2026年中考数学二轮复习 专题15 一次函数与二次函数的实际应用综合题(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题15 一次函数与二次函数的实际应用综合题(高频考点专练)，共12页。试卷主要包含了二次函数的应用–––其它问题等内容，欢迎下载使用。

一次函数与二次函数实际应用是中考数学核心必考解答题模块，分值约 8～12 分，以解答题为主，选择、填空少量考查，整体以中档题为主，侧重考查函数建模、图像识别、自变量取值范围、区间最值与实际意义判断，是必须稳拿满分的板块。
基础知识必备：·
掌握一次函数 y=kx+b、二次函数 y=ax2+bx+c 的图像性质与解析式求法，熟练使用待定系数法；
能准确识别 s−t、v−t 图像，理解横纵坐标意义，会求交点、判断运动状态；
牢记核心公式：总利润＝(售价−成本)× 销量，常用几何面积公式；
会建立平面直角坐标系解决抛物线实际问题（拱桥、投球、喷水）；
5.明确自变量取值范围，牢记：一次函数看端点，二次函数看顶点 + 端点；
规范书写步骤，注意结果符合实际意义（正数、整数、合理范围）。
能够探究并归纳数字与图形的变化规律，形成规范的运算习惯。
2026 中考预测：
题型稳定：一次函数方案选择、行程图像、二次函数销售最值、面积最值、抛物线建模为必考方向；难度平稳：以基础建模 + 区间最值为主，不考偏题、怪题，重点考查题意理解与计算准确率；
命题趋势：贴近生活实际情境，分段函数、多方案比较、实际意义检验考查频率上升，强调数形结合与数学应用能力。
题型一一次函数的应用---商品销售利润问题
①篮球、足球、排球各买一个的价格为 140 元
②购买 2 个足球的价格比购买一个篮球多花费 40 元
③购买 5 个篮球与购买 6 个足球花费相同
【典例 01】（2025•深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为 30 元/个，篮球，足球的价格如表：
请你从上述 3 个条件中任选 2 个作为条件，求出篮球和足球的单价；
若该学校要购买篮球，足球共 10 个，且足球的个数不超过篮球个数的 2 倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？
【答案】（1）篮球的单价为 60 元，足球的单价为 50 元；
（2）购买 4 个篮球时花费最少，最少费用是 540 元．
【分析】（1）设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，选择条件①②，列出方程组，解方程组即可；
（2）设该学校购买篮球 m 个，则购买足球（10﹣m）个，根据“足球的个数不超过篮球个数的 2 倍”，列出不等式求出 m 的取值范围；再设学校要购买篮球、足球的总费用为 w 元，根据总费用＝购买篮球和 足球的费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最值．
【详解】解：（1）设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，选择条件①②：
根据题意得：，
? + ? + 30 = 140 2?−? = 40
解得，
? = 60
? = 50
答：篮球的单价为 60 元，足球的单价为 50 元；
（2）设该学校购买篮球 m 个，则购买足球（10﹣m）个，根据题意得：10﹣m≤2m，
，
解得 m ≥ 10
3
又∵m≤10，
10
∴≤ m≤10，
3
设学校要购买篮球、足球的总费用为 w 元，
根据题意得：w＝60m+50（10﹣m）＝10m+500，
∵10＞0，
∴w 随 m 的增大而增大，
∵10 ≤ m≤10，且 m 为正整数，
3
∴当 m＝4 时，w 最小，最小值为 540．
答：购买 4 个篮球时花费最少，最少费用是 540 元．
【点睛】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组．
【变式 01】（2025·黑龙江·中考真题）2024 年 8 月 6 日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买 3 个“蜀宝”和 1 个“锦仔”共需花费 332 元，购买 2 个“蜀宝”和 3 个 “锦仔”共需 380 元．
购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
若学校计划购买这两种吉祥物共 30 个，投入资金不少于 2160 元又不多于 2200 元，有哪几种购买方案？
设学校投入资金 W 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要88元和68元
方案一：购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个；方案二：购买“蜀宝”7个，购买“锦仔”23个；方案三：购买“蜀宝”8个，购买“锦仔”22个；
方案一需要的资金最少，最少资金是 2160 元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键：
设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要?元和?元，根据购买 3 个“蜀宝”和 1 个“锦仔”共需花费 332
元，购买 2 个“蜀宝”和 3 个“锦仔”共需 380 元，列出方程组进行求解即可；
设购买“蜀宝”?个，根据投入资金不少于 2160 元又不多于 2200 元，列出不等式组，进行求解即可；
根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要?元和?元，由题意，得：
3? + ? = 332? = 88
2? + 3? = 380 ，解得： ? = 68 ；
答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要88元和68元；
（2）解：设购买“蜀宝”?个，则：购买“锦仔”(30−?)个；
∴2160 ≤ 88? + 68(30−?) ≤ 2200，解得：6 ≤ ? ≤ 8，
∴? = 6,7,8， 30−? = 24,23,22；
∴共有 3 种方案：
方案一：购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个；方案二：购买“蜀宝”7个，购买“锦仔”23个；方案三：购买“蜀宝”8个，购买“锦仔”22个；
（3）解：由题意，得：? = 88? + 68(30−?) = 20? + 2040，
∴?随着?的增大而增大，
∴当? = 6时，即方案一需要的资金最少，最少资金是20 × 6 + 2040 = 2160（元）；答：方案一需要的资金最少，最少资金是 2160 元．
价格类型
进价（元/件）
售价（元/件）
甲
80
100
乙
100
200
【变式 02】（2026·陕西西安·模拟预测）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影．近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共 120 件，其进价与售价如表所示：
若设甲汉服的数量为 x 件（? < 120），销售完甲、乙两种汉服的利润为 y 元．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的 2 倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润．
【答案】(1)? = −80? + 12000(0 ≤ ? < 120)
(2)甲汉服购进40件时，销售完获利最多，最大利润为8800元
【分析】（1）根据总利润等于两种汉服的利润和列出函数关系式，并确定自变量取值范围；
（2）根据乙汉服数量的限制条件列不等式求出 x 的取值范围，再利用一次函数的增减性求最大利润．
【详解】（1）解：由题意可知，甲汉服数量为 x 件，则乙汉服数量为(120−?)件， 甲每件利润为100−80 = 20
（元），乙每件利润为200−100 = 100（元）； 总利润? = 20? + 100(120−?) = −80? + 12000，
结合条件得0 ≤ ? < 120，即 y 与 x 之间的函数关系式为? = −80? + 12000(0 ≤ ? < 120)．
（2）解：∵乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的 2 倍，
∴120−? ≤ 2?，解得：? ≥ 40，
∵? < 120，
∴40 ≤ ? < 120（x 取整数），由（1）知? = −80? + 12000，
∵−80 < 0，
∴y 随 x 的增大而减小
∴当? = 40时，y 取得最大值，
将? = 40代入得，最大利润? = −80 × 40 + 12000 = 8800（元）．
答：当甲汉服购进 40 件时，该店销售完这两种汉服后获利最多，最大利润为 8800 元．
型号
甲
乙
每台每小时可分拣快递件数（件）
800
600
每台价格（万元）
5
3
【变式 03】（2026·湖南湘潭·一模）某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答：
(1)方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用 28 万元，且这些机器人每小时可分拣快递 5200 件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？
(2)方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于 8700 件，现公司计划购买这两种型号的机器人共 12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这 12 台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？
【答案】(1)该公司购买甲种型号的机器人买 2 台，乙种型号的机器人买 6 台
(2)购买 8 台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是 52 万元
【分析】（1）设该公司购买甲种型号的机器人买?台，乙种型号的机器人买?台，然后根据总费用和总分拣量列方程组即可；
（2）根据12台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8700 件，列出不等式，求得 m 的取值范围，设所花总费用?元，则? = 2? + 36，求出?的最小值即可．
【详解】（1）解：设该公司购买甲种型号的机器人?台，乙种型号的机器人?台．
800? + 600? = 5200
则5? + 3? = 28
? = 2
解得 ? = 6
答：该公司购买甲种型号的机器人 2 台，乙种型号的机器人 6 台．
（2）解：设需购买甲种型号的机器人?台，则乙种型号机器人(12−?)台
800? + 600(12−?) ≥ 8700
解得? ≥ 7.5，且?为整数
设所花总费用?元，则? = 5? + 3(12−?) = 2? + 36．
∵ 2 > 0，
∴ ?随?的增大而增大．
∴ 当? = 8时，?取得最小值，最小值为5 × 8 + 3 × 4 = 52（万元）
答：购买 8 台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是 52 万元
【变式 04】（2026·云南红河·一模）根据以下素材，完成探究学习任务．
解决问题：
(1)任务 1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？
(2)任务 2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共 300 瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多 50 瓶，又不超过梨醋数量的 2 倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)每瓶梨膏为 30 元，每瓶梨醋为 20 元
(2)购进梨膏 175 瓶，则购进梨醋 125 瓶，能使总费用最少，最少费用为 7750 元
3? + 2? = 130
【分析】（1）设购进的每瓶梨膏为?元，每瓶梨醋为?元．根据题意列方程得 5? + 8? = 310 ．解方程组求
为村民小组设计总费用最少的购进方案
背景
东风知春意，万亩梨花开．3 月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售．
素材
若购进 3 瓶梨膏和 2 瓶梨醋共需 130 元，购进 5 瓶梨膏和 8 瓶梨醋共需 310 元．
解即可；
（2）设购进梨膏?瓶，则购进梨醋(300−?)瓶，购进总费用为?元．由题意得
? ≥ 300−? + 50
? ≤ 2(300−?) ，
? = 30? + 20(300−?)，整理得? = 10? + 6000．根据函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设购进的每瓶梨膏为?元，每瓶梨醋为?元．
3? + 2? = 130
根据题意列方程得 5? + 8? = 310 ．
? = 30
解得 ? = 20 ．
答：购进的每瓶梨膏为 30 元，每瓶梨醋为 20 元．
（2）解：设购进梨膏?瓶，则购进梨醋(300−?)瓶，购进总费用为?元．
由题意得
? ≥ 300−? + 50
? ≤ 2(300−?) ，解得175 ≤ ? ≤ 200．
? = 30? + 20(300−?)，整理得? = 10? + 6000．
∵ 10 > 0, ∴ ?随?的增大而增大，
∴ 当? = 175时，?有最小值．
?min = 10 × 175 + 6000 = 7750.
此时300−? = 300−175 = 125．
答：购进梨膏 175 瓶，则购进梨醋 125 瓶，能使总费用最少，最少费用为 7750 元．
题型二 一次函数的应用---行程问题
【典例 01】（2025•黑龙江）一条公路上依次有 A、B、C 三地，一辆轿车从 A 地出发途经 B 地接人，停留一段时间后原速驶往 C 地；一辆货车从 C 地出发，送货到达 B 地后立即原路原速返回 C 地（卸货时间
1
忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚
3
h 到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货
车距各自出发地的距离 y（单位：km）与轿车的行驶时间 x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
图中 a 的值是 ，b 的值是 ；
在货车从 B 地返回 C 地的过程中，求货车距出发地的距离 y（单位：km）与行驶时间 x（单位：h）之间的函数解析式；
直接写出轿车出发多长时间与货车相距 40km．
【答案】（1）300，2；
（2）y＝﹣90x+240（4 ≤ x ≤ 8）；
33
（326168
） h 或 h 或h．
2193
【分析】（1）观察图象，可知 A、B 两地之间的距离，B、C 两地之间的距离，从而求出 A、C 两地之间 的距离，即 a 的值；根据速度＝路程÷时间求出轿车的速度，由时间＝路程÷速度求出轿车行驶的时间，再根据图象列关于 b 的方程并求解即可；
求出点 N 的坐标，从而求出点 M 的坐标，根据速度＝路程÷时间求出货车的速度，进而求出在货车从 B 地返回 C 地的过程中 y 与 x 之间的函数解析式即可；
分别求出货车到达 B 地之前、轿车到达 B 地至接人结束准备继续驶往 C 地时、轿车从 B 地开始驶往 C 地至货车到达 C 地三处过程中两车相距 40km 时对应 x 的值即可．
【详解】解：（1）由图象可知，A、B 两地之间的距离为 180km，B、C 两地之间的距离为 120km， 180+120＝300（km），
∴a＝300，
轿车的速度为 180÷1.5＝120（km/h）， 300÷120＝2.5（h），
根据图象，得 1.5+（3﹣b）＝2.5，解得 b＝2．
故答案为：300，2．
18
（2）3 （h），
− =
33
8
∴N（
3
8
，0），
4
÷ 2 =
3
（h），
3
∴M（
4
，120），
3
货车的速度为 120 ÷ 4 = 90（km/h），
3
4
y＝120﹣90（x−
3
）＝﹣90x+240，
∴在货车从 B 地返回 C 地的过程中，求货车距出发地的距离 y（单位：km）与行驶时间 x（单位：h）之
间的函数解析式为 y＝﹣90x+240（4 ≤ x ≤ 8）．
33
（3）当 0≤x ≤ 4时，得（120+90）x+40＝300，
3
，
解得 x = 26
21
当 1.5≤x≤2 时，得 90（x
，
解得 x = 16
4
− ）＝40，
3
9
当 2＜x ≤ 8时，得 180+120（x﹣2）+40﹣90x+240＝300，
3
解得 x = 8，
3
∴出轿车出发26h 或16h 或8h 与货车相距 40km．
2193
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
【变式 01】某景区的同一线路上依次有 A，B，C 三个景点（如图 1）．小兴从 A 景点出发，步行 3500 米去 C 景点，共用时 50 分钟；同时，桐桐以每分钟 60 米的速度从 B 景点出发，步行 1500 米到达 A 景点，休息 10 分钟后，桐桐改成骑电动车去 C 景点，结果桐桐比小兴早 5 分钟到达 C 景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为 t（分），两人各自距 A 景点的路程 s（米）与 t（分）之间的函数图象如图 2 所示．
求 m 的值，并说出 m 的实际意义；
求桐桐骑车时距 A 景点的路程 s（米）与 t（分）之间的函数解析式（不必写出 t 的取值范围）；
请求出两人在途中相遇时的时间 t（分）的值．
【答案】(1)? = 25，?表示桐桐从?地步行到?地所用的时间
(2)? = 350?−12250
150175
(3)? = 13 或 4
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
利用路程除以时间求出?的值，根据?点的位置，确定 m 的实际意义即可；
设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
分桐桐往景点?走，以及骑车往景点?两部分，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：? = 1500 ÷ 60 = 25；
由题意和图象可知：m 表示桐桐从 B 地步行到 A 地所用的时间；
（2）设? = ?? + ?，
由题意，图象经过点(25 + 10,0),(50−5,3500)，即(35,0),(45,3500)，
35? + ? = 0? = 350
则： 45? + ? = 3500 ，解得： ? = −12250 ，
∴? = 350?−12250；
（3）由图象可知：小兴的步行速度为：3500 ÷ 50 = 70m/min，由（2）可知：桐桐骑车速度为：350m/min，
当0 ≤ ? ≤ 25时，? = 1500 ÷ (70 + 60) =
150
13 ；
当35 < ? ≤ 50时，350(?−35) = 70?，解得：? =
175
4 ；
150175
综上：? = 13 或 4 ．
【变式 02】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点?出发沿同一路线匀速步行前往?处参加活动．甲比乙早出发6min，两人途中均未休息，先到达?处的人在原地休息等待，直到另一人到达?处．两人之间的路程?(m)与甲行走的时间?(min)的函数图像如图所示．
乙步行的速度为m/min,??之间的路程为m；
当18 ≤ ? ≤ 50时，求?关于?的函数表达式；
甲出发多长时间时，两人之间的路程为450m．
【答案】(1)90，3960
(2)? = 30?−540
(3)当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为450m
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键：
观察图像可知，甲6min走了360m，甲行走18min时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走
50min时，乙到达?点，求出乙的总路程即为??之间的路程；
求出?点坐标，待定系数法求出??段的函数关系式即可；
分18 ≤ ? ≤ 50和? > 50两种情况，求出?的值即可．
【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：360 ÷ 6 = 60m/min，
设乙的速度为?m/min，由题意，得：60 × 18 = ? ⋅ (18−6)，解得：? = 90，故乙的速度为90m/min；
??之间的路程为：90 × (50−6) = 3960m；故答案为：90，3960；
由图像可知：?点的纵坐标为3960−60 × 50 = 960，
∴?(50,960)，
当18 ≤ ? ≤ 50时，设? = ?? + ?，把?(18,0)，?(50,960)代入，得：
18? + ? = 0? = 30
50? + ? = 960 ，解得： ? = −540 ，
∴? = 30?−540；
当18 ≤ ? ≤ 50时，令? = 30?−540 = 450，解得：? = 33；当? > 50时，60? = 3960−450，解得：? = 58.5；
综上：当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为450m．
【变式 03】（2026·黑龙江佳木斯·一模）A，B 两地相距630km，在 A，B 之间有汽车站 C 站，客车由 A 地驶向 C 站、货车由 B 地驶向 A 地，两车同时出发，匀速相向行驶，如图是客车、货车离 C 站的路程?1，?2
（单位：km）与行驶时间 x（单位：h）之间的函数关系图象．
客车的速度为km/h，货车的速度为km/h；
求货车出发2h后，距离 C 站的路程?2与行驶时间 x 之间的函数关系式；
请直接写出货车出发多长时间，两车相距150km．
【答案】(1)60；45
(2)?2 = 45?−90(2 ≤ ? ≤ 14)
(3)3252
7 h或 7 h
【分析】（1）根据题意并结合图象可知，货车从?地驶向?站花费了 2 小时，行驶了90km，根据“速度 =
路程÷ 时间”即可求出货车的速度；再算出?地与?站的距离，由图象可知客车从?地驶向?站花费了 9 小时，根据“速度 = 路程÷ 时间”即可求出客车的速度；
（2）根据“路程 = 速度× 时间”即可求解；
（3）分两种情况：当两车相遇前相距150km时，当两车相遇后相距150km时，分别列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由图象可得：货车从?地驶向?站花费了 2 小时，行驶了90km，
90(km/h)
则货车的速度为 2 = 45，
?地与?站的距离为630−90 = 540(km)，
540
(km/h)
客车的速度为 9 = 60；
（2）解：由（1）知，货车的速度为45km/h，
货车从?地驶向?站所需时间为630 ÷ 45 = 14（小时），
2 小时后货车的行驶时间为(?−2)小时，
∴ ?2 = 45(?−2) = 45?−90(2 ≤ ? ≤ 14)；
（3）解：设货车出发?h后，两车相距150km，当两车相遇前相距150km时，
45? + 60? = 630−150，
32
解得：? = 7 ；
当两车相遇后相距150km时，
45? + 60? = 630 + 150，
52
解得：? = 7 ；
3252
综上，当货车出发 7 h或 7 h后，两车相距150km．
【变式 04】（2026·天津河北·一模）已知小华的家，文具店，图书馆依次在同一条直线上，文具店离家0.4 km，图书馆离家1.6km，小华从家出发，先匀速步行了4min到文具店，在文具店停留了8min，之后匀速骑行了4min到图书馆，在图书馆停留了8min后，再用6min匀速骑行回家．下面图中 x 表示时间，y 表示小华离家的距离，图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
②填空：小华从图书馆匀速骑行回家的速度为km/min；
③当0 ≤ ? ≤ 16时，请直接写出小华离家的距离 y 关于时间 x 的函数解析式；
(2)小华的妈妈在小华离开家4min后从家以0.1km/min的速度匀速步行直接去图书馆，在小华的妈妈离家后到图书馆的过程中，对于同一个 x 的值，小华离家的距离为?1，小华妈妈离家的距离为?2，当?1 < ?2时，求 x 的取值范围（直接写出结果即可）．
4
【答案】(1)①0.2，0.4，1.6； ②15；③当0 ≤ ? ≤ 4时，? = 0.1?，当4 < ? ≤ 12时，? = 0.4，当12 < ? ≤ 16
时，? = 0.3?−3.2；
(2)8 < ? < 14．
【分析】（1）①根据图象的特征求解即可；
小华离开家的时间/min
2
5
11
24
小华离开家的距离/km
0.4
1.6
②根据题意，其速度为 6 =
4 km/min；
15
③当0 ≤ ? ≤ 16时，利用待定系数法分段求函数的解析式即可；
（2）?1是分段函数，?2 = 0.1(?−4) = 0.1?−0.4，根据?1 < ?2，求解即可．
【详解】（1）①解：当0 ≤ ? ≤ 4
0.4
(km/min)
时，其速度为 4 = 0.1，
根据题意，得? = ?? = 0.1 × 2 = 0.2(km)；
? = 11时，小华停留在文具店，此时离家的距离为0.4km；
? = 16时，小华刚好到达图书馆，此时离家的距离为1.6km；
1.6
②解：根据题意，其速度为 6 =
4 km/min；
③当0 ≤ ? ≤ 4
15
(km/min)
0.4
时，其速度为 4 = 0.1，
根据题意，得? = 0.1?； 当4 < ? ≤ 12时，? = 0.4，
当12 < ? ≤ 16时，设解析式为? = ?? + ?，
12? + ? = 0.4
根据题意，得 16? + ? = 1.6 ，
? = 0.3
解得 ? = −3.2 ，
故解析式为? = 0.3?−3.2；
（2）解：根据题意，得?2 = 0.1(?−4) = 0.1?−0.4，当0.1?−0.4 = 0.4时，解得? = 8；
当0.1?−0.4 = 0.3?−3.2时，解得? = 14；根据?1 < ?2，得8 < ? < 14．
题型三一次函数的应用---方案问题
【典例 01】（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠．
活动一：所购商品均按原价八折出售；
活动二：所购商品按原价每．满．200 元减 50 元．
若购买原价为 320 元的该商品，选择活动一时需付元，选择活动二时需付元．
若设某商品原价为 x 元，当400 < ? < 600时，请分别写出选择这两种活动的实付金额 y（元）与原价 x
（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱．
【答案】(1)256，270
(2)活动一：?1 = 0.8?；活动二：?2 = ?−100
当500 < ? < 600时，选择活动一更省钱；当? = 500时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当400 < ? < 500时，选择活动二更省钱．
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解答的关键．
根据活动一的八折规则和活动二每满 200 减 50 的规则，分别计算购买原价 320 元商品的实付金额．
先分别写出两种活动实付金额与原价 x 的函数表达式，再通过比较两个函数的大小，分情况讨论哪种活动更省钱．
【详解】（1）若购买原价为 320 元的该商品，选择活动一时需付0.8 × 320 = 256（元）， 320 ÷ 200 = 1…120，
则选择活动二时需付320−50 × 1 = 270（元），故答案为：256，270；
（2）当400 < ? < 600时，活动一的实付金额?1与原价?之间的函数表达式为?1 = 0.8?，活动二的实付金额?2与原价?之间的函数表达式为?2 = ?−100，
当?1 < ?2时，得0.8? < ?−100，解得? > 500，当?1 = ?2时，得0.8? = ?−100，解得? = 500，当?1 > ?2时，得0.8? > ?−100，解得? < 500，
∴当500 < ? < 600时，选择活动一更省钱；
当? = 500时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当400 < ? < 500时，选择活动二更省钱．
【变式 01】（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有?型和?型两种车型，若购买?型公交车3辆，?型公交车1辆，共需260万元；若购买?型公交车2辆，?型公交车3辆，共需360万元．
(1)求购买?型和?型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的?型和?型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆?型、?型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】(1)购买?型新能源公交车每辆需60万元，购买?型新能源公交车每辆需80万元；
(2)方案为购买?型公交车8辆，?型公交车2辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为760万人．
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．
设购买?型公交车每辆需?万元，购买?型公交车每辆需?万元，根据“购买?型公交车3辆，?型公交车1辆，共需260万元；若购买?型公交车2辆，?型公交车3辆，共需360万元”列出方程组解决问题即可；
设购买?型公交车?辆，则?型公交车(10−?)辆，由“公司准备购买10辆?型、?型两种新能源公交车，
总费用不超过650万元”列出不等式求得?的取值，再求出线路的年均载客总量为?与?的关系式，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买?型新能源公交车每辆需?万元，购买?型新能源公交车每辆需?万元，
3? + ? = 260
由题意得： 2? + 3? = 360 ，
? = 60
解得 ? = 80 ，
答：购买?型新能源公交车每辆需60万元，购买?型新能源公交车每辆需80万元；
（2）解：设购买?型公交车?辆，则?型公交车(10−?)辆，该线路的年均载客总量为?万人，由题意得60? + 80(10−?) ≤ 650，
解得：? ≥ 7.5，
∵? ≤ 10，
∴7.5 ≤ ? ≤ 10，
∵?是整数，
∴? = 8，9，10；
∴线路的年均载客总量为?与?的关系式为? = 70? + 100(10−?) = −30? + 1000，
∵−30 < 0，
∴?随?的增大而减小，
∴当? = 8时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为? = −30 × 8 + 1000 = 760（万人次）
∴10−8 = 2（辆）
∴购买方案为购买?型公交车8辆，则?型公交车2辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为 760 万人次，
【变式 02】（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为220t的货物运送到距公司分别为50km和70km
的 A 地和 B 地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共24辆，车辆的信息如下表：
车辆型
装载
每百千米油
(1)若每辆车都满载且刚好将220t货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？
(2)在（1）的条件下，现公司将12辆车派往 A 地，其中甲种车辆 m 辆，其余车辆派往 B 地，且运往 A 地的货物不得多于106 t，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？
【答案】(1)甲14辆，乙10辆
(2)当派往 A 地甲车 5 辆，乙车 7 辆，派往 B 地甲车 9 辆，乙车 3 辆时，油耗最少，最少为161.6升
【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．
设甲种车辆有?辆，乙种车辆有?辆，根据表格找到两个等量关系，列出方程组求解即可；
根据题意求出 m 的取值范围为2 ≤ ? ≤ 5，设总油耗?升，然后写出?关于?的函数关系式，利用一次函数的性质求出?的最小值即可．
【详解】（1）解：设甲种车辆有?辆，乙种车辆有?辆，
根据题意，
? + ? = 24
10? + 8? = 220 ，
? = 14
解得 ? = 10 ，
则甲种车辆14辆，乙种车辆10辆；
（2）设总油耗?升，
已知派往 A 地的甲车 m 辆，则派往 A 地的乙车(12−?)辆，根据题意需满足∶10? + 8(12−?) ≤ 106
解得? ≤ 5
又∵乙车总数10辆，而需12辆车派往 A 地，
∴ ? ≥ 2，
∴m 的取值范围为2 ≤ ? ≤ 5，油耗计算∶
A 地∶甲车每辆油耗0.5 × 12 = 6升，乙车每辆油耗0.5 × 10 = 5升，
B 地∶甲车每辆油耗0.7 × 12 = 8.4升，乙车每辆油耗0.7 × 10 = 7升，
∴? = 6? + 5(12−?) +8.4(14−?) +7(?−2) = −0.4? + 163.6，
号
量
耗
甲
10 t
12升
乙
8 t
10升
∵ −0.4 < 0，
∴ ?随?增大而减小，
∴当?最大为 5 时，?最小，
? = −0.4? + 163.6 = −0.4 × 5 + 163.6 = 161.6升，
∴当派往 A 地甲车 5 辆，乙车 7 辆，派往 B 地甲车 9 辆，乙车 3 辆时，油耗最少，最少为161.6升．
【变式 03】（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买?、?两种型号的充电桩，已知 A 型充电桩的单价比 B 型少 0.5 万元，购买一台 A 型充电桩与一台 B 型充电桩共需要花费 5.5 万元．
求?、?两种型号充电桩的单价；
小区准备采购?、?两种型号的充电桩共 m 台，商家提供了两种购买方案：
①若小区准备购买的 12 台 A 型充电桩和 n 台 B 型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出?的值；
4
②当? = 20时，若选择方案二购买充电桩，且购买 A 型充电桩的数量不超过 B 型充电桩数量的3，请设计
费用最省的购买方案．
【答案】(1)A、B 两种型号充电桩的单价分别是 2.5 万元、3 万元 (2)①10
②最省钱的购买方案是购买 A 型充电桩 11 台，B 型充电桩 9 台
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②根据各数量之间的关系，找出 w 关于 a 的函数关系式．
设 A 型充电桩的单价为 x 万元，B 型充电桩的单价为 y 万元，根据“A 型充电桩的单价比 B 型少 0.5 万元，购买一台 A 型充电桩与一台 B 型充电桩共需要花费 5.5 万元”，可列出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
①根据两种方案的最终费用相同，可列出关于 n 的一元一次方程，解之即可得出结论；
②设购买 a 台 A 型充电桩，(20−?)台 B 型充电桩，总费用为 w 万元，利用总价=单价×数量，可找出 w 关
4
于 a 的函数关系式，由购买 A 型充电桩的数量不超过 B 型充电桩数量的3，可列出关于 a 的一元一次不等式，
解之可得出 a 的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
方案一
方案二
?、?两种型号的充电桩分别按单价的九折销售
?、?两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担
1.2 万元的运费．
【详解】（1）解：设 A、B 两种型号的充电桩的单价分别是 x、y 万元，
? = ?−0.5
根据题意得 ? + ? = 5.5 ，
解得：
? = 2.5
? = 3
答：A、B 两种型号充电桩的单价分别是 2.5 万元、3 万元；
（2）解：①2.5 × 0.9 × 12 + 3 × 0.9? = 2.5 × 0.88 × 12 + 3 × 0.88? + 1.2 ，
解得：? = 10，答：?的值为 10；
②设购买 A 型充电桩?台，则购买 B 型充电桩(20−?)台，购买充电桩的总费用为?万元，
4
∵ 购买 A 型充电桩的数量不超过 B 型充电桩数量的3，
∴ ? ≤
4(20−?)，
3
3
解得? ≤ 117．
3
∴ ?的取值范围为0 < ? ≤ 117，且?为正整数，
根据题意，可得? = 2.5? × 0.88 + 3(20−?) × 0.88 + 1.2 = −0.44? + 54，
∵ −0.44 < 0，
∴ ?随?的增大而减小，
∴ 当? = 11时，?有最小值，此时20−? = 20−11 = 9．
答：最省钱的购买方案是购买 A 型充电桩 11 台，B 型充电桩 9 台
水果品种
A
B
C
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨水果获利/百元
12
16
10
【变式 04】我市组织 20 辆汽车装运 A，B，C 三种水果共有 100 吨到外地销售．按计划 20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
设有 x 辆车装运 A 种水果，有 y 辆车装运 B 种水果，求 y 与 x 之间的函数关系式；
如果装运每种水果的车都不少于 4 辆，那么可以安排哪几种运输方案？
在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案？求出最大利润．
【分析】（1）等量关系为：车辆数之和＝20，由此可得出 x 与 y 的关系式；
利用装运每种水果的车辆数都不少于 4 辆可列三个不等式，然后解不等式组，再写出整数 x 的值即可得到方案；
根据总利润为：装运 A 种水果的车辆数×6×12+装运 B 种水果的车辆数×5×16+装运 C 种水果的车 辆数×4×10 得 W＝﹣4800x+160000，由 k＝﹣4800＜0，可知 W 随 x 的增大而减小，进而可知当 x＝4 时， W 最大，即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，得 6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100．
∴y＝﹣2x+20．
? ≥ 4
由题意可得： −2? + 20 ≥ 4．
20−?−(−2? + 20) ≥ 4
解得 4≤x≤8．
∵x 为整数，
∴x 可取整数为 4，5，6，7，8．共有五种方案如下：
方案一：4 辆车装运 A 种水果，12 辆车装运 B 种水果，4 辆车装运 C 种水果；方案二：5 辆车装运 A 种水果，10 辆车装运 B 种水果，5 辆车装运 C 种水果；方案三：6 辆车装运 A 种水果，8 辆车装运 B 种水果，6 辆车装运 C 种水果；方案四：7 辆车装运 A 种水果，6 辆车装运 B 种水果，7 辆车装运 C 种水果；方案五：8 辆车装运 A 种水果，4 辆车装运 B 种水果，8 辆车装运 C 种水果．
设获利为 W 元．
20﹣x﹣y＝x，
W＝6x×1200×5（﹣2x+20）×1600+4x×1000＝﹣4800x+160000．
∵k＝﹣4800＜0，
∴W 随 x 的增大而减小．
∴x＝4 时，W 最大．
W 最大＝﹣4800×4+160000＝140800．
∴选择（2）中的方案一：4 辆车装运 A 种水果，12 辆车装运 B 种水果，4 辆车装运 C 种水果，获利最多为
140800 元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定 x 的范围，得到装运的几种方案是解决本题的关键．
题型四 二次函数的应用---面积问题
【典例 01】（2026·河南周口·一模）数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的?处有一棵古树与墙??, ??的距离分别是16m和9m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园????（篱笆只围??, ??两边），设?? = ?m．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树?围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形????的面积为?．
??的长为m；（用含?的代数式表示）
花园的面积能否为240m2？若能，求出?的值；若不能，请说明理由；
求当?为何值时，花园面积?最大，最大值为多少．
【答案】(1)(32−?)
(2)能，12
(3)当? = 16时，花园面积?最大，最大值为256m2
【分析】（1）根据?? + ?? = 32m列出代数式即可；
根据矩形的面积公式列出方程解答即可求解；
根据矩形的面积公式列出 S 与 x 的函数解析式，再根据题意求出 x 的取值范围，进而根据二次函数的性质解答即可求解；
【详解】（1）解：??的长为(32−?)m；
（2）解：根据题意，得?(32−?) = 240．
整理，得?2−32? + 240 = 0．解得?1 = 12, ?2 = 20．
∵墙角内的?处有一棵古树与墙??, ??的距离分别是16m和9m，
∴32−? ≥ 16, ? ≥ 9．
∴9 ≤ ? ≤ 16．
∴?的值为 12．
（3）解：由题意得：? = ?(32−?) = −?2 +32? = −(?−16)2 +256．
∵9 ≤ ? ≤ 16．
∴当? = 16时，花园面积?最大，最大值为256m2．
【变式 01】（20254·湖南岳阳·模拟预测）某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
方案一：如图 1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 ?? = 1?的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定??，??的长；
方案二：如图 2，在Ⅰ区保留面积为 11?2的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问??应设计为
4
多长？此时最大总种植面积为多少？
【答案】(1)?? = 8m，?? = 4m
(2)当?? = 3.5m时，?最大 = 34m2
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一元一次方程的应用．
（1）由围墙的长为12m，可得篱笆墙的宽为?? = ?? = ?? = (21−12) ÷ 3 = 3(m)，设??为?m，??为 (12−?)m，再由矩形面积公式求解；
（2）设两块矩形总种植面积为 y， ??长为?m，那么?? = ?? = ?? = ?m，?? = (21−3?)m，由围成的两块矩形总种植面积最大，再建立二次函数求解即可．
【详解】（1）解：∵围墙的长为12m，
∴篱笆墙的宽为?? = ?? = ?? = (21−12) ÷ 3 = 3(m)，设??为?m，??为(12−?)m，那么
?? × ??−?? × ?? = 32， 即12 × 3−1 × (12−?) = 32，
解得：? = 8，
∴?? = 8m，?? = 4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为?m2，??长为?m，那么?? = ?? = ?? = ?m，?? = (21−3?)m，
由题意得：11
? = ? ⋅ (21−3?)− 4 ，
∴? = −3?2 +21?−11
4
= −3 ?−
2
7
2
+ 34
∵21−3? ≤ 12，3? < 21，
∴3 ≤ ? < 7，
∴当?? = 3.5m时，?最大 = 34m2．
【变式 02】（2026·辽宁沈阳·一模）下面是数学小组的活动报告单：
设栅栏与墙平行的边的长度为?m，花圃的面积为?m2，根据以上信息，解决下列问题：
(1)求?与?的函数表达式（不用写出自变量取值范围）；
(2)当? = 315m2时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米?
【答案】(1)? = −1?2 +22?
3
(2)栅栏与墙平行的边的长度为 21 米
【分析】（1）根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙垂直的边，再结合面积公式列函数表达；
（2）根据（1）中的函数表达式，令? = 315m2，求出对应的?的值，再根据墙的长度是40m，则? ≤ 40，
活动主题
为校园花圃设计方案
活动准备
去学校档案馆查阅校园平面图；
了解围成花圃的栅栏长度；
准备皮尺等测量工具．
设计方案
如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是 40m），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏）
设计图：
采集数据
可用栅栏总长为60m，花圃两侧各留的进出的门宽为3m．
取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设栅栏与墙平行的边的长度为?m
60−?+3×2
66−?
，
m
66−?
∴ ? = ? 3
1?2
= −
3
+22?．
，则与墙垂直的边的长度为
3= 3
（2）解：令? = 315m2，
1 2??
−?
3
+22? = 315，解得
1 = 45，
2 = 21，
∵墙的长度是40m，
∴ ? ≤ 40．
∴ ? = 21．
答：栅栏与墙平行的边的长度为 21 米．
【变式 03】（2025·浙江·一模）如图，某市计划利用现有的一段“?”字形的古城墙粗线???表示古城墙，已知?? ⊥ ??，?? = 60米，?? = 20米和总长为280米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆???? (细线表示仿古城墙，展览馆中间??也是用仿古城墙隔开)．
(1)如图1，若点?可能在线段??上，所围成的展览馆????的面积为4800平方米，求??的长；
(2)如图2，当点?在线段??延长线上，??为多少时，展览馆????的面积最大？最大面积为多少平方米？
【答案】(1)80
(2)??为60时，展览馆????的面积最大，最大面积为5400平方米
【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
设??的长为?米，根据矩形性质得?? = 280−2?−（?−20） = 300−3?米，根据题意?? ≤ 60，可得
? ≥
200
3 ，根据矩形的面积公式列方程求解即可．
展览馆????的面积为?，??的长为?米，当点?在线段??延长线上，?? = 280−2?−(?−20)−60 +60 = 180−
2
3?，根据矩形的面积公式列方程求解即可．
2
【详解】（1）解：设??的长为?米，
∵ 点?在线段??上，
∴ ?? = 280−2?−(?−20) = 300−3?米，
∵ ?? = 60，
∴ ?? ≤ 60，即300−3? ≤ 60，
∴ ? ≥ 80，
故根据题意得展览馆????的面积为?(300−3?) = 4800，解得： ?1 = 80， ?2 = 20 (? ≥ 80，故舍去)，
答：??为80米．
（2）展览馆????的面积为?，??的长为?米，
当点?在线段??延长线上，?? = 280−2?−(?−20)−603 ，
2+60 = 180−2?
由?? > 60，得此时? < 80，
3
则? = ? 180− 2 ? ，
上式可化为? = −3(?−60)2 +5400，
2
故当? = 60时，?有最大值，即? = 5400，
答：??为60时，展览馆????的面积最大，最大面积为5400平方米．
【变式 04】（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】
【问题情境】
王老师家有一块长6m、宽4m的长方形菜地，如图 1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥．
【问题提出】
为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路．
【方案设计】
方案一：如图 2，在地块中间修建一个长、宽比为3∶2的长方形菜地，周围一圈是小路；方案二：如图 3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地．
【问题解决】
在第一种方案中，若设菜地的宽为?米，求小路面积 S 关于?的函数表达式．
在第二种方案中，若设道路的宽为?米，求菜地面积?关于?的函数表达式．
已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧1.5m内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积．
【答案】(1)? = −1.5?2 +24
(2)? = 2?2−14? + 24
(3)道路宽度为1m时，菜地的面积最大，此时菜地面积为12m2
【分析】（1）设菜地的宽为?米，则菜地的长为1.5?米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解；
设道路的宽为?米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解；
先求出 x 的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设菜地的宽为?米，
∵长、宽比为3∶2的长方形菜地，
∴菜地的长为1.5?米，
∴小路面积 S 关于?的函数表达式为? = 6 × 4−1.5?2 = −1.5?2 +24；
解：设道路的宽为?米，根据题意得：
? = (6−2?)(4−?) = 2?2−14? + 24，
即菜地面积?关于?的函数表达式? = 2?2−14? + 24；
? ≥ 4−2 × 1.5
解：根据题意得： 2? ≥ 6−4 × 1.5 ，
? ≤ 4
解得：1 ≤ ? ≤ 4，
由（2）得：菜地面积?关于?的函数表达式? = 2?2−14? + 24，
∵? = 2?2
−14? + 24 = 2 ?−
2 1
7
2
−2，2 > 0，
7
∴当? ≤ 2时，y 随 x 的增大而减小，
∴当? = 1时，y 取得最大值，最大值为2 × 12−14 × 1 + 24 = 12，即道路宽度为1m时，菜地的面积最大，此时菜地面积为12m2．
题型五二次函数的应用---销售问题
【典例 01】（2025•内江）2025 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出 A、B 两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进 A 款 200 个，B 款 300 个，需花费 14000 元；购进 A 款 100 个，B 款 200 个，需花费 8000 元．
求 A、B 两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过 12000 元的资金购进 A、B 两款“哪吒”纪念品共 400
个，那么至少需要购进 B 款纪念品多少个？
在销售中，该商家发现每个 A 款纪念品售价 60 元时，可售出 200 个，售价每增加 1 元，销售量将减 少 5 个．设每个 A 款纪念品售价 a（60≤a≤100）元，W 表示该商家销售 A 款纪念品的利润（单位：元），求 W 关于 a 的函数表达式，并求出 W 的最大值．
【答案】（1）A 款“哪吒”纪念品每个进价为 40 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为 20 元；（2）至少需要购进 B 款纪念品 200 个；（3）W＝﹣5（a﹣70）2+4500（60≤a≤100），W 的最大值为 4500．
【分析】（1）设 A 款“哪吒”纪念品每个进价为 x 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为 y 元，根据购进 A款 200 个，B 款 300 个，需花费 14000 元；购进 A 款 100 个，B 款 200 个，需花费 8000 元建立方程组求解即可；
设需要购进 B 款纪念品 m 个，则需要购进 A 款纪念品 （400﹣m） 个，根据购买资金不超过 12000
元建立不等式求解即可；
根据题意可得每个 A 款纪念品的利润为 （a﹣40）元，销售量为[200﹣5（a﹣60）]个，据此列出 W
关于 a 的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出 W 的最大值即可．
【详解】解：（1）设 A 款“哪吒”纪念品每个进价为 x 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为 y 元，
200? + 300? = 14000
由题意得 100? + 200? = 8000 ，
? = 40
解得 ? = 20，
答：A 款“哪吒”纪念品每个进价为 40 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为 20 元；
设需要购进 B 款纪念品 m 个，则需要购进 A 款纪念品 （400﹣m）个，由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000，
解得 m≥200，
∴m 的最小值为 200，
答：至少需要购进 B 款纪念品 200 个；
由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）]
＝（a﹣40）（200﹣5a+300）
＝（a﹣40）（500﹣5a）
＝500a﹣20000﹣5a2+200a
＝﹣5（a﹣70）2+4500，
∵﹣5＜0，60≤a≤100，
∴当 a﹣70＝0，即 a＝70 时，W 最大，最大值为 4500．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
【变式 01】（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于 7 月 25 日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习：
〖素材 1〗某影院 7 月 28 日的票房收入为 10 万元，随着观影人数的不断增多，7 月 30 日的票房收入达到
16.9 万元．
〖素材 2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为 14 元，当售价定为每本 28 元时，平均每天售出 200 本．经市场调研，每降 1 元出售，平均每天多售出 40 本．
问题解决：
求从 7 月 28 日到 7 月 30 日票房收入的平均增长率？
根据素材 2，使每天销量达到 400 本时，应降多少元？
根据素材 2，商家每天固定成本为 300 元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？
【答案】(1)30%
(2)5
(3)售价为23.5元时，每天最大利润为 3310 元
【分析】（1）设从 7 月 28 日到 7 月 30 日票房收入的平均增长率为 x，依素材 1 列方程求解即可；
设应降 y 元，依素材 2 可列方程求解；
设售价为 m 元，每天利润为 W 元，依素材 2，可得 W 关于 m 的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用．
【详解】（1）解：设从 7 月 28 日到 7 月 30 日票房收入的平均增长率为 x，依素材 1，可得：10(1 + ?)2 = 16.9，
解得?1 = 0.3，?2 = −2.3（不合题意，舍去）．
答：从 7 月 28 日到 7 月 30 日票房收入的平均增长率为30%．
解：设应降 y 元，依素材 2，可列方程200 + 40? = 400，解得? = 5．
答：应降 5 元．
解：设售价为 m 元，每天利润为 W 元，依素材 2，可得：
? = (?−14)[200 + 40(28−?)]−300
= −40?2 + 1880?−18780
= −40(?−23.5)2 +3310，
当? = 23.5时，W 取得最大值为 3310．
答：售价为23.5元时，每天最大利润为 3310 元．
?
1
2
3
?
39
76
111
【变式 02】（2025·湖北·模拟预测）水果店以一定的价格购进其种水果若干千克，通过销售统计发现：商品从开始销售至销售的第?天的总销量?(千克)与?的关系为二次函数，销售情况记录如表．
求?与?的函数关系式；
这批水果多少天才能销售完；
水果店为了充实库存，在销售第6天后决定每天又购进20千克该品种水果，试问再过多少天库存量为216
千克？
【答案】(1)? = −?2 +40?；
这批水果20天才能销售完；
再过10天该品种水果库存量为216千克．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）设出二次函数解析式为? = ??2 +?? + ?，由待定系数法即可得答案；
根据二次函数的性质，求出函数取最大值时?的值，即是销售完的天数；
（3）由（2）知，原库存最大量为400千克，设再过?天库存量为216千克，可得400 + (? + 6)2−40(? + 6)
+20? = 216，即可解得答案．
【详解】（1）解：设?与?的函数关系式为? = ??2 +?? + ?，将(1,39)，(2,76)，(3,111)代入得：
? + ? + ? = 39 4? + 2? + ? = 76
9? + 3? + ? = 111
，解得
? = −1
? = 40 ，
? = 0
∴?与?的函数关系式为? = −?2 +40?；
（2）解：由（1）得：? = −?2 +40? = −(?−20)2 +400，
∵−1 < 0，
∴当? = 20时，?最大，最大值为400，答：这批水果20天才能销售完；
解：设再过?天库存量为216千克，由（2）知：原库存量为400千克，则(? + 6)天后原本库存剩余量为：400−[−? + 6)2 + 40(? + 6)，
而?天内再次购买的总量为20?，
∵两部分的总量为216千克，
∴400 + (? + 6)2−40(? + 6) +20? = 216，
整理得：?2−8?−20 = 0，
解得：? = 10或? = −2（舍去），
答：再过10天该品种水果库存量为216千克．
【变式 03】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比海鲜粽的进价便宜 10 元，某商家用 8000 元购进的海鲜粽和用 6000 元购进的豆沙粽盒数相同．根据市场经验：当售价不高于 50 元/盒时，每天销量稳定在 100 盒；当售价高于 50 元/盒时，售价每提高 1 元，每天少售 2 盒．
求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价；
若设海鲜粽每盒售价为?元，每天销售海鲜粽的利润为?元，求?与?之间的关系式；
若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出 70 盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及此时的售价．
【答案】(1)海鲜粽每盒进价 40 元，豆沙粽每盒进价 30 元
(2)? =
100?−4000,(40 ≤ ? ≤ 50)
−2?2 + 280?−8000,(? > 50)
(3)最大利润为 1750 元，此时海鲜粽每盒售价为 65 元
【分析】（1）设每盒海鲜粽的进价为?元，则每盒豆沙粽的进价为(?−10)元，根据用 8000 元购进的海鲜粽和用 6000 元购进的豆沙粽盒数相同，列出方程，解方程即可；
分为当40 ≤ ? ≤ 50时及当? > 50时，两种情况分类讨论，列出关系式即可；
分两种情况，分别求出一次函数及二次函数的最值，再进行比较即可求出该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润．
【详解】（1）解：设每盒海鲜粽的进价为?元，则每盒豆沙粽的进价为(?−10)元，
80006000
由题意得： ? = ?−10，
解得：? = 40，
经检验，? = 40是原分式方程的解，则?−10 = 40−10 = 30，
答：海鲜粽每盒进价 40 元，豆沙粽每盒进价 30 元；
解：当40 ≤ ? ≤ 50时，此时销量固定为 100 盒．单盒利润为(?−40)元．则总利润：? = 100(?−40) = 100?−4000(40 ≤ ? ≤ 50)
当? > 50时，售价比 50 元提高了(?−50)元，销量减少2(?−50)盒．此时销量为：100−2(?−50) = 200−2?
（盒）．单盒利润为(?−40)元．则总利润：? = (?−40)(200−2?)
= −2?2 +280?−8000(50 < ? ≤ 100)；
100?−4000,(40 ≤ ? ≤ 50)
∴?与?之间的关系式? = −2?2 + 280?−8000,(? > 50)
解：根据题意得： 100−2(?−50) ≥ 70，解得：? ≤ 65，
∴40 ≤ ? ≤ 65，
当40 ≤ ? ≤ 50时，? = 100?−4000，
因为? = 100 > 0，
所以?随?的增大而增大．
当? = 50时，?取得最大值，为：100 × 50−4000 = 1000，当50 < ? ≤ 65时：
∵? = −2?2 +280?−8000
= −2(?−70)2 +1800，
∴ 抛物线对称轴为直线? = 70，
∵ ? = −2 < 0，
∴ 抛物线开口向下，
当? < 70时，?随?的增大而增大，
∴ 当? = 65时，y 取得最大值，?最大 = 1750，
∵1750 > 1000，
∴ 该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润为1750元，此时海鲜粽每盒售价为 65 元．
【变式 04】（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为?元/张，并且要求单价不能低于21
元．经市场调查，每日游客人数?（人）与门票单价?（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
景区每日运营成本为每人10元，另需支付固定维护费每日100元和环保费．经统计，环保费?元与游客人数
?人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示．
求游客人数?与门票单价?的函数表达式；
设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为?元，求?与单价?的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？
随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低?元（? > 3），且降低运营成本后的单价也不能低于21
元．求在此条件下利润?的最大值（用含?的式子表示），并求当利润最大值为1429元时?的值．
门票单价?（元）
21
22
23
游客人数?（人）
110
100
90
【答案】(1)? = −10? + 320(? ≥ 21)
(2)? = −11?2 +484?−4324；单价为22元时利润最大，最大利润为1000元
(3)989 + 110?；?的值为4
【分析】（1）用待定系数法求游客人数?与门票单价?的一次函数表达式即可；
先用待定系数法求环保费的二次函数表达式，再根据利润公式列总利润表达式，利用二次函数性质求最大值即可；
列出成本降低后的新利润表达式，求出对称轴，结合?的取值范围确定能取到最大值的?值，代入计算即可得出在此条件下利润?的最大值，再将最大利润1429代入，解方程即可求出此时?的值．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为? = ?? + ?(? ≠ 0)，将表格中(21,110)、(22,100)代入，得
21? + ? = 110
22? + ? = 100 ，
? = −10
解得 ? = 320 ，
∴游客人数?与门票单价?的函数表达式为? = −10? + 320(? ≥ 21)；
（2）解：设环保费?与?的二次函数关系式为? = ??2 +??，代入(50,25)、(100,100)，得
2500? + 50? = 25
10000? + 100? = 100 ，
? = 1
解得100
? = 0
∴? = 1 ?2，
100
2
1
∴? = ? ⋅ ?−10?−100−100?
1
= ?(−10? + 320)−10(−10? + 320)−100− 100
(−10? + 320)2
= −11?2 +484?−4324，
∵−11 < 0，
∴二次函数开口向下，函数有最大值，
∵对称轴? = −
484
= 22，满足? ≥ 21，
2×(−11)
∴当? = 22时，?最大 = −11 × 222 +484 × 22−4324 = 1000，
即单价为22元时利润最大，最大利润为1000元；
（3）解：运营成本每人降低?元后，
1
? = ? ⋅ ?−(10−?)?−100− 100
?2
1
= ?(−10? + 320)−(10−?) (−10? + 320)−100− 100
(−10? + 320)2
= −11?2 + (484−10?)? + 320?−4324，
∵−11 < 0，
∴二次函数开口向下，
484−10?
5?
∵对称轴为? = −2×(−11) = 22−11，
5?
∴当? ≥ 22−11时，?随?增大而减小，
∵? > 3，
5?15
∴−11 < −11，
5?15
∴22−11 < 22−11，
15
∵22−11
< 21，即22−
5?
11
< 21，? ≥ 21，
∴当? = 21时，?最大 = −11 × 212 + (484−10?) × 21 + 320?−4324 = 989 + 110?，
当? = 1429时，989 + 110? = 1429，解得? = 4，
∴当利润最大值为1429元时?的值为4．
题型六二次函数的应用---拱桥问题
【典例 01】（2026·陕西西安·一模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞?1、?2、?3以及桥面?均呈抛物线型，如图所示，桥洞?1和?3与湖面的交点分别是?、?、?、?，以??的中点?为坐标原点，??所在直线为
?轴，??的垂直平分线??为?轴建立平面直角坐标系．已知桥洞?2的跨度?? = 20米，桥洞?1、?3关于?轴对称，桥洞?2的最高点?在??上，且??的长为 40 米，桥洞?3最高点到湖面??的距离为 5 米．
求桥洞?3所在抛物线的函数表达式；
现要悬挂两条警示标语?1?1、?2?2，?1?1、?2?2均与?轴平行，点?1、?1分别在?、?3上，点?2、?2
??? 1 2
分别在?、 1上，点 1、 2到??的距离均为 12 米．已知?所在抛物线的函数表达式为? = − ? +12，求
48
这两条标语的总长(?1?1 + ?2?2)．
【答案】(1)? = −1?2 +6?−40
5
5
(2)58
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键．
根据题意得到?(10,0)，?(20,0)，求出桥洞?3所在抛物线的顶点坐标为(15,5)，设?3抛物线
? = ?(?−10)(?−20)，将(15,5)代入，即可得到答案；
由于点?1、?2到??的距离均为 12 米，当? = 12时，求出?1(12,9)，?1
16 ，得到?1?
= 9−
1629
=
? ?
= ? ? ，即可得到答案．
= (12, 5 )1
55 ，根据对称性可知， 2 21 1
【详解】（1）解：由题意知，?? = 20，
∴ ?? = 10，即?(10,0)，
∵ ??的长为 40 米，桥洞?1、?3关于?轴对称，
∴ ?? = ?? = 20，即?(20,0)，
桥洞?3最高点到湖面??的距离为 5 米，
10+20
∴ 顶点坐标的横坐标为 2= 15，纵坐标为5；
设?3抛物线? = ?(?−10)(?−20)，将(15,5)代入，
5 = ?(15−10)(15−20)
1
∴ ? = −5，
桥洞?3所在抛物线的函数表达式为? = −1(?−10)(?−20) = −1?2 +6?−40；
55
（2）解：由于点?1、?2到??的距离均为 12 米，
1 21 2

当? = 12时，? = − ? +12 = −× 12 +12 = 9，
4848
∴ ?1(12,9)，
当? = 12时，1122 +6 × 12−40 = 16
∴ ?
? = −5 ×5 ，
16
1 = (12, 5 )，
∴ ? ?
1629
= 9− =
1 155 ，
根据对称性可知，?2?2 = ?1?1，
故(? ? + ? ? ) = 2 × 29 = 58
1 12 2
55 ；
【变式 01】（2025·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
问题情境：如图1，是距离渭河源头鸟鼠山 8 公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，因渭水绕灞陵（汉文帝陵墓）通长安而得名，是世界上唯一的纯木质悬臂梁与叠梁拱结构相结合的木质拱桥，又名握桥或卧桥．著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”，奠定了它在桥梁史上的重要地位．如图2，桥拱截面???可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约24米，桥拱顶点?到水面的距离为8米．
(1)模型建立：如图2，以该时刻水面为 x 轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的线为?轴建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的表达式；
1 2(0 ≤ ? ≤ 24)
(2)问题解决：现有两艘宽为6米，高为3.5米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由．
【答案】(1)? = − (?−12) +8；
18
(2)两艘小舟能同时从桥下穿过，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知点点?和点?的坐标分别为(0,0)和(24,0)，顶点为?(12,8)，然后利用待定系数法求解即可；
（2）求出当? = 3.5时?的值，然后计算比较即可；
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
【详解】（1）解：由题意得点?和点?的坐标分别为(0,0)和(24,0)，
∵?为抛物线的顶点，
∴?(12,8)，
设抛物线的表达式为? = ?(?−12)2 +8，
18
将点?(0,0)代入表达式可得? × (0−12)2 +8 = 0，解得? = − 1 ，
1 2(0 ≤ ? ≤ 24)

∴抛物线的表达式为? = − (?−12) +8；
18
（2）解：两艘小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
1 2

将? = 3.5代入? = − (?−12) +8，
18
1 2

得− (?−12) +8 = 3.5，
18
解得?1 = 21，?2 = 3，
∴小舟高度为3.5米时，最大的通行宽度为21−3 = 18（米）．
∵两艘小舟宽为6米，6 + 6 = 12 < 18，
∴两艘小舟能同时从桥下穿过．
【变式 02】（2024·浙江绍兴·一模）如图 1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽 20 米，拱顶到水面的距离为 6 米，到桥面的距离为 4 米，相邻两支柱间的距离均为 5 米，建立直角坐标系如图 2．
求抛物线的函数表达式．
求支柱??的长度．
3 2
随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为 5 米的正方形，当水位上升 0.75 米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．
【答案】(1)? = − ? +6
50
5.5 米
不能，理由见解析
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为? = ??2 +6（? ≠ 0），把?（10，0）代入求得 a 的值，即可得出函数关系式；
（2）将? = 5代入函数关系式求得 y 的值，可求出支柱??的长度；
53
（3）将? = 2代入函数关系式求得 y 的值，再与5 + 4进行比较即可．
【详解】（1）设抛物线的函数表达式为? = ??2 +6（? ≠ 0）．把?（10，0）代入得：100? + 6 = 0，
3
解得? = −50．
3 2
抛物线的函数表达式为? = − ? +6．·
50
当 x=5 时，? = − 3 × 25 + 6 = 4.5．，
50
∴?? = 10−4.5 = 5.5（米）．
不能，理由如下：
5
当? =
45
? =
3
5 + ．
2时，
8 ＜4
∴这艘货船不能顺利通过拱桥．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
课题
隧道限高问题
成员
组长：××× 组员：×××，×××，×××
工具
皮尺、标杆等
测量示意图
说明：如图，隧道的截面由抛物线和矩形????构成，其中 EF 为标杆．
测量数据
测量项目
数值
矩形的尺寸
长?? = 16m，宽?? = 6m；
标杆的尺寸
标杆?? = 7.5m，标杆底端到左墙的距离为?? = 4m；
【变式 03】（2026·广东东莞·模拟预测）某校“综合与实践”小组开展了“隧道限高问题”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
问题解决
(1)任务 1：请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，求隧道最高点 P 到路面??的距离；
(2)任务 2：如果该隧道内设双向行车道，根据以上测量结果，请你评估一辆大型货运汽车装载某大型设备
后高为7.6m，宽为3m能否安全通过．
1 2
【答案】(1)? = − ? +8，隧道最高点 P 到路面??的距离为8m
32
(2)大货车可以安全通过，理由见解析
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，设函数表达式为? = ??2 +?，根据题意，得点?,?的坐标为
?(4,7.5)，?(8,6)，利用待定系数法求解即可；
（2）隧道内设双向行车道，求出纵坐标与7.6m作比较即可．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图：
设函数表达式为? = ??2 +?，
根据题意，得点?,?的坐标为?(4,7.5)，?(8,6)，
代入，得
16? + ? = 7.5
64? + ? = 6 ，
? = − 1
解得32 ，
? = 8
1 2

∴抛物线的函数表达式为：? = − ? +8，
32
当? = 0时，? = 8，
∴隧道最高点 P 到路面??的距离为8m；
解：大货车可以安全通过，理由如下：
隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道，
? = −
∴当? = 3时， 1 × 32 +8 ≈ 7.72 > 7.6，
32
∴这辆大货车能安全通过这个隧道．
【变式 04】（2026·河南南阳·一模）为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，
校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形????，已知?? = 5m，?? = 4m，校门最高点到??的距离?? = 5
2
m．现需在校门上部的点?，?处各悬挂一个灯笼（点?，?均在抛物线上），且点?，?关于??对称，?，
?之间的距离为2m．
请以??所在的直线为?轴，??所在的直线为?轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点?的坐标．
求抛物线的函数表达式，并写出自变量?的取值范围．
若悬挂点到灯笼最底端的长为1.5m，求灯笼最底端离地面的高度．
13
2
2
【答案】(1)图见解析，点?的坐标为 5 ,
2
5
(2)? = −
(3)4.6m
?−
213
5
2
+ (0 ≤ ? ≤ 5)
2
【分析】（1）根据要求建立平面直角坐标系，根据矩形的性质得到?? = ?? = 5m，?? = ??，根据二次函
数的对称性可知 B、C 关于??对称，进而求出?
5
= ，根据
5 ，?? = 4m求出? = 13?
?2
?? = 2m
?2 ，即可求出点
的坐标；
（2）设抛物线的函数表达式为? = ? ?−
213
5
2
+ 2 ，将?
(0,4)
代入计算即可；
分别过点?，?作??的垂线，垂足分别为?，?，根据对称性求出
3
3
，求出当? = 时 y 的值，即
?? = 2m2
可得到灯笼最底端离地面的高度．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：
∵矩形????，
∴?? = ?? = 5m，?? = ??，
∵P 是抛物线最高点，
∴B、C 关于??对称，
∴?? =
1
2?? =
5m， 2
即??
5
= 2，
∵?? =
5m，?? = 4m，
2
513
∴?? = 2 +4 = 2 ，
13
2
2
即点?的坐标为 5 ,；
5
2
213
（2）解：设抛物线的函数表达式为? = ? ?−+ 2 ．
由题意，得?(0,4)，
将?
(0,4)代入表达式，得4 = ? ?−
213
5
2
+ 2 ，
2
解得? = −5．
2
5
∴ 抛物线的函数表达式为? = −
?−
2
5
2
+ 13(0 ≤ ? ≤ 5)；
2
（3）解：如图，分别过点?，?作??的垂线，垂足分别为?，?．
∵ ?? = 2m，
∴?? = 2m
∵点?，?关于??对称，
∴ ?? = 1(??−??) = 3(m)．
22
5
2
323
213
当? = 2时，? = −5 ×
∵ 6.1−1.5 = 4.6(m)，
−
2
+ = 6.1．
2
∴ 灯笼最底端离地面的高度为4.6m．
题型七二次函数的应用---投球问题
【典例 01】（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点?正上方 1.8
米的?点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，?为原点，??在?轴上，球的运动路线可以看作是二次函数
? = ??2 +?? + 1.8（?，?为常数）图象的一部分，其中?（米）是球的高度，?（米）是球和原点的水平距离，图象经过点(2,3.2)，(4,4.2)．
?（秒）
0
0.4
0.6
…
?（米）
0
4
6
…
信息二：球和原点的水平距离?（米）与时间?（秒）（0 ≤ ? ≤ 1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
求?与?的函数关系式；
网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当?为1.6秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数? = −0.02?2 +?? + ?（?，
?为常数）图象的一部分，其中?（米）是球的高度，?（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标?为2，纵坐标?大于等于1.8时，?的取值范围为（直接写出结果）．
【答案】(1)? = −0.05?2 +0.8? + 1.8
网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米
? ≤ 0.36
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
代入点(2,3.2)，(4,4.2)得到二元一次方程组求解即可；
（2）先求出球和原点的水平距离?（米）与时间?（秒）的关系式为? = 10?，再由二次函数的性质求解；
（3）先求出击球点位置为(16,1.8)，再将(16,1.8)代入? = −0.02?2 +?? + ?，求出? = −0.02?2
+?? + 6.92−16?，根据? = 2时，? ≥ 1.8，得到不等式，再解一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：∵图象经过点(2,3.2)，(4,4.2)，
4? + 2? + 1.8 = 3.2
16? + 4? + 1.8 = 4.2 ，
解得：
? = −0.05
? = 0.8 ，
∴?与?的函数关系式为? = −0.05?2 +0.8? + 1.8；
（2）解：由表格可知? = 0,? = 0，
∴设球和原点的水平距离?（米）与时间?（秒）的关系式为：? = ??(? ≠ 0)，代入(0.4,4)得：0.4? = 4，
解得：? = 10，
∴? = 10?，
对于? = −0.05?2 +0.8? + 1.8，? = −0.05 < 0，
∴开口向下，
∵对称轴为：直线? = −
0.8
= 8
2×(−0.05)
∴当? = 8时，?max = −0.05 × 82 +0.8 × 8 + 1.8 = 5，此时10? = 8，
解得：? = 0.8，
∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米；
（3）解：由题意得，当? = 1.6时，? = 1.6 × 10 = 16，
∴? == −0.05 × 162 +0.8 × 16 + 1.8 = 1.8，
∴击球点位置为(16,1.8)，
将(16,1.8)代入? = −0.02?2 +?? + ?，则−0.02 × 162 +16? + ? = 1.8，
∴? = 6.92−16?，
∴? = −0.02?2 +?? + 6.92−16?，
∵? = 2时，? ≥ 1.8，
∴−0.02 × 22 +2? + 6.92−16? ≥ 1.8，
解得：? ≤ 0.36，
故答案为：? ≤ 0.36．
【变式 01】（2026·广东珠海·一模）掷实心球是某市中考体育考试选考项目．小强为了解自己实心球的训 练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从?轴上的点?(0,2)处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点?的坐标为(4,3.6)，落 在?轴上的点?处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点 9 米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
【答案】(1)? = −0.1(?−4)2 +3.6
(2)该小朋友有危险，理由见解析
【分析】（1）根据抛物线的顶点为?(4,3.6)可以设解析式为? = ?(?−4)2 +3.6(? ≠ 0)，再将点?(0,2)代入求解即可；
（2）根据题意将? = 9代入解析式求解即可判断．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为?(4,3.6)，
∴设抛物线的顶点式为：? = ?(?−4)2 +3.6(? ≠ 0)，将出手点?(0,2)代入解析式：2 = ?(0−4)2 +3.6
2 = 16? + 3.6
16? = −1.6
解得? = −0.1，
∴抛物线的解析式为? = −0.1(?−4)2 +3.6；
解：该小朋友有危险，理由如下：由题意得，将? = 9代入抛物线解析式，得? = −0.1 × (9−4)2 +3.6
= −0.1 × 25 + 3.6
= 1.1（米），
∵小朋友身高为1.2米，
∴1.1 < 1.2，
∴该小朋友有危险．
【变式 02】（2026·辽宁铁岭·二模）足球训练中球员从球门正前方8米的?处射门，球射向球门的路线呈抛
物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以球门底部?点为原点，水平地面??为?轴建立如图所示直角坐标系．
求抛物线的函数表达式；
1 2
(2)若球门?? = 2.52米，守门员最大防守高度?? = 2.25米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正前方移动?米再射门，足球恰好从??之间射进球门（不含点?和?），求?的取值范围．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为? = − (?−2) +3
12
?的取值范围为4.4 < ? < 5
【分析】（1）根据题意，先得出对应的顶点坐标和?点坐标，由顶点式即可得出结果；
（2）先得出移动后的函数表达式，由点?，?坐标即可得出?的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意可判断，抛物线顶点坐标为(2,3)，?(8,0)，令抛物线的函数表达式为? = ?(?−2)2 +3，
将点?(8,0)代入 ? = ?(?−2)2 +3，
得0 = ?(8−2)2 +3，
1
解得? = −12，
1 2

故抛物线的函数表达式为? = − (?−2) +3．
12
? 1 2
（2）解：令移动?(? > 0)米后得抛物线表达式为 1 = − (? + ?−2) +3，
12
?1 2

若恰达到?点，即? = 0时， 1 = − (0 + ?−2) +3 = 2.25，
12
解得? = 5或? = −1（舍去）；
?1 2

若恰达到?点，即? = 0时， 1 = − (0 + ?−2) +3 = 2.52，
12
解得? = 4.4或? = −0.4（舍去）；综上，?的取值范围为4.4 < ? < 5．
【变式 03】（2026·山东青岛·一模）某智慧网球馆部署了AI鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、
速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一 次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点?正上方2米的?点将球击出，球在距离发球点?水 平距离6米处达到最高，最高点距离地面3.5米．在如图所示的平面直角坐标系中，?为原点，??在?轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中?（米）是球的高度，?（米）是球与原点的水平距离．
求该抛物线的函数表达式；
已知球网高1.07米，发球点?到球网的水平距离为13米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到0.01米）
鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点16米处准备接球．已知小亮的有效接球高
513
度范围为6米至 6 米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其
站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动?米（0 < ? < 3）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，
?的最小值是多少？
1 2
【答案】(1)? = − (?−6) +3.5
24
(2)球离球网顶端的高度差为0.39米
(3)?的最小值是 2 米
【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为(6,3.5)，设抛物线的函数表达式为? = ?(?−6)2 +3.5，把?(0,2)
代入，即可求解；
（2）把? = 13代入（1）中解析式，即可求解；
5
（3）把? = 6代入（1）中解析式，求得? = 14，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为(6,3.5)，
∴设抛物线的函数表达式为? = ?(?−6)2 +3.5，把?(0,2)代入可得2 = ? × 62 +3.5，
1
解得，? = −24，
1 2

∴抛物线的函数表达式为? = − (?−6) +3.5；
24
（2）解：由题意，把? = 13代入? = − 1 × (?−6)2 +3.5得，
24
? = − 1 × (13−6)2 +3.5 = 35
2424，
，
35
−1.07 ≈ 0.39
24
∴球离球网顶端的高度差为0.39米．
? = −
（3）解：由题意，把? = 5代入 1 × (?−6)2 +3.5
5 = − 1 × (?−6)2 +3.5，
624
得，624
解得? = 14，? = −2（舍去）， 16−14 = 2（米），
∴?的最小值是2米．
【变式 04】（2026·陕西渭南·一模）如图，在某次网球训练中，运动员甲在距离球网??水平距离为3m的位置?点将网球击出，网球的运动路线是抛物线形状，点?到地面??的距离??为0.75m，在距离球网??水平距离为4m时，网球运动到最大高度3.2m，落地点为?点．以?为坐标原点，地面??所在直线为?轴，球网??所在直线为?轴建立平面直角坐标系．
(1)求网球运动路线所在抛物线的函数表达式；
1 2
(2)球网??在网球场地的正中间位置，若这个网球场地的长度为36.6m，请你判断该网球的落地点?是否在网球场地外？并说明理由．
【答案】(1)? = − (?−4) +3.2
20
(2)该网球的落地点?在网球场地内．
【分析】（1）根据题意可知，点?的坐标为(−3,0.75)，抛物线的顶点坐标为(4,3.2)，设抛物线的解析式为
? = ?(?−4)2 +3.2，把点?的坐标(−3,0.75)代入? = ?(?−4)2 +3.2，求出?的值，即可得到抛物线的解析式；
1 2
（2）当? = 0时，可得方程− (?−4) +3.2 = 0，解方程可得：?? = 12m，根据网球场地的长度为36.6m，
20
球网??在网球场地的正中间位置，所以对面场地的长度为18.3m，所以点?在场地内．
【详解】（1）解：由题意可知，点?的坐标为(−3,0.75)，抛物线的顶点坐标为(4,3.2)，设抛物线的解析式为? = ?(?−4)2 +3.2，
把点?的坐标(−3,0.75)代入? = ?(?−4)2 +3.2，可得：0.75 = ?(−3−4)2 +3.2，
1
解得：? = −20，
1 2

∴ 抛物线的解析式为? = − (?−4) +3.2；
20
（2）解：点?在场地内，理由如下：当? = 0时，
1 2
−
可得：(?−4) +3.2 = 0，
20
解得：?1 = 12，?2 = −4（不符合题意，舍去），
∴ ?? = 12m，
网球场地的长度为36.6m，球网??在网球场地的正中间位置，
∴ 1 × 36.6 = 18.3m，
2
∵ 12 < 18.3，
∴ 该网球的落地点?在网球场地内．
题型八二次函数的应用---喷水问题
【典例 01】（2026·内蒙古锡林郭勒·一模）洒水车是城市绿化的主力军．如图 1，洒水车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物线．数学兴趣小组成员为了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带，通过建立数学模型进行探索．
如图 2，建立平面直角坐标系，喷水口 H 离地面竖直高度 h 为1.2米．可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．上边缘抛物线最高点?离喷水口的水平距离为 2 米，喷出水的最大射程??为 6米．把绿化带横截面抽象为矩形????，其水平宽度?? = 1.5米．竖直高度?? = 0.7米，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段??的长来表示．小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．
【问题解决】
直接写出点 C，H 的坐标；
求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与?轴交点 B 的坐标；
若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形????位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求??的取值范围．
【答案】(1)?(6,0)；?(0,1.2)
(2)上边缘抛物线的解析式为?1 = −0.1(?−2)2 +1.6；下边缘抛物线的解析式为?2 = −0.1(? + 2)2 +1.6；B
的坐标为(2,0)
(3)2 ≤ ?? ≤ 3.5
【分析】（1）直接根据题意得出点 C、H 的坐标即可；
（2）先推导出上边缘抛物线的顶点为?(2,?)，且过点?(0,1.2)和?(6,0)，设上边缘抛物线的顶点式为?1 = ? (?−2)2 +?(? ≠ 0)，将?(0,1.2)，?(6,0)分别代入，求出上边缘抛物线的解析式为：?1 = −0.1(?−2)2 +1.6，由下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点?(0,1.2)，设下边缘抛物线的解析式为?2 = −0.1 (?−2 + ?)2 +1.6，将?(0,1.2)代入，求出下边缘抛物线的解析式为?2 = −0.1(? + 2)2 +1.6，继而求出点 B
的坐标即可；
（3）先求出?? = 2，则?? ≥ 2，将?1 = 0.7代入?1 = −0.1(?−2)2 +1.6，解得? = −1（不符合题意，舍去）或? = 5，此时?? = 5−1.5 = 3.5，则2 ≤ ?? ≤ 3.5，即可解答；
【详解】（1）解：∵喷水口 H 离地面竖直高度 h 为1.2米，
∴?(0,1.2)；
∵喷出水的最大射程??为 6 米，
∴?(6,0)；
解：∵上边缘抛物线的顶点为?(2,?)，且过点?(0,1.2)和?(6,0)，所以设上边缘抛物线的顶点式为?1 = ?(?−2)2 +?(? ≠ 0)，
将?(0,1.2)，?(6,0)分别代入，得：
1.2 = 4? + ?
0 = 16? + ? ，
? = −0.1
解得 ? = 1.6 ，
∴上边缘抛物线的解析式为：?1 = −0.1(?−2)2 +1.6，即?1 = −0.1?2 +0.4? + 1.2，
∵下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点?(0,1.2)，
∴设下边缘抛物线的解析式为?2 = −0.1(?−2 + ?)2 +1.6，将?(0,1.2)代入，得
1.2 = −0.1(−2 + ?)2 +1.6，
解得? = 4或? = 0（与上边缘重合，舍去），
∴下边缘抛物线的解析式为：?2 = −0.1(? + 2)2 +1.6，令? = 0，则−0.1(? + 2)2 +1.6 = 0，
即(? + 2)2 = 16，
解得? = 2或? = −6（不符合题意，舍去），
∴下边缘抛物线与 x 轴交点 B 的坐标为(2,0)．
解：∵?(2,0)，
∴?? = 2，则?? ≥ 2，
将?1 = 0.7代入?1 = −0.1(?−2)2 +1.6，得
−0.1(?−2)2 + 1.6 = 0.7
解得? = −1（不符合题意，舍去）或? = 5，
∴当? = 5时，点 F 在上边缘抛物线上，此时?? = 5−1.5 = 3.5，
∴2 ≤ ?? ≤ 3.5．
【变式 01】（2026·山西晋城·一模）综合与实践
问题情境：
打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径．
实验数据：
铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面16m，表演台中心与铁水落地点的水平距离为24m．
数学建模：
用如图 1 所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为?，对称轴为直线?，铁水落地点为?．以表演台中心为原点?，水平向右为?轴正方向，过点?且竖直向上为?轴正方向，建立平面直角坐标系．
问题解决：
求该抛物线的表达式．
铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于12m的水平飞行距离有多长？
如图 2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面5m高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点4m以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为28m的位置是否在观赏区安全范围内，
21
并说明理由．（参考数据：
【答案】(1)? = −1(?−12)2 +16
9
= 4.583）
12m
与表演台中心水平距离为28m的位置不在观赏区安全范围内，理由见解析
【分析】（1）设顶点式? = ?(?−12)2 +16，再代入原点即可得解；
先求出距离地面高度不低于12m的 x 的范围，进而得解；
由（1）所得抛物线向上平移 5 个单位长度可得新的抛物线，再令? = 0求出落地点与表演台中心水平距离，再求出安全距离，比较大小即可得解．
【详解】（1）解：根据题意，该抛物线的顶点 N 的坐标为12，16，设该抛物线的表达式为? = ?(?−12)2 +16，
把?(0,0)代入，得0 = ?(0−12)2 +16，
1
解得? = −9，
∴ 该抛物线的表达式为
1(?−12)2 +16．
? = −
9
（2）解：当? = 12时，
1(?−12)2 +16，
解得：?1 = 6,?2 = 18，
12 = −
9
1
∵ −9
< 0，
∴ 当6 ≤ ? ≤ 18时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于12m，
∴ 距离地面高度不低于12m的水平飞行距离为18−6 = 12m．
（3）解：与表演台中心水平距离为28m的位置不在观赏区安全范围内，理由如下：
由题意知，新抛物线解析式为? = −1(?−12)2 +16 + 5 = −1(?−12)2 +21，
当? = 0时，
99
1(?−12)2 +21，
0 = −
9
解得：?1 = 12 + 3 21,?2 = 12−3 21（不符合题意，舍去），
21
∵ 12 + 3+4 = 29.749 > 28，
∴ 与表演台中心水平距离为28m的位置不在观赏区安全范围内．
【变式 02】（2026·江苏扬州·一模）综合与实践
问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座
（水平面上）0 点喷出，其距水面的竖直高度 y（单位：m）与距喷口点 0 的水平距离 x（单位：m）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表：
问题解决：
将表格中各组对应值作为点的坐标，在图 1 所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出 y
与 x 的函数关系式．
为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一
?/m
0
10
20
30
40
?/m
0
7.5
10
7.5
0
个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于5m，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）．
1 2
如图 2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度 y（单位：m）与距喷水点 0 的水平距离 x（单位：m）近似满足关系式：? = −0.05?2 +??．在距喷口点 0 水平距离44m处有一个互动装置点 M，要求水柱能落在距互动装置点 M 的4m范围内（含4m），求 t 的取值范围．
【答案】(1)? = − (?−20) +10
40
2
(2)20
(3)2 ≤ ? ≤ 2.4
1 2 1 2
【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式；
（2）对于? = − (?−20) +10，令? = 5，则− (?−20) +10 = 5，求出方程的根，即可求解这条观赏灯
4040
带可铺设的最大长度；
（3）对于? = −0.05?2 +??中，令? = 0，求出方程的根，根据题意可得44−4 ≤ ? ≤ 44 + 4，即可求解?的取值范围．
【详解】（1）解：描点画图如答图所示：
根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为(20,10)，设?与?的函数关系式为? = ?(?−20)2 +10(? ≠ 0)，
∵当? = 0时，? = 0
∴? × (0−20)2 +10 = 0
解得? = − 1
40
1 2

∴?与?的函数关系式为? = − (?−20) +10；
40
1 2
（2）解：由题意得，对于? = − (?−20) +10，令? = 5，
40
则− 1 (?−20)2 +10 = 5
40
2
解得?1 = 20−10 2，?2 = 20 + 10
∴?2−?1 = 20 2，
答：观赏灯带可铺设的最大长度为20 2m；
（3）解：在? = −0.05?2 +??中，令? = 0
则−0.05?2 +?? = 0
解得?1 = 0（舍去），?2 = ?
0.05
= 20?
根据题意，要使水柱能落在距互动装置点 M 的4m范围内(含4m)，则44−4 ≤ ? ≤ 44 + 4，即40 ≤ ? ≤ 48，
∴40 ≤ 20? ≤ 48
解得2 ≤ ? ≤ 2.4．
【变式 02】（2026·山东青岛·一模）学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图 1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口 A 点喷出（如图 2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为 y 轴，建立如图 3 所示的平面直角坐标系，已知喷口 A 点到台面高度??为18cm，??为4cm，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为? = ??2 +?? + 15，这滴洗手液在水平方向喷出3cm时，到台面高度为15cm．
求这滴洗手液轨迹的函数关系式；
当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口 A 点的水平距离是多少？
小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心??约为4cm，现在点 M 到喷口 A 点的水平距离为
3cm．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心??到台面的高度 h 的取值范围．
【答案】(1)? = −1?2
4
7
+ 4? + 15
8cm
4 ≤ ℎ ≤ 15
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令? = 0，解一元二次方程即可；
（3）分当洗手液恰好落到手心左端 M 和洗手液恰好落到手心右端 N 两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：由题意，抛物线过(4,18)、(7,15)两点．把(4,18)、(7,15)代入? = ??2 +?? + 15，
16? + 4? + 15 = 18
得： 49? + 7? + 15 = 15
? = − 1
解得：
4
? = 7
4
所以洗手液轨迹的函数关系式为
1?27．
? = −
4
+ 4? + 15
（2）解：令? = 0，得
1?27．
4
−+ ? + 15 = 0
4
解得? = 12或? = −5（舍去）．与喷口水平距离为12−4 = 8cm．
故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离8cm的位置．
（3）解：由题意得，点 M 横坐标为? = 4 + 3 = 7，点 N 横坐标为? = 7 + 4 = 11．当洗手液恰好落到手心左端 M 时：
令? = 7，得
1727，
? = −4 ×+ 4 × 7 + 15 = 15
7
当洗手液恰好落到手心右端 N 时：
令? = 11，得
1
? = −4 ×
112
+ 4 × 11 + 15 = 4，
1?
∵? = − < 0，抛物线开口向下；−
7
−
= 4 = 7
42?
2× − 12
4
7
∴在? > 2时，y 随 x 增大而减小．
∴手心??离台面的高度 h 的范围是4 ≤ ℎ ≤ 15．
【变式 04】（2026·山东聊城·一模）如图 1 所示，公园有一斜坡草坪可以看成射线??，其倾斜角为30°，该斜坡上有一棵小树??（垂直于水平面），树高4m，现给该草坪洒水，已知小树的底端点 A 与喷水点 0 的距离?? = 4m，建立如图 1 所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是6m，且恰好经过小树的顶端点 B，最远处落在草坪的 C 处．
(1)求抛物线的关系式；
(2)如图 2，现决定在山上种另一棵树??（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架??，求出??的最大值．
【答案】(1)? = −1?2 +2 3?；
2
12
(2)25 3m
【分析】（1）延长??交 x 轴于点 H，求出?点坐标，推出点 B 为抛物线的顶点，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线??的解析式，设? ?, 3 ? ，则? ?,− 1 ?2 + 2 3? ，将??转化为二次函数求最值即可.
32
【详解】（1）解：如图，延长??交 x 轴于点 H，则∠??? = 90°，
∵∠??? = 30°，?? = 4m，
∴?? =
?? = 2m，?? = ?? ⋅ cs∠??? = 4cs30° = 4 ×
3
1
22
= 2 3，
∵?? = 4m，
∴?? = ?? + ?? = 4 + 2 = 6m，
∴?2 3,6，
∵水路到达的最大高度是 6 米，且恰好经过小树的顶端点 B，则点 B 为抛物线的顶点，
2
∴设抛物线解析式为? = ?(?−2 3) +6，
1
将?(0,0)代入得12? + 6 = 0，解得：，
? = −2
∴抛物线解析式为
1(?−2 3)2
? = −
2
+6 = −+2 3?；
1?2
2
3
（2）解：由（1）知，?2 3,2，设直线??的解析式为? = ??，则2 3? = 2，解得：? = 3，
∴? = 3?，
3
如图 2，设? ?, 3 ? ，则? ?,− 1 ?2 + 2 3? ，
32
∴?? = −1?2 31?2 + 5 3?，
+2 3?− ? = −
2
∵∠1 = 30°，
∴∠2 = 60°，
∵??∥?轴，
323
∴∠??? = ∠2 = 60°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
1 25 3
1 25 3
2
5 3
3
25 3
12
33
∴?? = ?? ⋅ sin∠??? = − 2 ?
，
3
∴−< 0
4
+ 3 ? sin60° = − 2 ?
+ 3 ? × 2 = − 4 ?−
+，
5 3
3
25 3
12
∴当? =时，??取得最大值，
12
答：??的最大值为25 3m．
题型九二次函数的应用---图形运动问题
【典例 01】（2026·河南周口·模拟预测）如图 1，在△ ???中，?? = 3cm，?? = 5cm，∠? = 90°．动点?从点?出发，以1cm/s的速度沿折线?→?→?运动，到达点?时运动停止．动点?同时从点?出发以1cm/s的速度沿射线??向点?运动，到达点?时也停止运动．
(1)当? = s 时， △ ???的面积是 2．
(2)数学兴趣小组决定借助函数图象研究 △ ???的面积?（单位：cm2）与运动时间?（单位：s）的关系，图
2 是他们画出了图象的一部分．
①请你求出△ ???的面积?的最大值，并在图 2 中画出4 ≤ ? ≤ 8时的函数图象；
②在点?、?运动的过程中，请直接写出△ ???的面积为 3 时，对应的?的值．
19
【答案】(1)当? = 2s或 3 s时， △ ???的面积是 2
2411
(2)① 5 ；见解析；② 6或 2
【分析】（1）分三种情况，当点 P 在??上时；当点 P 在??上，点 Q 未到达点 C 时；当点 P 在??上，点 Q
到达点 C 时，即可求解；
（2）①结合（1）分三种情况：当? ≤ 3时；当3 < ? ≤ 4时；当4 ≤ ? ≤ 8时，结合二次函数的和一次函数的性质解答即可；②结合①中函数关系式，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：当点 P 在??上时，此时?? = ?cm,?? = ?cm，其中? ≤ 3，
∵∠? = 90°， △ ???的面积是 2，
11?2
2
∴?? × ?? = 2，即
2
= 2，
解得：? = 2（负值舍去）；
当点 P 在??上，点 Q 未到达点 C 时，过点 Q 作?? ⊥ ??于点 D，过点 A 作?? ⊥ ??于点 E，此时?? = (?−3) cm，?? = (8−?)cm，?? = ?cm，其中3 < ? < 4，
∵?? = 3cm，?? = 5cm，∠? = 90°，
??2−??2
∴?? == 4cm，
∴?? = (4−?)cm，
11
∵?△??? = 2?? × ?? = 2?? × ??，
1112
5
∴ × 3 × 4 = ?? × 5，解得：?? = ，
22
????
∵sin? = ?? = ??，
3??
∴5 = 4−?，
∴?? = 3(4−?)， 5
∵ △ ???的面积是 2，
∴?△??? = ?△???−?△???−?△??? = 2，
111213
2
即2 × 3 × 4−2 × 5 (?−3)−
× (4−?) × (8−?) = 2，
5
2
解得：?1 = 12−2 21,?
3
12+2 21
=3（均不符合题意）；
当点 P 在??上，点 Q 到达点 C 时，过点 A 作?? ⊥ ??于点 E，此时?? = 5 + 3−? = (8−?)cm，?? = 4cm，其中4 ≤ ? ≤ 8，
∵ △ ???的面积是 2，
∴1?? × ?? = 2，即1(8−?) × 12 = 2，
225
19
解得：? = 3 ；
19
综上所述，当? = 2s或 3 s时， △ ???的面积是 2；
（2）解：①由（1）得：当? ≤ 3时，? = 1?2，
2
9
此时当? = 3时，S 取得最大值，为2；
111213
3 2123
224
2
10
10
当3 < ? ≤ 4时，? = × 3 × 4− × (?−3)−
225
× 5(4−?) × (8−?) = −
? + 5 ? = −
(?−4)
+ 5 ，
∵− 3 < 0，
10
24
此时当? = 4时，S 取得最大值，为 5 ；
当4 ≤ ? ≤ 8时，? = 1(8−?) × 12
648
5
25 = −? + 5 ，
−
∵ 6 < 0，
5
∴y 随 x 的增大而减小，
24
∴此时当? = 4时，S 取得最大值，为 5 ；
24
综上所述，S 的最大值为 5 ；
对于648
? = −5? + 5 ，当? = 8时，? = 0，
∴函数
648
(8,0)，
? = −5? + 5 的图象过点
画出4 ≤ ? ≤ 8时的函数图象如下：
②当? ≤ 3
1
?2
时，2= 3，
此时? = 6（负值舍去）；
3 224

当3 < ? ≤ 4时，− (?−4) + = 3，
105
此时? = 4 ± 6（不符合题意，舍去）；
，
当4 ≤ ? ≤ 8时， 648 = 3
−? +
55
11
此时? = 2 ；
11
综上所述， △ ???的面积为 3 时，对应的?的值为 6或 2 ．
【变式 01】（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形????中，?? = 8，?? = 6．点?从点?出发，沿??方向以每秒 1 个单位长度的速度向点?运动；点?同时从点?出发，沿??方向以每秒 2 个单位长度的速度向点?运动．当点?到达点?时，?，?同时停止运动．设运动时间为?秒（0 < ? ≤ 3）．连接??，将线段??绕点?按逆时针方向旋转90°得到线段??，??与??相交于点?，连接??，??．解答下列问题：
当?? ∥ ??时，求?的值；
设四边形????的面积为?，求?关于?的函数表达式；并求出四边形????面积的最小值；
是否存在某一时刻?，使得线段??经过点?？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)? = 8
3
(2)? = (?−1)2 +15，当? = 1时，四边形????的面积最小，最小值为15
(3)存在，? = 7− 17
2
【分析】（1）根据矩形的性质，结合旋转的性质，得到?? = ??，用 t 表示两条线段的长，建立等式求解
即可；
2
证明 △ ??? ∽△ ???，得到?? = 4−?，表示?四边形???? = (?−1)2 +15，利用二次函数的最值解答即可；
?2−?
证明△ ??? ∽△ ???，得到8+? = 8−3?，整理得到一元二次方程，求解即可；
【详解】（1）解：由题意得，?? = ??，∠??? = 90°
∴∠??? = 45°
∵四边形????是矩形
∴?? ∥ ??
∴当?? ∥ ??时，?? ∥ ??
∴∠??? = ∠??? = 45°
∴?? = ??
即8−? = 2?
8
解得 ? = 3；
∵四边形????是矩形
∴∠??? = ∠??? = 90°
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°
∵∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°
∴∠??? = ∠???
∴ △ ??? ∽△ ???
∴?? = ??
??8−?
=
??
?? 即， ?
2?
?
∴?? = 4−2，
∴?四边形???? = ?梯形????−?△???
(4− + 2?) × 8
?
=2− (8−?) × 2?
22
= (?−1)2 +15，
∵ 1 > 0，
∴当? = 1时，四边形????的面积最小，最小值为15．
解：假设存在合题意的?，过点?作?? ⊥ ??，交??的延长线于点?，作?? ⊥ ??，交??的延长线于点
?，延长??交??于点?
∵∠??? = ∠???，?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°
∴ △ ???≌ △ ???
∴?? = ?? = 8−?，?? = ?? = 2?
∴?? = ?? = ?，?? = 8 + ?，?? = ?? = 8−?−6 = 2−?,?? = 8−?−2? = 8−3?，
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 90°
∴ △ ??? ∽△ ???
∴?? = ?? 即， ?
2−?
=
??
??
8+?
8−3?
解得?1 = 7− 17，?2 = 7+ 17 > 3(舍)
22
7− 17
2
∴当? =时，线段??经过点?．
【变式 02】（2025·吉林·模拟预测）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，∠? = 30°，?? = 3cm，D 是??边中点，延长??至点 E，使?? = ??，动点 P、Q 分别从点 E、D 同时出发，点 P 以1cm/s的速度沿??向终点 D 运动，点 Q 以1cm/s的速度沿?→?→?运动，以??为边向??上方作等边三角形???．设 △ ???与 △ ???重叠部分的面积为?(cm2)，点 P 运动的时间为?(s)．
(1)?? = ；
当点 A 落在边??上时，求 t 的值；
当 △ ???与 △ ???重叠部分的图形是四边形时，求 S 与 t 之间的函数解析式．
3
【答案】(1)
(2)? = 1
2
− 3 ?2 + 3 3? + 15 3
0 < ? < 1
(3)? =4
4162
3
− 3 3 ?2 + 3 3 ? + 45 3
< ? < 3
88322
【分析】本题考查了二次函数的其他应用，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，难度较大，综合性较强，解决问题的关键是分类讨论．
??
（1）结合直角三角形的相关性质进行列式，再把数值代入tan∠? = ??，可得出?? = 3，即可作答．
（2）解直角三角形???得出?? =??
=3 =
= 1，结合 D 是??的中点，得13，
3
3
进一步得出结果；
tan∠???
tan60°
?? = ?? = 2?? = 2
（3）分两种情形：当0 < ? < 1时，设??与??交于点 W，作?? ⊥ ??于 V，则?? = 3?? = 3
3 −? ，进
222 2
而得出?
△???
，可求得?
△???
3
，进而得出结果；同样求得当2 < ? < 3时的结果..
【详解】（1）解：∵在Rt △ ???中，∠??? = 90°，∠? = 30°，?? = 3cm，
，
??
∴tan∠? = ??
即tan30° = ?? = 3，
33
3
∴?? =
故答案为： 3；
解：∵以??为边向??上方作等边三角形???．即△ ???是等边三角形，
3
∴∠??? = 60°，由（1）得?? =
∵∠??? = 90°，
??
∴?? = tan∠???
=3
tan60°
== 1
3
3
∵D 是??的中点，
13
∴?? = ?? = 2?? = 2
1
∴?? = ??−?? = 2，
∴动点P、Q 分别从点E、D 同时出发，点P 以1cm/s的速度沿??向终点D 运动，点Q 以1cm/s的速度沿?→?→?
运动，
1
∴? = 2；
解：如图 1，
1
当0 < ? < 2时，设??与??交于点 W，作?? ⊥ ??于 V，
∵∠??? = 60°，∠? = 30°
∴∠??? = ∠???−∠??? = 60°−30° = 30°，
∴∠? = ∠???，
3
∴?? = ?? = 2−?
∴?? = 3?? = 3
3 −?
22 2
1133 33 32
∴?△??? = 2 × ?? × ?? = 2 ×
2 −? × 2
2 −? = 4
−?
2
3
则?△??? = 1 × ?? × ?? = 1 ×
22
× 3 =
3
2 3
3 3 32
3 2
3 3?
15 3
∴? = ?△???−?△??? = 2 3− 4
如图 2，
3
当2 < ? < 3时，
−?
2
= − 4 ?
+
4 + 16
设??与??交于 T，??交??于 W，
9
∴?? = ??−??−?? = 2−?−
?−
= 6−2?
3
2
1
∴?
3?? = 3??2 = 3(6−2?)2
△??? = 2 × ?? × 244
则?? = ??−?? = ??−?? = (6−2?)−?−
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
15
3
2
= 2 −3?
1
∴?? = 2??,?? =
3??
2
∴?
1
△??? = 2?? × ?? =
3(15−3?)2
8
则? = ?△???−?△???−?△???
3
3
4
3
2
3
2
=(6−2?)2− 4
?−
−(15−3?)2 8
= − 3 3 ?2 + 3 3 ? + 45 3
8832
− 3 ?2 + 3 3? + 15 3 0 < ? < 1
．
综上所述： ? =4
4162
3
− 3 3 ?2 + 3 3 ? + 45 3
< ? < 3
88322
【变式 03】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形????和?? △ ???中，?? = 8cm，?? = ?? = 6cm，动点 P 从点 A 出发，沿??方向匀速运动，速度为1cms；同时，动点 Q 从点 E 出发，沿??方向匀速运动，速度为2cms．过点 P 作??∥??，与??交于点 M，与??交于点 F，连接??．设时间为? （0 < ? ≤ 5），解答下列问题：
当?? ∥ ??时，求 t 的值；
设五边形?????的面积为?(cm2)，求?与 t 的函数关系式；
是否存在某一时刻 t，使点 Q 在∠???的平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
s
【答案】(1)? = 40
11
39 2
6?
(2)? = −? +
+48(0 < ? ≤ 5)
405
(3)不存在这个时刻，使?在∠???的平分线上
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角函数、勾股定理、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
过点?作?? ⊥ ??交??于?，证明△ ???是等腰三角形，得到∠?的三角函数值，当?? ∥ ??时，
∠??? = ∠???，证明 △ ???是等腰三角形，根据解直角三角形求解；
（2）根据?????? = ?梯形?????−?△???−?△???化简即可；
（3）过点?作?? ⊥ ??交??于?，连接??，当点?在∠???的平分线上时，?? = ??，根据?????? = ?△???
+ ?????求出代数式，再结合（2）中的式子列方程即可．
【详解】（1）解：如图，过点?作?? ⊥ ??交??于?，
由题意知，?? = ?? = 8cm，?? = ?? = 6cm，
62 + 82
∴?? = ?? == 10cm，
∴ △ ???是等腰三角形，∠??? = ∠?，
??84
??63
??84
tan∠? = ?? = 6 = 3，cs∠? = ?? = 10 = 5，sin∠? = ?? = 10 = 5，
∵??∥??，
∴∠??? = ∠?，
∵?? = ?cm，?? = 2?cm，
∴?? = ??−?? = 8−?，?? = ??−?? = 10−2?，
??
∴?? =
??
=
= 3(8−?)，?? = ??−?? = 12−3(8−?)3 ；
tan∠???
tan∠?4
4= 6 + 4?
当?? ∥ ??时，∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠?，
∴∠??? = ∠?，
∴ △ ???是等腰三角形，
∴?? = ?? =
1
2?? =
6 + 3
1
2
4
? = 3 +
3?，
8
3
∴cs∠??? = ?? = 3+8 ? =
24+3?
，
??2?
∴24+3? = 3，
16?
16?5
s
解得：? = 40 ；
11
解：∵0 < ? ≤ 5，
∴?点运动到点?就停止运动；
由（1）知，?? = ?，?? = 8−?，?? = 3(8−?)，
3 ，?? = 2?，sin∠? = 4，
4?? = 6 + 4?5
48?
∴?? = ??sin∠? = 5 × 2? = 5 ，
?????? = ?梯形?????−?△???−?△???
1
2
8?
5
6 + 12133
=2× 8− 2 × 4 (8−?) × (8−?)−6 + 4 ?
183
=
3
4?
5
2
2 × 8− 8 (8−?) −
3
6 + 4 ?
24?
3?2
= 9 × 8−
(64−16? + ?2)− 8
5 − 5
3 224?3 2
= 72−24 + 6?− 8 ? − 5 − 5 ?
24?
5
3
8
3
= 48 + 6?−−?2 + 5 ?2
39
= −?
40
6?
2
+ 5
+48，
39
∴? = −?
40
+ 6? + 48(0 < ? ≤ 5)；
2
5
解：如图，过点?作?? ⊥ ??交??于?，连接??，
当点?在∠???的平分线上时，?? = ??；
由（2）知?? = ?，?? = 8−?，?? =
3(8−?)
4
，?? = 6 +
3?，?? = 4 +
4
1?，?? = ??−?? = 12− 3 +
2
3
8 ? = 9−
3?，
8
∴?? = 4 +
1
1?，?? =
??2 + ??2
2
1
5(8−?)
= 5(8−?)， 4
15 2
∴?△??? = 2??·?? = 2 × 4 ×
× 4 + 2 ? = −
? +20，
16
而????? = ?梯形?????−?梯形????−?△???
6 + 12?? + ??1
=2× 8−2× ??− 2 ?? × ??
(8−?) + 4 + 2 ?
1
= 72−
3131
2× 9− 8 ? − 2 × 3 + 8 ? × 4 + 2 ?
= 72−
9
3
32
?2− 2 ? + 54 −
3
3
32
?2 + 2 ? + 6
3 2

= − ? +3? + 12，
16
∴?????? = ?△??? + ?????
5
= − 16
3
?2 + 20 + − 16
?2 + 3? + 12
= −1?2 +3? + 32，
2
结合（2）中的结果，有：
1
−?
+3? + 32 = −
9 ?2
+3? + 36，
2
216
解得：? =± 8；
∵0 < ? ≤ 5，
∴不存在这个时刻，使?在∠???的平分线上．
【变式 04】（2025·江苏徐州·模拟预测）在▱????中，已知?? = 5，?? = 2 2，∠? = 45°，以??所在直线为?轴，?为坐标原点建立直角坐标系，将▱????绕?点按逆时针方向旋转90°得到▱????（图 1）
直接写出 C、F 两点的坐标．
▱????沿?轴的负半轴以 1 米/秒的速度平行移动，设移动后?秒（图 2），▱????与▱????重叠部分的面积为?，当点?移动到▱????的内部时，求?与?之间的关系式．
若▱????与▱????同时从?点出发，分别沿?轴、?轴的负半轴以 1 米/秒的速度平行移动，设移动后?秒（如图 3），▱????与▱????重叠部分的面积为?，当点?移动到▱?′???的内部时，求?与?之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值．
【答案】(1)?(7,2)，?(−2,7)
(2)? = −1?2 +2?−2(2 < ? < 4)
4
− 1 (?−4)2 + 4(2 < ? ≤ 3)
(3)? =
2
− ?−
15
7
2
2
+ 15 (3 < ? < 4) ，重叠部分面积的最大值是 4
4
【分析】（1）根据勾股定理和坐标知识可求出?，?的坐标；
（2）因为∠??? = ∠??? = 45°，以及重叠部分的面积可用四边形????和三角形???的面积来表示出来，从而可求出解析式；
（3）分两种情况：当2 < ? ≤ 3时和当3 < ? < 4时进行讨论，分别求出表示面积的解析式，然后根据二次函数最值求解即可．
【详解】（1）解：如图，过?作?? ⊥ ?轴，过?作?? ⊥ ?轴，
∵在▱????中，已知?? = 5，?? = 2 2，∠? = 45°，
∴?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ?? =
??
= 2，
2
则?? = ?? = 2，?? = 5 + 2 = 7，
∴?(7,2)，
∵将▱????绕?点按逆时针方向旋转90°得到▱????，
∴同理可得，?? = ?? = 2，?? = 5 + 2 = 7
∴?(−2,7)；
解：如图，设??与??交于点?，??与?轴交于点?，
由题意得，∠??? = ∠??? = 45°，?(7−?,2)，
∴ ?? = ?? = 2?? = 2?，∠??? = 90°，
22
∵ ?? = ?? = 5，
∴ ?(2−?,2)，
∴ ?? = ?−2，
∴ ? = ?四边形???? = ?梯形????−?Δ???
11
= 2 (?? + ??) ⋅ ??− 2 ?? ⋅ ??
2
2
2
11
= 2 (?−2 + ?) × 2− 2 ×?
= −1?2 +2?−2，
4
∵ 点?移动到▱????的内部，
∴ −2 < 2−? < 0，
解得：2 < ? < 4，
∴ ?与?之间的关系式为
1?2 +2?−2(2 < ? < 4)；
? = −
4
解：2 秒后，?移动到▱?′???的内部，当2 < ? ≤ 3时，如图，?? = ?，?? = ?−2，
由（1）知?? = 2，则?? = ?−2
∵ ∠? = 45°，?? ⊥ ?轴，
∴ ?? = ?? = ?−2，
∵ ?重叠部分 = ?梯形????−?△???，
11
∴ ? = 2
2 (? + ?−2) × 2− 2 (?−2)
1 2
= − 2 ? + 4?−4
= −1(?−4)2 +4，
2
∵ 2 < ? ≤ 3，
7
∴ 当? = 3时，?有最大值2；
当3 < ? < 4时，如图，延长??与??交于点?，
?? = ?? = ??−??，即?? = ?? = 2−(?−2) = 4−?，
?? = ?? = ? + 2−5 = ?−3，
∵ ?重叠部分 = ?正方形????−?△???−?△???，
1
∴ ? = 2 × 2− 2 (4−?)
= −?2 + 7?− 17
2
212
− 2 (?−3)
= − ?−
215
7
2
+ 4 ，
715
当? = 2时，?有最大值 4 ；
− 1 (?−4)2 + 4(2 < ? ≤ 3)
∴ 综上所述，?与?之间的关系式为? =
2
− ?−
15
7
2
2
+ 15 (3 < ? < 4) ，重叠部分面积的最大值是 4 ．
4
【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，二次函数的性质和最值的求法，平行四边形的性质等知识点，掌握相关知识是解决问题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴难题的学生．
题型十 二次函数的应用---其它问题
【典例 01】（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截 面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为?轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为?1 ，?2．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为32cm ，锅深为16cm，锅盖高为8cm．
【建立模型】
请求出抛物线 ?2的解析式；
求出圆弧 ?1所在圆的半径；
【应用模型】
将一个底面直径为 24cm，高度为10cm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】(1)? = 1 (?−16)2−16 (0 ≤ ? ≤ 32)
16
圆弧 ?1所在圆的半径为20cm
锅盖能正常盖上
【分析】（1）根据题意可知，抛物线?2的顶点坐标为(16,−16)，且过点?(32,0)，使用待定系数法求抛物线的解析式即可；
设圆弧??的中点为点?，所在圆的圆心为点?，连接??交??于点?，连接??，由题意可知，
?? = 32，?? = 8，则?? = ??−8，由垂径定理可得，?? ⊥ ??，?? =
1?? = 16，在Rt △ ???中，使用
2
勾股定理构造方程，解出圆?的半径；
（3）作组合图形的内接矩形????，且?? = ?? = 24，?? ∥ ?轴，设??交??于点?，连接??，根据垂径 定理和勾股定理容易计算出?? = 16，则点?(16,4)，点?(4,4)．将? = 4代入抛物线解析式求出点?(4,−7)，因此?? = 11，由?? > 10可判断锅盖能盖上．
【详解】（1）解：根据题意，点?的坐标为(32,0)，抛物线?2的顶点坐标为(16,−16)，设抛物线?2的解析式为? = ?(?−16)2−16，
将?(32,0)代入，得，
0 = 256?−16，
1
解得? = 16，
?1 2(0 ≤ ? ≤ 32)

∴抛物线 2的解析式为? =(?−16) −16；
16
（2）解：如图，设圆弧??的中点为点?，所在圆的圆心为点?，连接??交??于点?，连接??，设圆?的半径为?cm，
由题意可知，?? = 32，?? = 8，
∴?? = ??−?? = ?−8，
∵点?为圆弧??的中点，
∴?? ⊥ ??，
∴?? = ?? =
1?? = 16，
2
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴162 + (?−8)2 = ?2，解得? = 20，
∴圆弧 ?1所在圆的半径为20cm；
（3）解：如图，矩形????是组合图形的内接矩形，且?? = ?? = 24，?? ∥ ?轴，设??交??于点?，连接
??，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线? = 16对称，
∴结合图形可知，当矩形????关于直线? = 16对称时，??最大，
∵点?为圆弧??的中点，
∴?? ⊥ ??，
∴?? =
1?? = 12，
2
由（2）可知，?? = 20，?? = 8，
??2 + ??2
在Rt △ ???中，?? =
=
= 16，
202−122
∴?? = ??−?? = 4，
∴?? = ??−?? = 4，
∴点?的坐标为(16,4)，
∵?? ∥ ?轴，?? = 12，
∴点?的坐标为(4,4)，
1 2
将? = 4代入? =(?−16) −16，得? = −7，
16
∴点?的坐标为(4,−7)，
∴?? = 4−(−7) = 11，
∵11 > 10，
∴锅盖能正常盖上．
【变式 01】如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图 2 所示的平面直角坐标系，运动员从点?(3,10)起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度?(m)与水平距离?(m)满足二次函数的关系．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下表：
根据上述数据，求 y 关于 x 的函数表达式．
水平距离
? m
3
3.5
4
4.5
竖直高度
? m
10
11.2
5
10
6.25
(2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题．
信息 1：记运动员甲起跳后达到最高点 B 时距水面的高度为?(m)，从到达最高点 B 开始计，则她到水面的距离ℎ(m)与时间?(s)之间满足ℎ = −5?2 +?．
信息 2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的 270C 动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？
【答案】(1)? = −5(?−3.5)2 +11.25
(2)运动员甲不能成功完成此动作
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
待定系数法求出解析式，即可；
（2）先求出? = 11.25，再求出? = 1.6时的 h 值，进行判断即可．
【详解】（1）解：由表格可知，图象过点(3,10)，(4,10)，(4.5,6.25)，
∴ℎ =
3+4
2
= 3.5，
∴设函数表达式为? = ?(?−3.5)2 +?，
?(3−3.5)2 + ? = 10
∴ ?(4.5−3.5)2 + ? = 6.25 ，
? = −5
解得： ? = 11.25 ，
∴? = −5(?−3.5)2 +11.25；
故答案为：3.5，? = −5(?−3.5)2 +11.25；
（2）解：? = −5(?−3.5)2 +11.25，
∴?(3.5,11.25)，
∴? = 11.25，
∴ℎ = −5?2 +11.25，
当? = 1.6时，ℎ = −5 × 1.62 +11.25 = −1.55，
∵−1.55 < 0，
即运动员甲在水面上无法完成此动作，
∴运动员甲不能成功完成此动作．
【变式 02】（2025·山西运城·模拟预测）综合与实践
问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 A 处沿水滑道下滑至点 B 处腾空飞出后落入
水池.以水池面所在的水平线为 x 轴，过腾空点 B 与 x 轴垂直的直线为 y 轴，0 为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点 B 与水池面的距离为 2
7
米，水滑道最低点 C 与水池面的距离为8米，点 C 到点 B 的水平距离为 3 米.根据测量得到的数据和调查得
到的信息解决下列问题
(1)求水滑道???所在抛物线的解析式(不用写出 x 的取值范围).
(2)腾空点 B 与对面水池边缘的水平距离?? = 12米，人腾空后的落点 D 与水池边缘的安全距离??不少于 3
米.若某人腾空后的路线形成的抛物线??恰好与抛物线???的某一段关于点 B 成中心对称．
①求此人腾空后的最大高度和抛物线??的解析式；
②此人腾空飞出后的落点 D 是否在安全范围内？请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计).
【答案】(1)? = 1(? + 3)2 + 7；
25
(2)
88
1)225
8
① 米；? = −(?−3
8
+ 8 ；②落点 D 在安全范围内． 理由见解析
7
8
8
【分析】（1）依据题意，水滑道???所在抛物线的顶点?−3,，从而可设抛物线为? = ?(? + 3)2 + 7，又
?(0,2)，故2 = ?(0 + 3)2 + 7，可得? = 1，进而可以判断得解；
88
①依据题意，由抛物线??恰好与抛物线???关于点 B 成中心对称，故抛物线??的顶点与抛物线???
7
8
25
8
的顶点 C 关于点 B 成中心对称，则 B 是它们的中点，又? −3,，?(0,2)，从而抛物线??的顶点为 3,，
可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线??为? = ?′(?−3)2 + 25
?(0,2)代入得，计算可得抛物
8 ，再将
线??的解析式；
②依据题意，由①得
1(?−3)2 + 25
? = 0，求出 x 可得??的长，从而求出??即可判断得解．
? = −
8
8 ，可令
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
7
8
【详解】（1）解：由题意，水滑道???所在抛物线的顶点? −3,，
∴ 可设抛物线为? = ?(? + 3)2
7
+ 8.
又?(0,2)，
∴ 2 = ?(0 + 3)2
1
∴ ? = 8 .
7
+ 8 .
∴ 抛物线为? = 1(? + 3)2 + 7；
88
①由题意，
∵ 抛物线??恰好与抛物线???关于点 B 成中心对称，
∴ 抛物线??的顶点与抛物线???的顶点 C 关于点 B 成中心对称．
∴ ?是它们的中点．
7
8
又? −3,，?(0,2)，
25
8
∴ 抛物线??的顶点为 3,.
25
∴ 此人腾空后的最大高度为 8 米．
8 ，
又此时可设抛物线??为? = ?′(?−3)2 + 25
将?(0,2)代入得，
∴ ?′(0−3)2 + 25 = 2.
8
∴ ?′
1
= −8；
∴ 抛物线??的解析式
1(?−3)2 + 25
②由①得
? = −.
88
1(?−3)2 + 25
8
? = −，
8
令? = 0，
12
∴ 0 = − 8 (?−3)
25
+ 8 .
∴ ? = 8或? = −2(舍去).
∴ ?? = 8米．又?? = 12米，
∴ ?? = 12−8 = 4 > 3.
∴ 落点 D 在安全范围内．
【变式 03】（2026·广东深圳·一模）综合与实践
【问题背景】
在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同．
【初步探究】
学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图 1 所示图形，扩音口 A、B 在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点?是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点?到线段??的距离为ℎ（单位：??），扩音口宽度??为2ℎ（单位：??）．为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点?的坐标(?,?)，利用抛物线表达式
? = ?(?−?)2 +?（其中?,?,?为常数，? > 0）对?值进行了探究与求解．
第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度??为8??，以抛物线的顶点?为坐标原点建立了如图 2 所示的平面直角坐标系，则此时?的值为；
【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即?和ℎ之间存在数量关系．请你求出?和ℎ的数量关系，帮小组验证这个猜想；
【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点?的坐标为(0,8),ℎ > 4，且当0 ≤ ? ≤ 8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与?轴的距离为 2，求此时?的值．
4
【答案】(1)1
(2)这个小组的猜想是正确的，见解析
31
(3)? = 32或6
4
【分析】（1）由题意得?(4,4)，?(0,0)，即抛物线表达式为? = ??2，将?(4,4)代入即可求出? = 1；
（2）由题意得，?(? + ℎ,? + ℎ)，将?(? + ℎ,? + ℎ)代入抛物线表达式? = ?(?−?)2 +?得：? + ℎ = ?ℎ2
1
+?，得到? = ℎ；
由题意得?(0,8)，则?(2ℎ,8)，?(ℎ,8−ℎ)，分两种情况进行讨论，当4 < ℎ ≤ 8时，易得点?(ℎ,8−ℎ)不在?轴下方，抛物线在对称轴处有最小值? = 2；当ℎ > 8时，易得点?(ℎ,8−ℎ)在?轴下方，当0 ≤ ? ≤ 8时，?随?的增大而减小，抛物线在? = 8处有最小值? = −2．
【详解】（1）解：由题意得，?? = 8??，顶点?到线段??的距离为ℎ（单位：??），扩音口宽度??为2ℎ
（单位：??）， 则?(4,4)，?(0,0)，
∵ 抛物线表达式为? = ?(?−?)2 +?（其中?,?,?为常数，? > 0），
∴ ? = ??2，
将?(4,4)代入? = ??2，可得4 = 16?，
1
解得? = 4；
（2）由题意得，?(? + ℎ,? + ℎ)，
将?(? + ℎ,? + ℎ)代入抛物线表达式? = ?(?−?)2 +?得：? + ℎ = ?ℎ2 +?，
∴ ? + ℎ = ?ℎ2 +?，
∵ ℎ ≠ 0，
∴ ?ℎ = 1，
1
∴ ? = ℎ，
∴ 这个小组的猜想是正确的；
（3）由题意得?(0,8)，则?(2ℎ,8)，?(ℎ,8−ℎ)，
∴ ? = ?(?−ℎ)2 +8−ℎ，
1
由（2）可知? = ℎ，
当4 < ℎ ≤ 8时，可得8−ℎ ≥ 0，点?(ℎ,8−ℎ)不在?轴下方，
∴ 抛物线在对称轴处有最小值? = 2，即当? = ℎ时，? = 8−ℎ = 2，
∴ ℎ = 6，
11
∴ ? = ℎ = 6；
当ℎ > 8时，可得8−ℎ < 0，点?(ℎ,8−ℎ)在?轴下方，
∵ ? > 0，
∴ 当0 ≤ ? ≤ 8时，?随?的增大而减小，
∵ 点?(ℎ,8−ℎ)在?轴下方，
∴ 抛物线在? = 8处有最小值? = −2，即当? = 8时，−2 = ?(8−ℎ)2 +8−ℎ，
1 2
∴ −2 = ?(8− ? )
1
+8−?，
3
解得? = 32；
31
综上所述，? = 32或6．
【变式 04】（2026·安徽合肥·一模）【真实情境】
为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座??? + ????”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为?轴，大棚横截面中的“抛物线拱形???”的对称轴为?轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地
测量：矩形基座??和??高度为 2 米，底部地面跨度(??)为 10 米；“抛物线拱形”的最高点?到地面的距离为 6 米．
结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形???”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围．
【问题解决】
为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图 1，矩形脚手架结构为：??，??
均垂直于地面，??平行于地面，且?、?两点落在抛物线上，?，?两点落在??上．其中三根支架??，??，
??的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值；
在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图 2 中所示梯形????的样式，且?? = 5米，?? = 5米，?? = 4米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点?、?同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下
降的高度是多少米？
【答案】(1)? = − 4 ?2 +6(−5 ≤ ? ≤ 5)(2)
121 7
米；(3) 米
25脚手架总长度的最大值为 816
【分析】（1）理解题意，得出顶点坐标为?(0,6)，?(−5,2),?(5,2)，再设解析式为? = ??2 +6(? < 0)，把
25，即可作答．
?(−5,2)代入? = ??2 +6，解得? = − 4
（2）先证明四边形????是矩形，再设? ?,− 4 ?2 + 6 ， 故? = ?? + ?? + ?? = − 8 ?2 +2? + 12，运
2525
用二次函数的性质进行分析，即可作答．
4 2
（3）理解题意得新抛物线解析式为? = − ? +6−?，结合?? = 5米，?? = 4米，?? = 5米，得?(?,5)，
25
4 2
4
?(? + 5,4)，将?(?,5)，?(? + 5,4)，代入新抛物线? = − ? +6−?，整理得： (10? + 25) = 1，解得
2525
15
? = − 8 ，最后代入①计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵“抛物线拱形”的最高点?到地面的距离为 6 米．
∴如图 1，即顶点坐标为?(0,6)，
∵矩形基座??和??高度为 2 米，底部地面跨度(??)为 10 米
∴?? = ?? = 5,?? = ?? = 2
即?(−5,2),?(5,2)，
依题意，设“抛物线拱形???”对应的函数解析式为? = ??2 +6(? < 0)，把?(−5,2)代入? = ??2 +6，得2 = 25? + 6，
4
解得? = −25，
∴? = − ? +6，
4 2(−5 ≤ ? ≤ 5)
25
解：∵??，??均垂直于地面，??平行于地面，
∴∠??? = ∠??? = 90°,?? ∥ ??，则∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ??,?? = ??，
由（1）得? = − 4 ?2 +6(−5 ≤ ? ≤ 5)，
25
25
设??,− 4 ?2 + 6，
4 2

依题意，?? = ?? = ?,?? = ?? = 2?,?? = ?? = − ? +6，
25
设三根支架??，??，??的长度之和为?，
4 24 28 2

即? = ?? + ?? + ?? = − ? +6 + 2? + − ? +6 = − ? +2? + 12，
252525
8
∵− < 0
25
2× − 8
25
∴当? = −2
25
= 8 时，?有最大值，
把? =
25
8 代入? = −
8 ?2
+2? + 12，得? = − 8
×
2
25
8
+2 ×
25
+12 =
121
252588
121
即脚手架总长度的最大值为 8 米；
解：设抛物线下降高度为?米，
4 2

∴新抛物线解析式为? = − ? +6−?，
25
设?(?,0)，
∵?? = 5米，得?(? + 5,0)，
∵?? = 5米，?? = 4米
∴?(?,5)，?(? + 5,4)，
4 2
将?(?,5)，?(? + 5,4)，代入新抛物线? = − ? +6−?，
25
25
5 = − 4 ?2 + 6−?①
得： 4 = − 4 (? + 5)2 + 6−?② ，
25
4
②−①消去?展开整理得：25(10? + 25) = 1，
15
解得? = − 8 ，
15
427
15
8
将? = − 8 代入①得：? = 1−25 × −= 16，
7
答：抛物线应下降的高度为16米
【点睛】本题考查了抛物线的应用，求二次函数的解析式，矩形的判定与性质，二次函数的最值问题，，二次函数的平移问题，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（限时训练：60 分钟）
1．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买 2 袋 A 型与 2 袋 B 型挂面共需费用 100 元，购买 3 袋 A 型与 2 袋 B 型挂面共需费用 120 元．
(1)A 型、B 型挂面的单价分别是多少元？
(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买 A、B 两种型号挂面共 40 袋．在单价不变，总费用不超过 950 元，且 B 型挂面不少于 10 袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？
【答案】(1)A 型挂面每袋 20 元，B 型挂面每袋 30 元
(2)共有 6 种购买方案，最低费用为 900 元
【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键．
设 A 型挂面每袋 x 元，B 型挂面每袋 y 元．根据题意列二元一次方程组求解即可；
设 A 型挂面每袋 x 元，B 型挂面每袋 y 元．先根据题意列不等式组求出 a 的范围为10 ≤ ? ≤ 15，再根据题意列出 w 与 a 的函数关系式为? = 10? + 800，根据一次函数的增减性可得? = 10时，w 有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设 A 型挂面每袋 x 元，B 型挂面每袋 y 元．
2? + 2? = 100
则 3? + 2? = 120 ，
? = 20
得 ? = 30 ．
答：A 型挂面每袋 20 元，B 型挂面每袋 30 元．
解：设购买 B 型挂面 a 袋，则购买 A 型挂面的数量为(40−?)袋，总费用为 w 元．
(40−?) × 20 + 30? ≤ 950
则? ≥ 10，
解得10 ≤ ? ≤ 15，又∵ a 为正整数，
∴ ? = 10，11，12，13，14，15．
由题意得? = (40−?) × 20 + 30? = 10? + 800．
∵ 10 > 0，
∴ w 随 a 的增大而增大，
∴ ? = 10时，w 有最小值，最小值为10 × 10 + 800 = 900（元）．答：共有 6 种购买方案，最低费用为 900 元．
2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）一条笔直的公路上依次有 A、B、C 三地．甲、乙两车同时出发，甲车从 A 地出发，以 m 千米/时的速度匀速驶向 B 地，到达 B 地休息 0.5 小时后按原速继续驶向 C 地；乙车从 B 地出发，以 n 千米/时的速度匀速驶向 C 地，到达 C 地后立即调头（调头时间忽略不计），以 n 千米/时的速度
2
匀速经过 B 地驶向 A 地．甲车比乙车晚3小时到达目的地．甲、乙两车与 B 地的距离 y（单位：千米）与甲
车行驶时间 x（单位：小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
A，B 两地之间的距离是千米，? = ；
求图中线段??所在直线的函数解析式；
甲车出发多少小时，甲车与乙车之间相距 172 千米？请直接写出答案．
【答案】(1)170，68
(2)? = −102? + 272
127324
(3)17或17或 85
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义．
结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度即可；
（2）设??函数解析式为? = ?? + ?，把? 4 ,136 ，? 8 ,0 ，代入? = ?? + ?，解方程组求的值即可得答案；
33
当甲开往 B 时，乙开往 C 时；当甲开往 B 时，乙到达 C 后返回 B 处时；当甲超过 B 处开往 C 处时，乙到达 B 后开往 A 处时；然后列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图可知?? = 170(km)
∵?(2.5,0) ，所以? = 170 ÷ (3−0.5) = 68(km/h)
故答案为：170，68
解：根据甲车的速度和到达 C 处的时间可得??的距离为：68 × (5−3) = 136(km)
2
∵甲车比乙车晚3小时到达目的地
3
∴? 13 ,170
乙车的速度为：(170 + 136 × 2) ÷ 13 = 102(km/h)
3
∴?的横坐标为：136 ÷ 102 = 4(h)，?
48
× 2 =
的横坐标为：
333
∴? 4 ,136 ，? 8 ,0
33
设线段??所在直线的函数解析式为? = ?? + ?，
3
136 = 4 ? + ?
∴ 0 = 8 ? + ?，解得
3
? = −102
? = 272
∴线段??所在直线的函数解析式为：? = −102? + 272
解：设甲车出发?小时，甲车与乙车之间相距 172 千米，
1
①当甲开往 B 时，乙开往 C 时，则170−68? + 102? = 172，解得：? = 17；
27
②当甲开往 B 时，乙到达 C 后返回 B 处时，则170−68? + 136 × 2−102? = 172，解得：? = 17；
③当甲超过 B 处开往 C 处时，乙到达 B 后开往 A 处时，则68(?−0.5)−170 + 102?−136 × 2 = 172，解得：
? =
324
85 ；
127324
所以甲车出发17或17或 85 小时，甲车与乙车之间相距 172 千米.
3．（2026·湖北黄石·一模）2025 年 4 月 30 日 13 时 08 分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售．该店先花费 6500 元购进了 30 个“神舟”模型和 20 个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费 8500 元以同样的价格购进了 40 个“神舟”模型和 25 个“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的售价为 180 元，每个“天宫”模型的售价为 150 元．
求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价；
该店计划继续购进这两种模型共 200 个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的 3 倍，且航模店
购进总金额不超过 25000 元．设购进“神舟”模型 x 个，销售这批模型的利润为 w 元．当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？
实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了 a 元，且限定航模店最多购“神舟”模型 80 个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是 10800 元，直接写出 a 的值为．
【答案】(1)每个“神舟”模型的进价为 150 元，每个“天宫”模型的进价为 100 元
(2)购进“神舟”模型 50 个，“天宫”模型 150 个时，可获得最大利润，最大利润为 9000 元 (3)30
【分析】（1）设出两种模型的进价，再根据题意建立方程组求解即可；
（2）根据利润 = （售价−进价） × 销售量分别求出两种模型的利润，二者求和即可表示出 w，再根据题意求出 x 的取值范围，进而利用一次函数的性质求解即可；
（3）同理求出 w 关于 x 的函数关系式，结合（2）求出 x 的取值范围，结合最大利润为 10800 求解即可．
【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为 m 元，每个“天宫”模型的进价为 n 元．
30? + 20? = 6500
由题意得， 40? + 25? = 8500 ，
? = 150
解得 ? = 100 ，
答：每个“神舟”模型的进价为 150 元，每个“天宫”模型的进价为 100 元；
（2）解：由题意得，? = (180−150)? + (150−100)(200−?)
= 30? + 10000−50?
= −20? + 10000，
∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的 3 倍，且航模店购进总金额不超过 25000 元，
200−? ≤ 3?
∴ 150? + 100(200−?) ≤ 25000 ，
解得50 ≤ ? ≤ 100，
∵−20 < 0，
∴w 随 x 的增大而减小，
∴当? = 50时，w 有最大值，最大值为−20 × 50 + 10000 = 9000，此时200−? = 150，
答：购进“神舟”模型 50 个，“天宫”模型 150 个时，可获得最大利润，最大利润为 9000 元；
（3）解：由题意得，? = (180−150 + ?)? + (150−100)(200−?)
= (30 + ?)? + 10000−50?
= (?−20)? + 10000，
由（2）和（3）可得50 ≤ ? ≤ 80，
当?−20 ≤ 0时，(?−20)? + 10000 ≤ 10000 < 10800，不符合题意；当?−20 > 0时，w 随 x 的增大而增大，
∴当? = 80时，w 有最大值，最大值为(?−20) × 80 + 10000 = 80? + 8400，
∴80? + 8400 = 10800，
∴? = 30．
4．（2025·全国·一模）如图，用长为 24 米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）：
(1)设垂直于墙的边长??为 x 米，求菜地总面积 S 与 x 的函数关系式；
(2)结合二次函数性质，求 S 的最大值；
(3)（变式）若分隔篱笆长度??为 x 米，其他条件不变，重新建立 S 与 x 的关系式，并分析最值变化．
【答案】(1)? = −?2 +12?(0 < ? < 12)
(2)36 平方米
(3)? = −?2 +12?(0 < ? < 12)，最大面积没有发生变化
【分析】本题主要考查了列函数关系式、二次函数的面积问题、配方法的应用等知识点，掌握数形结合思路并灵活运用相关知识是解题的关键．
24−2?
设垂直于墙的边长??为 x 米，则菜地的平行于墙的边??的长为 2= 12−?，即0 < ? < 12；再根据
长方形的面积公式即可解答；
直接运用配方法求最值即可；
若分隔篱笆??长度为 x 米，则垂直于墙的边长??
1
(24−2?)(12−?)
为2，即米，0 < ? < 12，然后根据
题意列出函数关系式并求最值，然后再比较即可．
【详解】（1）解：由垂直于围墙的边长??为 x 米，
则平行于围墙的边长??
1(24−2?)
为
2
，即(12−?)(0 < ? < 12)米，
所以菜地面积 S 与 x 的函数关系式为：? = ?(12−?) = −?2 +12?，即? = −?2 +12?(0 < ? < 12)．
（2）解：∵? = −?2 +12? = −(?−6)2 +36，−1 < 0，
∴当? = 6时，菜地的最大面积为 36 平方米．
（3）解：若分隔篱笆??长度为 x 米，
则垂直于围墙的边长??
1(24−2?)
为
2
，即(12−?)
米，0 < ? < 12，
所以菜地面积 S 与 x 的函数关系式为? = ?(12−?) = −?2 +12? = −(?−6)2 +36，即? = −?2 +12? (0 < ? < 12)．
所以当? = 6时，菜地的最大面积为 36 平方米，最大面积没有发生变化．
5．（2025·湖北·模拟预测）某地大力推广成本为 10 元/斤的农产品，该农产品的售价不低于 15 元/斤，不高于 35 元/斤．该农产品每天的销售量 y（斤）与售价 x（元/斤）之间满足如图所示的函数关系．
求 y 与 x 的函数解析式；
当每天销售该农产品的利润为 2000 元时，求该农产品的售价；
该地科技助农队帮助农民降低种植成本，该农产品成本每斤减少 m 元（0 < ? < 8），若每天销售该农产品的最大利润为 3240 元，求 m 的值．
【答案】(1)? = −10? + 400
(2)20 元/斤或 30 元/斤 (3)6
【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键．
（1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为? = ?? + ?，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据每天的利润 = 每斤的利润× 每天的销量，列出一元二次方程，解方程即可；
（3）设成本每斤减少 m 元后每日销售利润为 w 元，由0 < ? < 8和15 ≤ ? ≤ 35确定当
1 时，利润
? = 25−2?
最大，从而得出关于 m 的方程，解出方程即可求得 m 值．
【详解】（1）解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为? = ?? + ?，当? = 15时，? = 250，当? = 20时，? = 200，
15? + ? = 250
∴ 20? + ? = 200 ，
解得，
? = −10
? = 400 ，
所以 y 与 x 的函数解析式是? = −10? + 400；
（2）解：由题意可得，(?−10)(−10? + 400) = 2000，解得，?1 = 20，?2 = 30，
因为15 ≤ ? ≤ 35，
所以? = 20或? = 30，
答：当每天销售该农产品的利润为 2000 元时，该农产品的售价为 20 元/斤或 30 元/斤；
（3）解：设每天销售该农产品的最大利润为 w 元．
根据题意得，? = (?−10 + ?)(−10? + 400) = −10?2 + (500−10?)?−4000 + 400?，
对称轴为直线? = − ?
500−10?1 ，
2? = − 2×(−10) = 25−2?
因为0 < ? < 8，
所以1，
21 < 25−2? < 25
因为−10 < 0，15 ≤ ? ≤ 35，
所以当
1 时，w 的值最大，
? = 25−2?
11
所以 25− 2 ?−10 + ? −10 25− 2 ? + 400 = 3240，
解得?1 = 6，?2 = −66（不合题意，舍去）．答：m 的值为 6．
6．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线．
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像 AI 分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离?（单位：m）和竖直高度?（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图．
设抛物线的表达式为? = ?(?−?)2 +?．
【建立模型】求出抛物线的函数表达式；
【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离；
【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项
5(?−0.1,?−0.1)
?
…
0.8
2.3
3.8
5.3
6.8
…
?
…
2.7
3.375
3.6
3.375
2.7
…
系数变为6?，顶点为
1 2
【答案】(1)? = − (?−3.8) +3.6
10
，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过 10 米．
(2)(3.8,3.6)，投掷的距离为9.8米
(3)改进后投掷实心球的距离能超过 10 米
【分析】（1）由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出?的值即可；
（2）由（1）可得顶点坐标，令? = 0求出对应的?的值即可；
（3）先根据题意写出新的函数表达式，再令? = 0求出对应的?的值即可．
【详解】（1）解：由表格可知，点(0.8,2.7)和点(6.8,2.7)的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线? =
0.8+6.8
2
= 3.8，
结合表格可知，顶点坐标为(3.8,3.6)，
∴? = 3.8，? = 3.6，? = ?(?−3.8)2 +3.6，将点(0.8,2.7)代入? = ?(?−3.8)2 +3.6，得，
2.7 = 9? + 3.6，
1
解得? = −10，
1 2

∴抛物线的函数表达式为? = − (?−3.8) +3.6；
10
（2）解：由（1）可知，顶点坐标为(3.8,3.6)，顶点即最高点，
1 2

将? = 0代入? = − (?−3.8) +3.6，得，
10
1 2

− (?−3.8) +3.6 = 0，
10
解得?1 = 9.8，?2 = −2.2（负值，舍去），
∴小明该次投掷实心球的距离为 9.8 米；
1 2
（3）解：根据题意，改进后，? = − (?−3.7) +3.5，
12
1 2
将? = 0代入? = − (?−3.7) +3.5，得，
12
1 2

− (?−3.7) +3.5 = 0，
12
解得?1 = 3.7 + 42，?2 = 3.7− 42（负值，舍去）．
∵6.32 = 39.69，又∵42 > 39.69，
42
∴> 6.3，
42
∴3.7 +> 10．
答：改进后投掷实心球的距离能超过 10 米．
7．（2026·贵州遵义·一模）为了让同学们感受数学与科技的紧密联系，学校组织开展了小型无人机飞行实验活动．同学们发现，从垂直地面的起降架??的顶端 A 处，以一定倾斜角度发射出的无人机，其飞行路线呈抛物线形状．
【提出问题】
怎样求该无人机飞行路线所在抛物线的解析式呢？
【分析问题】
如图 1，已知起降架??的高度是 1.52 米，当顶端 A 处发射的无人机与起降架??的水平距离为 18 米时，达到最大高度 8 米，此时无人机完成航拍任务，仍会沿原来的抛物线继续飞行．以点 0 为原点，表示地面的直线为 x 轴，??所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．
【解决问题】
(1)求无人机飞行路线所在抛物线的解析式；
(2)如图 2，在（1）的条件下，距离起降架 36 米处有一个可升降的平台，其截面示意图为矩形????，其中
??为 36 米，??为 1 米．
①当平台升高至 0.5 米时（?? = 0.5米），求无人机能否越过该平台；
②为安全回收无人机，使得无人机恰好降落在这个平台上（包含 D、E 两点），此时平台高度为 h 米，求 h
的取值范围．
【答案】(1)? = −0.02(?−18)2 +8
(2)①无人机能越过该平台；②0.78m ≤ ℎ ≤ 1.52m
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）设抛物线解析式为? = ?(?−18)2 +8，将(0,1.52)代入解析式计算即可得出结果；
（2）①令? = 37，求出?的值，比较即可得出结果；②求出当? = 36和? = 37时?的值，结合二次函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为(18,8)，
∴设抛物线解析式为? = ?(?−18)2 +8，
将(0,1.52)代入解析式可得?(0−18)2 +8 = 1.52，解得：? = −0.02，
∴抛物线的表达式为? = −0.02(?−18)2 +8；
（2）解：①由题可得，?? = 37，
令? = 37，得? = −0.02(37−18)2 +8 = 0.78，
∵ 0.78 > 0.5，
∴无人机能越过该平台；
②如图所示：
∵ ?? = 36m，?? = 1m，
∴ ? = 36，得? = −0.02 × (36−18)2 +8 = 1.52．? = 37，得? = −0.02 × (37−18)2 +8 = 0.78．
∵ ? = −0.02 < 0，
∴抛物线开口向下，
∴当? > 18时，y 随 x 的增大而减小，
∴ ℎ的取值范围为0.78m ≤ ℎ ≤ 1.52m．
8．（2026·河南周口·二模）南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底??为 7.2 米，然后在点 B 处横竖分别放两根长度为 3.2 米的木棒，末端恰好落在点 A 和拱门内壁 C 处．据此，他在纸上画出图形，如图 1，以点 0 为原点，??所在直线为 x 轴，1 米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度）
请求出拱门最高点距地面的高度；
若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”????（由三根钢管??−??−??组成）、使 E、F 两点在抛物线上，
D、G 两点在地面??上（如图 2 所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管；
若身高都为 1.8 米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为 0.35 米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排 6 人，当每两人间的距离为 d 米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出 d 的取值范围．
81
【答案】(1)拱门最高点距地面的高度为25米
212
最多需准备 25 米该种钢管
0 < ? < 0.54
【分析】（1）由题意可得?(7.2,0)，?(4,3.2)，利用待定系数法求出抛物线形花墙拱门的解析式为
1
?2
? = −
4
9
+ ?，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得出结果；
5
181 29
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线? = 5 ，设点?的横坐标为?，那么? ?,− 4 ? + 5 ? ，则点?的横坐
3636
1 29
2212
4
标为 5 −?，求出?? = ?? = 2?− 5 ，?? = ?? = −?
+ ?，表示出?? + ?? + ?? = −
5
?−
+ 25 ，再由
1
2
28
5
二次函数的性质即可得出结果；
（3）令? = 1.8，则
1?29
，求得?
= 6，?
= 6，再结合题意计算即可得出结果．
5
−+ ? = 1.8
4
152
【详解】（1）解：由题意可得：?? = 7.2米，?? = ?? = 3.2米，
∴?(7.2,0)，?? = ??−?? = 4米，
∴?(4,3.2)，
设抛物线形花墙拱门的解析式为? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)，
将?(0,0)，?(7.2,0)，?(4,3.2)代入解析式? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)可得
? = − 1
4
? × 7.22 + 7.2? + ? = 0
? × 42 + 4? + ? = 3.2 ，
? = 0
解得：
? = 9 ，
5
? = 0
∴抛物线形花墙拱门的解析式为
1
?2
? = −
4
+ 9?， 5
1
∵? = −?2
4
9
1
4
+ 5? = −
?2−
36
5 ? = −
?−
281
18
5
+ 25，
1
4
81
∴拱门最高点距地面的高度为25米；
18
（2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线? = 5 ，
2
1
设点?的横坐标为?，那么? ?,− 4 ?
9
+ 5 ? ，
由题意可得，点?和点?关于对称轴对称，
36
∴点?的横坐标为 5 −?，
∵四边形????是矩形，
∴?? = ?? = ?− 36 −? = 2?−36
1?29 ，
5
，?? = ?? = −
54
+ 5?
∴?? + ?? + ??
36
1919
2 2
= − 4 ? + 5 ? + − 4 ? + 5 ? + 2?− 5
1 2
= − 2 ?
1
28
+ 5 ?−
28
5
2
36
5
212
= −2 ?−+ 25 ，
−
∵ 1 < 0，
2
28212
∴当? =
5 时，?? + ?? + ??的值最大，为 25 米，
212
故最多需准备 25 米该种钢管；
（3）解：令? = 1.8，则
1?29，
解得：?
= 6，?
−
4
= 6，
+ 5? = 1.8
152
6
∴6−5 =
24
5 （米），
∵仪仗队成员的平均肩宽为 0.35 米，负责人准备将队形设计成每排 6 人，
24 −6×0.35
∴ 5 = 0.54（米），
6−1
∵当每两人间的距离为 d 米，每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门，
∴d 的取值范围0 < ? < 0.54．