2026届丹东市高三二诊模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届丹东市高三二诊模拟考试数学试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了已知双曲线，已知在平面直角坐标系中，圆，若2m＞2n＞1，则，已知向量，若，则实数的值为，已知复数满足，则=等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
4．设为自然对数的底数，函数，若，则( )
A．B．C．D．
5．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）
A．2B．3C．7D．8
6．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
7．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）
A．2阶区间B．3阶区间C．4阶区间D．5阶区间
8．若2m＞2n＞1，则（ ）
A．B．πm﹣n＞1
C．ln（m﹣n）＞0D．
9．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知复数满足，则=（ ）
A．B．
C．D．
11．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①命题“若，则”的否命题；
②命题“若，则或”；
③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题.
A．0B．1C．2D．3
12．设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量满足，且，则 _________．
14．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______.
15．已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.
16．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在中，角、、的对边分别为，，，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的面积.
18．（12分）已知均为正实数，函数的最小值为.证明：
（1）；
（2）.
19．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为
（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若时，，求实数；
⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．
20．（12分）如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.
（1）证明：平面；
（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.
21．（12分）某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以为直径的圆，且米，景观湖边界与平行且它们间的距离为米．开发商计划从点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作．设．
（1）用表示线段并确定的范围；
（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将的长度设计到最长，求的最大值．
22．（10分）已知函数，记的最小值为.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若正实数，满足，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.
【详解】
已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），
=，
=，
因为，
所以f（x）的最小值为.
故选：A
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2．A
【解析】
由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.
【详解】
由得：，
对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：.
本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
3．A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．D
【解析】
利用与的关系，求得的值.
【详解】
依题意，
所以
故选：D
本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.
5．C
【解析】
先确定集合中元素，可得非空子集个数．
【详解】
由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个．
故选：C．
本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个．
6．D
【解析】
由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.
【详解】
因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D.
本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.
7．D
【解析】
可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解
【详解】
当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：
令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D
本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题
8．B
【解析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；
而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，
故选：B．
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
9．D
【解析】
由两向量垂直可得，整理后可知，将已知条件代入后即可求出实数的值.
【详解】
解：，，即，
将和代入，得出，所以.
故选:D.
本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.
10．B
【解析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.
【详解】
由，得，
所以，.
故选：B.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.
11．C
【解析】
否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.
【详解】
①的逆命题为“若，则”，
令，可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；
②的逆否命题为“若且，则”，该命题为真命题，故②为真命题；
③的逆命题为“若直线与直线平行，则”，该命题为真命题.
故选：C.
本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“”经过逻辑推理，得出“”，则可判定“若，则”是真命题；②判定“若，则”是假命题，只需举一反例即可．
12．B
【解析】
由题意知且，结合数轴即可求得的取值范围.
【详解】
由题意知，，则，故，
又，则，所以，
所以本题答案为B.
本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定中的元素是解题的关键，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由数量积的运算律求得，再由数量积的定义可得结论．
【详解】
由题意，
∴，即，∴．
故答案为：．
本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．
14．；
【解析】
求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可．
【详解】
由，得，，
，，
∵，
∴ ，解得．
故答案为：．
本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上．由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．
15．0
【解析】
由题意，列方程组可求，即求.
【详解】
∵在点处的切线方程为，
，代入得①.
又②.
联立①②解得：.
.
故答案为：0.
本题考查导数的几何意义，属于基础题.
16．
【解析】
分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.
【详解】
首先，第一行队伍的排法有种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率.
故答案为：.
本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）7（2）14
【解析】
（1）在中，，可得 ，结合正弦定理，即可求得答案；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】
（1）在中，，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
解得，
.
本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
18．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.
（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件.
【详解】
（1）由题意，则函数
，
又函数的最小值为，即，
由柯西不等式得，
当且仅当时取“=”.
故.
（2）由题意，利用基本不等式可得，，，
（以上三式当且仅当时同时取“=”）
由（1）知，，
所以，将以上三式相加得
即.
本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.
19．（1）（2）（3）为定值
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为；
（2）我们要知道=的条件应用，在于直线交椭圆两交点M，N的横坐标为，这样代入椭圆方程，容易得到，从而解得；
（3） 需讨论斜率是否存在．一方面斜率不存在即=时，由（2）得；另一方面，当斜率存在即时，可设直线的斜率为，得直线MN：，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦半径公式，就能得到，所以为定值，与直线的倾斜角的大小无关
试题解析：（1），得：，椭圆方程为
（2）当时，，得：，
于是当=时，，于是，
得到
（3）①当=时，由（2）知
②当时，设直线的斜率为，，则直线MN：
联立椭圆方程有，
，，
=+==
得
综上，为定值，与直线的倾斜角的大小无关
考点：（1）待定系数求椭圆方程；（2）椭圆简单的几何性质；（3）直线与圆锥曲线
20．（1）见证明；（2）
【解析】
（1）根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；
（2）设，利用椎体的体积公式求得 ，利用导数研究函数的单调性，从而求得时，四面体的体积取得最大值，之后利用空间向量求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为，所以，
所以，
因为，所以平面.
（2）解：设，则，
四面体的体积 .
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故当时，四面体的体积取得最大值.
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
同理可得平面的一个法向量为，
则.
由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，线面垂直的判定，椎体的体积，二面角的求法，在解题的过程中，注意巧用导数求解体积的最大值.
21．（1），；（2）米.
【解析】
(1) 过点作于点再在中利用正弦定理求解,再根据求解,进而求得.再根据确定的范围即可.
(2)根据(1)有,再设,求导分析函数的单调性与最值即可.
【详解】
解：
过点作于点
则,
在中,,
,
由正弦定理得：,
,
,
,
,因为,
化简得
,
令,,且,
因为,故
令
即,
记,
当时,单调递增；
当时,单调递减,
又,
当时,取最大值,
此时,
的最大值为米．
本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.
22．（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；
(Ⅱ)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
【详解】
（Ⅰ）①当时，，即，
∴；
②当时，，
∴；
③当时，，即，
∴.
综上所述，原不等式的解集为.
（Ⅱ）∵，
当且仅当时，等号成立.
∴的最小值.
∴，
即，
当且仅当即时，等号成立.
又，∴，时，等号成立.
∴.
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.