有且只有一个公共点时，点?(3−2?,1−?)在抛物线上或点 H 在直线? = 4的右侧．
若点?(3−2?,1−?)在抛物线上，−(3−2?)2 +4(3−2?) = 1−?，
8
3+ 57
∴ ? =
1
∵ ? > 2，
8
解得? = 3± 57．
即无论 m 取何值，H 点的坐标均为(3−2?,?)，Q 点的坐标均为(3−2?,1−?)；
②当点 H 在对称轴的左侧，当矩形????的四边与“图形 W”有且只有一个公共点时，点?(3−2?,?)在抛物线上，
∴ −(3−2?)2 +4(3−2?) = ?，化简得4?2−3?−3 = 0，
1
当? < 2时，M 在 N 的下方，?? = 1−2?．
此时 H 点的坐标为(3−2?,?)，Q 点坐标为(3−2?,1−?)；
1
①当? > 1−?时，即? > 2时，M 在 N 的上方，?? = 2?−1．
此时 H 点的坐标为(3−2?,?)，Q 点坐标为(3−2?,1−?)；
【变式 3】（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数? = ??2 +2?−?−1（m 是常数）．
求证：不论 m 为何值，该函数图像与 x 轴总有两个公共点；
该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是，；
已知?(?,1)，?(4,1)．若该函数的图像与线段??恰有 1 个公共点，直接写出 m 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)(1,1)、(−1,−3)
(3)− < ? < 0或0 < ? ≤ 1
2
5
【分析】（1）根据根的判别式即可证明；
（2）计算当? =± 1时的函数值即可；
（3）结合图像，分类讨论进行解题．
【详解】（1）证明：当? = 0时，
??2 +2?−?−1 = 0，
? = 22−4?(−?−1)
= 4?2 + 4? + 4
= (4?2 + 4? + 1) + 3
= (2? + 1)2 +3 > 0，
∴不论 m 为何值，该函数图像与 x 轴总有两个公共点；
（2）解：当? = 1时，? = ? + 2−?−1 = 1；
当? = −1时，? = ?−2−?−1 = −3；
∴该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是(1,1)、(−1,−3)；
（3）解：当? > 0时，抛物线开口向上，经过定点(1,1)、(−1,−3)，如图，
点?(?,1)在第一象限，要使该函数的图像与线段??恰有 1 个公共点，
则有0 < ? ≤ 1；
当? < 0时，抛物线开口向下，经过定点(1,1)、(−1,−3)，如图，
点?(?,1)在第二象限，要使该函数的图像与线段??恰有 1 个公共点，
则点?只能在抛物线内部，即? = 4时，? > 1，
∴16? + 8−?−1 > 1，
解得? > −5，
2
∴− < ? < 0；
2
5
综上所述，− < ? < 0或0 < ? ≤ 1．
2
5
【变式 4】（2026·江苏无锡·一模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”．
已知二次函数? = ?2−2?? + ?2−1（?为常数），设其函数图像为?．
求证：函数图像?上总存在“等值点”；
设函数图像?上一对“等值点”的坐标分别为(?1,?)和(?2,?)，（?1 < ?2），若?2−?1 = 4，求?的值；
【答案】(1)见解析
(2)? = 3
(3)?的值为−4，1− 2，1 + 2或 4
5
13
【分析】（1）将二次函数配方成顶点式，然后得到对称轴为直线? = ?，即可证明；
（2）由（1）可设?1 = ?−?，?2 = ? + ?，? > 0，根据?2−?1 = 4求出? = 2，然后将(?−2,?)代入? = (?−?)2
−1求解即可；
（3）首先求出函数?的表达式为? = −(?−?)2 +3，然后求出图像?和图像?的交点坐标，然后根据题意分 4
(3)将函数图像?沿经过(0,1)且平行于?轴的直线翻折得到新图像?．当函数? = ?的图像与函数图像?和?有三个公共点时，请直接写出?的值．
种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数? = ?2−2?? + ?2−1 = (?−?)2−1
∴由二次函数的图像可得，图像为轴对称图形，对称轴为直线? = ?
∴当? = ? ± ?(? > 0)时，两个函数值相等，
∴函数图像?上总存在“等值点”；
（2）解：由（1）可设?1 = ?−?，?2 = ? + ?，? > 0
∵?2−?1 = 4
∴(? + ?)−(?−?) = 4
∴? = 2
∴?1 = ?−2
将(?−2,?)代入? = (?−?)2−1得，? = (?−2−?)2−1
解得? = 3；
（3）解：∵二次函数? = (?−?)2−1的顶点坐标为(?,−1)
∴(?,−1)关于经过(0,1)且平行于?轴的直线对称的点的坐标为(?,3)
∴翻折后新函数?的表达式为? = −(?−?)2 +3
? = (?−?)2−1
联立函数?和函数?得， ? = −(?−?)2 + 3
解得?1 = ?− 2，?2 = ? + 2
将?1 = ?− 2代入? = (?−?)2−1得，? = ?− 2−?
2
−1 = 1
将?2 = ? + 2代入? = (?−?)2−1得，? = ? + 2−?
2
−1 = 1
∴图像?和图像?的交点坐标为? ?− 2,1 和? ? + 2,1
如图所示，当函数? = ?的图像与函数图像?有 1 个公共点时，函数? = ?的图像与函数图像?和?有三个公共点，
? = ?
∴联立函数? = ?和函数?得， ? = (?−?)2−1
整理得，?2 + (−1−2?)? + ?2−1 = 0
∴Δ = (−1−2?)2−4 × 1 × (?2−1) = 0
5
解得? = −4；
如图所示，当函数? = ?的图像经过点? ? + 2,1 时，函数? = ?的图像与函数图像?和?有三个公共点，
∴将? ? + 2,1 代入? = ?得，1 = ? + 2
解得? = 1− 2；
如图所示，当函数? = ?的图像经过点? ?− 2,1 时，函数? = ?的图像与函数图像?和?有三个公共点，
∴将? ?− 2,1 代入? = ?得，1 = ?− 2
解得? = 1 + 2；
如图所示，当函数? = ?的图像与函数图像?有 1 个公共点时，函数? = ?的图像与函数图像?和?有三个公共点，
? = ?
∴联立函数? = ?和函数?得， ? = −(?−?)2 + 3
整理得，?2 + (1−2?)? + ?2−3 = 0
∴(1−2?)2−4 × 1 × (?2−3) = 0
解得? = 4 ；
13
综上所述，当函数? = ?的图像与函数图像?和?有三个公共点时，?的值为−4，1− 2，1 + 2或 4 ．
5
13
中考预测题
1．我们约定：如果抛物线? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的顶点坐标满足条件?,??2，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线? = 3?2−6? + 6的顶点坐标为(1,3)，此时? = 1，? = 3，满足条件?,??2，所以它是“同频”拋物线．
(1)抛物线? = ??2−4? + ?(? ≠ 0)是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①当? = 1时，? = 8；（ ）
②当? < 0时，? < 0；（ ）
③抛物线与?轴可能只有一个交点；（ ）
(2)是否存在点?(?,?)，?(?,?)是“同频”拋物线? = ??2−4? + ?(? ≠ 0)上的点，其中? ≠ ?，且? + ? = 6，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由；
(3)“同频”抛物线? = ??2 +?? + ? ? ≠ 0且? ≠ 0 的顶点为?，它与直线? = ?交于?，?两点，若△ ???是
12
等腰直角三角形，求代数式?+1 +? + ?+2的值．
【答案】(1)①√；②√；③×；
(2)不存在，理由见解析
12
(3)代数式?+1 +? + ?+2的值为3或−1．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
先求出顶点坐标为分别判断①②③；
2 ??−4
? , ?，根据“同频”拋物线可得
??−4
? = ? ×
2 2
?，整理得?? = 8，再结合已知条件
（2）由（1）得抛物线? = ??2−4? + ?的顶点坐标为 2 , ??−4 ，?? = 8，又?(?,?)，?(?,?)是“同频”拋物线
??
??2−4? + ? = ?
? = ??2−4? + ?(? ≠ 0)上的点，则 ??2−4? + ? = ? ，得出?(? + ?)(?−?)−3(?−?) = 0，再结合
? + ? = 6，得6?−3 = 0，然后求出?的值即可，再联立抛物线与直线? = −? + 6，得出无交点，即可求解；
− ? ,?− ?22
?2
（3）先求出抛物线的顶点?坐标为
2?
4? ，又抛物线? = ??
+?? + ?是“同频”拋物线，则?−= ? ×
4?
− ? 2?
2
，整理得?2
2
?2
= 2??，所以? = 2?，根据题意得??
+?? = 0，解得? = 0，? = −?，所以?? = |? −? |
12?21
=
= |− ? −0| = |?|，又△ ???是等腰直角三角形，所以顶点?到??的距离等于1?? = 1|?|，得|?− ?− ?2 |
??
22 ?
4?
1|?|，整理得|?2 |
1|?|，求得
，然后分情况求解即可．
2 ?
4?
= 2 ?
? =± 2
224
2 2??−4
【详解】（1）解：由抛物线? = ?? −4? + ? = ? ? − ? +? = ? ?−+，
???
∴顶点坐标为 2 , ??−4 ，
??
??−42 2
根据“同频”拋物线可得： ? = ? × ?，整理得：?? = 8，
①当? = 1时，? = 8；
②∵?? = 8 > 0，? < 0，
∴? < 0；
③由(−4)2−4?? = 16−4?? = 16−4 × 8 = −16 < 0，
∴抛物线与?轴没有交点，
故答案为：①√；②√；③×；
解：不存在，理由如下：
224
2 2??−4
2 , ??−4
由（1）可得抛物线? = ??
−4? + ? = ? ?
− ? ? +? = ? ?− ?
+ ? ，顶点坐标为 ?
?，根据“同频”
??−42 2
拋物线可得： ? = ? × ?
，整理得：?? = 8
∵?(?,?)，?(?,?)是“同频”拋物线? = ??2−4? + ?(? ≠ 0)上的点，
??2−4? + ? = ?①
∴ ??2−4? + ? = ?② ，
①−②得：?(?2−?2)−4(?−?) = ?−?，
?(?2−?2)−4(?−?) = −(?−?)
?(?2−?2)−4(?−?) + (?−?) = 0
?(?2−?2)−3(?−?) = 0，
?(? + ?)(?−?)−3(?−?) = 0，
∵? ≠ ?，
∴?−? ≠ 0，
∴?(? + ?)−3 = 0，
∵? + ? = 6，
∴6?−3 = 0，
1
解得：? = 2，
1
∴? = 1 = 16，
8
∴该抛物线的解析式为? = 1?2−4? + 16；
2
∵? + ? = 6，
∴?,?在直线? = −? + 6上，
? = 1 ?2−4? + 16
联立
消去?
2
? = −? + 6
1?2−4? + 16 = −? + 6
即2
1?2
得，2
−3? + 10 = 0
∴Δ = ?2−4?? = 9−20 = −11 < 0
∴?,?不在抛物线上，故不存在
2
2?
? 2
?2
（3）解：由抛物线? = ??
− ? ,?− ?2
+?? + ? = ? ?
+ ? ? +? = ? ? + 2?
+?−4?，
∴顶点?坐标为
2?
4? ，
∵抛物线? = ??2 +?? + ?是“同频”拋物线，
?2
? 22
∴?−4? = ? × − 2?
，整理得：?
= 2??，
?2
∴? = 2?，
∵抛物线? = ??2 +?? + ? ? ≠ 0且? ≠ 0 与直线? = ?交于?，?两点，
? = ??2 + ?? + ?
∴? = ?，
??2 + ?? + ? = ?
??2 +?? = 0，
解得：?1
= 0，?2
?
= −?，
∴?? = |? −? | = |− ? −0| = |?|，
21??
∵ △ ???是等腰直角三角形，
∴顶点?到??
1?? = 1|?|，
|
∴ ?− ?− ?2
4?
的距离等于2
2 ?
| = 1|?|，
2 ?
4?
整理得：|?2 |
1 ? ，
= | |
2 ?
∵? ≠ 0，? ≠ 0，
∴|?| = 2，
∴? =± 2，
∴①当? = 2时，? = 22 = 2，
∴ 1
?+1
2
+? + ?+2
2??
12
= ? + 1 + 2 + 2
? + 2
1?
= ? + 1 + 2 + ? + 1
? + 1
= ? + 1 + 2
= 1 + 2
= 3；
当? = −2时，? = (−2)2 = 2，
2??
∴ 1
?+1
2
+? +
?+2
1
= ? + 1 −2 + 2
2
? + 2
= ? + 1 −2 + ? + 1
? + 1
= ? + 1 −2
= 1−2
1?
= −1；
综上可得：代数式?+1 +? + ?+2的值为3或−1．
1
2
如图 1，抛物线? = ?2 +?? + ?与?轴交于?,?两点，对称轴是直线
1
(0,−2)
? = −2，图象与?轴交于点?，
连接??,??．
求抛物线的解析式；
(2)点?是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接??,??，当?△??? = ?△???时，求点?的坐标；
(3)如图 2，点?是线段??上一动点，?的坐标(0,1)，连接??，求?? + 2??的最小值．
【答案】(1)? = ?2 +?−2；
点?的坐标为 −3，4 ；
3．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当??∥??时，?△??? = ?△???，利用待定系数法求得直线??的解析式，联立求解即可；
（3）过点?作?? ⊥ ??于点?，作?? ⊥ ??于点?，求得?? = 2??，得到?? + 2?? = 2(?? + ??) ≥ 2
??，据此求解即可．
2
【详解】（1）解：∵?(0,−2)，对称轴是直线? = −1，
∴? = −2，−?
1
= −2，
2
解得? = 1，
∴抛物线的解析式为? = ?2 +?−2；
（2）解：如图，过点?作??平行线，交抛物线于点?，此时?△??? = ?△???，
令?2 +?−2 = 0，
则?1 = −2，?2 = 1，
∴?(−2,0)，?(1,0)，
∵?(0,−2)，
∴设直线??的解析式为? = ??−2，将?(−2,0)代入得，0 = −2?−2，
解得? = −1，
∴直线??的解析式为? = −?−2，
∵??∥??，
∴设直线??的解析式为? = −? + ?，将?(1,0)代入得，0 = −1 + ?，
解得? = 1，
∴设直线??的解析式为? = −? + 1，
? = −? + 1
联立解析式： ? = ?2 + ?−2 ，
解得： ?1 = 1 ， ?2 = −3 ，
?1 = 0?2 = 4
∴点?的坐标为 −3，4 ；
（3）解：如图，过点?作?? ⊥ ??于点?，作?? ⊥ ??于点?，
∵?(−2,0)，?(0,−2)，
∴?? = ?? = 2，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = 2??，
∴?? + 2?? = 2(?? + ??) ≥ 2??，
∵∠??? = 45°，?? ⊥ ??，
∴?? = 2??，
∴?? + 2?? ≥ ??，
∵?(0,−2)，?(0,1)，
∴?? = 3，
∴?? + 2??的最小值为 3．
3 ．如图，在平面直角坐标系???中，二次函数? = −1?2 +?? + ?的图象与?轴交于点?(2,0)、?两点，与?
2
轴交于点?(0,4)，且顶点为?，点?，?为该二次函数的图象上两点，点?横坐标为?．
求二次函数解析式；
如图 1，若点?在?轴左侧，且?△??? = 24，求点?的坐标；
如图 2，若??平行于?轴，过点?作?? ⊥ ??交于点?，设??2 = ?，?? = ?，求?与?的函数关系式； (4)若点?位于点?左侧，?、?两点间的水平距离为1，以??为对角线作矩形????使其各边分别与?轴或?轴平行，若矩形????的周长与抛物线上?、?两点间纵坐标的最大值相等，求?的值．
【答案】(1)? = −1?2−? + 4
2
?(−6,−8)
(3)? = 8?
(4)? = 1− 7或? = −2 + 7
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得直线??的解析式为? = −2? + 4，过点?作?? ∥ ?轴交??延长线于点?，过?，?两点分别作
1
?? ⊥ ??，?? ⊥ ??分别交于?，?两点，得出点?坐标为 ?,− 2 ?
据?△??? = ?△???−?△??? = 24，解方程，即可求解；
2−? + 4 ，点?坐标为(?,−2? + 4)，进而根
2
依题意得出? −1, 9
1
22
，根据点?坐标为 ?,− 2 ? −? + 4 ，进而得出?? = 2?? = 2? + 2根据? = ?? ，
即可求解；
1
依题意，点?坐标为 ?,− 2 ?
2−? + 4 ，? ?−1,− 1 ?2
+ 9 ，分别表示出??,??，分情况讨论，即可求解．
2
2
【详解】（1）解：将?(2,0)，?(0,4)代入二次函数
1?2 +?? + ?，
? = 4
− 1 × 4 + 2? + ? = 0 ，
2
? = −
2
? = −1
解得 ? = 4 ，
1?2
∴ ? = −
2
−? + 4．
（2）设直线??的解析式为? = ?? + ?，
2? + ? = 0
∴? = 4，
∴
? = −2
? = 4
∴ 直线??的解析式为? = −2? + 4，
过点?作?? ∥ ?轴交??延长线于点?，
过?，?两点分别作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??分别交于?，?两点，
1
∴ 点?坐标为 ?,− 2 ?
2−? + 4 ，点?坐标为(?,−2? + 4)，
111
∴ ?△??? = ?△???−?△??? = 2 ?? ⋅ ??− 2 ?? ⋅ ?? = 2 ?? ⋅ (??−??)
= 1 −2? + 4 +
2
1 ?2
2
+ ?−4 × 2 = 24，
∴ ?2−2?−48 = 0，
解得?1 = −6，?2 = 8，
∵点?在?轴左侧， ∴ ? = −6（舍），
∴ ?(−6,−8)．
（3）解：?
，4??−?29，
2
∴ ? −1, 9
∵ −2? = −1
，
4?= 2
1
∵点?坐标为 ?,− 2 ?
2−? + 4 ，
∴ ?? = ? + 1，
91?2 +?−4 = 1?2 +? + 1，
?? = 2 + 222
∴ ?? = 2?? = 2(? + 1) = 2? + 2，
∴ ? = ??2 = (2? + 2)2 = 4?2 +8? + 4 = 8 1 ?2 + ? + 1 ， ∴ ? = 8?．
22
，
1 21 29
2
2
（4）解：依题意，点?坐标为 ?,− 2 ? −? + 4 ，? ?−1,− ? +
?? = |− 1 ?2 + 9 + 1 ?2 + ?−4| = |? + 1|，?? = 1，
2222
1
当? < −2时，矩形????的周长 = −2? + 1，
2
综上所述：? = 1− 7或? = −2 + 7．
22
1?2 + 9 = 2? + 3，解得?1 = −2 + 7，?2 = −2− 7（舍）
④当? > 0时−
2
3
9
1
③当− < ? ≤ 0时2? + 3 = 2，解得? = 4（舍）
7
9
1
②当−1 ≤ ? < −2时−2? + 1 = 2，解得? = −4（舍）
7（舍）
1?2−? + 4 = −2? + 1，解得?1 = 1− 7，?2 = 1 +
①当? < −1时−
2
2
1?2 + 9，
当? > 0时，??两点间抛物线上点纵坐标的最大值为−
9
当−1 ≤ ? ≤ 0时，??两点间抛物线上点纵坐标的最大值为2，
2
1?2−? + 4，
当? < −1时，??两点间抛物线上点纵坐标的最大值为−
1
当? > −2时，矩形????的周长 = 2? + 3，
好题速递
1．若抛物线? = ?2−3? + ?与直线? = 2有两交点 A，B，且?? = 2，则?的值是（ ）
4
17
17
4
15
2
13
4
【答案】D
【分析】先联立抛物线? = ?2−3? + ?与直线? = 2得到?2−3? + ?−2 = 0，然后设点?(? ,? ),?(?2,?2)，根
1 1
据一元二次方程根与系数的关系得到?1 + ?2 = 3,?1?2 = ?−2，再由?? = |?1−?2| =(?1−?2)2 =
(?1 + ?2)2−4?1?2求解即可．
【详解】解：∵抛物线? = ?2−3? + ?与直线? = 2有两交点 A，B，设点?(?1,?1),?(?2,?2)
∴?2−3? + ? = 2
∴?2−3? + ?−2 = 0
∴?1 + ?2 = 3,?1?2 = ?−2，
∴?? = |?1−?2| =(?1−?2)2 =(?1 + ?2)2−4?1?2 = 2
∴32−4(?−2) = 4
解得? = 4 ．
13
2．二次函数? = ??2 +?? + 2(? ≠ 0)的图象如图所示，则方程??2 +2? +? = 0的根的情况为（ ）
有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．可能只有一个实数根
【答案】A
【分析】先根据二次函数的图象与性质可得? > 0，? < 0，则可得?? < 0，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得．
【详解】解：由图象可得，? > 0，−> 0
?
2?
∴? < 0
∴?? < 0，
∴−4?? > 0，
∴4−4?? > 0
∴对于方程??2 +2? +? = 0，Δ = 22−4?? = 4−4?? > 0
∴方程??2 +2? +? = 0的根的情况为有两个不相等的实数根．
定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数? = ??2−4? + 3（?为常数，? ≠ 0）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”(?0,−?0)，则
?的值为（ ）
34
A．4B．3C．−4D．3
【答案】A
【分析】根据“反点”定义，反点满足? = −?，代入二次函数得到关于?的一元二次方程，由“唯一反点”可知
方程有唯一解，利用一元二次方程根的判别式等于0求解?即可．
【详解】解：∵“反点”坐标满足横纵坐标互为相反数，即? = −?，且“反点”在二次函数图象上，
∴将? = −?代入? = ??2−4? + 3，得:−? = ??2−4? + 3，整理得??2−3? + 3 = 0，
∵该二次函数有唯一的“反点”，
∴上述一元二次方程有两个相等的实数根，判别式? = 0，
∵? = (−3)2−4·?·3 = 9−12?，
∴令9−12? = 0，
解得? = 4．
3
4．如果抛物线? = ?2−?向左平移 2 个单位长度后经过原点，则?的值为．
【答案】4
【分析】先根据平移规则得到平移后抛物线的解析式，再将原点坐标代入解析式即可求出?的值．
【详解】解：抛物线? = ?2−?向左平移 2 个单位长度后，平移后的抛物线解析式为? = (? + 2)2−?，
∵ 平移后抛物线经过原点(0,0)，
∴0 = (0 + 2)2−?，解得? = 4．
5．如图，二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图像经过点−1，1，3，1，则2?−3?的值为．
【答案】2
【分析】将点 −1，1 ， 3，1 代入二次函数解析式，得到关于 a、b、c 的方程组，通过解方程组用含 a 的代数式表示 b 和 c，最后代入待代数式进行整式加减运算即可解答．
【详解】解：∵二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图像经过点 −1，1 ， 3，1 ，
?−? + ? = 1①
∴ 9? + 3? + ? = 1② ，
②-①可得：8? + 4? = 0，解得：? = −2?，
将? = −2?代入①得?−(−2?) +? = 1，解得：? = 1−3?
∴2?−3? = 2(1−3?)−3(−2?) = 2−6? + 6? = 2．
【答案】−1 ≤ ? ≤ 8
【分析】先联立直线? = ?与抛物线方程得到一元二次方程，利用??的长度得到?关于?的表达式，再根据?
的取值范围结合二次函数的性质求出?的取值范围．
【详解】解：由题意得，过点?(0,?)垂直于?轴的直线为? = ?，将? = ?代入抛物线? = −?2 +2?? + 3得：−?2 +2?? + 3 = ?，整理得：?2−2?? + (?−3) = 0，
设?(?1,?)，?(?2,?)，由?? = 4得|?1−?2| = 4，由根与系数的关系得?1 + ?2 = 2?，?1?2 = ?−3，
因为|?1−?2| =(?1 + ?2)2−4?1?2，
∴ (2?)2−4(?−3) = 4， 4?2−4(?−3) = 16，
?2−(?−3) = 4，整理得? = ?2−1，
由−2 ≤ ? ≤ 3，根据二次函数的性质，?2的最小值为0（当? = 0时取得），最大值为9（当? = 3时取得），
即0 ≤ ?2 ≤ 9，
∴−1 ≤ ?2−1 ≤ 8，即−1 ≤ ? ≤ 8．
6．已知抛物线? = −?2 +2?? + 3（?为常数，且−2 ≤ ? ≤ 3），在?轴上存在点?(0,?)，过点?垂直于?轴的直线交抛物线于?、?两点，且?? = 4，则?的取值范围为．
7．研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手．
(1)如图，一次函数? = ?? + ?的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A，B．用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）．
(2)已知二次函数? = ?(?−1)(?−?−3)（m 为常数，且? ≠ 0）．
①求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；
②该函数图象所过的象限随 m 的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的 m 的取值范围．
(3)下图是用数学软件绘制的函数? = ??3 + ?2 +??（a、c 为常数，且? ≠ 0）的图象．下方的演示图显示当
? = −2.7、? = 4.5时对应的函数形态．
已知?? < 0，利用函数图象，直接写出关于 x 的不等式??3 + ?2 +?? > 0的解集（用含 a，c 的式子表示）．
【答案】(1)作图见解析
(2)①证明见解析；②当? > 0时，此时图像经过一、二、四象限；当? = −2时，此时图像经过三、四象限；当−2 < ? < 0或−3 ≤ ? < −2时，此时图像经过一、三、四象限；当? < −3时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限．
(3)解集为：当? > 0，? < 0时，−1− 1−4?? < ? < 0或? > −1+ 1−4??；当? 0时，? < −1+ 1−4??或
2?
2?
2?
0 < ? 0；? = −2；−2 < ? < 0或−3 ≤ ? < −2；? < −3四种情况讨论求解即可；
（3）先得到函数? = ??3 + ?2 +??与 x 轴的三个交点分别为： −1− 1−4?? ,0 ，(0,0)， −1+ 1−4?? ,0 ，再分
2?2?
类讨论根据函数图象确定不等式的解集．
【详解】（1）解：如题①，直线? = −?? + ?即为所求；如题②，直线? = 2??−?即为所求
（2）①证明：当? = 0时，?(?−1)(?−?−3) = 0，解得?1 = 1,?2 = ? + 3，
当? + 3 = 1，即? = −2时，方程有两个相等的实数根；
当? + 3 ≠ 1，即? ≠ −2时，方程有两个不相等的实数根，
∴不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有公共点；
②当? = 0时，? = ?2 +3?，
∴抛物线? = ?(?−1)(?−?−3)与?轴交点为 0,?2 + 3?
若抛物线与?轴正半轴相交，?2 +3? > 0设? = ?2 +3?，即 z 是 m 的二次函数，当? = ?2 +3? = 0，则? = 0或−3时，
∵抛物线开口向上，
∴当? > 0或? < −3时，? > 0．
∴当? > 0或? < −3时，抛物线? = ?(?−1)(?−?−3)与?轴正半轴相交；
当? = −3时，经过原点；
当−3 < ? < 0时，抛物线? = ?(?−1)(?−?−3)与?轴负半轴相交；
情况一：当? > 0时，开口向上，与 x 轴交点的横坐标：1 > 0,? + 3 > 0，如图：
此时图像经过一、二、四象限；
情况二：若抛物线与?轴只有一个交点时，则? + 3 = 1，解得? = −2，那么? = −2时，开口向下，与 x 轴交点的横坐标为 1，此时图像经过三、四象限，如图：
情况三：当−2 < ? < 0或−3 ≤ ? < −2时，开口向下，与 x 轴交点的横坐标：1 > 0,? + 3 ≥ 0，
此时图像经过一、三、四象限，如图：
情况四：当? < −3时，开口向下，与 x 轴交点的横坐标为：1 > 0,? + 3 < 0，
此时图像经过一、二、三、四象限，如图：
综上：当? > 0时，此时图像经过一、二、四象限；当? = −2时，此时图像经过三、四象限；当−2 < ? < 0 或−3 ≤ ? < −2时，此时图像经过一、三、四象限；当? < −3时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限．
（3）解：设函数? = ??3 + ?2 +?? = ?(??2 + ? + ?)，
∵?? < 0，
∴Δ = ?2−4?? = 1−4?? > 0，
则方程??2 +? + ? = 0有两个不相等的实数根，
∵当? = 0时，? = 0，
∴函数? = ??3 + ?2 +??与 x 轴有三个交点，
根据求根公式可得：
方程??2 +? + ? = 0的两个根分别为：?1 = −1+ 1−4??，?2 = −1− 1−4??，
2?2?
∴函数? = ??3 + ?2 +??与 x 轴的三个交点分别为： −1− 1−4?? ,0 ，(0,0)， −1+ 1−4?? ,0 ，
①当? > 0，? < 0时，如图：
2?
2?
∴−1− 1−4?? < ? < 0或? > −1+ 1−4??时，??3 + ?2 +?? > 0；
2?
②当? 0时，如图：
2?
∴? 0，? < 0时，−1− 1−4?? < ? < 0或? > −1+ 1−4??；当? 0时，? < −1+ 1−4??
2?
2?
2?
或0 < ? < −1− 1−4??．
2?
中考闯关
1．下表记录了二次函数? = ??2 +?? + 2(? ≠ 0)中两个变量 x 与 y 的 3 组对应值，根据表中信息，当0 ≤ ? < 5
时，直线? = ?与该二次函数图象有两个公共点，则 n 的取值范围是（ ）
< ? < 3B．2 ≤ ? < 3C．3 < ? < 5D．3 ≤ ? ≤ 5
【答案】B
【分析】先利用 y 值相等的两点确定二次函数对称轴，再求出二次函数解析式，结合给定 x 范围，根据交点个数判断 n 的取值范围即可．
【详解】解：∵? = −3和? = 5时?值相等，两点关于对称轴对称，
∴对称轴? =
−3+5
2
= 1，
由对称轴公式得−= 1，即? = −2?，
?
2?
∴二次函数可写为? = ??2−2?? + 2，将? = 1,? = 3代入得?−2? + 2 = 3，解得? = −1，
∴? = 2，
x
…
−3
1
5
…
y
…
m
3
m
…
∴二次函数解析式为? = −?2 +2? + 2 = −(?−1)2 +3，
∵? = −1 < 0，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,3)，顶点在0 ≤ ? < 5范围内，当? = 0时，? = 2，当? = 5时，? = −13，
∵直线? = ?与该二次函数图象在0 ≤ ? < 5有两个公共点，
∴根据图象得，n 的取值范围是2 ≤ ? < 3．
2
2．二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象如图所示，对称轴为直线? = −1，现给出以下结论：
①??? < 0；②?2−4?? > 0；③?−? + ? > 0；④(? + ?)(2? + ?) > 0．其中正确的个数为（ ）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象以及对称轴得到? < 0,? < 0,? > 0,? = ?，再根据当? = −1时，? = ?−? + ? > 0
和当? = 1时，? = ? + ? + ? < 0分别进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，? < 0,? > 0，
对称轴为直线? = −2，
1
∴ ? = −= −2，
?
1
2?
∴ ? < 0，
∴ ??? > 0，①错误；
函数与?轴有两个交点，故?2−4?? > 0，②正确；当? = −1时，? = ?−? + ? > 0，③正确；
∴ ? = −= −2，
?
1
2?
∴ ? = ?，
∴ ? + ? = 2? < 0，
当? = 1时，? = ? + ? + ? = 2? + ? < 0，
∴ (? + ?)(2? + ?) > 0，④正确．
【答案】3
【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线? = 3?2−2? + 1的特征值是即为抛物线? = 3?2的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可．
1
【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值，
∴抛物线? = 3?2−2? + 1的特征值即为抛物线? = 3?2的特征值，如图：
此时抛物线? = 3?2的对称轴为?轴，
∵?? = 4??，?? ⊥ ?轴
∴?? = 2?? = 4??，即?? = 2??
设?? = ?，则?? = 1?，
2
∴? ?, 2 ? ，
1
1
将点? ?, ? 代入? = 3?2，则3?2 = 1?，
2
2
解得? = 6或? = 0（舍去）
1
∴?? = 2 × 6 = 3．
1
1
联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦??与抛物线的对称轴垂直，垂足为点?，抛物线的顶点为?，当?? = 4??时，??的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线? = 3?2−2? + 1的特征值是．
如图，在平面直角坐标系???中，已知点 A 的坐标为(6,0)，点 B 在线段??上运动，过点 B 作 x 轴的垂线交函数? = 2 +?(? > 0)的图象于点 C，若三条线段??，??，??中，恰有两条线段长度的比值为 2，则线
?
段??的长为．
9
综上所述，线段??的长为 3 或2．
422
9
9
2
∴此时点?的横坐标为4，纵坐标为? = +4 = ，故此时?? = ；
2
?
∵过点 B 作 x 轴的垂线交函数? = +?(? > 0)的图象于点 C，
当?? = 2??时，
∵?? + ?? = ?? = 6，
∴?? = 4，即点?的坐标为(4,0)，
2
2
∴此时点?的横坐标为2，纵坐标为? = +2 = 3，故此时?? = 3；
2
?
∵过点 B 作 x 轴的垂线交函数? = +?(? > 0)的图象于点 C，
可得出结果．
【详解】解：∵点 A 的坐标为(6,0)，
∴?? = 6，
∵三条线段??，??，??中，恰有两条线段长度的比值为 2，
∴当?? = 2??时，?? = 3，即点?的坐标为(3,0)，此时?? = ??−?? = 6−3 = 3，
∴?? = 2??，此时不满足恰有两条线段长度的比值为 2，故不符合题意，舍去；当?? = 2??时，
∵?? + ?? = ?? = 6，
∴?? = 2，即点?的坐标为(2,0)，
9
【答案】3 或2
【分析】由题意可得?? = 6，分三种情况：当?? = 2??时，当?? = 2??时，当?? = 2??时，分别计算即
在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为 k，则称该点为“k 级和值点”．在0 ≤ ? ≤ 2
的范围内，若二次函数? = −?2 +2?的图象上存在两个“k 级和值点”，则 k 的取值范围为．
【答案】2 ≤ ? < 9
4
9
因此?的取值范围为2 ≤ ? < 4．
9
当? ≥ 4时，只有一个交点或无交点，不符合题意；
解得? = 2，
此时方程?2−3? + 2 = 0的根为?1 = 1，?2 = 2，均满足0 ≤ ? ≤ 2，此时存在两个交点； 当? < 2时，方程?2−3? + ? = 0的较大根大于2，只有一个根满足0 ≤ ? ≤ 2，不符合题意，
3
此时交点横坐标为? = 2，
当直线经过二次函数的端点(2,0)时，将(2,0)代入? = −? + ?得0 = −2 + ?，
9
解得? = 4，
消去?整理得?2−3? + ? = 0，
当直线与抛物线相切时，只有一个交点，此时一元二次方程的判别式Δ = ?2−4?? = 9−4? = 0，
，
? = −?2 + 2?
? = −? + ?
联立方程
【分析】根据“?级和值点”的定义将问题转化为二次函数与直线? = −? + ?在0 ≤ ? ≤ 2范围内有两个不同交
点，结合一元二次方程根的判别式和端点值分析即可求解．
【详解】解：设“?级和值点”坐标为(?,?)，由定义得? + ? = ?，整理得? = −? + ?，
∵ 在0 ≤ ? ≤ 2的范围内，二次函数? = −?2 +2?的图象上存在两个“?级和值点”，
∴ 二次函数? = −?2 +2?的图象与直线? = −? + ?在0 ≤ ? ≤ 2的范围内有两个不同交点，
6．已知点?(?,?)是抛物线? = ??2 +?? + ?上一点，若? = 2?，则我们把点 P 称为该抛物线的“二倍点”．
【定义理解】
①若点 P 是抛物线? = ?2上的“二倍点”，则点 P 的坐标为；
②下列抛物线，没有“二倍点”的是．
A．? = 2(?−4)2 +8B．? = −4?2 +2?C．? = −(?−1)(?−3)
【深入探究】
已知抛物线? = ??2 +?? + ?与 x 轴只有 1 个公共点?(−2,0)，且与 y 轴相交于点?(0,2)．
①求该抛物线的解析式；
【答案】(1)①(0,0)或(2,4)，②C
(2)①? = 1?2 +2? + 2；②? = 2，“二倍点”的坐标为(0,0)
2
②将该抛物线向下平移 k 个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在 1 个“二倍点”，求 k 的值及该“二倍点”的坐标．
【分析】（1）①根据“二倍点”的定义可得?? = ??2，且?? = 2??，据此解方程即可得到答案；②根据题意可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线? = 2?一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线
? = 2?的解析式，看方程是否有解即可得到答案；
（2）①抛物线? = ??2 +?? + ?与 x 轴只有 1 个公共点可得判别式的值为 0，再结合点 B 和点 C 的坐标列式求解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在 1 个“二倍点”可得新抛物线与直线
? = 2?只有一个交点，据此求解即可．
【详解】（1）解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”，
∵点 P 是抛物线? = ?2上的“二倍点”，
?
∴? = ??2，且?? = 2??，
?
∴2? = ??2，
解得?? = 2或?? = 0，
当?? = 2时，?? = 2?? = 4；当?? = 0时，?? = 2?? = 0；综上所述，点 P 的坐标为(0,0)或(2,4)；
②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”，
∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线? = 2?上，
∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线? = 2?一定有交点；
? = 2(?−4)2 + 8
联立? = 2?得2(?−4)2
+8 = 2?，即?2
−9? + 20 = 0，
∴Δ = (−9)2−4 × 1 × 20 = 1 > 0，
∴二次函数? = 2(?−4)2 +8与直线? = 2?有两个不同的交点，
∴二次函数? = 2(?−4)2 +8上有“二倍点”；
? = −4?2 + 2?
联立? = 2?得−4?2
+2? = 2?，即−4?2
= 0，
解得?1 = ?2 = 0，
∴二次函数? = −4?2 +2?与直线? = 2?只有一个交点，
∴二次函数? = −4?2 +2?上有“二倍点”；
? = 2?
联立 ? = −(?−1)(?−3) 得−(?−1)(?−3) = 2?，即?2−2? + 3 = 0，
∴Δ = (−2)2−4 × 1 × 3 = −8 < 0，
∴二次函数? = −(?−1)(?−3)与直线? = 2?没有交点，
∴二次函数? = −(?−1)(?−3)上没有“二倍点”；
（2）解：①∵抛物线? = ??2 +?? + ?与 x 轴只有 1 个公共点?(−2,0)，且与 y 轴相交于点?(0,2)，
∴
Δ = ?2−4?? = 0
4?−2? + ? = 0 ，
? = 2
? = 1
∴ ? = 2 ，
? = 2
2
∴抛物线的解析式为? = 1?2 +2? + 2；
2
②由题意得，平移后的抛物线的解析式为? = 1?2 +2? + 2−?，
2
联立
? = 1 ?2 + 2? + 2−?
2
? = 2?
得 ?2 +2? + 2−? = 2?，即 ?2 +2−? = 0
1
1
22
∵平移后的抛物线上恰好只存在 1 个“二倍点”，
∴Δ = 02−4 × 1(2−?) = 0，
2
∴ ? = 2，
∴1 2 +2−2 = 0，
2
?
解得?1 = ?2 = 0．
∴“二倍点”的坐标为(0,0)．