2026年中考数学二轮复习 高频考点03 函数实际应用题三大题型专练

这是一份2026年中考数学二轮复习 高频考点03 函数实际应用题三大题型专练，共7页。试卷主要包含了反比例函数的实际应用，一次函数的实际应用，二次函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。
命题探源·考向解密（分析近 3 年中考考向与命题特征）
根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）
高频考点·妙法指津（3 大命题点+9 道中考预测题，中考必考·（8-12）分）
每个考点中考预测题3 道
好题速递·分层闯关（精选 7 道最新名校模拟试题+6 道中考闯关题）
考点一
一次函数的实际应用
考点二 反比例函数的实际应用
考点三
二次函数的实际应用
命题 1
分配方案问题
命题 1 跨学科问题
命题 1
图形问题
命题 2
最大利润问题
命题 2 范围问题
命题 2
拱桥问题
命题 3
行程问题
命题 3 其他问题
命题 3
销售问题
命题 4
阶梯计费问题
命题 4
投球问题
命题 5
其他问题
命题 5
喷水问题
命题 6
其他问题
考点
考向
命题特征
一次函数实际应用
行程问题（图像分析、追及/相遇、顺逆水、路程-时间关系）；
销售利润问题（单价、销量、总利润、一次函数模型）；
分段计费问题（阶梯水电、出租车计费、话费套餐、快递费）；
方案选择问题（租船/租车、采购方案、运输方案、费用比较）；
工程/生产问题（工作效率、工期、成本的一次函数建模）；
实际生活问题（耗材、耗材用量、
资源分配等场景）。
全国中考核心中档考点，以解答题为主，选择/填空为辅，解答题分值 8~14 分，属基础拿分/中档区分题；
全国卷统一命题趋势下，常结合民生、科技、传统文化等真实情境，贴近学生生活，部分含函数图像；
重点考查待定系数法求解析式、函数图像信息提取、自变量取值范围、分类讨论与方案优化能力；
高频与一元一次不等式（组）结合，考查最优方案决策，渗透数形结合、建模思想，是全国中考解答题必考题型。
反比例函数实际应用
行程问题（路程一定，速度与时间的反比例关系）；
工程问题（工作总量一定，效率与时间的反比例关系）；
几何图形问题（面积/体积一定，
边长/底高的反比例关系）；
全国中考基础/中档考点，以填空题、解答题形式考查，分值 4~10 分，属送分/中档区分题；
常结合跨学科（物理）、几何图形、生活场景命题，核心考查 “乘积为定值” 的反比例关系识别；
重点考查反比例函数解析式求解、图像性质（象限、
增减性）、自变量实际取值范围（正数）；4. 强调实
物理公式应用（压强、欧姆定律、功率、密度等反比例模型）；
销售经济问题（总价一定，单价与数量的反比例关系）；
实际生活问题（杠杆原理、排水/
进水、耗材用量等场景）。
际意义下的解的取舍，偶与一次函数结合考查方案比较，全国卷命题难度稳定，侧重基础建模。
二次函数实际应用
销售利润问题（价格调整、销量变化、最大利润、成本控制）；
几何面积问题（矩形/三角形面积、动点面积、围栏最值、图形裁剪）；
抛物线实物模型（拱桥、隧道、投篮、喷泉、抛体运动、跳水）；
运动与动点问题（物体抛投、图形动点形成的二次函数关系）；
最值优化问题（最高/最低、最大
/ 最小、最省/最多、最优设计）；
跨学科问题（物理抛体运动、建筑设计、农业种植等场景）。
全国中考压轴核心考点，以解答题压轴题为主，分值 12~16 分，属中高档综合题，是区分度最高的题型之一；
全国卷统一命题趋势下，常结合经济、建筑、体育、科技、传统文化等复杂情境，综合化、情境化程度高；
重点考查二次函数建模、三种解析式（一般式/顶点式/交点式）的灵活运用、顶点坐标/对称轴计算、开口方向与最值判断；
高频与方程、不等式、几何图形、动点问题综合，考查分类讨论、数形结合、建模等核心数学思想，是全国中考解答题压轴题必考题型。
考点一 一次函数的实际应用
《解题指南》
通用解题步骤(按顺序)
步骤 1：审题建模，梳理变量关系
通读题目，圈画核心关键词（如“单价、数量、总费用、速度、时间、路程、分段、优惠、最值”等），明确自变量（通常设为 x）、因变量（通常设为 y），梳理出两个变量之间的函数关系，判断是否为分段函数。
步骤 2：规范设元，求函数解析式
① 设元：设自变量为 x，因变量为 y，注明单位；
② 求解析式：
普通一次函数：用待定系数法，代入两组对应(x,y)数据，列二元一次方程组求解 k、b，得到 y=kx+b；分段函数：分区间讨论，分别求出每一段的解析式，标注每一段的自变量取值范围；
③ 明确自变量的实际取值范围（如人数、数量为正整数，时间非负等）。
步骤 3：结合问题，分析函数性质
① 若求最值/方案选择：根据 k 的正负判断函数增减性（k>0 时 y 随 x 增大而增大，k 0，
∴?随?的增大而增大，
∵? ≥ 3 且 m 为正整数，
∴当? = 34时，100−? = 66，
100
?最小 = 10 × 34 + 3000 = 3340(元)，
答：当学校购买34件甲种奖品，66件乙种奖品时，花费最少，最小费用为3340元．
【变式 1】（2026·陕西西安·三模）“如果你有时间，一定要来一趟西安，吹吹城墙根的晚风，尝尝地道的肉夹馍，看看气势宏伟的兵马俑”．春节期间，古都西安这座城市吸引了很多游客，大雁塔附近商店的文创产品也深受喜爱．据了解购买 2 个 A 款文创产品和 1 个 B 款文创产品需要 21 元，购买 1 个 A 款文创产品和 2个 B 款文创产品需 18 元．
求 A、B 两种文创产品的单价分别为多少元？
【答案】(1)A 种文创产品单价为 8 元，B 种文创产品单价为 5 元
(2)购买 17 个 A 种文创产品，33 个 B 种文创产品时花费最少
【分析】（1）设 A 种文创产品单价为 x 元，B 种文创产品单价为 y 元，根据“购买 2 个 A 款文创产品和 1个 B 款文创产品需要 21 元，购买 1 个 A 款文创产品和 2 个 B 款文创产品需 18 元”列出二元一次方程组求解；
（2）设购买 A 种文创产品 m 个，则购买 B 种文创产品(50−?)个，根据“购买 A 款文创产品的数量不少于
购买 B 款文创产品数量的一半”列不等式求出? ≥ 3 ，设旅游团购买这两种文创产品所需总费用为 w 元，则
? = 8? + 5(50−?)，根据一次函数的性质求解．
50
【详解】（1）解：设 A 种文创产品单价为 x 元，B 种文创产品单价为 y 元，
2? + ? = 21
? + 2? = 18 ，
某旅游团客人决定购买 A，B 两款文创产品共 50 个，且购买 A 款文创产品的数量不少于购买 B 款文创产品数量的一半，问旅游团购买 A 种和 B 种文创产品各多少个时花费最少？
? = 8
解得 ? = 5 ．
答：A 种文创产品单价为 8 元，B 种文创产品单价为 5 元；
（2）解：设购买 A 种文创产品 m 个，则购买 B 种文创产品(50−?)个，
由题意可知? ≥ 1(50−?)，
2
解得? ≥ 3 ，
设旅游团购买这两种文创产品所需总费用为 w 元，则? = 8? + 5(50−?)，
50
即? = 3? + 250，
∵ 3 > 0，
∴w 随 m 的增大而增大，
又∵m 为正整数，且? ≥ 3 ，
∴m 的最小值为 17，
50
∴当? = 17时，w 取得最小值，此时50−? = 50−17 = 33，
∴购买 17 个 A 种文创产品，33 个 B 种文创产品时花费最少．
【变式 2】（2026·湖北十堰·一模）请你根据下列素材，完成有关任务．
请完成下列任务：
求出篮球和足球的单价．
【答案】(1)篮球和足球的单价分别为70元和50元
(2)? = −20? + 2000
求购买篮球，足球，气排球共花费?（元）与购买篮球?（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案．
背景
某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一
买一个气排球30元，买2个篮球和一个足球价钱为190元，购买1个篮球的价格比购买一个足球多花费20元．
素材二
该校要购买篮球，足球，气排球共40个，且气排球的个数是篮球个数的2倍．
素材三
根据学生兴趣需要，篮球不多于12个，总花费不超过1800元．
(3)花费最少的购买方案为篮球12个，足球4个，气排球24个
【分析】（1）设一个篮球价格?元，一个足球价格?元，根据素材一列出关于?，?的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据素材一的结论、素材二，利用总价 = 单价× 数量，分别表示出篮球、足球、气排球的花费，求和即可列出?与?的函数关系式；
（3）根据素材三可列出关于?的一元一次不等式组，解之可得出?的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设一个篮球价格为?元，一个足球价格为?元，
依题意得
2? + ? = 190
?−? = 20
，
? = 70
解得 ? = 50 ，
答：篮球和足球的单价分别为70元和50元．
（2）解： ∵ 购买篮球，足球，气排球共40个，且气排球的个数是篮球个数的2倍，购买篮球?个，
∴ 气排球个数是2?个，足球个数是40−?−2? = (40−3?)个，
依题意得：? = 70? + 30 × 2? + 50(40−3?)
= 70? + 60? + 2000−150?
= −20? + 2000．
（3）解：由素材三得 −20? + 2000 ≤ 1800 ，
解得10 ≤ ? ≤ 12，
? ≤ 12
∵ ? = −20? + 2000，−20 < 0，
∴ ?随?的增大而减小，
∴ 当? = 12时，?最小，此时2? = 24，40−3? = 4，
∴ 花费最少的购买方案为篮球12个，足球4个，气排球24个．
【变式 3】（2026·河南驻马店·模拟预测）花生糕是开封市传统小吃，源于宋朝，后经元、明、清三个朝代 600 余年，流传至今．洛阳牡丹饼是洛阳市传统小吃，不仅是洛阳文化象征之一，更被列为非物质文化遗产，现已成为当地特色旅游伴手礼．某学校组织学生到河南开展研学活动，计划购买以上两种特产作为纪念
品．已知开封花生糕比洛阳牡丹饼每盒贵 10 元，且购买 3 盒花生糕和购买 5 盒牡丹饼的所需费用相同．
求花生糕和牡丹饼每盒的单价；
【答案】(1)花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为25元，15元
(2)应购买花生糕5盒，牡丹饼15盒，才能使总花费最少，最少花费为305元
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）先设购买花生糕?盒，则购买牡丹饼(20−?)盒，总花费为?元，根据题意得出? = 13? + 240，再根据购买牡丹饼的数量不超过花生糕的 3 倍，得出? ≥ 5，最后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为?元，?元，
?−? = 10
由题意得， 3? = 5? ，
? = 25
解得， ? = 15 ．
答：花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为25元，15元．
（2）解：设购买花生糕?盒，则购买牡丹饼(20−?)盒，总花费为?元，由题意得，? = 25? + 15 × 0.8(20−?) = 13? + 240．
又∵ 购买牡丹饼的数量不超过花生糕的 3 倍，
∴ 20−? ≤ 3?，解得，? ≥ 5．
∵ 13 > 0，
∴ ?随?的增大而增大，
∴ 当? = 5时，?取得最小值，
此时，20−? = 15，?min = 13 × 5 + 240 = 305．
答：应购买花生糕5盒，牡丹饼15盒，才能使总花费最少，最少花费为305元．
学校决定购买花生糕和牡丹饼共 20 盒，要求购买牡丹饼的数量不超过花生糕的 3 倍．此时商家对牡丹饼给予八折优惠，花生糕无优惠．则应购买花生糕和牡丹饼各多少盒，才能使总花费最少？最少花费为多少元？
命题点 02 一次函数实际应用之最大利润问题
【典例】（2026·河南许昌·一模）随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．杭州某科技公司目前已研制出 A、B 两种型号智能机器人，已知每台A种型号智能机器人制造成本为 8 万元，每台 B 种型号智能机器人制造成本为 6 万元，若售出 4 台 A 型智能机器人、5 台 B 型智能机器人，可收入 95.5 万元；若售出 2 台 A 型智能机器人、6 台 B 型智能机器人，可收入 81 万元．
求 A、B 两种型号智能机器人的销售单价．
【答案】(1)A、B 两种型号的智能机器人的销售单价分别为 12 万元、9.5 万元
(2)192.5 万元
【分析】（1）设 A 型智能机器人的单价为 x 万元，B 型智能机器人的单价为 y 万元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买 A 型号智能机器人 a 台，利润为 w，根据题意列出 w 与 a 的关系式，得出一次函数，由于
0.5 > 0，w 随 a 的增大而增大，此时当? = 35时，w 的值最大，代入即可求得．
【详解】（1）解：设 A 型智能机器人的单价为 x 万元，B 型智能机器人的单价为 y 万元，
4? + 5? = 95.5
得： 2? + 6? = 81 ，
? = 12
解得 ? = 9.5 ，
∴A、B 两种型号的智能机器人的销售单价分别为 12 万元、9.5 万元．
（2）解：设购买 A 型号智能机器人 a 台，利润为 w，根据题意得：
? = (12−8)? + (9.5−6)(50−?) = 0.5? + 175(? ≤ 35)，
∵0.5 > 0，w 随 a 的增大而增大，
∴当? = 35时，w 的值最大，最大值为? = 192.5，
∴该科技公司此笔订单最多可获利 192.5 万元．
某物流公司与该科技公司签订了一笔购买这两种型号智能机器人共 50 台的订单，且A种型号智能机器人不多于 35 台，求该科技公司此笔订单最多可获利多少万元？
种类
进价
标价
A
?
48
【变式 1】（2026·四川绵阳·一模）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进 A， B 两种粽子，若购进 1 盒 A 种粽子，2 盒 B 种粽子，共需 76 元；若购进 2 盒 A 种粽子，1 盒 B 种粽子，共 需 92 元．经了解，A，B 两种粽子的进价与标价如下表所示（单位：元/盒）：
求?，?的值；
【答案】(1)?的值为 36，?的值为 20
(2)当购进A种粽子 133 盒，B种粽子 67 盒时，可以获得最大利润，最大利润是 1864 元
【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进 A 种粽子?盒，则购进 B 种粽子(200−?)盒，得出利润? = 8? + 800，确定出?的取值范围，结合一次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得 2? + ? = 92 ，
? = 36
解得 ? = 20 ，
∴ ?的值为 36，?的值为 20；
? + 2? = 76
（2）解：设购进 A 种粽子?盒，则购进 B 种粽子(200−?)盒，总利润为?元，
由题意可得? = (48−36)? + (24−20)(200−?) = 8? + 800，
∴ ?随?的增大而增大，
∵ 要求 A 种粽子的数量不超过 B 种粽子的 2 倍，
∴ ? ≤ 2(200−?)，
解得? ≤ 1333，
∵ ?为整数，
1
∴ 当? = 133时，?取得最大值，此时? = 1864，则200−? = 67，
答：当购进 A 种粽子 133 盒，B 种粽子 67 盒时，可以获得最大利润，最大利润是 1864 元．
该商场打算购进 A，B 两种粽子共 200 盒，且要求 A 种粽子的数量不超过 B 种粽子的 2 倍，问应该如何进货，销售完这 200 盒粽子所获总利润最大？最大利润是多少？
【变式 2】（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共收入1180元；若销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过40千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果?千克，甲种水果的销售额?（元）与?（千克）之间的函数关系如图所示．
B
?
24
求?的值；
【答案】(1)2480
(2)电商销售甲种水果80千克，乙种水果40千克时销售额达到最大；最大销售额为5584元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．
(1)设甲种水果打折前的售价?元/千克，乙种水果的售价为?元/千克，列二元一次方程组求出?即为甲种水果打折前的售价，根据销售额 = 单价× 销量即可求出?；
(2)设甲种水果销售?(50 ≤ ? ≤ 80)千克，则乙种水果销售(120−?)千克，销售额为?元，根据销售额 = 单价
× 销量可得? = 21.6? + 3856，利用一次函数的性质求出销售额的最大值．
【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价?元/千克，乙种水果的售价为?元/千克，
10? + 20? = 1180
根据题意得： 20? + 10? = 1520 ，
? = 62
解得： ? = 28 ，
∴ ? = 40 × 62 = 2480；
（2）解：设甲种水果销售?(50 ≤ ? ≤ 80)千克，则乙种水果销售(120−?)千克，销售额为?元，当? > 40时，
? = 40 × 62 + 62 × 0.8(?−40) = 49.6? + 496；
则? = 49.6? + 496 + 28(120−?) = 21.6? + 3856，
∵ 21.6 > 0，
∴ ?随?的增大而增大，
当? = 80时，?有最大值，? = 21.6 × 80 + 3856 = 5584,
此时120−80 = 40(千克)，
答：电商销售甲种水果80千克，乙种水果40千克时销售额达到最大．最大销售额为5584元.
若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过80千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？
【变式 3】（2026·河南平顶山·一模）2025 年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云
台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进 A，B 两种类型的冰箱贴共 60 套进行销售，若购进 5
套 A 型冰箱贴和 3 套 B 型冰箱贴共需 335 元，若购进 2 套 A 型冰箱贴和 1 套 B 型冰箱贴共需 125 元．
求 A，B 两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元．
【答案】(1)A 型冰箱贴购进单价为 40 元，B 型冰箱贴购进单价为 45 元．
(2)购进 A 型冰箱贴 20 套，B 型冰箱贴 40 套时可获得最大利润，最大利润为 1000 元．
【分析】（1）根据“购进 5 套 A 型冰箱贴和 3 套 B 型冰箱贴共需 335 元，购进 2 套 A 型冰箱贴和 1 套 B 型冰箱贴共需 125 元”列方程组求解；
（2）设 A 型冰箱贴购进 a 套（a 为整数），根据“总费用不超过 2600 元”列不等式求出 a 的取值范围，设销售利润为 w 元，求出? = −10? + 1200，然后根据一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设 A 型冰箱贴购进单价为 x 元，B 型冰箱贴购进单价为 y 元，
5? + 3? = 335
根据题意，得 2? + ? = 125 ，
? = 40
解得 ? = 45 ，
答：A 型冰箱贴购进单价为 40 元，B 型冰箱贴购进单价为 45 元；
（2）解：设 A 型冰箱贴购进 a 套（a 为整数），则 B 型冰箱贴购进(60−?)套，根据题意，得40? + 45(60−?) ≤ 2600，
解得? ≥ 20，又60−? ≥ 0，
∴? ≤ 60，
∴20 ≤ ? ≤ 60，
设销售利润为 w 元，
根据题意，得? = (50−40)? + (65−45)(60−?) = −10? + 1200，
∵−10 < 0，
∴w 随 a 的增大而减小，又20 ≤ ? ≤ 60，
∴当? = 20时，w 有最大值，最大值为−10 × 20 + 1200 = 1000，此时60−? = 40，
∴购进 A 型冰箱贴 20 套，B 型冰箱贴 40 套时可获得最大利润，最大利润为 1000 元．
若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过 2600 元，且 A 型冰箱贴的售价定为 50 元/套，B 型冰 箱贴的售价定为 65 元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润．
命题点 03 一次函数实际应用之行程问题
【典例】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点?出发沿同一路线匀速步行前往?处参加活 动．甲比乙早出发6min，两人途中均未休息，先到达?处的人在原地休息等待，直到另一人到达?处．两人之间的路程?(m)与甲行走的时间?(min)的函数图像如图所示．
乙步行的速度为m/min,??之间的路程为m；
当18 ≤ ? ≤ 50时，求?关于?的函数表达式；
甲出发多长时间时，两人之间的路程为450m．
【答案】(1)90，3960
(2)? = 30?−540
(3)当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为450m
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键：
观察图像可知，甲6min走了360m，甲行走18min时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走
50min时，乙到达?点，求出乙的总路程即为??之间的路程；
求出?点坐标，待定系数法求出??段的函数关系式即可；
分18 ≤ ? ≤ 50和? > 50两种情况，求出?的值即可．
【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：360 ÷ 6 = 60m/min，
设乙的速度为?m/min，由题意，得：60 × 18 = ? ⋅ (18−6)，解得：? = 90，故乙的速度为90m/min；
??之间的路程为：90 × (50−6) = 3960m；故答案为：90，3960；
（2）由图像可知：?点的纵坐标为3960−60 × 50 = 960，
∴?(50,960)，
当18 ≤ ? ≤ 50时，设? = ?? + ?，把?(18,0)，?(50,960)代入，得：
50? + ? = 960 ，解得： ? = −540 ，
∴? = 30?−540；
18? + ? = 0
? = 30
（3）当18 ≤ ? ≤ 50时，令? = 30?−540 = 450，解得：? = 33；
当? > 50时，60? = 3960−450，解得：? = 58.5；
综上：当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为450m．
【变式 1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买?、?两种型号的芯片．已知购买1颗?型芯片和 2 颗?型芯片共需要750元，购买2颗?型芯片和3颗?型芯片共得要1300元．
求购买1颗?型芯片和1颗?型芯片各需要多少元．
若该公司计划购买?、?两种型号的芯片共8000频，其中购买?型芯片的数量不少于?型芯片数量的3
倍．当购买?型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．
该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从?地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地?，两车到达
?地后均停止行驶．如图，?甲(km)、?乙(km)分别是甲、乙两车离?地的距离与甲车行驶的时间?(h)之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是km/h．
②当甲、乙两车相距30km时，直接写出?的值．
【答案】(1)购买1颗?型芯片和1颗?型芯片分别需要350元和200元
(2)当该公司购买?型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是2500000元 (3)①80；②1.5或4.5或6.5
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题：
根据题意列方程组求解即可；
结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可；
①求出解析式代入计算即可；②求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可．
【详解】（1）设：购买1颗?型芯片和1颗?型芯片分别需要?元和?元
? + 2? = 750
由题意得 2? + 3? = 1300
? = 350
解得 ? = 200
答：购买1颗?型芯片和1颗?型芯片分别需要350元和200元
设购买?型芯片?颗，则购买?型芯片(8000−?)颗，所需资金为?元
由题意得：? = 350(8000−?) +200? = −150? + 2800000
∵ ? = −150 < 0
∴ ?随?的增大而减小
∵ 购买?型芯片的数量不少于?型芯片数量的 3 倍，
∴ 8000−? ≥ 3?解得? ≤ 2000
∵ ?取正整数
∴ 当? = 2000时，?取最小值，?最少 = −150 × 2000 + 2800000 = 2500000（元）
此时8000−? = 6000
答：当该公司购买?型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是2500000元
①设?乙的解析式为?乙 = ?2? + ?
将点(0,60)，(7,480)代入?乙 = ?2? + ?
? = 60
得 7?2 + ? = 480
解得
?2 = 60
? = 60
所以，?乙的解析式为?乙 = 60? + 60，
当? = 3时，?乙 = 60? + 60 = 60 × 3 + 60 = 240
所以，甲车的速度为240 ÷ 3 = 80km/h
②?甲的解析式为?甲 = ?1?将点(3,240)代入?甲 = ?1? 得240 = 3?1，解得?1 = 80所以?甲的解析式为?甲 = 80?
当函数?乙的图象在函数?甲上方时
可列方程60? + 60−80? = 30
解得? = 1.5
当函数?乙的图象在函数?甲下方时可列方程80?−60?−60 = 30
解得? = 4.5
当甲车到达?地，乙离目的地30km时，可列方程60? + 60 = 480−30
解得? = 6.5
综上所述，?的值为：1.5或4.5或6.5．
【变式 2】（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有 A、B、C 三地，一辆轿车从 A 地出发途经 B 地接人，停留一段时间后原速驶往 C 地；一辆货车从 C 地出发，送货到达 B 地后立即原路原速返回 C 地（卸货
1
时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚3h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和
货车距各自出发地的距离 y（单位：km）与轿车的行驶时间 x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
图中 a 的值是，b 的值是；
在货车从 B 地返回 C 地的过程中，求货车距出发地的距离 y（单位：km）与行驶时间 x（单位：h）之间的函数解析式；
直接写出轿车出发多长时间与货车相距 40km．
【答案】(1)300，2
(2)? = −90? + 240 4 ≤ ? ≤ 8
3
3
(3)26
21h或 9 h或3h
168
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题
的关键：
（1）根据货车的图象得到 B、C 两地的距离为120km，进而求出?的值，求出轿车的速度，求出轿车从?开往?地所需的时间，进而求出?的值；
1
根据轿车比货车晚3h到达终点，求出?点坐标，进而求出?点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
分轿车到达?地之前，轿车到达?地，货车离?地40km，以及货车到达?地时，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，B、C 两地的距离为120km，A、B 两地的距离为180km，
∴? = 180 + 120 = 300，
180
∵轿车的速度为： 1.5 = 120km/h，
120
∴轿车从?开往?地所需的时间为：120 = 1h，
∴? = 3−1 = 2；
故答案为：300，2；
1
∵轿车比货车晚3h到达终点，
∴货车到达?地所用时间为：3−1 =
3
3
∴? 8 ,0 ，
8h， 3
∵货车从 C 地出发，送货到达 B 地后立即原路原速返回 C 地，
3
∴? 4 ,120 ，
设? = ?? + ?(? ≠ 0)，
3
8 ? + ? = 0
∴ 4 ? + ? = 120 ，解得：
3
? = −90
? = 240 ，
∴? = −90? + 240 4 ≤ ? ≤ 8 ；
33
由（2）可知，货车的速度为：4，
120 ÷ 3 = 90km/h
26
∴当轿车到达?地之前，120? + 90? + 40 = 300，解得：? = 21；
当轿车到达?地，货车离?地40km时，
4 ，则：44
< 2符合题意；
16
40 ÷ 90 = 9h? = 3 + 9 = 9
当货车到达?地时，此时轿车离点?的距离为：1
8
，恰好满足题意，此时? = ；
120 × 3 = 40km3
26168
综上：轿车出发21h或 9 h或3h时与货车相距 40km．
【变式 3】（2025·山东济南·中考真题）A，B 两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到 A 地的距离?(km)与骑车时间?(h)的关系如图所示，则
他们相遇时距离 A 地 km．
【答案】300/
6
77
42
【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键；设甲的函数图象为? = ?1?，乙的函数
图象为? = ?2? + 100，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可．
【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为(0,100)，
∴ 设甲的函数图象为? = ?1?，乙的函数图象为? = ?2? + 100，则30 = 2?1，80 = ?2 +100，
解得?1 = 15，?2 = −20，
∴ 甲的函数图象为? = 15?，乙的函数图象为? = −20? + 100，
? = 15?
联立 ? = −20? + 100 ，
? = 20
解得
? = 300
7
7
即他们相遇时距离 A 地 7 km．
300
故答案为： 7 ．
300
命题点 04 一次函数实际应用之阶梯计费问题
【典例】（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪 1500
元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：
外卖送单数量
补贴（元／单）
每月不超过 500 单
3.5
超过 500 单但不超过 900 单的部分
5
若某外卖小哥一个月送餐?单（? > 500），所得工资?元，求?与?的函数关系式．
若某外卖小哥 2 月份的工资总额为 5650 元，那么他 2 月份外卖送餐多少单？
【答案】(1)当500 < ? ≤ 900时，? = 5? + 750；当? > 900时，? = 8?−1950
(2)他 2 月份外卖送餐 950 单
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论．
分两种情况，列出函数关系式即可；
先确定他 2 月份送餐单数超过 900 单，再利用（1）中函数解析式求解．
【详解】（1）解：当500 < ? ≤ 900时，
? = 1500 + 500 × 3.5 + 5(?−500) = 5? + 750；
当? > 900时，
? = 1500 + 500 × 3.5 + (900−500) × 5 + 8(?−900) = 8?−1950；
综上，当500 < ? ≤ 900时，? = 5? + 750；当? > 900时，? = 8?−1950．
（2）解： ∵ 1500 + 500 × 3.5 = 3250（元)，5 × 900 + 750 = 5250（元)；
∵ 5650元 > 5250元
∴ ? > 900；
∴当? = 5650时，得
8?−1950 = 5650，
解得? = 950，
∴ 他 2 月份外卖送餐 950 单．
【变式 1】（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案：
方案一：办理一张成本价为 10 元的会员卡，所有商品按原价 a 折出售；
方案二：一次购买商品总额不超过 b 元时，按原价付款，超过 b 元时超过的部分享受七折优惠．
设需要购买的体育用品的原价总额为 x 元，按方案一购买需付款 ?1元，按方案二购买需付款?2元，已知 ?1
,?2关于 x 的函数图象如图所示．
超过 900 单的部分
8
a 的值为，b 的值为．
若选择方案一购买更合算，求 x 的取值范围．
当选择方案一和方案二的实际付款金额相差 20 元时，求 x 的值．
【答案】(1)8，100
50 < ? < 200
400
【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
?
（1）由题意得?1 = 10 + ? ，再结合图象将(50,50)代入，得50 = 10 + ? × 50，即可求出 a 的值；观察函
1010
数图象结合题意即可得出 b 的值；
（2）结合函数图象，可知?2在?1上方的部分所对应的 x 的值即为所求，先得出?1 = 10 + 0.8?，当? > 100
时，?2 = 30 + 0.7?，令10 + 0.8? = 30 + 0.7?，解得 x 的值，再结合函数图象可得答案；
（3）当? = 100时，?2−?1 = 10，结合题图可知，当0 ≤ ? ≤ 200时，不存在符合题意的 x 的值，当? > 200
时，令10 + 0.8?−(30 + 0.7?) = 20，解方程即可．
?
【详解】（1）解：由题意知?1 = 10 + ? ，
10
将(50,50)代入，得50 = 10 + ? × 50，
10
解得? = 8，
由题图知? = 100，
故答案为：8，100；
（2）解：由（1）知?1 = 10 + 0.8?，
由题意知，当? > 100时，?2 = 100 + (?−100) × 0.7 = 30 + 0.7?，
令10 + 0.8? = 30 + 0.7?，
解得? = 200，
结合题图知，当50 < ? < 200时，选择方案一购买更合算；
（3）解：当? = 100时，?1 = 10 + 0.8? = 90，?2 = 100，
∴此时?2−?1 = 10，
结合题图可知，当0 ≤ ? ≤ 200时，不存在符合题意的 x 的值，
当? > 200时，令10 + 0.8?−(30 + 0.7?) = 20，
解得? = 400，
答：当选择方案一和方案二的实际付款金额相差 20 元时，x 的值为 400．
【变式 2】（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积
分?（分）与投放质量?kg的函数关系如图所示，已知投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg，规定积分满400分，可以兑换智能扫地机器人一台．
求投放8kg塑料的奖励积分；
求?的值；
2
若投放?kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的5
倍，求一次性投放?kg塑料和?kg纸张
所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明．
【答案】(1)220；
(2)18；
(3)能，理由见解析．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系．
(1)用待定系数法求出一次函数的关系式为? = 40?−100，把? = 8代入函数关系式中求值即可；
(2)根据投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg，从10到?增加了8kg，可知? = 18；
(3)因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当0 < ? ≤ 5时，当5 < ? ≤ 10时，当? > 10
时，三种情况求解．
【详解】（1）解：设?与?的函数关系式为? = ?? + ?(? ≠ 0)，
∵ 当? = 5时，? = 100，当? = 10时，? = 300，
5? + ? = 100
∴10? + ? = 300 ，
? = 40
解得： ? = −100 ，
∴ ?与?的函数关系式为? = 40?−100，
当? = 8时，? = 40?−100 = 40 × 8−100 = 220，
答：投放8kg塑料的奖励积分220分；
解：由图可知投放10kg纸张奖励积分100分，
∵ 投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg，
∴ (300−100) ÷ 25 = 8kg，
∴ ? = 10 + 8 = 18kg；
解：当0 < ? ≤ 5时，
投放?kg的塑料的积分为(100 ÷ 5)? = 20?分，投放?kg的纸张的积分为(100 ÷ 10)? = 10?分，
∵ 20? ÷ (10?) = 2，
∴ 不符合题意；
当5 < ? ≤ 10时，
投放?kg的塑料的积分为(40?−100)分，
投放?kg的纸张的积分为(100 ÷ 10)? = 10?分，
∵ 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的
5 倍，
2
∴ 40?−100 =
5 × 10?，
2
20
解得：? = 3 ，
−100 =
此时，40?−100 + 10? = 50?−100 = 50 × 20
3
700
3 分，
700
∵ 3
< 400，
∴ 不能兑换扫地机器人；
当? > 10时，
投放?kg的塑料的积分为(40?−100)分，
投放?kg的纸张的积分为100 + 25(?−10) = (25?−150)分，
∵ 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的
5 倍，
2
∴ 40?−100 = 5(25?−150)， 2
解得：? =
110
9 ，
此时，40?−100 + 25?−150 = 65?−250 = 65 × 110−250 = 4900
99 分，
∵> 400，
4900
9
∴ 能兑换智能扫地机器人．
命题点 05 一次函数实际应用之其他问题
【典例】（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次 20 元，现有如下两种收费方案．
方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费；
方案二：办理会员年卡（会员卡花费 100 元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用 y
与剪发次数 x 的关系图象如下：
分别写出这两种方案中剪发的总费用 y 与剪发次数 x 之间的函数关系式；
求交点 P 的坐标，并说明其实际意义；
若王林一年剪发 18 次，他选择哪种方案花费更少？说明理由．
【答案】(1)?1 = 20?，?2 = 15? + 100
(2)?(20,400)，点 P 所表示的实际意义：一年内，剪发次数是 20 次时，两种方案总花费都是 400 元 (3)王林选择方案一花费更少，见解析
【分析】本题主要考查一次函数的实际运用；
根据题意分别列出函数关系式即可；
依据题意联立方程组并求解即可求出点 P 的坐标，再结合实际说出实际意义即可；
（3）根据图象进行分析，当? = 20时，?1 = ?2；当? < 20时，?1 < ?2即可求出结果．
【详解】（1）解：由已知得：方案一费用与剪发次数的函数关系式为?1 = 20?，方案二费用与剪发次数的函数关系式为?2 = 100 + 0.75 × 20? = 15? + 100；
（2）依据题意联立方程组得：
? = 15? + 100
? = 20?
，
? = 20
解得 ? = 400 ，
∴点?(20,400)，
点 P 所表示的实际意义：一年内，剪发次数是 20 次时，两种方案总花费都是 400 元；
（3）选择方案一花费更少．
理由：根据图象可知：当? = 20时，?1 = ?2；当? < 20时，?1 < ?2；
∴当? = 18时，?1 < ?2；
∴王林选择方案一花费更少．
【变式 1】（2026·河北石家庄·模拟预测）探究问题
根据以上信息，解决下列问题．
求实验中的小球由静止开始滚动至停止所用的时长；
实验内容
探究小球速度随时间变化的规律
实验仪器
刻度尺，秒表，斜面，测速仪等
实验过程
将小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图 1 所示．
实验记录
用相关仪器测得小球在滚动过程中的速度?(m/s)与时间?(s)之间关系的图象如图 2 所示．
实验数据
当小球滚动2s时，小球的速度达到最大值；当小球滚动3.5s时，小球的速度为2m/s；
已知在图 2 中，??所在的直线解析式为? = −4? + 20
33 ．
当
8 时，求小球的速度；
? = 5s
根据（2）的结果和图 2 可以看出，小球的速度有两次达到3m/s，直接写出这两次间隔的时间．
【答案】(1)5s
16 /s
5 m
4
5s
【分析】（1）在? =
420
? +
? = 0时 x 的值即可得到答案；
3
−中，求出
3
8
（2）求出点 A 的坐标，进而求出直线??的解析式，把? = 5代入直线??的解析式求出对应的 y 的值即可得
到答案；
（3）把? = 3分别代入? = 2?和420
x 的值即可得到答案．
? = − ? +
33 中，求出对应的
【详解】（1）解：在? =
420
? +
? = 0时，
? += 0，解得? = 5，
420
3
3
−中，当−
33
答：实验中的小球由静止开始滚动至停止所用的时长为5s；
（2）解：在? =
420
? +
? = 2时，? =
420
，
× 2 += 4
∴?(2,4)，
−中，当−
3
3
33
设直线??的解析式为? = ??(? ≠ 0)，
∴2? = 4，
解得? = 2，
∴直线??的解析式为? = 2?，
在? = 2?中，当? = 8时，816
? = 2 × =
555 ，
816
∴当? =
s时，小球的速度为
5
5 m/s；
3
（3）解：在? = 2?中，当? = 3时，2? = 3，解得? = 2，
在
420
? = − ? +
? = 3时，
42011
? += 3，解得? =
3
3
33 中，当−4 ，
11 35
4
4
− = (s)，
2
5
∴两次间隔的时间为4s．
【变式 2】（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度?( m/s)与时间?( s)之间的关系如图②所示．
求??所在直线的函数表达式；
求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长．
解得? = 5，
33
420
? += 0,
依题意，当? = 0时，−
3
20
4
（2）解：由（1）得??所在直线的函数表达式为? = − ? + 3 ；
3
20
4
∴??所在直线的函数表达式为? = − ? + 3 ；
3
3 ，
? = 20
解得
【详解】（1）解：设??所在直线的函数表达式为? = ??(? ≠ 0)，
把(1,2)代入? = ??，
∴ 2 = ?，
∴ ? = 2?，
当? = 2时，? = 4，即?点坐标为(2,4)，
设??所在直线的函数表达式为? = ?? + ?(? ≠ 0),
4 = 2? + ?
得 2 = 3.5? + ? ，
? = − 4
33
420
? += 0,解得? = 5，故5−2 = 3，即可作答．
（2）理解题意，则当? = 0时，−
(2)3 s
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设??所在直线的函数表达式为? = ??(? ≠ 0)，再代入(1,2)进行计算，得2 = ?，然后求出?点坐标为(2,4)，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答．
33
【答案】(1)? = −4? + 20
∴ 5−2 = 3，
∴ 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3 s．
【变式 3】（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度?（微克/毫升）与服药后时间?（时）之间满足一次函数关系（如 图）．服药后 3 小时，测得血液中药物浓度达到最高值 9 微克/毫升；服药后 11 小时，测得血液中药物浓度为 1 微克/毫升．
请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段?与?之间的函数关系式；
【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为? = 3?(0 ≤ ? ≤ 3)，下降阶段的函数关系式是
? = −? + 12(3 < ? ≤ 11)．
(2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为 8 小时
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段?与?之间的函数关系式；
（2）依据由题，令? = 3 ，结合（1）的解析式，分别求出?的值，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：当0 ≤ ? ≤ 3时，设?与?的函数关系式为? = ??，把(3,9) 代入? = ??中得9 = 3?，
∴? = 3．
∴当0 ≤ ? ≤ 3时，?与?的函数关系式为? = 3?；
当3 < ? ≤ 11时，设?与?的函数关系式为? = ?? + ?，
把(3,9)和(11,1)代入? = ?? + ?中得 11? + ? = 1 ，
? = −1
∴ ? = 12 ，
3? + ? = 9
根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于 3 微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长．
∴当3 < ? ≤ 11时，?与?的函数关系式为? = −? + 12．
综上，血液中药物浓度上升阶段?与?之间的函数解析式为? = 3?(0 ≤ ? ≤ 3)，下降阶段?与?之间的函数关系式是? = −? + 12(3 < ? ≤ 11)．
（2）解：在? = 3?中，当? = 3? = 3时，? = 1，在? = −? + 12中，当? = −? + 12 = 3时，? = 9， 9−1 = 8小时，
答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为 8 小时．
【变式 4】（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018−2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）：
计算 2020 到 2021 年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）；
【答案】(1)31%
(2)? = 11.84，?的实际意义为 2018−2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个；预测我国 2025 年发明专利申请授权数116.3万个
【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意列式求解即可；
（2）利用待定系数法求出??满足的函数表达式，然后得到?的实际意义，然后将? = 2025代入表达式求解
小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点?(2019,45.3)、?(2024,104.5)作一条直线来近似的表示?的值随年份?不断增长的变化趋势．设直线??上点的坐标满足函数表达式? = ?? + ?．试求出?的值，并写出?的实际意义，再预测我国 2025 年发明专利申请授权数．
?（年份）
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
?/万个
43.2
45.3
53.0
69.6
79.8
92.1
104.5
即可．
【详解】（1）解：(69.6−53) ÷ 53 × 100% ≈ 31%
∴2020 到 2021 年我国发明专利申请授权数的增长率约为31%；
（2）解：将?(2019,45.3)，?(2024,104.5)代入? = ?? + ?得，
2019? + ? = 45.3
2024? + ? = 104.5 ，
? = 11.84
解得 ? = −23859.66 ，
∴? = 11.84?−23859.66；
其中?的实际意义为 2018−2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84 万个；当? = 2025时，? = 11.84 × 2025−23859.66 = 116.34 ≈ 116.3，
∴预测我国 2025 年发明专利申请授权数116.3万个．
中考预测题
1．我国智能手机产业快速健康发展，充电技术不断提升，小华购买了一款智能手机，它的充电过程会经历几个不同阶段，其中前两个阶段的手机显示电量?(%)与充电时间?(min)的关系如图所示.
求??所在直线的函数表达式；
若小华的手机显示电量从0已充至20%，则再充电多长时间手机显示电量为100%？
【答案】(1)? = 0.5? + 70．
(2)再充电55分钟手机显示电量为100%．
【分析】（1）先从图像中确定?、?两点的坐标，再设出一次函数的一般式? = ?? + ?(? ≠ 0)，将两点坐标代入，解二元一次方程组求出?和?的值，从而确定函数表达式．
（2）本题需先求出手机电量从0充至20%所需时间，再结合??段函数求出充至100%的总时长，两者作差得到结果；也可先求??段函数，再分阶段计算，核心是利用一次函数解析式求解自变量的值．
【详解】（1）解：由图像可知，?点坐标为(20,80)，?点坐标为(40,90)． 设??所在直线的函数表达式为? = ?? + ?(? ≠ 0)，将?、?两点坐标代入得：
20? + ? = 80
40? + ? = 90 ，
解得? = 0.5，? = 70，
∴ ??所在直线的函数表达式为? = 0.5? + 70．
（2）解：设??段所在直线的函数表达式为? = ?1?(?1 ≠ 0)，将?(20,80)代入得 20?1 = 80，
解得?1 = 4，
∴ ??段函数表达式为? = 4?．
当? = 20时，代入? = 4?得4? = 20，
解得? = 5，即手机从0充至20%需要5分钟．
当? = 100时，代入??段函数? = 0.5? + 70得：0.5? + 70 = 100，解得? = 60，即手机充至100%需要60分钟．
∴从20%充至100%所需时间为：60−5 = 55（分钟）．
答：再充电55分钟手机显示电量为100%．
2．2025 年 11 月 9 日，第十五届全国运动会在广州顺利开幕，全运会期间，以中华白海豚为原型设计的“喜洋洋”、“乐融融”等吉祥物系列玩偶深受全国人民的欢迎，某商店正在热销 A、B 两款吉祥物玩偶，A 型玩偶的销售单价比 B 型玩偶高 40 元．在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A 型玩偶的销售额为 7200 元，B型玩偶的销售额为 4000 元．
求 A、B 两种型号玩偶的销售单价分别是多少元？
1
小江现在打算买 10 个玩偶，且买 A 型玩偶的数量不少于 B 型玩偶数量的3，请你帮助小江设计一种购买
方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？
【答案】(1)A 型玩偶的单价为 90 元，B 型玩偶的单价为 50 元；
(2)小江购买 3 个 A 型玩偶、7 个 B 型玩偶，使得购买费用最低，最低费用为 620 元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设 B 型玩偶的单价为 x 元，则 A 型玩偶的单价为(? + 40)元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果；
（2）设小江购买 A 型玩偶 a 个，则 B 型玩偶(10−?)个，购买费用为 w 元．根据题意得? ≥ 1(10−?)，解得
3
? ≥ 2，再求出?关于?的关系式，结合一次函数的性质计算即可得出结果．
【详解】（1）解：设 B 型玩偶的单价为 x 元，则 A 型玩偶的单价为(? + 40)元．
5
根据题意得：?+40 = ? ，
7200
4000
解得：? = 50，
经检验? = 50是原分式方程的根，且符合题意，
∴ ? + 40 = 90，
答：A 型玩偶的单价为 90 元，B 型玩偶的单价为 50 元；
（2）解：设小江购买 A 型玩偶 a 个，则 B 型玩偶(10−?)个，购买费用为 w 元．
根据题意得? ≥ 1(10−?)
3
∴ ? ≥ 2，
由题意可得：? = 90? + 50(10−?) = 40? + 500，
5
∵ 40 > 0，
∴w 随 a 的增大而增大又∵a 为正整数，
∴ ? = 3时，w 取最小值．
∴ ?min = 40 × 3 + 500 = 620元．
答：小江购买 3 个 A 型玩偶、7 个 B 型玩偶，使得购买费用最低，最低费用为 620 元．
3．【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量?(%)与时间?（分钟）的关系，数据记录如表 1：
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量?（%）与行驶里程?（千米）的关系，数据记录如表 2：
电池充电状态
时间?（分钟）
0
10
15
40
增加的电量?
(%)
0
20
30
80
【建立模型】：观察表 1、表 2 发现都是一次函数模型，请结合表 1、表 2 的数据，求出?关于?的函数表达式及?关于?的函数表达式．
∴ 行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25%，充电?分钟后，增加的电量为? = 2?，
∴ 充电?分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为(25 + 2?)%，
4
1
× 300 + 100 = 25，
（2）当? = 300时，? = −
1
4
∴ ?关于?的函数表达式为? = − ? + 100；
，
0
? = 10
4
?′ = − 1
解得
(2)25分钟
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出行驶300千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电?分钟后增加的电量，从而计算出充电?分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电?分钟后，电动汽车仪表盘显示电量−到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量 = 消耗的电量”列方程，求出?的值即可．
【详解】（1）解：①设?关于?的函数表达式为? = ??（?为常数，且? ≠ 0），将? = 10，? = 20代入? = ??，得10? = 20，
解得? = 2，
∴ ?关于?的函数表达式为? = 2?；
②设?关于?的函数表达式为? = ?′? + ?（?′、?为常数，且?′ ≠ 0），
? = 100
将? = 0，? = 100和? = 160，? = 60分别代入得 160?′ + ? = 60 ，
4
【答案】(1)? = 2?，? = −1? + 100
【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出）
汽车行驶过程
已行驶里程?（千米）
0
160
200
280
显示电量?（%）
100
60
50
30
若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为 − 4 ×(560−300) + 100 % = 35%，
行驶完剩余的路程消耗的电量为100%−35% = 65%，
1
∴ 25 + 2?−65 = 10，
解得? = 25，
答：电动汽车在服务区充电25分钟．
考点二 反比例函数的实际应用
《解题指南》
通用解题步骤(按顺序)
步骤 1：审题建模，判断函数类型
通读题目，抓住乘积为定值的特征：路程一定时速度与时间成反比、面积一定时长与宽成反比、总金额一定时单价与数量成反比、压力一定时压强与受力面积成反比等，确定为反比例函数模型。
步骤 2：设解析式，用待定系数法求解
①设反比例函数解析式为：? = ?(? ≠ 0);
?
②从题目中找出一组对应值(x,y),代入求出比例系数 k;
③写出完整解析式，并注明自变量取值范围(一般为正数)。
步骤 3：代入计算，结合图像分析性质
①已知 x 求 y,或已知 y 求 x,直接代入解析式计算；
②利用性质：? > 0时，在同一象限内，y 随 x 增大而减小；
③结合实际意义，判断取值是否合理。
步骤 4：检验结果，规范完整作答
①检验解是否符合实际(如长度、时间、数量均为正数);
②按题目要求写出结论，带单位、表述完整。
①先算乘方、开方、绝对值、三角函数；②再算乘除；③最后算加减（有括号先算括号里的）步骤 5：合并结果，写出最终答案
将所有项的结果相加减，得到最简结果。
命题点 01 反比例函数的实际应用之跨学科问题
【典例】（2026·河南平顶山·一模）学校为防控流感病毒，用过氧乙酸溶液对教室内的空气进行熏蒸，过氧乙酸气体在空气中的浓度必须大于0.1g/m3才能达到熏蒸消毒要求．王林为测出教室内过氧乙酸气体的浓度，
设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”，图 1 是其简化的工作电路图，图 2 为过氧乙酸气体传感器R1 (Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（gm3）变化的关系图象，则下面说法错误的是（ ）
A．未进行熏蒸时，传感器R1的阻值为60Ω B．传感器R1的阻值随过氧乙酸气体浓度的增大而减小
C．若过氧乙酸气体浓度不低于0.3 g/m3，则传感器R1的阻值不低于10Ω
D．若过氧乙酸气体浓度从0.1 g/m3增大到0.3 g/m3，则传感器R1的阻值减小20Ω
【答案】C
【分析】本题主要考查函数的图象，根据函数的图象逐项分析即可．
【详解】A、未进行熏蒸时，过氧乙酸气体浓度为0 g/m3，传感器R1的阻值为60Ω，说法正确，该选项不符合题意；
B、观察函数图象可知，随着过氧乙酸气体浓度的增大，传感器R1的阻值逐渐减小，说法正确，该选项不符合题意；
C、若过氧乙酸气体浓度不低于 0.3g/m3，则传感器?1的阻值不高于 10Ω，说法错误，该选项符合题意；
D、过氧乙酸气体浓度为0.1 g/m3和0.3 g/m3时，传感器R1的阻值分别为30Ω 和10Ω，所以，若过氧乙酸气体浓度从0.1 g/m3增大到0.3 g/m3，则传感器R1的阻值减小20Ω，说法正确，该选项不符合题意．
故选：C
【变式 1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率?（单位：W）为定值，行驶速度?（单位：
ms）与所受阻力?（单位：N）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率? = W．
【答案】20
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数
的解析式即可．
【详解】解：设功率为?，由题可知? = ??，即? = ?，
将? = 10N，? = 2m/s代入解得? = 20，
?
故答案为：20．
【变式 2】（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔?ā?的古代汲水工具
点?与点?的距离? m
1
1.5
2
2.5
3
拉力的大小? N
300
200
150
120
?
（如图①），有一横杆固定于桔槔上?点，并可绕?点转动．在横杆?处连接一竹竿，在横杆?处固定300N的物体，且?? = 1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为?，当改变点?与点?的距离?时，横杆始终处于水平状态，小星发现?与?有一定的关系，记录了拉力的大小?与?的变化，如下表：
表格中?的值是；
小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画?与?之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
根据以上数据和图象判断，当??的长增大时，拉力?是增大还是减小？请说明理由．
【答案】(1)100
见解析
当??的长增大时，拉力?减小，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出?是?的反比例函数．
根据表格中的数据找出规律，求出 a 的值即可；
先描点，然后连线，画出函数图象即可；
根据反比例函数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：
1 × 300 = 1.5 × 200 = 2 × 150 = 2.5 × 120 = 300，
因此点?与点?的距离?与拉力 F 的乘积不变，
∴? == 100；
300
3
（2）解：?与?之间的函数图象，如图所示：
（3）解：由函数图象可知：F 是 l 的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可
知，F 随 l 的增大而减小，所以当??的长增大时，拉力?减小．
【变式 3】（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R
（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量 R 的取值范围）．
当电阻 R 为3Ω时，求此时的电流 I．
【答案】(1)? = 36
?
(2)12A
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当? = 3Ω时 I 的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为? = ?(? ≠ 0)，
?
把 9，4 代入? = ?(? ≠ 0)中得：4 = ?(? ≠ 0)，
?
9
解得? = 36，
∴这个反比例函数的解析式为? = ? ；
36
（2）解：在? =中，当? = 3Ω时，? = 36 = 12A，
36
?
3
∴此时的电流 I 为12A．
命题点 02 反比例函数的实际应用之范围问题
【典例】（2026·甘肃·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在数学课堂上注意力指标数?随时间?（分钟）变化的函数图象如图所示．当0 ≤ ? ≤ 10和10 ≤ ? ≤ 20时，图象是线段；当20 ≤ ? ≤ 45时，图象是反比例 函数图象的一部分．
求当20 ≤ ? ≤ 45时，?与?之间的函数表达式．
【答案】(1)? = 400(20 ≤ ? ≤ 45)
?
(2)张老师安排题目的时间段最长可持续12分钟
【分析】本题考查一次函数与反比例函数解析式的求解与应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
张老师安排了一道课堂探究题，要求学生注意力指标数不低于24才能高效完成．请问张老师安排这道题的时间段最长可以持续多少分钟？
（2）解：当0 ≤ ? ≤ 10时，设? = ?1? + ?，由函数过原点和(10,40)，求得? = 4?，
令? = 24，则4? = 24，解得? = 6；
当10 ≤ ? ≤ 20时，设? = ?2? + ?2，由函数过(10,40)，(20,20)，
答：张老师安排题目的时间段最长可持续12分钟．
24
由图象可知，注意力指标数不低于24的时间段从? = 6持续到? = 18．故最长持续时间为18−6 = 12（分钟）．
?
400
当20 ≤ ? ≤ 45时，? =．令? = 24，则? = 400 ≈ 16.67（16.67 < 20，不在区间内，舍去）．
令? = 24，则−2? + 60 = 24，解得? = 18；
?2 = 60
则解析式为? = −2? + 60，
解得 ?2 = −2 ，
10?2 + ?2 = 40
可得 20?2 + ?2 = 20 ，
（1）根据反比例函数模型，代入点(20,20)求出?即可得到函数表达式；
（2）先求出各分段的函数解析式，再分别令? = 24解出对应?，结合题意判断有效解，最终算出注意力指数不低于24的最长持续时间．
?
答：? = 400(20 ≤ ? ≤ 45)．
?
故函数表达式为? = 400(20 ≤ ? ≤ 45)．
?
将(20,20)代入? = ?，得? = 400．
由图象可知，当? = 20时，? = 20．
?
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为? = ?(20 ≤ ? ≤ 45)，
【变式 1】（2024·广东·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I(单位：A)与用电器电阻 R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
求这个反比例函数的解析式；
如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过 10A，且不低于 5A，那么用电器可变电阻 R 应控
制在什么范围？
【答案】(1)? = 36
?
(2)可变电阻 R 应控制在3.6Ω与7.2Ω之间
【分析】本题考查反比例函数的应用：
（1）将(4,9)代入? = ?即可求解；
（2）求出? = 10，? = 5对应的?的值，即可求解．
?
【详解】（1）解：设反比例函数关系式为? = ?，
由图可知，反比例函数图象经过点(4,9)，
?
∴ ? = 4 × 9 = 36，
∴ 这个反比例函数的解析式为? = ? ；
36
（2）解：当? = 10时， ? = 36 = 3.6，
10
当? = 5时， ? = 36 = 7.2，
5
∴ 可变电阻 R 应控制在3.6Ω与7.2Ω之间．
【变式 2】（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节 40 分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数 y 随时间 x（分）的变化规律如图所示，其中线段??的函数表达式为：? = 5? + 30(0 ≤ ? ≤ ?)，线段??持续的时间恰为 10 分钟，曲线??为反比例函数图象的一部分．
求 m 的值及曲线??的函数表达式，并写出取值范围．
【答案】(1)? = 10；? = 1600 20 < ? ≤ 40)
?
(
(2)能，理由见解析
若一道数学难题，需要讲解 16 分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数 y 不低于 64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用．
将 B 点坐标代入线段??的函数解析式，即可求出 m 的值；再结合题意可得?点坐标，进而可求得曲线
??的函数表达式；
分别求出注意力指数为 64 时的两个时间，再将两时间之差和 16 比较，大于 16 则能讲完，否则不能．
【详解】（1）解：把? = 80，? = ?代入? = 5? + 30得80 = 5? + 30，
解得? = 10，
∴?(10,80)，
∵线段??持续的时间恰为 10 分钟，
∴? = 10 + 10 = 20，
∴?(20,80)，
?
设反比例函数的解析式为? = ?，
把?(20,80)代入? = ?
?
80 =，
?得20
解得? = 1600，
∴曲线??的函数表达式为? = 1600(20 < ? ≤ 40)；
?
（2）解：能，理由如下：
令5? + 30 = 64，
解得? = 6.8，
1600
令 ? = 64，
解得? = 25，
∵25−6.8 = 18.2 > 16，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【变式 3】（2025·湖南郴州·模拟预测）阅读下列材料：
实验数据显示，一般成人喝 250 毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低．
小带根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量 y 是时间 x 的函数，其中 y 表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x 表示饮酒后的时间（小时）．
下表记录了 6 小时内 11 个时间点血液中酒精含量 y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间 x（小时）（? > 0）的变化情况．
下面是小带的探究过程，请补充完整：
(1)如图，在平面直角坐标系???中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量 y 随时间 x 变化的函数图象；
3
(2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线? = 2两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一
部分写出表达式；
【答案】(1)见解析
(2)当0 ≤ ? ≤ 时，? = −200?2 +400?；当? > 时，? = 225
3
3
2
2
?
(3)不能，见解析
【分析】本题主要考查二次函数与反比例函数的应用，解题的关键是掌握函数图象的画法及待定系数法求函数解析式的能力．
（1）将坐标系中的点按照自左向右的顺序用平滑的曲线顺次连接即可得；
按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20∶30在家喝完 250 毫升低度白酒，第二天早上7∶00能否驾车去上班？请说明理由．
饮酒后的
时间 x（小
…
1
4
1
2
3
4
1
5
4
3
2
2
3
4
5
6
…
时）
血液中酒
精含量 y
（毫克/百
…
175
2
150
375
2
200
375
2
150
225
2
225
2
225
4
45
225
6
…
毫升）
3
（2）由图象知? = 2左侧符合二次函数关系、右侧符合反比例函数关系，利用待定系数法求解可得；
（3）求出反比例函数中? = 20时 x 的值，据此可判断．
【详解】（1）解：图象如图所示，
33
解：根据题意得：当0 ≤ ? ≤ 2时，y 与 x 成二次函数关系；当? > 2时，y 与 x 成反比例函数关系，
当0 ≤ ? ≤
35 +3
2
时，此时二次函数的图象的对称轴为直线? = 4 4 = 1，
2
∴二次函数的图象的顶点坐标为(1,200)，
设 y 与 x 的函数关系式为? = ?(?−1)2 +200，
2
把点 3 ,150
代入得：150 = ?
3 −1
2
2
+200，
解得：? = −200，
此时的函数解析式为? = −200(?−1)2 +200 = −200?2 +400?；
3?
当? > 2时，设 y 与 x 的函数关系式为? = ?，
将点(5,45)代入，得：? = 225，
∴此时的函数解析式为? =
225
? ；
解：不能．理由如下：
把? = 20代入反比例函数? =
225
? 得? = 11.25．
∵晚上20∶30经过11.25小时为第二天早上7∶45，
∴第二天早上7∶45以后才可以驾车上路，
∴第二天早上7∶00不能驾车去上班．
命题点 03 反比例函数的实际应用之其他问题
【典例】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热
[此过程中水温?(℃)与开机时间 x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温?(℃)与开机时间 x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热
⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
求图中 t 的值；
若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？
? = 10
解得： ? = 20 ，
所以当0 ≤ ? ≤ 8时，函数解析式为：? = 10? + 20，
∵45−40 = 5 < 8，
当? = 5时， ? = 10 × 5 + 20 = 70，
即小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．
，
8? + ? = 100
? = 20
依据题意，得
（2）解：当0 ≤ ? ≤ 8时，设水温?(℃)与开机时间?（分）的函数关系为：? = ?? + ?，
800
当? = 20时，20 = ? ，
∴? = 40；
800
∴当8 < ? ≤ ?时，水温?(℃)与开机时间?（分）的函数关系为? = ? ，
?
把点(8,100)代入得：100 = 8 ，
解得：? = 800，
?
【详解】（1）解：当8 < ? ≤ ?时，设水温?(℃)与开机时间?（分）的函数关系为? = ? ，
【答案】(1)40
(2)小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．
【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
求出反比例函数解析式进而得出 t 的值
利用待定系数法求出当0 ≤ ? ≤ 8时的函数解析式，进一步求解即可．
【变式 1】（2025·广东东莞·三模）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中??段可看成是一段双曲线，矩形????为向上攀爬的梯子，?? = 6米，?? = 2米．以点?为原点，水面所在直线为?轴建立如图的直角坐标系，其中点?在?轴上．
(1)求??段滑梯所在的双曲线的解析式(不需写出?的取值范围)； (2)出口?点距离水面的距离为1.5米，求?，?之间的水平距离；
【答案】(1)? = 12
?
6米
3米
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
利用待定系数法计算即可；
设点?的坐标为(?,1.5)并代入?与?的函数关系式，求出?的值再减去??的长即可；
设点?的坐标为(?,?)并代入?与?的函数关系式，将?用?表示出来，根据?−2 ≤ 2列关于?的不等式并求其解集，从而得到?的最小值即可．
【详解】（1）解： ∵ ?? = 6米，?? = 2米，
∴ 点?的坐标为(2,6)，
设??段滑梯所在的双曲线的解析式为? = ? (?为常数，且? ≠ 0)，
?
将坐标?(2,6)代入? = ?，
?
得2 = 6，
解得? = 12，
?
∴ ??段滑梯所在的双曲线的解析式为? = ? ．
（2）设点?的坐标为(?,1.5)，
12
若要在滑梯??上的?点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到??的距离不超过2米，求点?到水面的距离至少多少米？
将?(?,1.5)代入? = ? ，
12
得? = 1.5，
解得? = 8，
12
8−2 = 6(米)，
∴ ?，?之间的水平距离为6米．
（3）设点?的坐标为(?,?)，
将?(?,?)代入? = ? ，
12
得? = ? ，
12
∴ ? = ? ，
12
根据题意，得? −2 ≤ 2，
解得? ≥ 3，
12
∴ 点?到水面的距离至少3米．
时间
? min
5
10
15
20
25
…
水量
? mL
18
33
48
a
78
…
【变式 2】（2025·内蒙古包头·三模）水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：
试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5min记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据．
(1)探究：根据图表中的数据，请判断? = ?1(?1 ≠ 0)和? = ? ? + ?（?2 ≠ 0，?2为常数）哪个解析式能准确
?2
的反映水量 y 与时间 x 的函数关系？请求出该解析式并写出漏记的 a 值；
【答案】(1)? = ?2? + ?能准确的反映水量?与时间?的函数关系，? = 3? + 3
(2)72 天
(2)应用：成年人每天大约需饮水1800mL，请估算这个水龙头一个月（按 30 天计）的漏水量可供一位成年人饮用的天数．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及一次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
根据表格中数据特点进行分析，即可得到水量?与时间?的函数关系，再利用待定系数法求解，即可解题；
先算出时间，再将时间代入（1）中?与?的函数关系式中求解得到一个月的漏水量，进而求出饮用的天数，即可解题．
【详解】（1）解： ∵ 10 × 33 = 330，5 × 18 = 90，330 ≠ 90，
∴ ? =
?1
?
(?1 ≠ 0)不能准确的反映水量?与时间?的函数关系，
? = ?2? + ?能准确的反映水量?与时间?的函数关系，
根据表中数据有
10?2 + ? = 33
5?2 + ? = 18 ，
解得 ?2 = 3 ，
? = 3
∴ ? = 3? + 3；
（2）解：30 × 24 × 60 = 43200（min），
当? = 43200时，? = 3 × 43200 + 3 = 129603mL，
当? = 0时，? = 3，
(129603−3) ÷ 1800 = 72（天），
答：可供一位成年人饮用72天．
【变式 3】（2025·广东广州·二模）综合与实践：课题小空间检测视力问题具体情境：对某班学生视力进行检测的任务；
现有条件：一张测试距离为 5 米的视力表，一间长为 3.8 米，宽为 3.6 米的空书房．
如图，若将视力表挂在墙????上，在墙????上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离????米处；
小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值 V 和该行字母 E 的宽度 a 之间的关系是一种函数模型，字母 E 的宽度 a 如上中图所示，视力表上部分视力值 V 和字母 E 的宽度 a 的部
分对应数据如左下表所示：
①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值 V 与字母 E 的宽度
a（说明理由），并求出视力值 V 与字母 E 宽度 a 之间的函数关系式；
②小明在制作过程中发现某行字母 E 的宽度 a 的值12.5mm，请问该行对应的视力值是多少？
【答案】(1)1.2
(2)①? = ?；②该行对应的视力值是0.56
【分析】本题考查反比例函数的应用，轴对称的性质，关键是由题意得到视力值 V 与字母宽度 a 成反比例
7
函数关系．
由轴对称的性质即可得到答案．
①由视力值 V 与字母宽度 a 的乘积是定值，得到视力值 V 与字母宽度 a 成反比例函数关系，用待定
系数法即可求出函数关系式．②把? = 12.5，代入? = ?，即可得到答案．
【详解】（1）解：5−3.8 = 1.2（米），
7
∴测试线应画在距离墙????的1.2米处；
（2）解：①∵视力值 V 与字母宽度 a 的乘积是定值 7，
∴视力值 V 与字母宽度 a 成反比例函数关系．
设? = ?，
把? = 70,? = 0.1，代入得到? = 7，
?
位置
视力值
V
a 的值（mm）
第 1
行
0.1
70
第 5
行
0.25
28
第 8
行
0.5
14
第 14
行
2
3.5
∴视力值 V 与字母宽度 a 的函数关系是? = ?，
7
②把? = 12.5，代入? = ?，得? = 12.5 = 0.56，
∴该行对应的视力值是0.56．
7
7
中考预测题
1．综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性．体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响，某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次数据收集，该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔 10 秒作一次记录并绘制图象（如图 1）．
小组讨论后，发现这样收集数据不合理，于是进行第二次数据收集，收集 15 位学生的跳绳心率，每隔 10
秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（如图 2）：
【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．
7920
小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率?随运动时间?（单位：秒）的变化而变化的函数模型? = 212−63+?．
【解决问题】
写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；
《义务教育体育与健康课程标准（2022 年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在 140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题.请你根据解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到 140 的心率（结果精确到个位）；
【答案】(1)见解析
(2)47
(3)见解析
【分析】（1）根据数据是否有代表性解答；
（2）将? = 140代入关系式求出答案即可；
（3）将? = 200代入关系式求出答案，再比较即可．
【详解】（1）解：选取的样本只有小红一个人，样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理；
（2）当? = 140时，即212−7920 = 140，
63+?
解得? = 47，
所以，学生需要跳绳 47 秒才能达到 140 的心率；
（3）解：当? = 200时，? = 212− 7920 ≈ 182，
63+200
由于182 > 175，
所以小明的运动过度，要缩短跳绳的时间．
研究发现，运动时心率达到 175 时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳 200 秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．
2．1896 年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿直线前进，但实际上走的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某学校数学兴趣小组通过实验发现，人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径?米与其两腿迈出的步长之差?厘米
（? > 0）拟合后的函数为反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
求?与?之间的函数表达式；
若小昆两腿迈出的步长之差为 0.5 厘米，则他蒙上眼睛走的大圆圈的半径为多少米？
若小明蒙上眼睛走的大圆圈的半径不小于 70 米，求其两腿迈出的步长之差?的取值范围．
【答案】(1)? = 14
?
∵ ? > 0
∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于 70 米，则其两腿迈出的步长之差0 < ? ≤ 0.2．
14
（3）解：当? ≥ 70时，即? ≥ 70，
∴ ? ≤ 0.2，
∴当某人迈出的步长差为 0.5 厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为 28 米；
0.5
（2）解：当? = 0.5时，? = 14 = 28，
14
∴ ?与?之间的函数表达式为? = ? ；
?
∴ 7 = 2，
∴ ? = 14，
?
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为? = ?，
由图象可知，反比例函数过点(2,7)，
（3）根据题意建立不等式求解，即可解题．
?
【分析】（1）设反比例函数解析式为? = ?，将图象中的点代入解析式求解，即可解题；
（2）将? = 0.5代入（1）中解析式求解，即可解题；
当某人迈出的步长差为 0.5 厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为 28 米
某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于 70 米，则其两腿迈出的步长之差0 < ? ≤ 0.2
3．物理学中?1，?1分别表示动力和动力臂，?2，?2分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，?1?1
= ?2?2．
如图①，某兴趣小组取一根长40cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 O 并将其吊起来．在中点 O 的左侧且与 O 相距10cm处挂一个重5N的物体，在中点 O 右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点 O 的距离 L（单位：cm）改变时，弹簧测力计的拉力 F
（单位：N）也随之改变．
(1)当? = 4cm时，? = N．
【答案】(1)12.5
(2)? = 25 5 ≤ ? ≤ 4；图象见解析
? ,
4
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）根据?1?1 = ?2?2解答即可；
（2）求出?与?的关系式，可得 L 关于 x 的函数关系式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：5 × 10 = 4?，
∴? = 12.5N；故答案为：12.5
（2）解：设?与?的关系式为? = ??，由图②得图象经过(1,2)，
∴ ? = 2，
∴?与?的关系式为? = 2?，
∵ ?? = 10 × 5，
∴ 2?? = 50，
∴? = ? ，
根据题意得：? ≤ 20，? ≤ 4，
25
∴自变量 x 的取值范围为4 ≤ ? ≤ 4，
当? = 4时，? = 6.25，
5
(2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为4cm，弹簧测力计的拉力?(N)是弹簧伸长的长度?(cm)的正比例函数，如图②所示．求出 L 与 x 之间的函数解析式（写出 x 的取值范围），并在图③画出此函数图象．
当? = 3时，? = 3 ，
当? = 2.5时，? = 10，
25
当? = 2时，? = 12.5，
当? = 4时，? = 20，
画出图象如图所示：
5
考点三 二次函数的实际应用
《解题指南》
通用解题步骤(按顺序)
步骤 1：审题建模，确定函数关系
通读题目，抓住“最大、最小、最值、抛物线、拱桥、投篮、利润最高”等关键词，判断属于二次函数实际应用；明确自变量 x(通常是数量、长度、时间、价格)和因变量 y(利润、面积、高度、路程等)。
步骤 2：设解析式，用待定系数法求解
①根据题目条件选择合适形式：
已知顶点(最值)：设顶点式? = ?(?−ℎ)2 +?
已知与 x 轴两交点：设交点式? = ?(?−?1)(?−?2)
已知一般三点：设一般式? = ??2 +?? + ?
②代入已知点坐标，求出 a,b,c 或 a,h,k;
③写出解析式，并确定自变量实际取值范围。
步骤 3：利用性质求最值与范围
①配方或用公式求顶点： − ? , 4??−?2 ;
2?4?
②由开口方向(?＞0有最小值，? < 0有最大值)确定最值；
③若自变量有范围，最值可能在顶点或端点处取得，需比较判断。
步骤 4：检验取舍，规范完整作答
①检验解是否符合实际意义(长度、数量、价格为正，人数为整数等);②舍去不合理解，写出明确答语，注
明单位与结论。
命题点 01 二次函数的实际应用之图形问题
【典例】（2026·江西吉安·一模）问题背景：已知二次函数的一般表达式是? = ??2 +?? + ?，如果 a 为非 0 的确定常数，? = 0，我们就称该函数为“b 值函数”．例如：当? = 3，? = 0时，此二次函数为? = 3?2 +??，它就是一个“b 值函数”．某数学兴趣小组围绕该定义，做以下探究．
探究 1
对“b 值函数”进行探究后，得到下列结论：
①“b 值函数”的图象与 x 轴一定有两个交点；
②随着 b 值增大，函数的顶点纵坐标一直增大；
③当 b 值取相反数时，两函数的顶点关于 y 轴对称．
以上结论中，你认为正确的是（填写正确结论的序号）．
对于“b 值函数”? = −3?2 +??，随着 b 值的变化，函数图象与 x 轴的交点也在变化．设其与 x 轴的一交点为(?,0)，若3 ≤ ? ≤ 4时，求 b 的取值范围．
探究 2
设“b 值函数”的顶点坐标为(?,?)，请用含 b 的式子表示 m 与 n 的关系．探究 3
如图，某人想用长?m的栅栏，借用围墙围成一个矩形羊圈????，围墙足够长，设矩形????的边
【答案】(1)③
(2)9 ≤ ? ≤ 12
(3)? = ??
2
(4)? = −2?2 +??，该函数是“b 值函数”， 当?增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是200m2
?? = ?m，面积为?m2，请写出 S 关于 x 的函数表达式，判断该函数是不是“b 值函数”，并说明该函数的顶点变化规律；当羊圈最大面积是200m2时，求需要用多长的栅栏．
时，需要用40m的栅栏
【分析】（1）设“b 值函数”为? = ??2 +??(? ≠ 0)，且 a 为非 0 的确定常数，结合二次函数的性质逐项分析
即可得出结果；
（2）先求出“b 值函数”? = −3?2 +??与?轴的交点坐标为(0,0)或 ? ,0 ，再结合题意得出?，求解即
可；
2(? ≠ 0)
3
− ? ,− ?2
3 ≤ 3 ≤ 4
?
（3）由（1）可得“b 值函数”? = ??
+??
的顶点坐标为
2?
4? ，结合题意得出? = −2?，
?2
? = −4?，由此计算即可得出结果；
（4）由矩形的性质可得?? = ?? = ?m，求出?? = (?−2?)m，结合矩形的面积公式可得? = ?? ⋅ ?? = −2?2
+??，再由二次函数的性质解答即可
【详解】（1）解：设“b 值函数”为? = ??2 +??(? ≠ 0)，且 a 为非 0 的确定常数，令??2 +?? = 0，则Δ = ?2−4 × ? × 0 = ?2 ≥ 0，
当? = 0时，Δ = ?2 = 0，此时??2 +?? = 0有两个相等的实数根，则? = ??2 +??与?轴只有一个交点，故①
错误；
∵? = ??2
+?? = ? ?− ?
2?
2 ?2
−4?，
− ? ,− ?2
∴该函数的顶点坐标为
2?4? ，
∵?是大于 0，还是小于 0，是不确定的，
?2
∴?增大时，−4?无法确定是增大还是减小，故②错误；
− −? ,− (−?)2
? ,− ?2
当 b 值取相反数时，新的顶点为
2?
4?，即
2?
4? ，
两顶点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，故它们关于?轴对称，故③正确；
（2）解：令? = 0，则−3?2 +?? = 0，
解得：?1
= 0，?2
?
= 3，
3
∴“b 值函数”? = −3?2 +??与?轴的交点坐标为(0,0)或 ? ,0 ，
∵对于“b 值函数”? = −3?2 +??，与 x 轴的一交点为(?,0)，且3 ≤ ? ≤ 4，
∴3 ≤
? ≤ 4，
3
∴9 ≤ ? ≤ 12；
2(? ≠ 0)
− ? ,− ?2
（3）解：由（1）可得：“b 值函数”? = ??
+??
的顶点坐标为
2?4? ，
∴? = −2?，? = −4?，
2
?
?2
∴ =
?
− ?
?
?
−
4? =
?
2
，即? = ?；
?
2
2?
（4）解：∵四边形????为矩形，
∴?? = ?? = ?m，
∵?? + ?? + ?? = ?m，
∴?? = (?−2?)m，
∴? = ?? ⋅ ?? = ?(?−2?) = −2?2 +??，
∵? = −2，? = 0，
∴? = −2?2 +??是“b 值函数”，
∵? = −2? +?? = −2 ?− 4+ 8 ，且−2 < 0，
2
2
? 2
?2
?
∴顶点坐标为 , ? ，
4 8
∴当?增大时，顶点的横纵坐标均增大，
∵当? = 4时，?取得最大值为 8 ，羊圈最大面积是
?
?2
200m2，
∴?
2
8
= 200，
解得：? = 40（负值不符合题意，舍去），
∴? = −2?2 +??，该函数是“b 值函数”， 当?增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是200m2时，需要用40m的栅栏．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，理解“b 值函数”的定义是解此题的关键．
【变式 1】（2026·河南周口·一模）数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的?处有一棵古树与墙??, ??的距离分别是16m和9m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园????（篱笆只围??, ??两边），设?? = ?m．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树?围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形????的面积为?．
??的长为m；（用含?的代数式表示）
【答案】(1)(32−?)
(2)能，12
(3)当? = 16时，花园面积?最大，最大值为256m2
【分析】（1）根据?? + ?? = 32m列出代数式即可；
根据矩形的面积公式列出方程解答即可求解；
根据矩形的面积公式列出 S 与 x 的函数解析式，再根据题意求出 x 的取值范围，进而根据二次函数的性质解答即可求解；
【详解】（1）解：??的长为(32−?)m；
（2）解：根据题意，得?(32−?) = 240．
整理，得?2−32? + 240 = 0．解得?1 = 12, ? = 20．
2
∵墙角内的?处有一棵古树与墙??, ??的距离分别是16m和9m，
∴32−? ≥ 16, ? ≥ 9．
∴9 ≤ ? ≤ 16．
∴?的值为 12．
（3）解：由题意得：? = ?(32−?) = −?2 +32? = −(?−16)2 +256．
∵9 ≤ ? ≤ 16．
∴当? = 16时，花园面积?最大，最大值为256m2．
花园的面积能否为240m2？若能，求出?的值；若不能，请说明理由； (3)求当?为何值时，花园面积?最大，最大值为多少．
【变式 2】（2025·山东德州·中考真题）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架????（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5∶3．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽??．
【方案二】
3
3
5
∴长为横向边?，宽为纵向边?，黄金分割比中长 > 宽，故?:? = 5∶3，即：? = ?．
3
【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽??（横向边长）为?m,??长（纵向边长）为?m，
∵“日”字形框架由 3 条横向边和 2 条纵向边组成，总型材长度为6m，
∴3? + 2? = 6．
∵长宽之比为5∶3，
= 1.5，进而可以判断得解．
2× − 2
2
窗户框架的面积最大，则? = −
3
3
6−2?
（2）依据题意，设窗户框架的长??为?m，则宽??为m，则? = 6−2? ⋅ ?，即? = −2?2 +2?，从而要使
5
33
5
? = ?代入3? + 2? = 6得3? + 2 × ? = 6，进而计算可以得解；
3
横向边和 2 条纵向边组成，总型材长度为6m，则3? + 2? = 6，结合长宽之比为5∶3，可得? = 5?，再将
用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
（1）依据题意，设窗户框架的宽??（横向边长）为?m,??长（纵向边长）为?m，由“日”字形框架由 3 条
18
【答案】（1）窗户框架??的宽为19m；
（2）该窗户框架的??,??分别为 1 米，1.5米时，窗户框架的面积最大，最大值为1.5m2．
【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
3
∴当? = 1.5时，?最大值为1.5．
∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的??,??分别为 1 米，1.5米时，窗户框架的面积最大，最大值为
1.5m2．
= 1．
6−2×1.5
3
3
2× −
6−2?
2
∴要使窗户框架的面积最大，则? = −2 = 1.5，于是宽为=
3
3
2
6−2?
∴? =⋅ ?，即? = − ?2 +2?，
3
6−2?
（2）由题意，设窗户框架的长??为?m，则宽??为m，
18
答：窗户框架的宽??为19m．
18
∴? = 19．
3
3
将? = 5?代入3? + 2? = 6得，3? + 2 × 5? = 6．
方案一
方案二
如图 1，围成一个面积为
450m2的矩形花圃．
如图 2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）．
【变式 3】（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
求方案一中与墙垂直的边的长度；
要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【答案】(1)15 米；
(2)当与墙平行的边的长度为 33 米时，花圃的面积最大．
【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．
（1）设与墙垂直的边为?m，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．
（2）设与墙平行的边为?m，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次
函数性质求最大值时?的值．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为?m，则与墙平行的边的长度为(60−2?)m，根据题意得?(60−2?) = 450，
解得?1 = ?2 = 15
答：与墙垂直的边的长度为 15 米；
（2）解：设与墙平行的长度为?m，花圃的面积为?m2，
根据题意得? = 1?(66−?) = − ?2 +22?
1
3
3
∴? = − (?−33)2 +363
1
3
∵− < 0，
1
3
∴当t = 33时，S有最大值 363，
答：当与墙平行的边的长度为 33 米时，花圃的面积最大．
命题点 02 二次函数的实际应用之拱桥问题
【典例】（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图 1 所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标
涉水线设置
限高架设置
问题解决：
如图 2，求涉水线离坡底的距离??（精确到 0.01 米）；
在图 3 中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线???的解析式；
限高架上标有警示语“车辆限高 h 米”（即最大安全限高），求 h 的值（精确到0.1米）．
数学抽象绘制图形
隧 道及斜坡的侧面示意图，可近似如图 2所示．
图 3 为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分???和矩形????的三边构成．
信息收集资料整理
当隧道内积水的水深为 0.27 米时，
（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部
???在竖直方向的空隙不小于 0.3 米．
实地考察数据采集
斜坡的坡角?为10°，并查得：sin 10° ≈ 0.174，
cs10° ≈ 0.985， tan10° ≈ 0.176．
隧道的最高点 C 到地面??距离为 5.4 米，两侧墙面高?? = ?? = 3米，地面跨度
?? = 10米．车辆行驶方向的右侧车道线
（宽度忽略不计）与墙面的距离为 1 米．
【答案】(1)?? = 1.55米
12 2
(2)? = −?
125
(3)3.5米
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
认真研读题干，过点 M 作?? ⊥ ?，代入数值得sin10° = ?? ≈ 0.174，进行计算，即可作答．
??
（2）先以点?为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线???的解析式为? = ??2(? < 0)，再把?(5,−2.4)
? = −
代入进行计算，得 12 ?2，即可作答．
125
（3）认真研读题干，得出10 ÷ 2−1 = 4，再算出当? = 4时，? = −1.536，则?? = 1.536，
?? = ??−?? = 3.864，即可得出ℎ = ??−0.3 = 3.564 ≈ 3.5（米），即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点 M 作?? ⊥ ?，
∵斜坡的坡角?为10°，隧道内积水的水深为 0.27 米，
∴∠??? = 10°,?? = 0.27，
∵?? ⊥ ?，sin10° ≈ 0.174，
在Rt △ ???中，sin10° = ?? ≈ 0.174，
??
∴0.27 ≈ 0.174，
??
∴?? =
0.27
0.174
= 1.55（米）；
解：如图所示：以点?为坐标原点，建立平面直角坐标系：依题意，设抛物线???的解析式为? = ??2(? < 0)，
∵隧道的最高点 C 到地面??距离为 5.4 米，两侧墙面高?? = ?? = 3米，地面跨度?? = 10米．
∴?(5,−2.4)，
把?(5,−2.4)代入? = ??2，得−2.4 = 25?，
12
∴? = −125，
∴? = −
12 2
125
? ；
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为 1 米．必须保证车辆顶部与隧道顶部???在
竖直方向的空隙不小于 0.3 米．
∴10 ÷ 2−1 = 4，
∴当? = 4时，? = −× 42 = −1.536，
12
125
则?? = 1.536，
∴?? = ??−?? = 5.4−1.536 = 3.864，
∵限高架上标有警示语“车辆限高 h 米”（即最大安全限高），
∴ℎ = ??−0.3 = 3.864−0.3 = 3.564（米）
∵涉及安全问题，
∴ℎ = 3.564 ≈ 3.5（米）．
【变式 1】（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部?1，左、右门洞?2，?3
均呈抛物线型，水平横梁?? = 16m，?1的最高点?到??的距离?? = 4m，?2，?3关于??所在直线对
称．??，??，??为框架，点?，?在?1上，点?，?分别在?2，?3上，?? ∥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??．以
?为原点，以??所在直线为?轴，以??所在直线为?轴，建立平面直角坐标系．
求抛物线?1的函数表达式；
? = −
已知抛物线?3的函数表达式为 3 (?−4)2，
5 ，求??的长．
16?? = 2m
【答案】(1)? = − 1 +4
16
?2
(2)?? = 12m
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先设抛物线?1的函数表达式为? = ?(?−0)2 +4，结合二次函数的对称性得?(−8,0),?(8,0)，再代入? = ?(?−0)2 +4进行求解，即可作答．
（2）理解题意，得出? = ?
−?
5
??1 23 (?−4)2
= ，再结合抛物线 ， 的函数表达式分别为? = − ? +4，? = −，
??213
1616
代入? = ??
−??
= 5，整理得?2−12? + 36 = (?−6)2 = 0，再解方程，可作答．
2
【详解】（1）解：∵?? = 4m，
∴抛物线?1的顶点?坐标为(0,4)，
设抛物线?1的函数表达式为? = ?(?−0)2 +4，
∵?? = 16m，
∴结合二次函数的对称性得?(−8,0),?(8,0)，将?(8,0)代入? = ?(?−0)2 +4，
得0 = 64? + 4
1
则? = −16，
1 2

∴? = − ? +4；
16
? 1 2
（2）解：由（1）得抛物线 1的函数表达式? = − ? +4，
16
∵?? ∥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??．
5 ，且抛物线?3的函数表达式为? = − 3 (?−4)2，
∴? = ?
−?
?? = 2m16
1 232
5
= − ? +4− −(?−4)= ，
??16162
整理得?2−3(?−4)2 = 24，
∴?2−3?2 +24?−48 = 24，
∴?2−12? + 36 = (?−6)2 = 0，解得?1 = ?2 = 6，
∴?? = 2 × 6 = 12(m)．
【变式 2】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于 2025 年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽 12 米，高 8 米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
求抛物线的函数解析式；
【答案】(1)? = −2(?−6)2 +8(0 ≤ ? ≤ 12)
9
(2)能安全通过，见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入(12,0)即可求解?，继而得到函数解析式；
先求出点?坐标，然后求出点?距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与0.5比较即可．
【详解】（1）解：由题意得，顶点为
12
,8 ，即(6,8)，
2
设抛物线的解析式为：? = ?(?−6)2 +8(? ≠ 0)
代入点(12,0)得?(12−6)2 +8 = 0，
解得：? = −9，
2
∴抛物线解析式为? = −
2(?−6)2 +8(0 ≤ ? ≤ 12)；
9
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：?? = 12
2 −
2
−3 = 2，
2
将? = 2代入? = −2(?−6)2 +8，
9
该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 0.5 米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔 2 米（中心线宽度不计）．若宽 3 米，高 3.5 米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
∴能安全通过．
18
17
−3.5 => 0.5，
9
∵40
9
40
2
2
则? = − × (2−6) +8 = 9 ，
【变式 3】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】主题：隧道安全警示的数学探究
如图 1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材 1 如图 2 为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为 0.27 米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材 2 图 3 为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分???和矩形????的三边构成．隧道的最高点?到地面??
距离为 5.4 米，两侧墙面高?? = ?? = 3米，地面跨度?? = 10米．
【初步探究】如图 2，过点?作?? ⊥ ?，已知斜坡的坡角? = 10∘，求涉水线离坡底的距离??（精确到
0.01 米，sin10∘ ≈ 0.174，cs10∘ ≈ 0.985，tan10∘ ≈ 0.176）．
【深入研究】如图 3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线???的解析式．
【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部???
（3）认真研读题干，得出10 ÷ 2−1 = 4，再算出当? = 4时，? = −1.536，则?? = 1.536，
?? = ??−?? = 3.864，即可得出ℎ = ??−0.3 = 3.564 ≈ 3.5（米)，即可作答．
125
12 2
代入进行计算，得? = −? ，即可作答．
（2）先以点 C 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线???的解析式为? = ??2(? < 0)，再把?(5,−2.4)
??
【分析】（1）过点 M 作?? ⊥ ?，代入数值得sin10° = ?? ≈ 0.174，进行计算，即可作答．
(3)3.5 米
?2
125
12
(2)以点 C 为坐标原点，建立平面直角坐标系：? = −
【答案】(1)1.55 米
在竖直方向的空隙不小于 0.3 米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为 1 米，限高架上标有警示语“车辆限高ℎ米”（即最大安全限高），求ℎ的值（精确到 0.1 米）．
【详解】（1）解：如图，过点 M 作?? ⊥ ?，
∵斜坡的坡角 α 为10°，隧道内积水的水深为 0.27 米，
∴∠??? = 10°，?? = 0.27，
∵?? ⊥ ?，sin10° ≈ 0.174，
在Rt △ ???中，sin10° = ?? ≈ 0.174，
??
∴0.27 = 0.174，
??
∴?? =
0.27
0.174
= 1.55（米）．
解：如图所示：以点 C 为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线???的解析式为? = ??2(? < 0)，
∵隧道的最高点 C 到地面??距离为 5.4 米，两侧墙面高?? = ?? = 3米，地面跨度?? = 10米．
∴?(5,−2.4)，
把?(5,−2.4)代入? = ??2，得−2.4 = 25?，
12
∴? = −125，
∴? = − 12 ?2．
125
解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为 1 米，必须保证车辆顶部与隧道顶部???在
竖直方向的空隙不小于 0.3 米．
∴10 ÷ 2−1 = 4，
∴当? = 4时，? = −× 42 = −1.536，
12
125
则?? = 1.536，
∴?? = ??−?? = 5.4−1.536 = 3.864，
∵限高架上标有警示语“车辆限高 h 米”（即最大安全限高），
∴ℎ = ??−0.3 = 3.864−0.3 = 3.564（米)，
∵涉及安全问题，
∴ℎ = 3.564 ≈ 3.5（米）．
命题点 03 二次函数的实际应用之销售问题
每件的售价 x/元
…
25
28
31
…
日销售量 y/件
…
15
12
9
…
【典例】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量 y（件）与每件的售价 x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
求 y 与 x 之间的函数表达式（不要求写出自变量 x 的取值范围）；
当玩具日销售额为 300 元时，求每件玩具的售价．
【答案】(1)? = −? + 40
(2)10 元或 30 元
【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式．
（1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可；
（2）先表示出日销售额的函数表达式，再令? = 300求解 x 的值即可．
【详解】（1）解：∵日销售量 y（件）与每件的售价 x（元）满足一次函数关系，
∴设函数表达式为? = ?? + ?(? ≠ 0)，
∵当? = 25时，? = 15；当? = 28时，? = 12；
∴ 12 = 28? + ? ，解得 ? = 40 ，
∴? = −? + 40，
15 = 25? + ?
? = −1
∴y 与 x 之间的函数表达式为? = −? + 40；
（2）解：由（1）知，? = −? + 40，
∴日销售额? = ?? = ?(−? + 40) = −?2 +40?，
∵玩具日销售额为 300 元，
∴令? = 300，即−?2 +40? = 300，整理可得?2−40? + 300 = 0，
解得?1 = 30，?2 = 10，
∴每件玩具的售价为 10 元或 30 元时，日销售额为 300 元．
【变式 1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出 A，B两种文创纪念品．已知 2 个 A 纪念品和 3 个 B 纪念品的成本之和是 155 元；4 个 A 纪念品和 1 个 B 纪念品的成本之和是 135 元．一套纪念品由一个 A 纪念品和一个 B 纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于 65 元且不高于 72 元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为 72 元，那么每天可销售 80 套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价 1 元，其销售量相应增加 10 套．设每天的利润为 W（元），每套纪念品的售价为 a 元（65 ≤ ? ≤ 72且 a 为整数）．
分别求出每个 A 纪念品和每个 B 纪念品的成本；
求当 a 为何值时，每天的利润 W 最大．
【答案】(1)每个 A 纪念品成本25元，每个 B 纪念品的成本35元
(2)? = 70
【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每个 A 纪念品成本?元，每个 B 纪念品的成本?元，根据“2 个 A 纪念品和 3 个 B 纪念品的成本和是
155 元；4 个 A 纪念品和 1 个 B 纪念品的成本和是 135 元”建立二元一次方程组并求解；
（2）先根据利润公式求出?关于?的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个 A 纪念品成本?元，每个 B 纪念品的成本?元，
2? + 3? = 155
由题意得： 4? + ? = 135 ，
? = 25
解得： ? = 35 ，
答：每个 A 纪念品成本25元，每个 B 纪念品的成本35元；
（2）解：由题意得，? = ?−(25 + 35) 80 + 10(72−?) = −10?2 +1400?−48000，
∵−10 < 0，对称轴为直线? = −
1400
2×(−10)
= 70，65 ≤ ? ≤ 72且 a 为整数，
∴当? = 70时，?取最大值，
答：当? = 70时，每天的利润 W 最大．
【变式 2】（2025·四川内江·中考真题）2025 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出 A、B 两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进 A 款 200 个，B 款 300 个，需花费 14000 元；购进 A 款 100 个，B 款 200 个，需花费 8000 元．
求 A、B 两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过 12000 元的资金购进 A、B 两款“哪吒”纪念品共 400 个，那么至少需要购进 B 款纪念品多少个？
在销售中，该商家发现每个 A 款纪念品售价 60 元时，可售出 200 个，售价每增加 1 元，销售量将减少 5个．设每个 A 款纪念品售价?(60 ≤ ? ≤ 100)元，W 表示该商家销售 A 款纪念品的利润（单位：元），求 W关于 a 的函数表达式，并求出 W 的最大值．
【答案】(1)A 款“哪吒”纪念品每个进价为 40 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为 20 元；
(2)至少需要购进 B 款纪念品 200 个
(3)? = −5(?−70)2 +4500(60 ≤ ? ≤ 100)，W 的最大值为 4500
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
设 A 款“哪吒”纪念品每个进价为 x 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为 y 元，根据购进 A 款 200 个，B
款 300 个，需花费 14000 元；购进 A 款 100 个，B 款 200 个，需花费 8000 元建立方程组求解即可；
设需要购进 B 款纪念品 m 个，则需要购进 A 款纪念品(400−?)个，根据购买资金不超过 12000 元建立不等式求解即可；
根据题意可得每个 A 款纪念品的利润为(?−40)元，销售量为 200−5(?−60) 个，据此列出 W 关于 a
的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出 W 的最大值即可．
【详解】（1）解：设 A 款“哪吒”纪念品每个进价为 x 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为 y 元，
由题意得，
200? + 300? = 14000
100? + 200? = 8000 ，
? = 40
解得 ? = 20 ，
答：A 款“哪吒”纪念品每个进价为 40 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为 20 元；
（2）解：设需要购进 B 款纪念品 m 个，则需要购进 A 款纪念品(400−?)个，由题意得，40(400−?) +20? ≤ 12000，
解得? ≥ 200，
∴m 的最小值为 200，
答：至少需要购进 B 款纪念品 200 个；
（3）解：由题意得，? = (?−40) 200−5(?−60)
= (?−40) (200−5? + 300)
= (?−40) (500−5?)
= 500?−20000−5?2 + 200?
= −5(?−70)2 +4500，
∵−5 < 0，60 ≤ ? ≤ 100
∴当?−70 = 0，即? = 70时，W 最大，最大值为 4500．
【变式 3】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是 30 元，当售价为 40 元时，每天可以售出 60 件，经调查发现，售价每降价 1 元，每天可以多售出 10 件．
设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，则每天售出的数量是件；
为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是 630 元；
【答案】(1)(60 + 10?)
3 元
售价为 38 元时，每天的利润最大，最大利润是 640 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键；
根据原来每天售出的 60 件，再加上多售出的件数即可得到答案；
设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解；
设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根
文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 W 元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，则每天售出的数量是(60 + 10?)件；故答案为：(60 + 10?)；
解：设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，
根据题意可得：(40−30−?)(60 + 10?) = 630，整理可得：?2−4? + 3 = 0，
解得：?1 = 1,?2 = 3，
由于要让利于游客，? = 1舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价 3 元时文旅公司每天的利润是 630 元.
解：设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，则? = (40−30−?)(60 + 10?)
= (10−?) (60 + 10?)
= −10?2 + 40? + 600
= −10(?−2)2 +640，
∵−10 < 0，
∴当? = 2时，?取最大值为 640 元，此时销售价为 38 元， 答：售价为 38 元时，每天的利润最大，最大利润是 640 元．
材料一
租车公司有 A，B 两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆 A 型客车比每辆 B 型客车多载客 15 人；用 A 型客车载客 600 人与用 B 型客车载客 450 人的车辆数相同．
材料二
A 型客车租车费用为 3200 元/辆；B 型客车租车费用为 3000 元/辆．优惠方案：租用 A 型客车 m 辆，租车费用(3200−50?)元/辆；
租用 B 型客车，租车费用打八折．
材料三
租车公司最多提供 8 辆 A 型客车；
学校参加研学活动师生共有 530 人，租用 A，B 两种型号客车共 10 辆．
【变式 4】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
(1)A，B 两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
【答案】(1)A 型客车每辆载客量为 60 人，B 型客车每辆载客量为 45 人
(2)本次研学活动学校最少租车费用为 27 000 元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键．
设 A 型客车每辆载客量为?人，根据题意列出方程，求解即可；
设租 A 型客车?辆，B 型客车(10−?)辆，租车总费用?，根据材料三先求出 m 的取值范围，再列出 w
关于 m 的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设 A 型客车每辆载客量为?人，根据题意得：
600450
? = ?−15．
解之得? = 60．
经检验：? = 60是方程的根，且符合题意，
答：A 型客车每辆载客量为 60 人，B 型客车每辆载客量为 45 人．
（2）解：设租 A 型客车?辆，B 型客车(10−?)辆，租车总费用?，则
60? + 45(10−?) ≥ 530．
16
解之得? ≥ 3 ．
? = (3200−50?)? + 3000 × 0.8 × (10−?)
= −50?2 +800? + 24000．
∵−50 < 0，且对称轴为? = −
800
= 8，
−50×2
∴? ≤ 8时，?随着?的增大而增大．
16
∵?取正整数，且? ≥ 3 ，
∴当? = 6时，?最小值为 27000（元）．
∴本次研学活动学校最少租车费用为 27000 元
命题点 04 二次函数的实际应用之投球问题
【典例】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从?点击球，击球点是拋物线的最高点，点?到地面的距离?? = 2.4m，球网上端点
?到地面的距离?? = 1.55m，人与球网之间的距离?? = 1.6m，假设两种击球路线都经过点?正上方0.05m
处的点?，网前吊球和扣杀球的落点分别为点?、?．
请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
网前吊球的落点到球网的距离??的长是m．
甲在?处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s．网前吊球时，羽毛球下降的高度ℎ(m)与时间?(s)之间的关系式为ℎ = 5?2．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
1 5 2
12
【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为? = − ? +；网前吊球击球路线的函数表达式为? = − ?
2516
128 3−8
+ 5 ；（2） 5；（3）乙能接到网前吊球的击球
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
以?为坐标原点，??所在的中线为?轴，??所在的中线为?轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点?坐标，则??可求，利用?? = ??−??解答即可得出结论；
（3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与 0.5 秒比较即可得出结论．
【详解】解：（1）以?为坐标原点，??所在的直线为?轴，??所在的直线为?轴，建立如图所示的坐标系，
则?(0,2.4)，?(1.6,1.6)，
设直线??的解析式为? = ?? + ?，
? = 2.4
∴1.6? + ? = 1.6 ，
? = − 1
∴
2 ，
? = 2.4
112
5
∴ 扣杀球击球路线的函数表达式为? = − ? +；
2
设网前吊球击球路线的函数表达式为? = ??2 +2.4，
∴ 1.6 = ? × 1.62 +2.4，
5
∴ ? = −16，
5 2
12
∴ 网前吊球击球路线的函数表达式为? = − ? +
165 ；
5 212
（2）令? = 0，则− ? += 0，
165
∵ ? > 0，
，
8 3
∴ ? = 5
5
∴ ? 8 3 ,0 ，
∴ ?? = 8 3m，
5
∴ ?? = ??−?? = 8 3−8m．
5
5
故答案为：8 3−8；
，
（3）对于? = −1? + 12，令? = 0，则 112 = 0
5
− ? +
225
24
∴ ? = 5 ，
∴ ?(
24
，
,0)
5
∴ ?? = 4.8，
∴ ?? =??2
+ ??2 =
24 2
+
5
12 2
5
= 12 5m，
5
∵ 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，
12 5 5
∴ 5 =（秒)
3615
∵ 5 < 0.5，
15
∴ 乙不能接到扣杀球的击球．
∵ 从?点击球，击球点是抛物线的最高点，
∴= 5? ，
12
2
5
∵ ? > 0，
∴ ? = 5 ，
2 3
∵ 2 3 > 0.5，
5
∴ 乙能接到网前吊球的击球．
【变式 1】（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点?正上方 1.8
米的?点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，?为原点，??在?轴上，球的运动路线可以看作是二次函数
? = ??2 +?? + 1.8（?，?为常数）图象的一部分，其中?（米）是球的高度，?（米）是球和原点的水平距离，图象经过点(2,3.2)，(4,4.2)．
?（秒）
0
0.4
0.6
…
?（米）
0
4
6
…
信息二：球和原点的水平距离?（米）与时间?（秒）（0 ≤ ? ≤ 1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
求?与?的函数关系式；
网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当?为1.6秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数? = −0.02?2 +?? + ?（?，
【答案】(1)? = −0.05?2 +0.8? + 1.8
网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米
? ≤ 0.36
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）代入点(2,3.2)，(4,4.2)得到二元一次方程组求解即可；
?为常数）图象的一部分，其中?（米）是球的高度，?（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标?为2，纵坐标?大于等于1.8时，?的取值范围为（直接写出结果）．
（2）先求出球和原点的水平距离?（米）与时间?（秒）的关系式为? = 10?，再由二次函数的性质求解；
（3）先求出击球点位置为(16,1.8)，再将(16,1.8)代入? = −0.02?2 +?? + ?，求出? = −0.02?2
+?? + 6.92−16?，根据? = 2时，? ≥ 1.8，得到不等式，再解一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：∵图象经过点(2,3.2)，(4,4.2)，
4? + 2? + 1.8 = 3.2
16? + 4? + 1.8 = 4.2 ，
? = −0.05
解得： ? = 0.8 ，
∴?与?的函数关系式为? = −0.05?2 +0.8? + 1.8；
（2）解：由表格可知? = 0,? = 0，
∴设球和原点的水平距离?（米）与时间?（秒）的关系式为：? = ??(? ≠ 0)，代入(0.4,4)得：0.4? = 4，
解得：? = 10，
∴? = 10?，
对于? = −0.05?2 +0.8? + 1.8，? = −0.05 < 0，
∴开口向下，
∵对称轴为：直线? = −
0.8
= 8
2×(−0.05)
∴当? = 8时，?max = −0.05 × 82 +0.8 × 8 + 1.8 = 5，此时10? = 8，
解得：? = 0.8，
∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米；
（3）解：由题意得，当? = 1.6时，? = 1.6 × 10 = 16，
∴? == −0.05 × 162 +0.8 × 16 + 1.8 = 1.8，
∴击球点位置为(16,1.8)，
将(16,1.8)代入? = −0.02?2 +?? + ?，则−0.02 × 162 +16? + ? = 1.8，
∴? = 6.92−16?，
∴? = −0.02?2 +?? + 6.92−16?，
∵? = 2时，? ≥ 1.8，
∴−0.02 × 22 +2? + 6.92−16? ≥ 1.8，
解得：? ≤ 0.36，
故答案为：? ≤ 0.36．
【变式 2】（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度 y 与水平距离?之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点?，运动路径近似为抛物线?1，且?1:? = ??2 +?? + ?，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点?，运动路径近似为抛物
线?2，且?2:? = −1?2 +?? + ?．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素
5
忽略不计）
(1)如图②，当
11时，若点?坐标为(2,0)，求抛物线? 的表达式；
2
? = −,? = 1
2
(2)在（1）的条件下，若?? = 4，在水面上有一个截面宽?? = 1，高?? = 0.5的矩形????的障碍物，点?
的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线?2运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
小星在抛掷石块时，若?1的顶点需在一个正方形????区域内（包括边界），且点?在(3,0)和(4,0)之间
3
2
（包括这两点），其中? 1 ,1 ,?(1,1),? 1 ,，求?的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线? 在同一
221
平面内）
【答案】(1)? = −1?2 + 1? + 1
22
(2)不能，理由见解析
(3)−
34
≤ ? ≤ −
8
49
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到?(6,0)，然后求出? :? = −1(?−2)(?−6) = −
18
2
5
55
?
2
+ ?− 5 ，
12
然后将? = 5.5代入求解判断即可；
（3）首先求出? 1, 2 ，然后由|?|越小开口越大，|?|越大开口越小，点?在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点）
得到当抛物线顶点为点 M，且经过点(4,0)时，开口最大，此时 a 最大，当抛物线顶点为点 P，且经过点(3,0)
3
时，开口最小，此时 a 最小，然后分别利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）∵当? = − ,? = 时，? :? = − ? + ? + ?
1
1
11
2
2
2
1
22
∵点?坐标为(2,0)
2
1
∴0 = −2 × 2
1
+ 2 × 2 + ?
∴? = 1
1
∴抛物线?1的表达式为? = −1?2
2
+ 2? + 1；
不能，理由如下：
∵?? = 4，点?坐标为(2,0)
∴?(6,0)
∴? :? = −1(?−2)(?−6) = −1?2812
255
+ 5?− 5
∵点?的坐标为(4.5,0)，?? = 1
∴?(5.5,0)
∴将? = 5.5代入
1?28
12
= 0.35 < 0.5
? = −
5
+ 5?− 5
∴此时石块沿抛物线?2运动时不能越过障碍物；
∵正方形????，? 1 ,1 ,?(1,1),? 1 , 3
22 2
∴? 1, 3
2
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴? < 0
∵|?|越小开口越大，|?|越大开口越小，点?在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点 M，且经过点(4,0)时，开口最大，此时 a 最大
2
∴设?1的表达式为? = ? ?− 1+1
2
将(4,0)代入得，0 = ? 4−+1
1 2
2
解得? = −49；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点 P，且经过点(3,0)时，开口最小，此时 a 最小
4
∴设?1的表达式为? = ?(?−1)2 + 3
2
将(3,0)代入得，0 = ?(3−1)2 + 3
2
解得? = −8；
3
∴?的取值范围为− ≤ ? ≤ −49．
3
4
8
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是
解题的关键．
【变式 3】（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图
水平距离?(?)
0
3
4
10
15
20
22
27
竖直高度?(?)
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24
1 是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图 2 建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面 A 处．科普员提供了该型号 水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面??的竖直高度?(m)与离发射点 O 的水平距离?(m)的几组关系数据如下：
根据上表，请确定抛物线的表达式；
请计算当水火箭飞行至离发射点 O 的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．
【答案】(1)抛物线的表达式? = − 1
255
?2
6
+ ?
(2)水火箭距离地面的竖直高度5米
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
(1)根据题意可设抛物线的表达式? = ??2 +??(? ≠ 0)，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为(15,9)，代入求解即可；
(2)由题意知? = 5，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式? = ??2 +??(? ≠ 0)，
− ? = 15
由表格得抛物线的顶点坐标为(15,9)，则
−?2 = 9
2?
? = − 1
，解得25 ，
4?
? = 6
5
则抛物线的表达式? = − ?2 + ?，
1 6
255
（2）解：由题意知? = 5，则? = − 1 × 52 + 6 × 5 = 5，
25
5
那么，水火箭距离地面的竖直高度5米．
命题点 05 二次函数的实际应用之喷水问题
【典例】（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点?和点?是一个柱形喷泉装置??上的两个喷头，?喷头喷出的水流的落地点为?．以?为原点，以??所在直线为?轴，??所在直线为?轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：?? = 1m，?? = 2m，?? = 3m，从?喷头和?喷头各喷出的水流的高度?(m)与水平距离?(m)之间的
关系式分别是? = −1?2 +?? + ?和1?2 +?? + ?′．
? = −
33
(1)求?喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点?处，?? = 4m．当围观游人喊声较大时，?喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点
?处？
【答案】(1)4m
3
(2)不会
= 1，
3
把? = 1代入? = −1?2 + 2? + 1，得? = −
33
124
+ +1 =
33
3
因此 A 喷头喷出的水流的最大高度是3m；
4
（2）解：依题意，函数? = −
1?2 + 2? + 2，
33
令? = 4，得? = −1 × 42 + 2 × 4 + 2 = −
3
3
2
< 0，
3
因此 B 喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点 D 处．
可求得? = 3，
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键．
（1）根据?喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出?的最大值即可；
（2）根据?喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令? = 4，通过计算?的值即可判断．
【详解】（1）解：∵?? = 1m，?? = 2m，?? = 3m，从?喷头和?喷头各喷出的水流的高度?(m)与水平距
离?(m)之间的关系式分别是? = −1?2 +?? + ?和? = −
3
1?2 +?? + ?′．
3
∴?(0,1),?(0,2)，?(3,0)
令? = 0，易得? = 1,?′ = 2，
令? = 3，得? = −1?2 +?? + ? = −3 + 3? + 1，
3
2× − 1
2
因此 A 喷头和?喷头各喷出的水流的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系式分别是? = −
1?2 + 2? + 1
33
和? = −1?2 + 2? + 2；
33
2
函数? = −1?2 + 2? + 1的对称轴为直线? = −3
33
【变式 1】（2026·广西南宁·二模）学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图 1 所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究．
(1)当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为 2 米的圆上，在距离池中心水平距离 0.75 米处，水柱达到最高，高度为 1.25 米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池
中心为原点，水平方向为?轴，竖直方向为?轴建立平面直角坐标系，画出图 2 所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）；
(2)第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于?轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式； (3)学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加ℎ米，水柱落点形成的圆半径相应增加?米，ℎ与?之间存在一定的数量关系，求出ℎ与?之间的数量关系式；
(4)已知喷泉池的半径是 2.1 米，四周种植了一圈宽度为 0.5 米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通
4
过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加5米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理
由．
（3）解：当喷头竖直高度增加 h 米，水柱落点形成的圆半径相应增加 d 米，即将抛物线向上平移 h 米，经
5
4(? + 0.75)2 +1.25；
∴抛物线的顶点式为? = −
（2）解：∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于?轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为
(0.75,1.25)，且经过点(2,0)，
∴第二象限的抛物线的顶点坐标为(−0.75,1.25)，且经过点(−2,0)，
5
4(?−0.75)2 +1.25；
∴水柱所在的抛物线的函数表达式为? = −
4
解得? = −5，
? = ?(?−0.75)2 +1.25，
将点(2,0)代入，得0 = ?(2−0.75)2 +1.25，
4
（4）将ℎ = 5代入关系式，求出解比较得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为(0.75,1.25)，且经过点(2,0)，设抛物线的顶点式为
5
4(2 + ?−0.75)2 +1.25 + ℎ，整理得出答案；
（3）将抛物线向上平移 h 米，经过点(2 + ?,0)，可得0 = −
(4)能，理由见解析
【分析】（1）先设抛物线的顶点式为? = ?(?−0.75)2 +1.25，再将点(2,0)代入可得答案；
（2）根据第二象限的抛物线的顶点坐标为(−0.75,1.25)，且经过点(−2,0)可得答案；
5
(3)ℎ = 4?2 +2?
5
(2)? = −4(? + 0.75)2 +1.25
5
【答案】(1)? = −4(?−0.75)2 +1.25
4
则2.1 < 2.351 < 2.6，
所以绿化带能被水柱喷灌到．
= 2.351，2.1 + 0.5 = 2.6，
6.403−5
4
∵2 + ? ≈ 2 +
4
4
解得? = 41−5或? = − 41−5（舍去）
555
过点(2 + ?,0)，根据题意，得
44
当ℎ = 时， ?2 +2?− = 0，
?
（4）解：能，理由如下：
5
则ℎ = 4 2 +2?；
4
5
0 = − (2 + ?−0.75)2 +1.25 + ℎ，
【变式 2】（2026·广东深圳·一模）综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计
【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图）．喷泉的喷头位于圆形水池的中心点 O 正上方 0.5 米处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内．
【数学建模】以水池中心 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（x 轴在水面水平方向，y 轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点 B 的坐标为(2,1.5)，之后落回水面上的 C 点．
【建立模型】
求该抛物线的函数表达式；
【数据计算】
求音乐喷泉水池的半径??的长；
【优化设计】
公园设计师认为，当水流落点 C 距离中心 O 恰好为 5 米时，视觉效果最好．
①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点?′的坐标应该如何改变？设?′(?,?)，请求出
m 和 n 的函数关系式．
②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点 B 的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为 1.5米，新方案的最高点高度为 h 米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议？
【答案】(1)? = −0.25?2 +? + 0.5
(2)(2 + 6)m
(3)①? = (5−?)2 ②0.6 倍；建议见解析
50−20?
【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）令? = 0，进行求解即可；
（3）①设出新的顶点式，待定系数法进行求解即可；②由题意，得到? = 2，进而求出?的值，求出功率即可，根据功率提出合理的建议即可．
【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点为?(2,1.5)，?(0.0.5)
设抛物线解析式为? = ?(?−2)2 +1.5
将?(0.0.5)代入解析式，得0.5 = ?(0−2)2 +1.5，解得? = −0.25，
∴抛物线的函数表达式为? = −0.25(?−2)2 +1.5；
（2）解：令? = 0，则0 = −0.25(?−2)2 +1.5，
解得?1 = 2 + 6，?2 = 2− 6（舍）
∴? 2 + 6,0 ，
∴?? = 2 + 6，
即音乐喷泉的水池半径为(2 + 6)m．
（3）①设新最高点?′(?,?)．设新抛物线解析式为? = ?(?−?)2 +?，将?(0.0.5)，?(5,0)代入得
??2 + ? = 0.5
?(5−?)2 + ? = 0 ，
? =1
解得，
20?−50
? = (5−?)2
50−20?
(5−?)2
故? = 50−20?；
②由题意得? = 2,
∴? = (5−2)2
50−20×2
= 0.9，
∴功率比为1.5 = 0.6，即新方案功率是原方案的 0.6 倍．
建议：虽然新方案的落点更远（5 米 > 4.45米），但所需的功率反而降低了（因为喷得更低，能量更多用
0.9
于水平推进）．建议公园管理者采用新方案，不仅视觉效果更开阔，而且更节能环保．
【变式 3】（2026·山西太原·一模）综合与实践问题情境：如图 1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题
片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）?点喷出，其距水面的竖直高度?（单位：m）与距喷口点?的水平距离?（单位：m）近似满足二．次．函数关系，测得的几组数据如下表：并解决以下问题：
将表格中各组对应值作为点的坐标，在图 2 所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出?
与?的函数关系式．
为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于5m，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）．
【答案】(1)作图见解析，? = − (?−14) +6
3
2
98
(2)14 6m
3
(3)1.6 ≤ ? ≤ 2
如图 3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度?（单位：m）与距喷水点?的水平距离?（单位：m）近似满足关系式：? = −0.04?2 +??．在距喷口点?水平距离45m处有一个互动装置点?，要求水柱能落在距互动装置点? 5m的范围内（含5m），求?的取值范围．
? m
0
7
14
21
28
? m
0
4.5
6
4.5
0
3 2 3 2
【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式；
（2）对于? = − (?−14) +6，令? = 5，则− (?−14) +6 = 5，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带
9898
可铺设的最大长度；
（3）对于? = −0.04?2 +??中，令? = 0，求出方程的根，根据题意可得45−5 ≤ ? ≤ 45 + 5，即可求解?的取值范围．
【详解】（1）解：描点画图如答图所示：
根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为(14,6)，设?与?的函数关系式为? = ?(?−14)2 +6(? ≠ 0)，
∵当? = 0时，? = 0
∴? × (0−14)2 +6 = 0
解得? = − 3
98
3 2

∴?与?的函数关系式为? = − (?−14) +6
98
3 2
（2）解：由题意得，对于? = − (?−14) +6，令? = 5，
98
3 2

则− (?−14) +6 = 5
98
3
解得?1 = 14−7 6，?2 = 14 + 7 6
3
∴?2−?1 =
14 6
，
3
3
答：观赏灯带可铺设的最大长度为14 6m；
（3）解：在? = −0.04?2 +??中，令? = 0
则−0.04?2 +?? = 0
解得?1 = 0（舍去），?2 = ?
0.04
= 25?
根据题意，要使水柱能落在距互动装置点 M5m的范围内(含5m)，
则45−5 ≤ ? ≤ 45 + 5，即40 ≤ ? ≤ 50，
∴40 ≤ 25? ≤ 50
解得1.6 ≤ ? ≤ 2．
命题点 06 二次函数的实际应用之其他问题
【典例】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图 1 所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到?点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间?(s)、运动快慢?(cm/s)、运动路程?(cm)的数据．
【收集整理数据】
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图 2、图 3 的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：?与?之间的关系可以近似地用函数表示，?与?之间的关系可以近似地用函数表
示．（选填：一次、二次、反比例）
运动时间?(s)
0
4
8
12
16
20
…
运动快慢?(cm/s)
12
10
8
6
4
2
…
运动路程?(cm)
0
44
80
108
128
140
…
【检验】根据猜想求出?与?,?与?之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上?点时，前方?点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，
若弹珠能追上小车，那么??的最大值是多少？
【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：1
，1?2 +12?，验证见解析；【应
? = −2? + 12
? = −
4
用】：??最大为81cm
【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键：
猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可；
检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可；
应用：设?? = ?，由题意，得到
1?2 +12? ≥ ? + 3?，得到1?2 +9?，根据二次函数求最值即可．
−? ≤ −
44
【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下：
猜想：?与?之间的关系可以近似地用一次函数表示，?与?之间的关系可以近似地用二次函数表示；
故答案为：一次，二次；
? = 12
【检验】：设? = ?? + ?，把(0,12),(4,10)代入，得 4? + ? = 10 ，
? = − 1
解得：
2 ，
? = 12
1
∴? = − ? + 12，
2
验证：当? = 20时，1
，符合题意；
? = −2 × 20 + 12 = 2
? = 0
设? = ??2 +?? + ?，把点(0,0),(8,80),(4,44)，代入，得 16? + 4? + ? = 44 ，
64? + 8? + ? = 80
? = 0
，
4
解得 ? = − 1
? = 12
2
1
∴? = − ?
4
+12?，
故??最大为81cm．
4
1
× 182 +9 × 18 = 81；
= 18时，?最大为−
1
4
9
2× −
∴当? = −
4
1?2 +9?，
∴? ≤ −
1
4
由题意，得：− ?2 +12? ≥ ? + 3?，
1
4
【应用】：∵? = − ?2 +12?，设?? = ?，
4
1
× 202 +12 × 20 = 140，符合题意；
验证：当? = 20时，? = −
【变式 1】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作?m；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作?1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作?2m．已知? = ?1 + ?2，?1与骑行速度成正比，?2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m．
(1)若骑行速度为26km/h，则?1 = m，?2 = m；
设骑行速度为?km/h，求 y 关于 x 的函数表达式；
当刹车距离为2m时，停车距离为多少（精确到0.1m）？（参考数据： 2 ≈ 1.41， 3 ≈ 1.73， 5 ≈ 2.24）
169
−3
?
2
，再进一步求解即可；
（2）结合（1）可得：? = ? + ?
12
1
=
169
?2
+0.2?；
（3）当刹车距离为2m时，可得2 = 1 ?2，求解?，再进一步求解即可．
169
【详解】（1）解：∵?1与骑行速度成正比，?2与骑行速度的平方成正比．骑行速度为?km/h，
∴?1 = ?1?，?2 = ?2? ，
∵当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m = 2.6 × 10−3km，
2
∴13?1 = 2.6 × 10，
解得：?1 = 2 × 10−4，
∴?1 = 2 × 10−4?，当? = 26时，
1
【答案】(1)5.2，4
(2)? = 1 +0.2?
169
?2
(3)停车距离约为5.7m．
【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用；
（1）设? = ? ?，= ?，结合题意可得? = 0.2?，=
2
1
2
1
?
2
2
?
1
?
（2）解：设骑行速度为?km/h，而?1 = 2 × 10−3?，?2 = 10
−3
169
?2，
∴y 关于 x 的函数表达式为? = ?1 + ?2 = 10 ?2 +2 × 10−3?．
−3
169
（3）解：∵当刹车距离为2m时，
∴2 × 10−3 = 10
−3
169
?2，
解得：? = 13 2，（? = −13 2舍去），
∴? = 10 ?2 +2 × 10−3? ≈ 2 × 10−3 +2 × 10−4 × 13 × 1.41 = 5.666 × 10−3(km) ≈ 5.7(m)
−3
169
∴停车距离约为5.7m．
169
× 262 = 10× 22 × 132 = 4 × 10−3(km) = 4(m)．
169
−3
−3
当? = 26时，?2 = 10
169
= 10 ?2，
2
∴?
−3
，
169
−3
解得：?2 = 10
∴?1 = 2 × 10−4 × 26 = 5.2 × 10−3(km) = 5.2(m)，
∵当骑行速度为13km/h时，刹车距离为1m = 1 × 10−3m，
∴1 × 10−3 = 132 × ?2，
【变式 2】（2025·湖北武汉·中考真题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度?（单位：m）与距发球点的水平距离?（单位：m）的对应值如下表
（不考虑空气阻力）．
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线? = ??2 +?? + 1.1的一部分．
水平距离?
/m
0
2
3
5
6
…
竖直高度?
/m
1.1
2.3
2.6
2.6
2.3
…
【建立模型】求?与?的函数解析式（不要求写自变量取值范围）．
【应用模型】
羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由．
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为? = ??2 +?? + 1.1，发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网 的水平距离小于6m．求?的取值范围．
【答案】建立模型：? = −0.1?2 +0.8? + 1.1；应用模型：（1）不能，理由见解析；（2）0.7 < ? < 1
【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．
建立模型：将点(2,2.3)，(3,2.6)代入计算即可得；
应用模型：（1）令? = 2.8，则可得−0.1?2 +0.8? + 1.1 = 2.8，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得；
（2）先求出? = −0.1，再根据当? = 5时，? > 2.1；当? = 5 + 6 = 11时，? < 0建立不等式组，解不等式组即可得．
9? + 3? + 1.1 = 2.6
【详解】解：建立模型：将点(2,2.3)，(3,2.6)代入? = ??2 +?? + 1.1得： 4? + 2? + 1.1 = 2.3 ，
? = −0.1
解得 ? = 0.8 ，
所以?与?的函数解析式为? = −0.1?2 +0.8? + 1.1．
应用模型：（1）令? = 2.8，则−0.1?2 +0.8? + 1.1 = 2.8，整理得：?2−8? + 17 = 0，
这个方程根的判别式为Δ = (−8)2−4 × 1 × 17 = −4 < 0，方程没有实数根，
所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m．
∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，
∴?的值不变，即? = −0.1，
∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为? = −0.1?2 +?? + 1.1，
∵发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m，
∴当? = 5时，? > 2.1；当? = 5 + 6 = 11时，? < 0，
−0.1 × 52 + 5? + 1.1 > 2.1
∴ −0.1 × 112 + 11? + 1.1 < 0 ，
解得0.7 < ? < 1，
所以?的取值范围为0.7 < ? < 1．
【变式 3】（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用
的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度 x（标准单位）为自变量，种子的发芽率 y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
说明：①当生长素浓度? = 0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到 0 时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
观察上述各点的分布规律，判断 y 关于 x 的函数类型，并求出该函数的表达式；
生长素浓度：x
（标准单
位）
0
0.6
1
1.7
2
2.5
2.7
3
3.3
4
4.2
发芽率 y
（%）
35.00
49.28
56.00
62.37
63.00
61.25
59.57
56.00
51.17
35.00
29.12
请计算抑．制．种子发芽时的生长素浓度范围．
【答案】(1)y 关于 x 的函数是二次函数，? = −7?2 +28? + 35；
(2)4 < ? ≤ 5．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
先判断出 y 关于 x 的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可；
先计算出种子自然发芽率为 35，令? = 35和? = 0时，分别求得 x 的值，再结合图象求解即可．
【详解】（1）解：观察上述各点的分布规律， y 关于 x 的函数是二次函数，设该二次函数的解析式为? = ??2 +?? + ?，
将(0,35)，(1,56)，(2,63)代入得，
? = 35
? + ? + ? = 56
4? + 2? + ? = 63
，
? = −7
解得 ? = 28 ，
? = 35
∴该二次函数的解析式为? = −7?2 +28? + 35；
（2）解：当? = 0时，? = 35，
∴种子自然发芽率为 35，
∴当? = 35时，−7?2 +28? + 35 = 35，解得?1 = 0，?2 = 4，
当? = 0时，−7?2 +28? + 35 = 0，解得?1 = −1（舍去），?2 = 5，
∴抑．制．种子发芽时的生长素浓度范围为4 < ? ≤ 5．
中考预测题
综合与实践
【问题背景】
在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同．
【初步探究】
学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图 1 所示图形，扩音口 A、B 在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点?是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：
顶点?到线段??的距离为ℎ（单位：??），扩音口宽度??为2ℎ（单位：??）．为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点?的坐标(?,?)，利用抛物线表达式
? = ?(?−?)2 +?（其中?,?,?为常数，? > 0）对?值进行了探究与求解．
第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度??为8??，以抛物线的顶点?为坐标原点建立了如图 2 所示的平面直角坐标系，则此时?的值为；
【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即?和ℎ之间存在数量关系．请你求出?和ℎ的数量关系，帮小组验证这个猜想；
【答案】(1)1
4
(2)这个小组的猜想是正确的，见解析
(3)? = 32或6
31
【分析】（1）由题意得?(4,4)，?(0,0)，即抛物线表达式为? = ??2，将?(4,4)代入即可求出? = 1；
4
（2）由题意得，?(? + ℎ,? + ℎ)，将?(? + ℎ,? + ℎ)代入抛物线表达式? = ?(?−?)2 +?得：? + ℎ = ?ℎ2
+?，得到? = ℎ；
（3）由题意得?(0,8)，则?(2ℎ,8)，?(ℎ,8−ℎ)，分两种情况进行讨论，当4 < ℎ ≤ 8时，易得点?(ℎ,8−ℎ)不
1
在?轴下方，抛物线在对称轴处有最小值? = 2；当ℎ > 8时，易得点?(ℎ,8−ℎ)在?轴下方，当0 ≤ ? ≤ 8时，?
随?的增大而减小，抛物线在? = 8处有最小值? = −2．
【详解】（1）解：由题意得，?? = 8??，顶点?到线段??的距离为ℎ（单位：??），扩音口宽度??为2ℎ
（单位：??）， 则?(4,4)，?(0,0)，
∵ 抛物线表达式为? = ?(?−?)2 +?（其中?,?,?为常数，? > 0），
∴ ? = ??2，
将?(4,4)代入? = ??2，可得4 = 16?，
【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点?的坐标为(0,8),ℎ > 4，且当0 ≤ ? ≤ 8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与?轴的距离为 2，求此时?的值．
1
解得? = 4；
（2）由题意得，?(? + ℎ,? + ℎ)，
将?(? + ℎ,? + ℎ)代入抛物线表达式? = ?(?−?)2 +?得：? + ℎ = ?ℎ2 +?，
∴ ? + ℎ = ?ℎ2 +?，
∵ ℎ ≠ 0，
∴ ?ℎ = 1，
1
∴ ? = ℎ，
∴ 这个小组的猜想是正确的；
由题意得?(0,8)，则?(2ℎ,8)，?(ℎ,8−ℎ)，
∴ ? = ?(?−ℎ)2 +8−ℎ，
1
由（2）可知? = ℎ，
（i）当4 < ℎ ≤ 8时，可得8−ℎ ≥ 0，点?(ℎ,8−ℎ)不在?轴下方，
∴ 抛物线在对称轴处有最小值? = 2，
即当? = ℎ时，? = 8−ℎ = 2，
∴ ℎ = 6，
11
∴ ? = ℎ = 6；
（ii）当ℎ > 8时，可得8−ℎ < 0，点?(ℎ,8−ℎ)在?轴下方，
∵ ? > 0，
∴ 当0 ≤ ? ≤ 8时，?随?的增大而减小，
∵ 点?(ℎ,8−ℎ)在?轴下方，
∴ 抛物线在? = 8处有最小值? = −2，即当? = 8时，−2 = ?(8−ℎ)2 +8−ℎ，
1 2
∴ −2 = ?(8− ? )
1
+8−?，
3
解得? = 32；
31
综上所述，? = 32或6．
综合与实践
【问题背景】
数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究．
【数据收集】
信息 1：如图 1，以消防水枪喷水口点?处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点?的水平距离为6m
时达到最高点，最大高度为18m．
信息 2：从点?处喷出的水流落在高楼外墙上的点?处，高楼外墙与点?的水平距离为8m．
信息 3：若消防员将水枪喷水口从点?处向右移动?m至点?处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点?处．
（以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状）
【问题解决】
求此次消防演练中点?处喷出的抛物线形状水流的表达式；
求信息 3 中移动距离?的值：
如图 2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如
? 1 2
图 3，无人机出水口点?位于?轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为 1 = − ? +ℎ，下沿抛物线的表达式为
10
?2
= −1?2 +ℎ（ℎ为出水口点?到地面的高度），高楼外墙与?轴仍相距8m．当点?沿?轴上升至某高度时，
5
【答案】(1)? = −1(?−6)2 +18
2
(2)4
(3)无人机升至某高度时需向右移动1m
【分析】（1）设抛物线的表达式为? = ?(?−6)2 +18(? ≠ 0)，代入(0,0)计算即可得出结果；
（2）求出点?的坐标为(8,16)，由二次函数的平移规律可得向右移动后的表达式为? = −1(?−6−?)2 +18，
2
代入?(8,16)计算即可得出结果；
是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带??处（即??两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且?? = 4.9m）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由．
（3）当? = 8时，?1 = −6.4 + ℎ，?2 = −12.8 + ℎ，求出?1−?2 = 6.4 > 4.9，即可得出无人机升至某高度时
?1 2?12?1 2

需向右移动，设顶点?向右平移?米，则 1 = − (?−?) +ℎ， 2 = − (?−?) +ℎ，当? = 8时， ? = − (8−?)
10510
+ℎ，?? = −1(8−?)2 +ℎ，表示出?? = ?
−?

1 2
=(8−?) = 4.9，求解即可得出结果．
5??10
【详解】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为? = ?(?−6)2 +18(? ≠ 0)，代入(0,0)得? × (0−6)2 +18 = 0，
1
解得：? = −2，
∴此次消防演练中点?处喷出的抛物线形状水流的表达式为? = −1(?−6)2 +18；
2
（2）解：当? = 8时，
1(8−6)2 +18 = 16，
? = −2 ×
∴点?的坐标为(8,16)，
∵向右移动后的表达式为
? = −1(?−6−?)2 +18，
2
∴代入?(8,16)可得： 1
(8−6−?)2 +18 = 16，
− ×
2
解得：?1 = 4，?2 = 0（不符合题意，舍去），
∴信息 3 中移动距离?的值为4；
= −
（3）解：当? = 8时，?1 1 × 82 +ℎ = −6.4 + ℎ，?2
10
∵?1−?2 = −6.4 + ℎ−(−12.8 + ℎ) = 6.4 > 4.9，
∴无人机升至某高度时需向右移动，
1
= −5 ×
82 +ℎ = −12.8 + ℎ，
?1 2?12

设顶点?向右平移?米，则 1 = − (?−?) +ℎ， 2 = − (?−?) +ℎ，
10
?1 2?

当? = 8时， ? = − (8−?) +ℎ， ?
10
5
= −1(8−?)2 +ℎ，
5
∴?? = ?
−?

1 21212
= − (8−?) +ℎ− − (8−?) + ℎ =(8−?) = 4.9，
??10510
解得：?1 = 1，?2 = 15 > 8（舍去），
∴无人机升至某高度时需向右移动1m．
综合与实践
问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图1）可近似看作抛物线．
建立模型：如图2，抛物线与水平地面交于?，?两点，以??的中点?为原点，??所在直线为?轴，过点?作??的垂线与抛物线交于点?，且点?是抛物线的顶点，以??所在直线为?轴，建立平面直角坐标系（单位长度
为1m）．已知?? = 2.4m，?? = 1.8m．
问题解决：
求抛物线的函数表达式．
为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于1m，求活动区域在水平方向上的最大宽度．
【答案】(1)? = −1.25?2 +1.8
1.6m
0.75m
【分析】（1）确定?(−1.2,0)，?(1.2,0)，?(0,1.8)，设抛物线的函数表达式为? = ??2 +?? + ?，代入后得到关于?，?，?的方程组，求解即可；
（2）当? = 1时，代入由（1）所得的抛物线的函数表达式得到−1.25?2 +1.8 = 1，求解后可得答案；
（3）确定平移后的抛物线解析式为? = −1.25?2 +1.8 + ℎ，确定抛物线上的点?的坐标为?(1,1.3)，再代入求出对应的ℎ的值即可．
【详解】（1）解：∵?? = 2.4，?? = 1.8，?为??的中点，
∴?? = ?? = ?? = 1.2，
1
2
∵以点?为原点，??所在直线为?轴，以??所在直线为?轴，建立平面直角坐标系（单位长度为1m），
∴?(−1.2,0)，?(1.2,0)，?(0,1.8)，
设抛物线的函数表达式为? = ??2 +?? + ?，过点?(−1.2,0)，?(1.2,0)，?(0,1.8)，
∴
? × (−1.2)2−1.2? + ? = 0
? × 1.22 + 1.2? + ? = 0
? = 1.8
，
如图 3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移ℎm（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在?轴右侧抛物线上距原点水平距离为1m的点?处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于1.3m，直接写出ℎ的最小值．
解得：
? = −1.25
? = 0
? = 1.8
∴抛物线的函数表达式为? = −1.25?2 +1.8；
（2）解：由（1）知：抛物线的函数表达式为? = −1.25?2 +1.8，当? = 1时，得：−1.25?2 +1.8 = 1，
解得：? = 0.8或? = −0.8，
∴0.8−(−0.8) = 1.6(m)，
∴活动区域在水平方向上的最大宽度为1.6m；
（3）解：∵将抛物线支架? = −1.25?2 +1.8沿竖直方向向上平移ℎm，
∴平移后的抛物线的解析式为? = −1.25?2 +1.8 + ℎ，
∵在?轴右侧抛物线上距原点水平距离为1m的点?处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于1.3m，
∴此时抛物线上的点?的坐标为?(1,1.3)，
∴1.3 = −1.25 × 12 +1.8 + ℎ，
∴ℎ = 0.75，
∴ℎ的最小值0.75m．
好题速递
1．（2026·广东深圳·一模）如图，某饮水机在水温20°C时开始通电加热，水温每分钟上升20°C，当水温上 升到100°C时自动停止加热，此过程中水温?(°C)与通电时间?(min)满足一次函数关系；随后水温开始下降，当水温降至20°C时，饮水机再次自动加热，此过程中水温?(°C)与通电时间?(min)成反比例函数关系，则从通电加热到首次自动加热所经历的时间为（ ）
【答案】C
【分析】先根据初始水温与升温速度，求出加热阶段的一次函数? = 20? + 20，代入? = 100算出停止加热
的时间为4分钟；再设降温阶段的反比例函数? = ?，代入点(4,100)求出? = 400，确定降温函数；最后代入
? = 20算出水温回到20°C的时间为20分钟，得出从通电加热到首次自动加热的总时长为20分钟．
?
【详解】解：由图可得：初始水温为20°C（通电时间? = 0时，? = 20），水温每分钟上升20°C，
∴加热阶段的一次函数为? = 20? + 20，
∵当水温达到100°C停止加热，
∴代入? = 100得：100 = 20? + 20，解得? = 4min，
即停止加热时，通电时间为4min，
∴得到反比例阶段经过的点(4,100)，
降温阶段?与?成反比例，设反比例函数为? = ?，
代入点(4,100)得? = 4 × 100 = 400，
?
即反比例函数为? = ? ，
当水温降到20°C时，饮水机开始首次自动再次加热，
400
代入? = 20得：20 = ? ，
解得? = 20，
400
因此从通电加热到首次自动加热所经历的时间为20min．
5minB．15minC．20minD．25min
2．（2026·山西太原·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离?(cm)与所挂物重?kg之间满足我们学过的某种函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格
?/kg
1
2
3
则?与?之间的关系式为（ ）
A．? = 5.5? + 2.5B．? = 5.5?−2.5
?/cm
8
13.5
19
C．? = 5.5
?
D．? = 5.5?
【答案】A
【分析】观察表格可知，?与?之间呈一次函数关系，待定系数法求出函数解析式即可.
【详解】解：观察可知，?与?之间呈一次函数关系，设? = ?? + ?，
把(1,8),(2,13.5)代入，得 2? + ? = 13.5 ，解得 ? = 2.5 ，
∴? = 5.5? + 2.5.
? + ? = 8
? = 5.5
当? = 3时，? = 5.5 × 3 + 2.5 = 19，符合题意? = 5.5? + 2.5.
3．（2026·陕西榆林·一模）某条公路上有甲、乙两个测速点，从甲到乙汽车平均行驶速度（?km/h）与行驶时间?（ℎ）呈反比例函数关系，其图象如图所示．若某辆汽车从甲到乙所用时间为0.3h，则该汽车平均行驶速度是kmh．
【答案】80
【分析】设? = ?，根据函数图象可知，当? = 60km/h时，? = 0.4h，用待定系数法求出反比例函数的解析
式，再把? = 0.3h代入函数解析式求出?值即可．
?
【详解】解：设? = ?，
由函数图象可知，当? = 60km/h时，? = 0.4h，
?
可得：60 = 0.4，
?
解得：? = 24，
∴ ? = ? ，
当? = 0.3h时，
24
可得：? = 24 = 24 = 80．
?0.3
当? = 40时，即 7 ? + 20 = 40，
解得? = 3.5；
1400
当? = 40时，即 ? = 40，
解得? = 35；
(
?
故温度下降段（??段）函数表达式：? = 1400 ? ≥ 14)
?
将点?(14,100)的坐标代入上式得：100 = 14，
解得：? = 1400，
?
设反比例函数的表达式为：? = ?(? ≥ 14)，
40
【答案】31.5
【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式．用待定系数法分别求直线??和曲线??的解析式，分别求解当? = 40时，对应的 x 值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间．
+ 20(0 ≤ ? < 14)，
7 ?
∴温度上升段（??）的解析式为：? = 40
，
? = 40
7
? = 20
解得：
，
100 = 14? + ?
? = 20
【详解】解：设直线??解析式为：? = ?? + ?，则
4．（2026·福建厦门·一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到100℃时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温 y（单位：℃）随时间 x（单位：m）变化的大致图象（由线段??与双曲线一部分??组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间为分钟．
则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间为35−3.5 = 31.5（分钟），
故答案为：31.5．
5．（2025·甘肃酒泉·二模）我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度?(单位：m)与水平距离?(
1 219

单位：m)之间的函数关系式为? = − ? +
5
，则巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是
3
? +
1212
．
∴?1 = 20，?2 = −1（舍去）
故答案为20m．
2
2
2
2×1
2
解方程，得：? = 19± (−19) −4×1×(−20) = 19± 361+80 = 19± 441 = 19±21
两边同乘 12，得：−?2 +19? + 20 = 0
两边同乘-1，得：?2−19?−20 = 0
12123
5
19
1
【详解】令? = 0，得方程：− ?2 +? + = 0
【答案】20m
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及的知识点是抛物线型轨迹中二次函数的零点求解。解题方法是利用“铅球落地时高度为 0”的实际意义，令函数中的? = 0通过解一元二次方程得到水平距离；解题关键是明确最好成绩对应铅球落地时的水平距离，需取方程的正根。易错点是解方程后忽略实际意义，误取负根。解题思路为：铅球落地时飞行高度，解此一元二次方程，取正根即为最好成绩。
6．（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务．
【设计实验方案】
如图 1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板 A 点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间 x（单位：s），滚动距离 y（单位：cm）的数据．
【收集数据】
【建立模型】
根据表格中的数值，在图 2 的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示 y 与 x 的函数关系．
直接写出 y 与 x 的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
【应用模型】
求小球在水平木板上滚动的最大距离；
【答案】(1)? = −1?2 +14?
2
98cm
能追上小车，见解析
【分析】（1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式；
根据二次函数有最大值，求出顶点式即可求解；
通过分析黑色小球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间．
【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为? = ??2 +??经过(8,80)，(10,90)，
64? + 8? = 80
则 100? + 10? = 90 ，
若小球到达木板 A 点处的同时，在前方48cm 处有一辆电动小车，以3cm/s的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由．
运动时间 x/s
0
2
4
6
8
10
…
滚动距离
y/cm
0
26
48
66
80
90
…
解这个方程，得?1 = 6，?2 = 16．
由（2）可知，当? = 14时小球停止运动，6 < 14，所以当? = 6时小球能追上小车．
2
1 2 +14? = 3? + 48，
− ?
则
2
所以当? = 14时，y 取最大值，最大值为 98． 答：小球在水平木板上滚动的最大距离是98cm．
（3）根据题意，小车运动的路程为：3?，
2
1
1
（2）由（1）可知，? = − ?2 +14? = − (?−14)2 +98
2
则 y 与 x 的函数关系式? = −1?2 +14?．
2 ,
14
? = − 1
解得 ? =
7．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达1.8万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了 一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年 5 月到 10 月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图 1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息：
①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于6元/瓶
②统计售价?（元/瓶）与需求量?需求（箱）的数据：发现当售价为3元/瓶时，该矿泉水的需求量为100箱，售价每上涨0.5元，需求量就减少5箱．
③该矿泉水的供给量?供给（箱）关于售价?（元/瓶）的函数关系如下表所示：
售价?（元/瓶）
3
4
4.5
5
6
?供给（箱）
120
90
80
72
60
④5~10月份该矿泉水的售价?
（元/瓶），?
（元/瓶）关于月份?的函数表达式分别为?11，
售价成本
售价 = 2? + 2
?= −1?27372 ．
成本4+ 2?− 4 ，函数图象见图
写出需求量?需求（箱）和供给量?供给（箱）关于售价?（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利?利润（元/瓶）最大？并说明理由．
(3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润．
【答案】(1)?需求
= −10? + 130；?供给
360
= ?
(2)6 月出售这种矿泉水每瓶获利?利润最大
(3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为4元，按照该价格出售获得的总利润为2160元
【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题；
根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解；
根据?
= ?−?= (?−6)2 + 3，根据二次函数的性质，即可求解；
1
利润售价成本44
（3）依题意，−10? + 130 =
360
? 得出? = 4，进而求得? = 7，进而根据单件利润乘以数量，即可求解．
【详解】（1）解：∵当售价为3元/瓶时，该矿泉水的需求量为100箱，售价每上涨0.5元，需求量就减少5箱
∴?需求 = 100−
(?−3)
，，
× 5 = −10? + 1303 ≤ ? ≤ 6
0.5
根据信息③可得?供给
（箱）与售价?的乘积相等，设?供给
?
= ?，
代入? = 3,? = 120得，? = 360，
∴?供给 =
360
? ，3 ≤ ? ≤ 6，
解：6 月出售这种矿泉水每瓶获利?利润最大，理由如下，
依题意，?
1
1?
= ? + ，
= −1?2
737
∴?
= ?
售价2
−?
2成本
11
4
1?2
+ 2?− 4
737 = 1?2−3? + 39 = 1(?−6)2 + 3
利润售价
成本 = 2? + 2 + 4
− ? +
244444
∴当? = 6时，即 6 月出售这种矿泉水每瓶获利?利润最大；
?需求 = −10? + 130
解：依题意，
?供给
= 360
?
当该矿泉水需求量与供给量相等时，−10? + 130 = 360
?
解得：?1 = 4,?2 = 9（舍去） 当? = 4时，?需求 = ?供给 = 90，
?售价 =
11
? +
22
= 4，解得：? = 7，
总利润为 = (4−3) × 90 × 24 = 2160（元）
答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为4元，按照该价格出售获得的总利润为2160元
4
2
4244
37
7
1
1737
?成本 = − ?2 + ?−= − × 72 + × 7−= 3
8．（2026·贵州遵义·一模）同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线、如图、正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离??为 6 米，到地面的距离??与??均为 1米，绳子甩到最高点?处时，最高点距地面的垂直距离为2.5m，以点?为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式．
如果身高为1.70m的小明站在??之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点?的水平距离为2m时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方0.6m？请说明理由．
【答案】(1)? = −1(?−3)2 + 5
6
2
(2)能，理由见解析
(3)3− 6 ≤ ? ≤ 6−
3
2
【分析】（1）根据题意得出?点、?点、?点的坐标后，代入抛物线的顶点式即可求解函数表达式；
（2）代入? = 2到抛物线的函数表达式计算对应的纵坐标，比较即可得解；
（3）代入? = 1.50到抛物线的函数表达式，求出对应的横坐标，再结合队伍长度即可确定取值范围．
【详解】（1）解：依题意得：?? = 6，?? = ?? = 1，最高点?纵坐标为2.5，
∴ ?(0,1)，?(6,1)，
∵ 绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线，
∴ ?点是该抛物线的顶点，横坐标应为2 = 3，
6
现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳 10 人，摇绳 2 人，共计 12 人．某班挑选出身高都为 1.50m的 10 个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少 0.5 米．那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），求左边第一位同学离点?的水平距离?的取值范围．请说明理由．
（2）解：能，理由如下：
依题意得，小明所站位置的横坐标为2，
3
将? = 2代入得，? = −1(2−3)2 + 5 = 7 ≈ 2.33，
6
23
∴ 绳子能刚好甩过他的头顶上方2.33−1.7 = 0.63m > 0.6m，
∴ 当绳子甩到最高处，小明站在距离点?的水平距离为2m时，绳子能刚好甩过他的头顶上方0.6m．
（3）解：当? = 1.50时，即−
1(?−3)2 + 5 = 1.50，
6
2
解得?1 = 3 + 6，?2 = 3− 6，
∴ 可以站立跳绳的距离范围为3− 6 ≤ ? ≤ 3 + 6，
∵ 10人队伍的总长度为(10−1) × 0.5 = 4.5(m)，
∴ 左边第一位同学离点?的水平距离?需满足? + 4.5 ≤ 3 + 6，? ≥ 3− 6，
综合可得，?的取值范围是3− 6 ≤ ? ≤ 6−2．
2
6
1(?−3)2 + 5．
∴ 该抛物线的函数表达式为? = −
1
解得? = −6，
2
将?(0,1)代入可得9? + 5 = 1，
2
设抛物线的函数表达式为? = ?(?−3)2 + 5，
∴ ?(3,2.5)，
中考闯关
为促进 A 县的经济发展，B 市公交公司决定：在 A，B 两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点 少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从 A，B 两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离 A 地的距离?1，?2（单位：km）与出发时间 x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距120km，普通公交车的速度为30km/h．则点 P 的坐标为（ ）
A． 3 ,90
2
3
2 ,100C．(1,90)D．(1,100)
【答案】C
【分析】根据图形分别表示出?1，?2的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可．
【详解】快速公交从 A 地出发，全程120km，用时3h，
4
因此快速公交速度为 120 ÷ 4 = 90km/h，
3
∴解析式为： ?1 = 90?；
普通公交从 B 地出发，速度30km/h向 A 地行驶，因此离 A 地的距离解析式为： ?2 = 120−30?，联立方程： 90? = 120−30?，解得 ? = 1，
代入?1 = 90?，得? = 90，
因此 P 点坐标为(1,90)．
数学兴趣课上，同学们设计试验，探究沙漏下面瓶子内沙子的质量 m（克）和沙子下漏的时间 t（秒）之间的关系．某兴趣小组在不同时间称重并将部分数据记录在下表内：
则 m 与 t 之间的关系式为（ ）
A．? = 0.3? + 5B．? = 0.25? + 6C．? = 0.3?−5D．? = 0.4?−1
【答案】A
【分析】观察表中数据变化特征，设解析式? = ?? + ?(? ≠ 0)，运用待定系数法，解二元一次方程组求解．
【详解】解：由表格知，m 随 t 的增大而增大，设函数表达式为? = ?? + ? (? ≠ 0)，
20? + ? = 11
则 40? + ? = 17 ，
? = 0.3
解得
? = 5 ，
∴? = 0.3? + 5．
时间 t（秒）
20
40
60
80
100
质量 m（克）
11
17
23
29
35
故选：A．
小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gã）的古代汲水工具（如图 1），有一横杆固定于桔槔上的?点，并可绕?点转动．在横杆?处连接一竹竿，在横杆?处固定 300N 的物体，且?? = 1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为?，当改变点?与点?的距离?时，横杆始终处于水平状态，小星发现?与?有一定的关系，他记录了拉力的大小?与?的变化情况如图 2 所示，下列说法错误的是（ ）
A．拉力的大小?与?符合反比例函数关系 B．当??的长增大时，拉力?在减小
C．??的长每增大1m，所施加的拉力就减小150N
D．当??的长从1m增加到4m时，所施加的拉力减小了225N
【答案】C
【分析】仔细观察图象，得出?与?的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：由图象中数据发现：
1 × 300 = 1.5 × 200 = 2 × 150 = 2.5 × 120 = 3 × 100 = 300，
∴拉力?与距离?的乘积不变，
∴拉力的大小?与?之间满足反比例函数关系，故 A 正确，不符合题意；
由图象可得，当??的长 l 增大时，拉力?在减小，故 B 正确，不符合题意； 由图象知，当? = 1时，? = 300，当? = 2时，? = 150，当? = 3时，? = 100， 300−150 ≠ 150−100，
∴??的长每增大1m，所施加的拉力不一定减小150N，故 C 错误，符合题意；
设拉力?与?之间的函数解析式为? = ?，
?
将? = 1,? = 300代入? = ?，解得? = 300，
?
∴拉力?与?之间的函数解析式为? = ? ．
300
当? = 4时，? = 300 = 75，300−75 = 225，
4
∴当??的长从1m增加到4m时，所施加的拉力减小了225N，故 D 正确，不符合题意．
某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度 h（单 位：cm）是液体的密度 ρ（单位：gcm3）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为1.5g/cm3的甲液体中时，浸在液体中的深度为16cm，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为20cm，则乙液体的密度为
gcm3．
【答案】1.2
【分析】本题考查了反比例函数的应用，设 h 关于 ρ 的函数解析式为ℎ = ?，将? = 1.5，ℎ = 16代入求出解
?
析式，把ℎ = 20代入解析式即可得到结论．
【详解】解：设 h 关于 ρ 的函数解析式为ℎ = ?，
将? = 1.5，ℎ = 16代入解析式，得? = 1.5 × 16 = 24，
?
∴h 关于 ρ 的函数解析式为ℎ = ? ，
24
将ℎ = 20代入ℎ = ? ，得20 = ? ，
24
24
解得：? = 1.2，
即乙液体的密度为1.2g/cm3，故答案为：1.2．
小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了12分钟后，小颖以3倍的速度跑向学校，小亮以2倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离?和他们所用时间?的图象如图所示，请问下列结论正确的是．
①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远；
②? = 2000；
③加速后，?颖 = 250m/min，?亮 = 200m/min；
④两人从家出发12分钟时，相距150米．
【答案】②③
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
①观察图象判断即可；
②根据速度 = 路程÷ 时间求出加速前小亮的速度，从而求出其加速后的速度，再根据路程 = 速度× 时间求出?的值即可；
③设加速前，小颖的速度为?米/分钟，则加速后的速度为3?米/分钟，根据小颖加速前后的路程之和为?列关于?的方程并求解，从而求出其加速后的速度即可；
④计算两人前 12 分钟的路程差即可．
【详解】解：小颖家到学校距离与小亮家到学校的距离相等，
∴ ①不正确，不符合题意；
加速前小亮的速度为1200 ÷ 12 = 100（米/分钟），则加速后小亮的速度为100 × 2 = 200（米/分钟）， 1200 + 200 × (16−12) = 2000（米)，
∴ ? = 2000，
∴ ②正确，符合题意；
设加速前，小颖的速度为?米/分钟，则加速后的速度为3?米/分钟，则12? + (16−12) × 3? = 2000，
解得? = 3 ，
250
3 ×= 250（米/分钟），
250
3
∴ 加速后小颖的速度是 250 米/分钟，
由①可知，加速后小亮的速度为 200 米/分钟，
∴ ③正确，符合题意；
两人从家出发 12 分钟时，相距 100− 3× 12 = 200（米)，
∴ ④不正确，不符合题意．
250
故答案为：②③．
数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理．
【阅读素材】
素材 1：图 1 为某款电子托盘秤，图 2 为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻?1的大小，从而改变电路中的电流?，最终通过显示器显示所称物体质量．电流?（单位：mA）与总电阻?（单位：kΩ）成反比例，其中? = ?1 + ?2，已知?2 = 10kΩ．
素材 2：可变电阻?1（单位：kΩ）与物体质量?（单位：kg）之间的关系如图 3 所示(?1 ≥ 0)，当放置物体质量为2.2kg时，电流表显示为0.3mA．
【问题解决】根据【阅读材料】中的素材 1 和素材 2 完成下列问题． (1)当放置物体质量为2.2kg时，求此时可变电阻?1的值；
求电流?关于可变电阻?1的函数表达式；
【答案】(1)10kΩ
(2)? =
6
?1+10
(3)3kg
【分析】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练读懂题意，准确求出函数解析式为解题关键．
（1）设可变电阻?1与物体质量?之间的关系式为?1 = ?? + ?，利用待定系数法求出函数解析式，再将? = 2.2
代入求出结果即可；
（2）设电流 I 与电阻?1之间的关系式为? = ? +10，再代入求解即可；
?
1
（3）由题意可知当?1取得最小值时，x 取得最大值，将?1 = 2代入?1 = −10? + 32中求出结果即可．
为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为0.15 ≤ ? ≤ 0.5（单位：mA），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值．
【详解】（1）解：根据题意，设可变电阻?1与物体质量?之间的关系式为?1 = ?? + ?，将(0,32)，(3.2,0)代入?1 = ?? + ?中，
? = 32
得， 3.2? + ? = 0 ，
? = 32
解得： ? = −10 ，
∴ 可变电阻?1与物体质量 x 之间的关系式为?1 = −10? + 32，
将? = 2.2代入，?1 = −10? + 32中，得?1 = −10 × 2.2 + 32 = 10，
∴ 当放置物体质量为2.2kg时，此时可变电阻?1的值为10kΩ；
解： ∵ 电流?与总电阻?成反比例，又∵ ? = ?1 + ?2,?2 = 10kΩ，
，
∴ 设电流?与电阻? 之间的关系式为：? = ?
1?1+10
由（1）知，当放置物体质量为2.2kg时，此时可变电阻?1的值为10kΩ，
又∵ 当放置物体质量为2.2kg时，电流表显示为0.3mA，
?
∴ 10+10
= 0.3，
∴ ? = 6，
；
∴ 电流?与电阻? 之间的关系式为? = 6
1?1+10
解：根据素材 2 图 3 中的图象易知，当0 ≤ ? ≤ 3.2时，?1随 x 的增大而减小，
∴ 当?1取得最小值时，x 取得最大值，
，
由（2）知，电流 I 与电阻? 之间的关系式为? = 6
1
∴ 当0.15 ≤ ? ≤ 0.5时，2 ≤ ?1 ≤ 30，将?1 = 2代入?1 = −10? + 32中，
?1+10
得，−10? + 32 = 2，
解得：? = 3，
∴ 当电流范围设定为0.15 ≤ 1 ≤ 0.5时，该电子托盘秤称得物体最大质量为3kg．
宇树G1、H2人形机器人在 2026 马年春晚《武BOT》中，完成全球首次全自主集群武术表演，翻桌、空翻、人机对打，以硬核功夫燃爆舞台．在一次活动中，宇树人形机器人为大家展示了投球表演，身高为1.8m的人形机器人站在指定点?点处向上跳起0.2m，同时将球举在头顶上方0.25m处投球，球在空中运行的路线可以用一个二次函数来描述，并且，球在运行过程中到达最高点时，距离地面6.75m，与?点的水平距离为 3m．图中?? = 0.2m，?? = 1.8m，?? = 0.25m按如图所示的方式建立直角坐标系，那么
求出表示球在空中运动路线的二次函数关系式以及点?的坐标；
（2）解：∵? = −0.5(?−3)2 +6.75，
∴当? = 4时，? = −0.5(4−3)2 +6.75 = 6.25 > 4.75，
∴机器人这次投球不会击中这个按钮，
设机器人往后退ℎ(ℎ > 0)米，则? = −0.5(?−3 + ℎ)2 +6.75，
当? = 4时，? = −0.5(4−3 + ℎ)2 +6.75 = 4.75，解得ℎ = 1或ℎ = −3（舍去）；故机器人应该沿?轴所在直线从?点后退 1 米就可以击中按钮．
+ 3,0 ；
3 6
2
∴?
2
2
当? = −0.5(?−3)2 +6.75 = 0时，解得? = 3 6 +3或? = 3−3 6（舍去）；
(2)不会，后退 1 米
【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与?轴的交点坐标即可；
（2）设机器人往后退ℎ(ℎ > 0)米，得到新的解析式，待定系数法求出函数解析式，即可．
【详解】（1）解：由题意，?(0,0.2 + 1.8 + 0.25)，即?(0,2.25)，抛物线的顶点坐标为(3,6.75)，设抛物线的解析式为? = ?(?−3)2 +6.75，把?(0,2.25)代入，得：
?(0−3)2 +6.75 = 2.25，解得? = −0.5；
∴? = −0.5(?−3)2 +6.75，
2
【答案】(1)? = −0.5(?−3)2 +6.75，? 3 6 + 3,0
如果在距离?点4m的地面上有一个高为4.75m的立杆，立杆顶部有一个按钮，那么机器人这次投球是否会击中这个按钮，如果不会，在其他条件都不变的情况下，机器人应该沿?轴所在直线从?点后退多少米就可以击中按钮？请你直接写出答案．