2026届辽宁省丹东市高三第五次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届辽宁省丹东市高三第五次模拟考试数学试卷（含答案解析），共5页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设（是虚数单位），则（ ）
A．B．1C．2D．
2．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域是B．是奇函数
C．是周期函数D．是增函数
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（ ）
A．5B．C．4D．16
4．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（ ）．
A．B．C．4D．9
6．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）
A．120种B．240种C．480种D．600种
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．6 海里B．6海里C．8海里D．8海里
10．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若,,则B．若，,则
C．若,,则D．若,,则
11．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）
A．8年B．9年C．10年D．11年
12．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：
如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若，则的取值范围是__
14．数据的标准差为_____．
15．已知函数，若在定义域内恒有，则实数的取值范围是__________．
16．已知，圆，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N，若，则的最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.
（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；
（2）若，且，求实数的值；
（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.
18．（12分）在平面直角坐标系中，设，过点的直线与圆相切，且与抛物线相交于两点．
（1）当在区间上变动时，求中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为，求的周长(用表示)，并写出时该周长的具体取值．
19．（12分）如图在棱锥中，为矩形，面，
（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；
（2）当为中点时，求二面角的余弦值.
20．（12分）的内角，，的对边分别为，,已知，.
（1）求；
（2）若的面积，求.
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）设椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点D在椭圆C上， 的周长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆上任意一点P作圆E的切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：为定值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可根据复数的模计算公式求出．
【详解】
∵，∴．
故选：A．
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，
属于容易题．
2．C
【解析】
根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.
【详解】
由表示不超过的最大正整数，其函数图象为
选项A，函数，故错误；
选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；
选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；
选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.
故选：C
本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.
3．C
【解析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
中,,由正弦定理得,
又,
∴,又,∴,∴,又,
∴.∵,
∴,∵,∴由余弦定理可得,
∴,可得.
故选：C
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
4．B
【解析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.
【详解】
令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.
本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
5．B
【解析】
根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.
【详解】
根据题意，，则
在中，又,
则
则
则
则
故选：B
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.
6．C
【解析】
由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论.
【详解】
解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，
即有解，令，则，
则当时，；当时，，
故时，取得极大值，也即为最大值，
当趋近于时，趋近于，所以满足条件．
故选：C.
本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．
7．B
【解析】
首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.
【详解】
将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法；
将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法；
由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种
本题正确选项：
本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.
8．C
【解析】
利用诱导公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.
【详解】
由可得，∴，
∴.
故选：C.
本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.
9．A
【解析】
先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.
【详解】
由题意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.
在△ABC中，由正弦定理得，
即，∴.
故选：A.
本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.
10．C
【解析】
在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．
【详解】
设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：
在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；
在B中，若，，则或，故B错误；
在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；
在D中，若，，则与平行或，故D错误．
故选C．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
11．D
【解析】
根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.
【详解】
依题意在回归直线上，
，
由，
估计第年维修费用超过15万元.
故选:D.
本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.
12．D
【解析】
根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】
由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以.
故选：D
本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.
【详解】
当时， ，
，
当时，，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.
14．
【解析】
先计算平均数再求解方差与标准差即可.
【详解】
解：样本的平均数,
这组数据的方差是
标准差,
故答案为：
本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.
15．
【解析】
根据指数函数与对数函数图象可将原题转化为恒成立问题，凑而可知的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定的取值范围.
【详解】
由指数函数与对数函数图象可知：，
恒成立可转化为恒成立，即恒成立，，即是夹在函数与的图象之间，
的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.
设过原点且与相切的直线与函数相切于点，
则切线斜率，解得：；
设过原点且与相切的直线与函数相切于点，
则切线斜率，解得：；
当时，，又，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为.
本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.
16．
【解析】
由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,，代入，，则在直线上，即可得方程为，将 ，代入化简可得，
则直线过定点,由则点在以为直径的圆上，则.即可求得.
【详解】
如图，由可知R为MN的中点，所以，，
设，则切线PM的方程为，
即，同理可得，
因为PM，PN都过，所以，，
所以在直线上，
从而直线MN方程为，
因为，所以，
即直线MN方程为，
所以直线MN过定点,
所以R在以OQ为直径的圆上，
所以.
故答案为: .
本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）；（2）见解析．
【解析】
（1）由圆的方程求出点坐标，得双曲线的，再计算出后可得渐近线方程；
（2）设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可得，
，由先求出，回代后求得坐标，计算；
（3）由已知得，设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可解得，，求出，从而可得，由，可知满足要求的点不存在．
【详解】
（1）由题意圆方程为，令得，∴，即，∴，，∴渐近线方程为．
（2）由（1）圆方程为，，
设，由得，(*)，
，，
，
所以，即，解得，
方程(*)为，即，，代入双曲线方程得，∵在第一、四象限，∴，，
∴．
（3）由题意，，，，，
设
由得：，，
由得，解得，，
，
所以，
，
，当且仅当三点共线时，等号成立，
∴轴上不存在点，使得．
本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．
18．（1）．（2）的周长为，时，的周长为
【解析】
（1）设的方程为，根据题意由点到直线的距离公式可得，将直线方程与抛物线方程联立可得，设､坐标分别是､,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.
（2）根据抛物线的定义可得，由（1）可得，再利用弦长公式即可求解.
【详解】
（1）设的方程为
于是
联立
设､坐标分别是､
则
设的中点坐标为，则
消去参数得：
（2）设，，由抛物线定义知
，，
∴
由（1）知
∴
，，
的周长为
时，的周长为
本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）要证明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需满足即可，从而得到点E为中点;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．
【详解】
（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，
所以由,即存在点E为PC中点.
法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ， 由题意知PD＝CD＝1，
，设， ，，由
，得，
即存在点E为PC中点.
（2）由（1）知，，，
，， ，
设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为
由的法向量为得，得，
同理求得
所以，
故所求二面角P－AE－D的余弦值为.
本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
20．（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据余弦定理求出B,带入条件求出，利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理即可求出；（2）根据（1）及面积公式可得，利用正弦定理即可求出.
试题解析：（1）由，得，
∴.
∵，∴.
由，得，
∴.
∴ .
（2）由（1），得.
由及题设条件，得，∴.
由，得，
∴，
∴.
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.
21．（1）见证明；（2）
【解析】
（1）设是的中点，连接、，先证明是平行四边形，再证明平面，即
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面法向量，利用向量的夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）证明：设是的中点，连接、，
是的中点，，，
，，， ，
是平行四边形，，
，，，
，，，
由余弦定理得，
，，
，平面，，
；
（2）由（1）得平面，，平面平面，
过点作，垂足为，平面，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，
，
设是平面的一个法向量，则，，
令，则，，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查了线面垂直，线线垂直，利用空间直角坐标系解决线面夹角问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
22．（1）（2）见解析
【解析】
(1) 由，周长,解得,即可求得标准方程.
(2)通过特殊情况的斜率不存在时,求得,再证明的斜率存在时,即可证得为定值.通过设直线的方程为与椭圆方程联立,借助韦达定理求得,利用直线与圆相切,即,求得的关系代入,化简即可证得即可证得结论.
【详解】
（1）由题意得，周长，且.
联立解得，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）①当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为，
则，
所以，即.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为，并设，
由，
，，
由直线l与圆E相切，得.
所以
.
从而，即.
综合上述，得为定值.
本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.
55
57
59
61
68
64
62
59
80
88
98
95
60
73
88
74
86
77
79
94
97
100
99
97
89
81
80
60
79
60
82
95
90
93
90
85
80
77
99
68